Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Авторы решения Б. Бостанов, Э. Джендубаев.
Для каждого значения параметра а найдите число решений уравнения
Решение
Делаем замену переменной . Получаем уравнение относительно параметра а:
Уравнение (1) равносильно следующему:
Рассмотрим Задача теперь состоит в том, чтобы для каждого а найти число положительных решений уравнения
(А значит и исходного уравнения (1).)
(Ось симметрии параболы
Факт, что ось симметрии находится правее нуля, говорит о том, что у уравнения (2) не может быть два отрицательных корня одновременно.)
При нет действительных корней.
При корень один,
При два корня, причем либо один положительный и один отрицательный, либо два положительных корня.
Точнее про знаки корней при расскажет свободный член
Итак, при имеем один положительный корень (и один отрицательный). При имеем и . При имеем два положительных корня.
Промежуточный результат:
– два положительный корня;
– один положительный корень.
Теперь исследуем И уравнение
( – не может быть два положительных корня одновременно.)
При нет действительных корней.
При имеем отрицательный корень (.
При имеем два корня.
Снова обратимся к свободному члену уравнения (3)
есть один положительный корень (и один отрицательный).
имеем и .
имеем два отрицательных корня.
Промежуточный результат:
есть один положительный корень уравнения (3).
"Складываем" промежуточные результаты:
– одно решение;
– два решения;
– три решения;
– два решения;
– одно решение.
Именно в этом месте "зарыта собака" составителя (или же ловушка для ленивого решателя). Промежутки значений параметра а, для которых есть только одно решение, оставляем в покое.
Остальные же промежутки требуют проверки – есть ли при конкретных а совпадающие корни?
Проверяем . Положительный корень уравнения (3) выглядит так
Подстановка в выражение выше не дает корня уравнения (2) .
Итак, для имеем два несовпадающих решения уравнения (1).
Теперь для проверки необходимо решить два уравнения – когда каждый из корней уравнения (2) равен корню уравнения (3), и посмотреть, попадают ли значения параметра а (если они вообще найдутся) в исследуемый промежуток.
ОДЗ не содержится в исследуемом промежутке.
Второй случай:
ОДЗ содержит исследуемый промежуток, решаем дальше.
не удовлетворяет ОДЗ, – удовлетворяет ОДЗ, но не содержится в исследуемом промежутке:
.
Итак, для имеется три несовпадающих решения уравнения (1).
Осталось проверить . Здесь нужно решить уравнение с единственным на данном промежутке положительным корнем уравнения (2) и корнем уравнения (3). Мы сделали это выше, осталось проверить принадлежность полученных значений параметра а исследуемому промежутку. Действительно,
Получается, что при имеем только одно решение уравнения (1).
Настало время вернуться к переменной х и получить окончательный ответ.
Поскольку решение уравнения относительно х однозначно определено (для разных t разные а), то при возвращении к переменной х нам не нужно вновь искать совпадающие корни.
Ответ:
при – одно решение;
при – два решения;
при – три решения;
при – два решения;
при – одно решение;
при – два решения;
при – одно решение.
Для ур. (2)
Два полож.
корня
Один полож.
корень
Для ур. (3)
Один полож.
корень
С учетом отыскания всех а, допускающих несовпадающие корни, ответ для х
1 решение
2 решения
3 решения
PAGE \* MERGEFORMAT 5