Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.Числовой ряд, его сход-ть.
Определение: Формально записанная сумма бесконечного мн-ва чисел (1) наз-ся числовым рядом. Если послед-ть его частичных сумм {Sn}: S1=a1, S2=a1+a2, ,..., Sn=a1+...+an=... имеет конечный предел lim Sn=S, то говорят, что ряд (1) сходится и имеет сумму S (в этом случае запись (1) не просто формальная запись, а выражает число). Если lim Sn не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится (в этом случае (1) не выражает никакого числа, но если lim Sn=, то ряду (1)приписывают сумму бесконечности).
2.T-ма ( Критерий Коши сход-ти ряда).
[ряд (1) сходится]
(при достаточно больших номерах любой отрезок ряда делается сколь угодно малым по модулю).
Сходимость ряда (1) равносильно сход-ти послед-ти частичных сумм {Sn}, а сход-ть послед-ти равносильна выполнению критерия Коши для послед-ти: , где
3.Определение: Ряд наз-ся k-ым остатком ряда. Если этот ряд сход-ся, то его сумму обозначают .
Т-ма (о сход-ти остатка ряда)
k-ый остаток ряда сход-ся или расход-ся одновременно с самим рядом. В случае сход-ти сумма S=Sk+r k (k-ая частичная сумма плюс сумма k-го остатка ряда)
При достаточно больших номерах (>k) ряд и его k-ый остаток имеют одинаковые отрезки ряда, поэтому критерий Коши для них выполняется или не выполняется одновременно так, что сам ряд и его остаток сход-ся или расход-ся одновременно. Пусть ряд (1) сход-ся:
lim Sn= S R, тогда при n>k будет n=k+m, где m - некоторое натуральное число Sn=a1+a2+...+ak+ak+1+...+ak+m , где
m=ak+1+...+ak+m - m-ая частичная сумма остатка ряда ak+1+ak+2+...+ak+m+... При n Sn S, при этом m = n-k (к-фиксированное) и потому lim m= r k (т.к. по условию остаток ряда сход-ся). В пределе получаем S=Sk+r k
4.Следствие о роли конечного числа членов ряда .
Отбрасывание, добавление или изменение конечного числа членов ряда не влияют на его сход-ть (влияют только на сумму в случае сход-ти)
При достаточно большом к указанные изменения не затрагивают к-ый остаток ряда, а к-ый остаток ряда сходится или расходится одновременно с самим рядом
5.Т-ма (необходимые признаки сход-ти).
Если ряд (1) сходится, то:
1) n-ый член ряда стремится к нулю: lim an =0.
2)сумма k-ого остатка ряда, при к, стремится к нулю: lim r k=0
Пусть ряд (1) сходится, тогда:
1)lim Sn = S lim Sn-1 = S lim an = lim (Sn-Sn-1)= S - S = 0; 2) lim rk = т-ма о сход-ти ряда = lim(S-Sk)=S-lim Sk=S-S=0
Из т-мы следует, что если lim an0, то ряд расходится, но условие lim an=0 не гарантирует сход-ти ряда (это только необходимый признак, но не достаточный)
Пример: Геометрический ряд.
b+bq+bq2+...+bqn-1+...= сходится при q<1 и расходится при q1
При q1 an не стремится к 0, чего не может быть. Необходимый признак сход-ти не выполнен ряд рассходится. Если q<1 ряд сходится и
Пример: Гармонический ряд.
расходится, т.к. , хотя необходимый признак выполнен: lim an=
6.Определение : Суммой рядовan иbn и произведением an на число наз-ся ряды (an+bn) и an.
Т-ма о линейных операциях с рядами.
Если рядыan и bn сходятся, то их линейная комбинация(an+bn) cходится к линейной комбинации сумм данных рядов:
Пусть an=A, bn=B, т.е. A= limai, B= limbi , тогда для ряда Сn=(an+bn) сущ-ет С = limCi = lim(ai+bi) = для конечной суммы распределитель- ный и сочетательный законы верны = = lim (ai+bi) = A+B, т.е. (an+bn) = an + bn Признаки сходимости положительных рядов.
Если у ряда а1+а2+…+аn+… (1) все члены аn за исключением м.б. конеч. их числа имеют одинак. знак, то ряд наз-ся знакопостоянным : положительным - если аn 0 и отриц-м – если аn0.Т.к. отр. ряд можно получить из полож. умножением на –1, то дост. рассм. пол. ряды.
Теор Критерий сходимости положительного ряда.
Пол. ряд (1) сходится посл-ть его частичных сумм ограничена.
Ряд (1) сх-ся сх-ся посл. Част. Сумм {Sn}. У пол. ряда. Эта посл. Монотонно возр-ет (Sn+1=Sn+an+1,an+10 Sn+1 Sn), а монот.посл. сх-ся она ограничена
7.Теор Признак сравнения в форме нер-ва.
Если сущ ( n0): ( n>n0)[anbn], то из сх-ти ряда bn сх-ть ряда an, а из расх. ряда an расх. р. bn.
Благодаря сл.1.5. можно счит., что нер-во вып-ся для всех номеров нач. с 1го (n)[anbn],
тогда ai bi. Если р. bn сх-ся, то по т.2.1. посл-ть его частич-х сумм огр-на:
biM тогда из (*) aiM, т.е. посл. част-х сумм ряда an огран-на, а это по 2.1. означ. что р. an сх-ся. Если р.an расх. то расх и р. bn т.к. в прот. Случ. По док-му сх-ся бы р.an.
8.Теор Признак сравнения в пред форме.
Если сущ. Lim (an/bn)=k конеч. или бескон., то
Док-во анал-но док-ву соотв. Пр-ку сравнения несоб. Инт-ов
Если сущ. lim (an+1)/an=D, то при D<1 ряд (1) сх-ся при D>1- расх-ся, причём lim an=+
Если lim (an+1)/an<1, то ( q>0):[ lim (an+1)/an<q<1]. По сл-ию о сохр. нер-ва Т-6.5. нач. с нек. номера n будет (an+1)/an<q. Благод. 1.5. мож. Счит., что (n)[ (an+1)/an < q],знач.(n)[an+1<anq]a2<a1q,a3<a2q<(a1q)q=a1q2a3<a1q2…an<a1qn-1. Т.к. геом. р. a1qn-1 при 0<1 сх-ся, то по пр-ку срав. Сх-ся ряд an. Пусть lim (an+1)/an>1, тогда (q):[ lim (an+1)/an>q>1]. При дост. больших номрах n будет (an+1)/an>qan+1>anq, мож. счит., что это верно при всех ном-х n, отсюда ан-но предыдущему получаем an>a1qn-1; но lim a1qn-1=+ lim an=+, ряд расх-ся.
10.Теор Радикальный признак Коши.
Если lim =c, то при с<1 ряд сх-ся, при c>1- расх-ся, причём lim an=+
Самост. Ан-но теореме 2.4. Исп-ть ><qan><qn
11.Теор Инт-й признак Коши.
Если члены ряда an являются знач-ми некот. неотр. убывающей ф-ии f(x), непрерывной на [1,+[: a1=f(1),a2=f(2),…,an=f(n),…, то ряд сх. Или расх. одноврем. с несоб. инт-ом (1 to +)f(x)dx.
Сумма an выраж. Площадь ступ. фигуры с беск. Основанием [0, +[, а (1 to +)f(x)dx – пл-дь криволю трапеции с бескон основанием [1, +[ под графиком y=f(x). Утв-ся, что обе эти площади конеч. или бескон. одновременно.
Согл. критерию сх-ти несоб. инт-ла от неотр. ф-ии инт-л сх-ся Ф(х)= (1 to x)f(t)dt ограничена на [1, +[, а согл. кр-ю сх-ти +го ряда, ряд an сх-ся посл-ть частич. Сумм {Sn} огр-на. Ввиду убывания f k<x<k+1f(k)f(x)f(x+1)akf(x)a k+1 (k to k+1)akdx(k to k+1)f(x)dx(k to k+1)a k+1dxak(k to k+1)f(x)dxa k+1 (k=1 to n)ak(k=1 to n) (k to k+1)f(x)dx(k=1 to n)a k+1 Sn(1 to n+1)f(x)dxSn+1-a1SnФ(n+1)Sn+1-a1.
Если (1 to +) сх-ся, то {Ф(n+1)} ограничена, тогда из нер-ва Sn+1 Ф(n+1)+a1 что { Sn+1}
Ограничена и потому an сх-ся. Если же (1 to +) расх-ся, то {Ф(n+1)} неограничена, а из нер-ва SnФ(n+1) {Sn} неограничена и потому ряд расх-ся
12.Пример
(1/n ) – наз-ся общим гармоническим рядом (Дирихле), сх-ся при >1 и расх. при 1.
(1 to +)dx/x - сх-ся при >1 и расх. при 1. При >0 ф-я f(x)=1/x будет убывающей, неотрицательной, непрерывной на [1, +[, причём f(n)= 1/n=an. Поэт. Согл. 2.6. данный ряд сх-ся или расх. одноврем. с интегралом.
При <0 an=1/n +, а пр =0 an=11 an не 0 ряд расх-ся. Т.о. при всех -<1 ряд расх., при >1 сх-ся.
14.Теор Об абсолютной сходимости.
Если сходится |an|, то сх-ся и сам an.
[|an|-сх-ся ](*крит Коши*)(>0)( n ):(m>n>n)[||an||<|an|<].Но |an|||an|(>0)(n):(m>n>n)[|an|]<](*крит. Коши*)an сх-ся.
Если ряд |an| сх-ся, то говорят, что ряд an абс. сх-ся. Если сам ряд an сх-ся, а ряд |an| расх., то говорят, что an сх-ся неабсолютно(условно).
Ряд у которого полож. члены чередуются через один наз-ся знакочередующимся. Для зн.ч. ряда им-ся свой дост. признак. сх-ти.
Если у зн.ч. ряда n-й член стремится к 0 монотонно убывая, то ряд сх-ся, сумма ряда им. знак 1го члена ряда и не превосх. его по модулю.
Пусть у зн.ч. ряда a1+a2-…-an+… lim |an|=0, |a1||a2||a3||an|=cn тогда ряд запис. в виде с1-с2+с3-… (1), если a10 и –с1+с2-с3+… (2) если а10.
а10. Для частич. сумм с чёт. номерами n=2k имеем S2k=c1-c2+c3-c4+…+c2k-1-c2k=
{(c1-c2)+(c3-c4)+…+ c2k-1-c2k (3)
{c1-(c2-c3)-(c4-c5)-…-c2k (4). Т.к. с1с2…, то все скобки 0, поэтому (3) S2k0, посл. {S2k} возрастает: S2k+2 = S2k+ (c2k+1-c2k+2) S2k. (4) S2kc1. Т.о. {S2k} возрастает и ограничена сверху она имеет конеч. lim S, причём 0 S2kс10 Sс1.
Для посл-ти частич. сумм с неч. номерами n=2k имеем S2k-1=c1-c2+…+c2k-1=(c1-c2+…+c2k-1-c2k)+c2k=S2k+c2k
lim(k) S2k-1=(*по усл. lim(k) c2k=0*)= lim(k) S2k=S. Теперь покажем, что вся посл-ть {Sn} имеет предел S. Зададим >0. Тогда lim(k) S2k=S(n1): (n=2kn1)[|Sn-S|<], а lim(k) S2k-1=S(n2):(n=2k-1n2)[|Sn-S|<]. Возьмём n=max{n1,n2}. Тогда (n> n)[|Sn-S|<]. Это означ. Что lim Sn=S. Т.о. данный ряд сх-ся к сумме S, причём 0Sc1(*a10c1=a1*)0sa1. Ан-но в случае a10 док-ся, что ряд сх-ся к S, причём –с1S0(*а10-с1=а1*)а1S0. Т.о. S и а1 имеют один знак, причём |S||a1|
Опр. Знакочер. ряд удовл. условиям признака Лейбница наз-ся рядом лейбницевского типа. Любой остаток ряда лейб. типа есть т.ж. ряд лейб. типа, поэт верно следствие:
Следствие Об остатке ряда лейб. типа.
Любой n-й остаток ряда л.типа имеет знак 1-го члена этого остатка (т.е. члена an+1) и не превосх. его по модулю : |rn||an+1|
1-1/2+1/3-1/4+…=(-1)n-1 - ряд лейб. типа, т.к. |an|=0 монотонно убывая по признаку Лейбница ряд сх-ся. Ряд из модулей - расх-ся (гарм. ряд) значит данный ряд сх-ся неабс.
-1+3/2-1/3+3/4-1/5+3/6-1/7+…+(-1)n+… - зн. чер. ряд, |an|0, но не монотонно. Можно док-ть, что ряд расх-ся (пр-к Лейбница не выполнен).
Найти сумму ряда S=1-1/23+1/33-…+(-1)n-1+… с точностью до =0,01. Это ряд лейб. типа и потому сх-ся. В кач. Приближённого значения S возьмём Sn c таким числом n слагаемых, чтобы остаток ряда |rn|=|an+1+an+2+…|<, согл. следствию 3.5. |rn||an+1|, поэт. достаточно потребовать |an+1|< и тогда |rn|<, |an+1|<<0,01, при n=4 это выполняется, поэт. возьмём S4=1-1/23+1/33-1/43 0,896, S 0,896.
15. Свойства сходящихся рядов.
Обычные св-ва конеч. сумм – сочетательность, перем-ть не перенос. автом-ки на суммы рядов, т.к. при вычисл. суммы ряда добавл. новая операция переход к пределу.
Теор О сочетательности сх-ся ряда.
Сх-ть и сумма сх-ся ряда сохр-ся, если произв. образом объед. члены ряда в группы, сохраняя порядок членов: (а1+а2+…+аn)+(an+1+an+2+an+3)… ( bk сх-ся к т.ж. сумме, что иan). Соч-ть в обр. порядке вообще говоря не имеет места. Напр.: (1-1)+(1-1)+…=0+0+… сх-ся: S=0, а после опускания скобок расх-ся (S1=1,S2=0,S3=1,S4=0; {Sn} не имеет предела).
16.Теор Дирихле о перестановочности абс. сх-ся ряда.
У абс. сх-ся ряда сх-ть и сумма сохр-ся при любой перест. членов.
Без док-ва
Теор Римана о неперестановочности неабс. сх-ся ряда.
В неабс. сх-ся ряде всегда можно так перест. члены, что ряд будет сх-ся к любой заранее ук-ой сумме и даже расх.
Можно док-ть, что 1-1/2+1/3-1/4+…=ln 2, а после перестановки 1-1/2-1/4+1/3-1/6-1/8+1/5-1/10-1/12+1/7-…= 2ln 2. Т.о. неабс. сх-ть осущ-ся искл. благодаря взаим. Погашению пол-х и отр-х членов и именно потому зависит от порядка расположения этих членов. А когда абс. сх-ть зависит только от быстроты убывания членов, а от их порядка не зависит.
6. Поняття функціонального ряду та його області збіжності.
17. Функциональные ряды. Равном. сх-ть.
Функциональный ряд u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…= un(x) (1), где un(x) – ф-ии с некот. общей областью определения Х, при каждом конкретном хХ предст. собой числовой ряд, кот-й может сходиться или расх-ся.
Множество всех х при которых функ. ряд (1) сх-ся (т.е. получаются сх-ся числ. ряды) наз-ся областью сходимости функ. ряда.
1/х+1/х2+…+1/хn+…=1/хn (2). Возьмём 1/|х|n (3), к этому полож. ряду можно применить радик. признак Коши с(х)=lim =1/|x| ; при 1/|x|<1|x|>1 ряд (3) сх-ся ряд (2) сх-ся (абс.). Пи 1/|x|>1|x|<1 ряд (3) расх-ся, причём lim 1/|x|n=+ lim 1/|x|n0 ряд (2) расх-ся. При |x|=1: lim 1/|x|n=1 lim 1/xn0 ряд(2) расх-ся. Т.о. при |x|<1 ряд (2) сх-ся, при всех ост. х – расх-ся. Область сх-ти ]-,-1[]1,+[. Сх-ть ряда (1) при конкр. х, означает что числ. посл-ть Sn(x)=u1(x)+…+un(x) имеет конечный предел S. Для различ. х этот предел S разный, т.е. явл-ся функцией от х: S=S(x). Эта функция наз-ся суммой функц. ряда. При конкретных х lim Sn(x)= S(x) означ. что (>0)( n):(n> n)[|Sn(x)-S(x)|<] или учитывая равенство S(x)=Sn(x)+rn(x), где rn(x) – сумма n-го остатка ряда, (>0)( n):(n> n)[|Sn(x)-S(x)|= |rn(x)|<]. Если >0 задано, то для обеспечения нужного равенства |rn(x)|<] при n> n x требуется свой номер n (т.е.n зависит не только от но и от х). Но может оказаться, что n годный сразу для всех х из ЕR.
Если по любому заданному >0 можно указать n, т.ч. при всех n> n сразу для всех хЕ выполняется неравенство |Sn(x)-S(x)|<: (>0)( n):(n> n)(хЕ)[|Sn(x)-S(x)|= |rn(x)|<].
Геометрически: в случае сх-ти при n> n все графики у=Sn(x) целиком попадут в заданную полосу между графиками. В случае наравн. сх-ти какой бы n ни взять при n> n не удаётся заключить весь график у=Sn(x) в заданную полосу: всегда найдётся точка х Е т.ч. точка с координатами (х, Sn(x)) остаётся вне полосы.
Теор об остатке равном. сх-ся ряда.
Функ. ряд (1) сходящийся на множестве Е (т.е. сх-ся поточно) равном. сх-ся на Е lim |rn(x)| =0. Ряд (1) сх-ся равномерно. Зададим >0, по Опр. ( n0):(n> n0)(хЕ)[|rn(x)|<]. Это означает, что 1 является верхней границей мн-ва {|rn(x)|: xE}, а т.к. sup – наим. Из верхних границ, то sup{|rn(x)|: xE}1, т.е. |rn(x)|1 |rn(x)|=0. lim |rn(x)|=0. Зададим >0. По условию ( n):(n> n)[|rn(x)|<(хЕ)[|rn(x)|<]] (>0)( n):(n> n)(хЕ)[|rn(x)|<](опр 5.2.) ряд(1)сх-ся равномерно на Е.
х+(х2-х)+(х3-х2)+…+(хn-xn-1)+… E=[0,1]
u1(x)=x, un(x)=xn-xn-1 при n2. Sn(x)=x+x2-x+x3-x2+…+xn-xn-1=xn; S(x)=lim Sn(x)= lim xn={0 при х[0,1[ и 1 при x=1.
На каждом отрезке 0, при >1 сх-ть равномерная:(х[0, ])[|rn(x)|=|Sn(x)-S(x)|=|xn-0|=xn] 0|rn(x)| n, а т.к. lim n=0, то и lim |rn(x)|=0. На всём отрезке Е=[0,1] сх-ть неравомерная. В самом деле :(хЕ) [|rn(x)|=|Sn(x)-S(x)|={xn, x [0,1[ и 0,x=1], поэтому |rn(x)|=1.
(хЕ) [|rn(x)|1 1-верх. граница множества {|rn(x)|:xE}, 1- - не м.б. верхней границей: |rn(x)|= хn=1, значит при хЕ достаточно близких к 1 будет ||rn(x)|-1|<|rn(x)|>1-1- наим. из всех верхних границ: 1=|rn(x)| . Значит lim |rn(x)| =lim 1=10
Теор Критерий Коши равномерной сходимости функ. ряда.
Функ. ряд (1) сх-ся на мн.Е равномерно (>0)(n):(m>n>n)(xE)[| uk(x)|<]
Пусть ряд (1) сх-ся равномерно. Зададим >0 и положим 1=/2, для него по Опр 5.2. ( n): (n> n)(хЕ)[|Sn(x)-S(x)|<1]. (m>n>n)(хЕ)[|Sn(x)-S(x)|<1]. Поэтому |uk(x)|= |Sm(x)-Sn(x)|= |(Sm(x)-S(x))+(S(x)-Sn(x))| |Sm(x)-S(x)|+|S(x)-Sn(x)|< 1+1=.
Пусть выполнен критерий Коши. При конкр. хЕ это означает выполнение кр. Коши для числового ряда, значит ч.р. un(x), хЕ сх-ся к некот. числу S(x). Это означает, что ф.р. (1) поточеч. сх-ся к некот. сумме S(x). Осталось пок-ть, что это сх-ть равномерная. Зададим >0 и возьмём 0<1<, для него запишем кр. Коши: ( n0): ( m>n>n0) (хЕ)[ |uk(x)|= |Sm(x)-Sn(x)|<1]. Зафиксируем здесь n0 и х. И рассмотрим (при этом всегда ост-ся m>n и потому |Sm(x)-Sn(x)|<1 сохр. во всём процессе стремления m к ). В пределе получим ( n0): ( m>n>n0) (хЕ)[ |Sm(x)-Sn(x)|1], но |Sm(x)-Sn(x)|=| Sm(x) -
lim(n+)Sn(x)|=(*Sn(x)=const*)= |S(x)-Sn(x)|1 |Sn(x)-S(x)|<. Подчёркнутое означает, по Опр.5.2., что ряд (1) сх-ся равномерно на множестве Е. Из кр. Коши получается след. дост. признак равномерной сх-ти.
7.Мажоранта. Ознака Вейрштрасса.
7. Теор Признак Вейерштрасса о равномерной сх-ти.
Если существует полож, числовой, сх-ся ряд an (4), т.ч. (n)(хЕ) [|uk(x)|an] (мажорирующий ряд, мажоранта), то ряд (1) сх-ся на множестве Е абсолютно и равномерно.
|uk(x)|an при всех хЕ следует, согл. признаку сравнения сх-ся |un(x)| un(x) сх-ся абсолютно на множестве Е. Для ряда (4) выполнен крит. Коши: (>0)(n):(m>n>n)
[| |<], но
Опр. Функ. ряд для которого сущ. мажоранта, наз-ся мажорирующим. По док-му ряд, мажорируемый на Е сх-ся абс-но и равномерно на мн-ве Е.
(n)(x]-,+[)[||1/n2]
- сх-ся и потому мажорантой на ]-,+[. След-но данный ряд сх-ся абс. и равномерно на ]-,+[.
20. Свойства равномерно сх-ся рядов.
Известно, что конеч. сумма непрер-х функций, есть непр-я функ-я. Такую сумму можно почленно инт-ть, конеч. сумму диф-ть.
Для суммы функ. ряда это не так, например члены ряда x+(x2-x)+…+(xn-xn-1)+… непрер-ны на Е=[0,1], а сумма ряда S(x)={0, x[0,1[ и 1,x=1 разрывна в т. х=1.
Теор о непрерывности суммы ряда.
Если все члены un(x) функ. ряда u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…(1) непрерывны на Е и ряд сх-ся равном. на Е, то S(x) непрер-на на Е.Надо пок-ть, что(х0Е) [S(x)c{x0}(>0)(>0): (xE,|x-x0|<)[S(x)-S(x0)<]]. Зададим >0 и положим 1=/3. Ввиду равном. сх-ти ряда для 1: ( n0):( n>n0) (хЕ)[|Sn(x)-S(x)|<1] (2). В частности |Sn(x0)-S(x)|<1 (3). Зафиксируем один номер n>n0 и рассм. функ-ю Sn(x)= u1(x)+…+un(x). Как конеч. сумма непр-х ф-ий она непр-на на Е. В частности Sn(x)c{x0}. Значит (>0):(xE,|x-x0|<)[Sn(x)-Sn(x0)<1] (4). Теперь из 2,4,3 получим |S(x)-S(x0)|=| (S(x)-Sn(x))+ (Sn(x)-Sn(x0))+( Sn(x0)-S(x0))| |Sn(x)-S(x)|+|Sn(x)-Sn(x0)|+|Sn(x0)-S(x0)|1+1+1=
21. Теор об интегрировании ряда.
Если все члены un(x) функ. ряда (1) непрер-ы на [a,b] и ряд сх-ся на [a,b] равномерно, то его можно почленно инт-ть по любому отрезку [x1,x2][a,b]. S(x)dx=un(x)dx= un(x)dx (ряд полученный почленным инт-ем ряда (1) сх-ся и его сумма = интегралу от суммы ряда (1) или интеграл от суммы ряда = сумме ряда).
Т.к. все un(x)[a,b], то существует un(x)dx=аn (числа); ввиду равном. сх-ти ряда по Теор.6.1. сумма ряда S(x)[a,b] сущ-ет S(x)dx= (число) и ост. док-ть, что числ. ряд =un(x)dx сх-ся к , т.е. lim ak=. Зададим >0 и положим 1=/(х2-х1)>0. Ввиду равном. сх-ти ряда (1) (n0):( n>n0) (х[a,b])[|Sn(x)-S(x)|<1] (х[x1,x2])[|Sn(x)-S(x)|<1]. |ak-|= |uk(x)dx - S(x)dx| = (*для конеч. суммы * =| ( uk(x) – S(x))dx| =|(Sn(x)-S(x))dx||Sn(x)-S(x)|dx< 1dx= 1(x2-x1)=. Т.о. (>0)(n0):( n>n0)[ |ak-|<] lim ak=
22. Теор о дифференцируемости ряда.
Если все члены un(x) ф.р. (1) сходящиеся на [a,b] (необяз. равном.) непрер. диф-мы на [a,b] (un(x)c[a,b]), а ряд из производных: u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…(5) равномерно сх-ся на [a,b], то ряд (1) можно почленно дифф-ть в любой т.х[a,b]: S(x)=( un(x))= un(x) (производная суммы ряда равна сумме производных). По условию ряд (5) равном. сх-ся на [a,b] к некот. сумме (х): un(x)= (х) и по Теор.6.2. (*благодаря непрерывности un(x) на [a,b]*) ряд (5) можно почленно инт-ть по отрезку [a,x] где х любая точка из [a,b]: (t)dt= un(t)dt, здесь
un(t)dt = un(t)= un(х)- un(а). Поэт. (t)dt= (un(х)- un(а)). Поскольку un(х) сх-ся к S(x) по условию, в частности un(а) сх-ся к S(a), по Теор Олин-х опер-ях с рядами 1.10. (un(х)- un(а))= un(х) -un(а) = S(x)-S(a), а след-но (t)dt= S(x)-S(a). По Теор 6.1. сумма (х) ряда (5) с непрерывными членами равномерно сх-ся на [a,b] непрер-на на [a,b]. Поэт. можно применить Т. о диф-ии инт-ла с перем. верх. пределом: ((t)dt)х=(х), значит (х)= S(x) - 0 S(x)= (х)= un(х)
Теор об ограниченном множителе.
Если все члены ряда (1) равном. сх-ся на Е умножить на ф-ию ограниченную на Е, то равном. сх-ть ряда (1) на Е сохр-ся.Пусть(хЕ)[|f(x)}M]. Рассм. ряд f(x)u1(x)+f(x)u2(x)+.. …+f(x)un(x)+…(6). Для равном. сх-ся ряда (1) вып-ся кр. Коши: (>0)(n):(m>n>n)(xE)[| uk(x)|<].
Тогда(xE)[ |f(x)uk(x)|=|f(x)||uk(x)|M|uk(x)|<M(/M)=]. Поэт. для ряда (6) ок-ся выполненым кр-ий Коши: (>0)(n):(m>n>n)(xE)[| f(x)uk(x)|<] и потому он сх-ся равном. на Е.
23. Радиус сход-ти, интервал сход-ти, область сход-ти.
C0+C1(x-a)+C2(x-a)2+...+Cn(x-a)n+...==Cn(x-a)n (1), где Сn и а - действительные числа, наз-ся степенным рядом с центром х=а. Заменой =х-а такой ряд приводится к виду (вместо пишем х):
С0+С1х+С2х2+...+Сnхn+...=Сnхn (2) поэтому можно ограничится изучением ряда (2). Ряд (2) всегда сходится к точке х=0: S(0)=C.
24. Т-ма Абеля
Если степенной ряд (2) сходится в точке х00, то он абсолютно сходится при х<х0, т.е. на ]-x0,x0[; если он расходится в точке х0 0, то расходится при х<x0, т.е. на ]-,-x0[ и ]x0,+[.
Если сходится , то lim и сходящаяся последовательность {} ограничена: (n)[ M](n)[|Cn| M/|x0n|. Если |x|<|x0|, то =Cn|x|n M/|x0n||x|n= M(|x|/|x0|)n= Mqn, где q=|x|/|x0|<1. Из сходимости геометрического ряда Mqn (q<1) по признаку сравнения следует сход-ть Сnxn, т.е. абсолютная сход-ть ряда (2) при рассматриваемом х<x0. Eсли ряд (2) расходится в точке х00, то при х>x0 он не может сходится, т.к. по доказанному он бы сходился в точке х0 при х>x0 ряд (2) расходится
Т-ма о радиусе сходимости
Для каждого степенного ряда (2)сущ-ет неотрицательное число R такое, что на ]-R,R[ ряд абсолютно сходится, а вне отрезка [-R,R] (т.е. на ]-,-R[ u ]R,+[) расходится.
Если (2) ходится в единственной точке х=0, то полагают R=0 (в точке х=0 ряд (2) сходится абсолютно:Сn0n=C0). Пусть сущ-ют 0, в которых ряд сходится, назовем их точками сход-ти. Мн-во модулей точек сход-ти обозначим Х={}, и пусть R=Sup X. Т.к. имеются точки 0, т.е. >0, то Sup X>0, т.е. R>0. Пусть х<R, тогда х меньшее чем Sup X не может быть верхней границей мн-ва Х и потому найдется Х такой, что >x. Из сход-ти (2) в точке по т-ме Абеля следует абсолютная сход-ть ряда в точке х. Таким образом ряд (2) абсолютно сходится на ]-R,R[. В частности если R=+, то на ]-,+[. Пусть R<+, т.е. R-конечное число, тогда если х>R, то х не может быть точкой сход-ти, т.к. для всех точек сход-ти имеем Sup X=R при х>R, т.е. при х]-,-R[ u ]R,+[ ряд расходится.
Число R наз-ся радиусом сход-ти степенного ряда (2), ]-R,R[ -интервалом сходимости.
Замечание1.
Для степенного ряда (1) интервалом сход-ти явл-ся ]a-R,a+R[.
Если для Сnn ]-R,R[ -R< <R, т.е. -R<x-a<R a-R< x <a+R
Замечание2.
На концах интервала х=R ряд (2) может сходится (абсолютно или не абсолютно) и расходится, поэтому область сход-ти степенного ряда с точностью до граничных точек совпадает с интервалом сходимоси чтобы найти область сход-ти степенного ряда достаточно найти интервал сход-ти, а сход-ть в граничных точках х=R исследовать непосредственной подстановкой этих точек в ряд (2). Что же касается интервала сход-ти ряда (2), то он совпадает с интервалом сход-ти ряда из модулейCnxn, т.к. внутри интервала сходимости ряд (2) сходится абсолютно, т.е. сходится ряд Cnxn, а вне интервала сход-ти ряд (2) расходится и тем более расходится ряд из модулей. Таким образом дело сводится к нахождению интервала сход-ти положительного ряда из модулей, а к этому положительному ряду можно применять признаки сход-ти положительных рядов.
Пример:
Решение:
1) если <1, то ряд сходится.
2) если >1, то ряд расходится.
расходится; или - по признаку Лейбница сходится условно (не абсолютно).
25. Свойства степенных рядов.
Т-ма о равномерной сход-ти степенного ряда.
anxn = a0+a1x+a2x2+...+anxn+... (1). Степенной ряд (1) сходится равномерно в каждом замкнутом промежутке, расположенным внутри области сход-ти степеного ряда (1).
Считаем, что R>0. Если промежуток (-R*,R*) замкнутый и целиком лежащий в интервале ]-R,R[, то обязательно найдется - и , расположенные соответственно в ]-R,R*[ и ]R*,R[
. Eсли an- cходится, тоanM . Обозначим =q < 1. Мы получим ряд из членов убывающей геометрической прогрессии. Воспользуемся признаком Вейерштрасса M· сходится ряд равномерно на [-R*,+R*]
Пример: n!xn..Этот ряд расходится всюду, кроме х=0.
26Одна из формул определения радиуса сход-ти R степенного ряда (основанная на признаке Даламбера):
- сходится. (сходится ) х<R; x>R - расходится
Замечание: В общем случае этот предел может не существовать.
8.2. Т-ма
Внутри интервала сход-ти сумма ряда (1) - непрерывная функция.
Т.к. члены степенного ряда (1) непрерывные функции, то согласно т-ме о непрерывности суммы ряда, ряд (1) явл-ся непрерывной функцией
8.3. Т-ма об интегрируемости степенного ряда:
Пусть [x0,x1](-R,R), тогда
1)(2)
2) Радиус сход-ти ряда (2), полученного после интегрирования равен радиусу сход-ти исходного ряда (1).
Пусть (2*). Найдем радиус сход-ти ряда (2*).
8.4. Т-ма о дифференцируемости степенного ряда:
2)Радиус сход-ти степенного ряда, полученного после дифференцирования, равен радиусу исходного ряда.
1) Согласно предыдущей т-ме ряд сходится равномерно, члены дифференцируемы и по т-ме о дифференцируемости ряда ряд (1) можно дифференцировать почленно.
Найдем радиус сход-ти этого ряда
27. Формула Тейлора. Т-ма
Пусть функция f(x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)- го порядка включительно в некоторой окрестности точки х=а, тогда имеет место формула Тейлора:
. Rn(x) - остаточный член, который может быть представлен в виде: (2) - форма Лагранжа, где -расположена между точками х и а. Другой вид:
Построим вспомогательную функцию (3)
тогда (а)=f(x)(x)=f(x)+f `(x)(x-x)+..=f(x) (a)=f(x) и (x)=f(x). Тогда по т-ме Ролля найдется точка в которой ’()=0. получим (2)
Замечания: 1) сущ-ют и другие представления Rn;
28. Ряды Тейлора и Макларена.
; f(x)=Sn(x)+Rn(x) (6); f(x)-Sn(x)=Rn(x) (6). Потребуем, чтобы функция f(x) имела бесконечное число производных f(n)(x) в точке x=а и её окрестности. Получим: lim (f(x)-Sn(x))=lim Rn(x)=0 (7) . Если lim Rn(x) сущ-ет и равен 0, то f(x)=lim Sn(x) (8) (9) - ряд Тейлора. При а=0 получаем ряд Макларена:
.
Замечание Функция представлена в форме ряда Тейлора в том случае если Rn(x)0.
Пример неразложимости функции в ряд Тейлора.
. Т.к. =0, то функция f(x) непрерывная
Обозначим . По правилу Лопиталя
Аналогичным образом устанавливается, что функция f(x) имеет бесконечно большое число производных и все они непрерывны на всей оси, включая точку х=0 и в точке х=0 обращаются в нуль.
n=0,1,2... Sn(x)=0. f(x)=Sn(x)+Rn(x)Rn(x) Rn(x)- не стремится к нулю, то ряда Тейлора для этой функции не сущ-ет.
10.1. Т-ма о представимости степенных рядов рядом Тейлора.
Если функция f(x) представима степенным рядом f(x)=an(x-a)n,
то этот степенной ряд явл-ся рядом Тейлора : f(x)= (x-a)n, т.е. an= (11). И такое разложение единственно и коэфициенты нах-ся по формуле (11).
f `(x)= nan(x-a)n-1, f ``(x)= (n-1)nan(x-a)n-2,..., f(i)(x)=(n-i+1)(n-i+2)...nan(x-a)n-i ,
f(n)(a)=n!an (11). Докажем единственность: предположим противное и пройдя всю цепочку рассуждений получим все коэфициенты, которые определяются по формуле (11).
29. Т-ма (достаточный признак сход-ти степенного ряда к функции f или представимости в виде ряда Тейлора).
Пусть f(n)(x)C=const n=0,1,1... в некоторой замкнутой окрестности точки аХ, тогда функция f представима степенным рядом Тейлора.
Имеем Rn(x) (x-a)n+10 при n. Применяя признак Даламбера получаем, что ряд
(х-а)n+1 сходится
30.Разложение основных элементарных функций в степенные ряды.
5.f(x)=cosx, f(0)=1,
(cosx)`=-sinx(0)=0,
(cosx)``(0)=(-cosx)(0)= -1
(cosx)```(0)=sinx(0)=0
(cosx)````(0)=cosx(0)=1,...
Т.к. cosx-четная функция, то сохраняются только четные степени. . Т.к. sin и cos по модулю 1, то
Остаточный член оценивается точно так же как cos. Указанные ряды можно использовать лишь в окрестности точки х=0, при удалении от х=0 апроксимация будет резко ухудшаться.
7.f(x)=ln(1+x)
ln(1+x)=
ln(1+x)
8.f(x)=arctgx
9. Биномиальное разложение.
f(x)=(1+x), -любое действительное число.
f(0)=1; f `(0)=(1+x)-1=;
f ``(0)=(-1)(1+x)-2=(-1);
f ```(0)=(-1)(-2)(1+x)-3=
=(-1)(-2) ;...;
f(n)(0)=(-n+1)(1+x)-n=(-n+1).
Определяем остаточный член: в точке х=0 S(x)=1 и f(x)=1
C=1.
Некоторые применения степенных рядов в приближенных вычислениях.
0.001.
Применения для вычисления интегралов.
Следующий пример:
интегралвероятностей=
Примененение степенных рядов для решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
y``=xy, y(0)=1, y`(0)=0
y(x)=anxn - предполагаемое решение; y`(x)= nanxn-1,y``(x)=(n-1)nanxn-2
а0=1 и а1=0 по условию. Приравниваем коэфициенты при равных степенях:
при x0 1*2a2=0
при х1 2*3а3=а0=1
при х2 3*4а4=а1=0
при х3 4*5а5=а2=0 ....
при хn-1 n(n+1)an+1=an-2
при xn (n+1)(n+2)an+2=an-1
13. Ряды Фурье.
Далее мы будем рассматривать глобальное разложение, то есть на конечном отрезке [a,b].
Определение. Понятие ортогонольных и нормированных систем ф-ий:
(х), (х) интегрируемые при х[a,b], тогда (*) - cкалярное произведение.
для (*) вып-ся аксиомы ск-го произведения:
А.1 (,)=(,)
А.2 (,)=(,)=(,), =const
А.3 (,1+2)=(,1)+(,2)
Определение: Функции и на [a,b] ортогональны если (,)=0, т.е. (х)(х)dx=0.
Определение. Понятие нормированности: = - норма (длина вектора).
Докажем, что норма обладает всеми св-вами длины:
=[2(x)dx]0.5
A.1 0, =0 0
A.2 =, R1
A.3 1+2=1+2
Определения: Если для системы функций 1,2,...,n введено понятие нормы, то такая система наз-ся нормированной. Если норма каждого элемента пространства равна 1, то наз-ся нормированной на 1. Если система функций попарно ортогональна и нормированная на 1, то такая система наз-ся ортонормированной: ОН - ортонормированная система, если
; ОН
Пример: при x[-,]
{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,
cosnx,sinnx}.
. Аналогично sin(nx)sin(mx)dx=0;sin(nx)cos(mx)dx=0. Найдем норму: cosnx=
. Аналогично sin(nx)=.Получаем ОН систему:
Ряд Фурье. Коэфициенты Фурье по ОН системе.
{1(x),2(x),...,n(x)} - ОН система, т.е. . f(x)=fnn(x) - ряд Фурье, где fn - коэфициенты. Умножим обе части этого уравнения на m(x) и проинтегрируем:
f(x)m(x)dx==m(x) fnn(x)dx=fnm(x)n(x)dx=0 - когда mn. Когда m=n:
=fn(n,n)=fn=f(x)n(x)dx f(x) (f,n)n(x)
Ряд Фурье для тригонометрических функций.
, f(x) (ancos(nx)+bnsin(nx)) (4)
где an=f(x)cos(nx)dx, bn=f(x)sin(nx)dx, n=0,1,2,...
Определение: Функция наз-ся кусочно-непрерывной на данном отрезке, если этот отрезок можно разбить на конечное число интегралов, в каждом из которых функция непрерывна.
Т-ма Дирихле: Пусть f(x)
1)определена для всех х[-,]
2)кусочно-непрерывная на [-,]
3)кусочно-монотонная на [-,]
4)ограничена на [-,], тогда она разложима в тригонометрический ряд Фурье (4). Если точка х[-,] и в этой точки f(x) непрерывна, то сумма ряда
S(x)=(ancos(nx)+bnsin(nx))=f(x). Если точка х - точка разрыва, скачок, то S(x)=1/2 [f(x-0)+f(x+0)]
S(-)=S()=1/2 [f(+0)+f(-0)]
Замечания: 1)поведение функции f за пределами [-,] может в корне отличаться от значения S.
2)если мы хотим разложить f на всей действительной оси, то соглас- но (4) мы должны продол- жить пе- риодическим образом с периодом 2.
Пример: f(x)=x, x[-,]
a0=xdx=0
Разложение функций в тригонометрические ряды на произвольном промежутке.
Часто возникает задача разложения функций в тригонометрический ряд на произвольном промежутке
y[a,b] (a,b < ,a < b)
x=y+; [-,] переходит в [a,b].
,m, f(y+)=f*(y); dx=dy, an=f*(y)cosn(y+)dy
bn=f*(y)sinn(y+)dy, f*(y)=+(ancosn(y+)+bnsinn(y+))
Разложив cos и sin по формулам:
f*(y)=+(a*ncosny+b*nsinny), где нужно вычислить a*n , b*n и a*0 .
Примеры: 1) a=0, b=L >0
x=
x=
Разложение четных функций в тригонометрический ряд.
f(x)=f(-x) , xR1
an=f(x)cosnxdx=f(x)cosnxdx
bn=0
f(x)= +ancosnx - разложение по косинусам.
Разложение нечетных функций в тригонометрический ряд.
f(x)= - f(-x); a0=0, an=0
f(x)= bnsinnx
bn=f(x)sinnxdx
- разложение по синусам.
Примеры: 1) f(x)=x
a0=1dx=2; an=1cosnxdx=0
f(x)= =1
2) Функция
bn=1sinnxdx=
Разложение функций в ряд по синусам в несимметричном промежутке (0, L).
f(x) , x[0, L]. Доопределим функцию на промежутке [-L,0] (нечетным образом)
f(x)= bnsin, где
bn=f(x)sindx
f(x)= +ancos, где
an=f(x)cosdx
Пример: по синусам
f(x)=x, x[0,1], L=1