Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Определители второго и третьего порядка, их вычисление и свойства.
1. Определители второго порядка.
Определение: Системой линейных уравнений относительно неизвестных называется конечная совокупность уравнений вида:
Где –действительные числа, – коэффициент при неизвестной ; – свободный член в - м уравнении.
Определение: Решением системы уравнений называется упорядоченная совокупность чисел , которая является решением каждого уравнения системы.
Любую линейную систему уравнений, в которой число строк совпадает с числом столбцов, можно решить, используя понятие определителя.
Определение: Определителем (детерминантом) II порядка называется выражение вида
.
Числа называются элементами определителя. Они расположены в двух строках и двух столбцах, называемых рядами определителя.
Из определения определителя вытекает правило «развертывания » определителя II – го порядка, а именно: определитель II – го порядка равен разности произведений его элементов первой (главной) и второй диагонали.
Пример: Вычислить определитель:
2. Определители третьего порядка.
Определение: Выражение вида называется определителем III-го порядка. Элементы определителя расположены в трех строках и трех столбцах (ряды определителя). Вычислять определитель III-го порядка можно несколькими способами:
1) правило Саррюса ( правило треугольника):
.
Из этой формулы следует правило вычисления определителя третьего порядка, которое называется правилом «треугольника». Вычислять определитель можно по схеме:
+ –
Пример: Вычислить определитель:
2) правило приписывания строк:
3) правило приписывания столбцов.
Определение: Под минором элемента определителя III-го порядка понимается определитель младшего (II-го) порядка, получающийся из данного определителя, в результате вычеркивания строки и столбца, содержащих данный элемент.
Минор обозначают , где - номер строки, - номер столбца.
Пример: Для предыдущего определителя найдем миноры
; .
В дальнейшем будем говорить, что элемент определителя занимает четное место, если сумма номеров его строки и столбца есть число четное и нечетное, если такая сумма есть число нечетное.
Знаки элементов определителя, приписываемые минорам, можно задать таблично:
|
+ |
– |
+ |
|
– |
+ |
– |
|
+ |
– |
+ |
Определение: Алгебраическим дополнением (минором со знаком) элемента определителя III-го порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком «+», если элемент занимает четное место и со знаком «–» – если его место нечетное.
Алгебраические дополнения вычисляются по формуле:
.
Пример: .
Теорема разложения определителя III-го порядка: Определитель III-го порядка равен сумме парных произведений элементов какого – либо ряда его на их соответствующие алгебраические дополнения ( под рядом понимают строку или столбец).
Т. об., для определителя III-го порядка справедливы 6 разложений :
а) по трем строкам: б) по трем строкам:
.
Пример: вычислить определитель, разложив его по элементам того ряда, который содержит наибольшее число нулей
.
3. Основные свойства определителя III-го порядка .
Ниже перечисленные свойства справедливы для определителя любого порядка, поэтому далее в формулировках мы не будем указывать порядок определителя.
1) определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами;
2) при перестановке двух параллельных рядов определителя модуль определителя сохраняет прежнее значение, а знак меняется на противоположный;
3) определитель, у которого два параллельных ряда одинаковы, равен нулю;
4) общий множитель какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя;
5) если все элементы какого-либо ряда равны нулю, то определитель равен нулю.
Решение систем линейных уравнений при помощи определителей.
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений вида .
Данную систему можно решить, используя понятие определителя. Числа – коэффициенты системы, – свободные члены.
Такую систему, в которой свободные члены находятся в правых частях, будем называть стандартной.
Под решением системы понимается всякая пара чисел , обращающая эту систему в тождество (верное равенство).
Для нахождения решений системы применим метод исключения неизвестных. Умножим первое уравнение системы на , а второе – на . Получим:
Сложим уравнения системы:
.
Аналогично найдем . Для этого умножим первое уравнение системы на , а второе уравнение – на и сложим. Получим:
.
Обратим внимание на знаменатели двух этих дробей. Они представляют собой разложение определителя второго порядка. Введем обозначения . Введем также понятие дополнительных определителей системы: ; .
Определители и получаются из определителя системы путем замены коэффициентов при указанном неизвестном на соответствующие свободные члены.
Используя введенные обозначения, формулы для решения системы примут вид:
Данные формулы называются формулами Крамера.
Существуют три случая:
1) существует единственное решение, которое может быть найдено с помощью формул Крамера.
2) и (или) система несовместна (не имеет решений).
3) система имеет бесконечное множество решений.
Пример: Решить систему методом Крамера:
Решение.
– система имеет единственное решение.
;
Тогда получаем, что ; .
Аналогичным способом можно решить систему трех уравнений с тремя неизвестными. Запишем такую систему в общем виде:
.
Записываем определители:
– главный определитель системы;
; ; – дополнительные определители системы.
Если , то система имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера: .
Пример: Решить систему методом Крамера
Решение.
.
Матрицы. Действия над матрицами.
1. Основные понятия и определения
Определение: Матрицей называется прямоугольная таблица чисел
.
Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Если в матрице строк и столбцов, то говорят, что порядок данной матрицы . В нашем примере число строк матрицы равно числу столбцов, такая матрица называется квадратной.
Матрицы будем обозначать большими буквами латинского алфавита, а ее элементы малыми буквами.
Если число строк в матрице , то такая матрица называется матрицей- строкой. Например: .
Если число столбцов в матрице , то такая матрица называется матрицей- столбцом. Например: .
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.
Если в матрице порядка все недиагональные элементы равны нулю, то такая матрица называется диагональной.
Элементы называются элементами главной диагонали матрицы.
Матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей. Обозначают единичную матрицу буквой .
Две матрицы и называются равными, если число их строк и столбцов равны, и если равны элементы, стоящие на соответствующих местах в этих матрицах: .
2. Действия над матрицами.
1) Сложение матриц и умножение матриц на число.
Складывать можно только матрицы одинакового порядка ( с одинаковым числом строк и столбцов).
Суммой матриц и называется матрица , элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц и .
, .
Пример: .
Чтобы умножить матрицу на число , нужно каждый элемент матрицы умножить на .
Пример: , . .
Матрица называется противоположной матрице и обозначается .
Свойства умножения матрицы на число и сложения матриц
(– матрицы, – числа)
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4. 8.
2) Умножение матриц.
Произведение матриц на определено только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В результате умножения получается матрица , у которой столько же строк, сколько их в матрице , и столько же столбцов сколько их в матрице .
Элемент матрицы , стоящий в -й строке и -м столбце равен сумме произведений элементов -й строки матрицы на соответственные элементы -го столбца матрицы . Поэтому правило умножения матриц часто называют правило умножения «строки на столбец».
; .
Обозначим элементы через . Тогда .
Свойства умножения матриц
1.
2.
3.
4.
5. . Матрицы, для которых выполняется равенство , называются перестановочными.
6. , где – единичная матрица. Т. об., матрица при умножении матриц играет такую же роль, что и число 1 при умножении чисел.
7.
8. произведение матриц может оказаться нулевой матрицей, хотя оба сомножителя не являются нулевыми матрицами.
; ; .
Транспонированная и обратная матрица.
Пусть даны матрицы и ,
которую получают из матрицы , заменяя строки на столбцы, а столбцы на строки, называется транспонированной матрицей по отношению к матрице .
Если размер матрицы , то размер матрицы
Повторное транспонирование приводит к исходной матрице.
Свойства транспонирования
1.
2.
3.
Рассмотрим квадратную матрицу .
Эта матрица называется обратимой, если можно подобрать такую матрицу , что .
Здесь матрица называется обратной квадратной матрице . Для каждой матрицы существует лишь одна обратная матрица. Если для матрицы существует обратная матрица, то ее будем обозначать . Итак, квадратная матрица обратима, если она имеет матрицу , такую что .
Не каждая квадратная матрица имеет обратную. Например, нулевая матрица не имеет обратной матрицы .
Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю и невырожденной в противном случае.
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена.
Пусть дана матрица . Вычислим определитель матрицы
.
Если , то матрица имеет обратную матрицу, которая вычисляется по формуле:
,
Где – алгебраические дополнения определителя .
Свойства, связанные с обратной матрицей
1) ; 2) ; 3) .
Запись и решение системы линейных алгебраических уравнений в матрично- векторной форме.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:
Введем обозначения:
; ; .
Т. к. столбцов у матрицы ровно столько сколько координат у вектор-столбца , то определено произведение
.
Теперь систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде одного равенства .
В случае, когда матрица систему линейных уравнений квадратная, причем обратимая, эту систему можно решить в матричной форме. Для это умножим слева обе части этого равенства на матрицу . Получаем
.
Данный способ особенно удобен для решения системы уравнений , когда матрица остается неизменной, а столбец свободных членов принимает различные числовые значения.
Пример: Решить матричным способом систему уравнений
; ; ..
. .
.
Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
(методом последовательного исключения неизвестных).
Ранее мы рассматривали решение систем линейных алгебраических уравнений при помощи определителей (методом Крамера). Но, если число уравнений в системе больше трех, то пользоваться формулами Крамера затруднительно (большой объем вычислений). Более того, число уравнений в системе может не совпадать с числом неизвестных. Тогда рассмотренные ранее методы решения систем уравнений непригодны. Поэтому рассмотрим наиболее удобный метод нахождения решений систем – метод Гаусса.
В данном методе нам придется делать такие преобразования систем линейных уравнений:
1) умножать какое – либо уравнение системы на один и тот же числовой множитель;
2) вычитать или складывать уравнения системы.
Такие преобразования называются элементарными преобразованиями системы. В результате этих преобразований получают новую систему, которая будет эквивалентна исходной. Может случиться, что после выполнения элементарных преобразований в нашей системе появятся уравнения ,все коэффициенты левой части которого равны нулю.
Если свободный член этого уравнения равен нулю, то уравнение удовлетворяется при любых значениях неизвестных, т. е. является верным и поэтому отбрасывая это уравнение, мы придем к системе уравнений, эквивалентной исходной.
Если же свободный член рассматриваемого уравнения отличен от нуля, то это уравнение является неверным(не имеет решений), а значит вся система решений не имеет.
Системы, в которых в каждом последующем уравнении число неизвестных меньше на единицу называются треугольными.
Приведение матрицы системы к треугольному виду называется прямым ходом метода Гаусса.
Последовательное нахождение переменных называется обратным ходом метода Гаусса.
Метод Гаусса применим к любой системе линейных алгебраических уравнений. Совместная система уравнений будет определенной (иметь единственное решение), если она приводится к треугольному виду и неопределенной (будет иметь бесконечное множество решений), если приводиться к трапецеидальному виду. Это возможно, если число уравнений в системе меньше числа неизвестных, тогда система не может приводиться к треугольному виду, т. к. в процессе преобразований по методу Гаусса число уравнений системы может уменьшаться, но не может увеличиваться, следовательно, она приводиться к трапецеидальному виду. Рассмотрим метод Гаусса на примере.
Пример: Решить систему методом Гаусса.
Ответ: (1;-1;2)
Ранг матрицы. Критерий разрешимости линейной системы уравнений.
Рассмотрим матрицу .
К элементарным преобразованиям матрицы относят следующие преобразования:
1) обмен местами двух ее строк или столбцов;
2) умножение всех элементов строки или столбца на произвольное отличное от нуля число;
3) прибавление ко всем элементам строки или столбца соответствующей строки или столбца, предварительно умноженных на одно и то же число.
С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к специальному виду:
.
Число -единиц. Стоящих на главной диагонали, не зависит от способа приведения к виду и называется рангом матрицы .
Матрицы, получаемые друг из друга элементарными преобразованиями являются эквивалентными. У эквивалентных матриц одинаковые ранги, элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.
Пример: Найти ранг матрицы . Ранг данной матрицы равен двум.
Ранг матрицы можно найти иначе. Матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к следующему виду:
.
Тогда ранг матрицы , а значит и заданной матрицы совпадает с числом ее ненулевых диагональных элементов .
Пример: найти ранг матрицы
.
Число ненулевых строк последней матрицы является ее рангом. Т. е. .
Вернемся к системе уравнений. Выпишем из нее основную и расширенную матрицу:
;
основная расширенная
Теорема Кронекера –Капелли (критерий разрешимости линейной системы):
1) для того чтобы система уравнений была совместной (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу основной матрицы, т. е. .
а) если ранг основной и расширенной матрицы системы равны и совпадают с числом неизвестных, т. е. , то система имеет единственное решение;
б) если ранг основной и расширенной матрицы системы равны и меньше числа неизвестных, т. е. , то система имеет более одного решения.
2) Если ранг основной матрицы меньше ранга расширенной матрицы, то система не имеет решений.
Пример: исследовать систему на совместность и решить ее если она совместна.
Векторная алгебра. n- мерные векторы.
Рассмотрим упорядоченную пару чисел в прямоугольной системе координат на плоскости. Она представляет собой некоторую точку плоскости и радиус-вектор .
Числа и называются координатами точки и одновременно радиус-вектора , где -начало вектора, -конец вектора. Вектора можно обозначать большими и малыми буквами латинского алфавита. Порядок чисел и нельзя путать.
Упорядоченная тройка чисел определяет в пространстве точку и радиус-вектор . Числа называются координатами точки и одновременно радиус-вектора .
Определение: Упорядоченный набор чисел будем называть - мерной точкой или -мерным вектором. Числа называются координатами вектора, число – размерностью вектора.
Точку с координатами будем обозначать , а соответствующий вектор . Координаты вектора можно записывать в столбец .
Геометрически вектор – это направленный отрезок прямой, который характеризуется длиной или модулем и направлением. Возьмем на плоскости в прямоугольной системе координат две точки и , соединим их прямолинейным отрезком, на котором укажем направление от точки к точке , получим вектор , где – начало, а - конец вектора.
Модуль или длину вектора будем обозначать . Длина (модуль) -мерного вектора вычисляется по формуле: .
Определение: Два вектора и равны между собой, если равны их соответствующие (одноименные) координаты: .
Определение: Вектор, у которого все координаты равны нулю, называется нуль-вектором, -мерный нуль-вектор обозначается : .
Определение: -мерный вектор, у которого -я координата равна единице, а все остальные нули , называктся -ым ортом или -ым единичным вектором, который будем обозначать: .
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.
Сложение геометрических вектором осуществляется по двум правилам:
1. правило треугольника: 2. правило параллелограмма:
Пусть векторы заданы в координатах.
Определение: Суммой двух векторов и называется вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов слагаемых, т. е. . Аналогично определяется разность двух векторов.
Определение: Произведением -мерного вектора на число называется вектор . Если , то вектор и сонаправлены (одинаково направлены), если , то вектор и противоположно направлены.
Операции сложения вектров и умножения вектора на число называются линейными операциями. Они удовлетворяют следующим свойствам:
1) 4)
2) 5)
3) 6)
Определение: Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними. Обозначается скалярное произведение векторов и так: или (, ). Следовательно: =cosφ, отсюда cosφ=.
Скалярным произведением двух векторов, заданных в координатной форме, называется число равное сумме произведений одноименных координат.
Пусть на плоскости OXY заданы векторы =(a1, a2) и =(b1, b2), их скалярное произведение =a1b1+a2b2.
Свойства скалярного произведения:
- (переместительный закон),
- (распределительный закон),
- (сочетательный закон по отношению к скалярному множителю λ),
- если , то или один из векторов нулевой.
Угол φ между векторами =(x1, x2,…, xn) и =(y1, y2,…, yn) найдем по формуле:
.
Пример 1. Найти скалярное произведение векторов =(-1; 0; 7) и =(-3; 1; 5).
Решение. =-1(-3)+0∙1+7∙5=38.
Пример 2. Найти скалярное произведение векторов =(4; -2; 1; 0) и =(1; ; 5; 9).
Решение. =4∙1+(-2)∙+1∙5+0∙9=8.
Пример 3. Найти угол φ между векторами =(0; 6; -2) и =(2; 2; -8).
Решение. Угол φ найдем используя формулу:
Определение: Расстояние между двумя точками вычисляется по формуле
.
Определение: Деление отрезка в данном отношении вычисляется по формулам
.
Их этой формулы вытекают формулы нахождения середины отрезка:
.
Векторное произведение двух векторов.
Определение: Векторным произведением векторов a и b (обозначается [a,b] или ab) называется такой третий вектор с, который определяется следующими условиями:
1) модуль вектора с=аbsin()
2) c перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов са, сb,
3) тройка векторов (a,b,c) одинаково ориентирована с тройкой базисных векторов (i,j,k).
Свойства векторного произведения
1. Два вектора колинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.
ab [a,b]=
2. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b (согласно определения).
[a,b]=Sпар.
3. Числовой множитель можно выносить за знак векторного произведения.
[a,b]= [a,b]=[a,b].
4. Векторное произведение двух векторов антикоммутативно, то есть если поменять местами сомножители, то векторное произведение изменит знак.
[a,b]= - [b,a].
5. Векторное произведение векторов дистрибутивно относительно суммы
[a+b,c]= [a,c] +[b,c].
Векторное произведение векторов в координатах.
Пусть в пространстве задана декартовая прямоугольная система R=={O,(i,j,k)}и относительно этой системы заданы векторы a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3), тогда
[a,b]=
Площадь треугольника
Векторное произведение позволяет вместе со скалярным произведением решать метрические задачи в плоскости. В качестве примера решим задачи о нахождение площади треугольника.
Sтреуг=
Смешанное произведение трёх векторов.
Определение: Смешанным произведением трёх векторов a,b,с называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий.
(a,b,c)=([a,b],c)=(a,[b,c]).
Теорема.
Абсолютная величина смешанного произведения трёх векторов равна объёму параллелепипеда построенного на этих векторах.
Построим параллелепипед .
Sпараллелеп.H=V.
Свойства.
1. (a,b,c)=0 тогда и только тогда, когда {a,b,c} компланарны.
2. Если поменять местами два соседних сомножителя, то смешанное произведение поменяет знак на противоположный.
(a,b,c)= -(b,c,a).
3.При круговой перестановке смешанное произведение не меняется.
(a,b,c)= (b,c,a)= (c,a,b)
(b,a,c)= (a,c,b)= (c,b,a).
4. Числовой множитель можно выносить за знак произведения.
(a,b,c)= (a,b,c).
5. Смешанное произведение векторов дистрибутивно
(a+b,c,d)= (a,c,d)+(b,c,d).
Вычисление смешанного произведения трёх векторов в координатах
Пусть в пространстве задана декартовая прямоугольная система R=={O,(i,j,k)}и относительно этой системы заданы векторы a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3), с=(с1,с2,с3).
(a,b,c)=([a,b],c)
[a,b]=
с=(с1,с2,с3).
(a,b,c)= .
То есть смешанное произведение это число, равное определителю, строки которого составлены из координатных строк векторов, входящих в смешанное произведение.
Смешанное произведение трёх векторов применяется для решения задач на вычисление объёмов многогранников.
Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется вектор , в этом случае говорят так же, что вектор разложен по системе векторов , а числа являются коэффициентами разложения.
Пример 1. Дана система векторов
,
,
,
.
Найти линейную комбинацию: .
Решение. 2·(2; 3; 6; -10)-(-2; 4; 0; -5)+3·(1; 5; -1; 3)+0·(-1; 2; -2; 3)=(4; 6; 12; -20)-(-2; 4; 0; -5)+(3; 15; -3; 9)+(0; 0; 0; 0)=(4+2+3+0; 6-4+15+0; 12-0-3+0; -20+5+9+0)=(9; 17; 9; -6)
Вектор разлагается по системе векторов , и коэффициентами разложения являются числа: λ1=2; λ2=-1; λ3=3; λ4=0.
С помощью векторов удобно записывать систему уравнений:
Введем в рассмотрение векторы-столбцы:
Тогда систему (1.1) можно записать так:
или
Если совокупность чисел является решением системы (1.2), то вектор разлагается по векторам , и коэффициентами разложения являются числа , т.е. справедливо соотношение: .
Таким образом, чтобы найти разложение вектора по системе векторов достаточно найти любое решение системы уравнений: .
Система векторов называется линейно-зависимой, если можно подобрать такие числа , , . . . , не все равные нулю ( есть ≠0), что
( - нуль-вектор)
Система векторов называется линейно-независимой, если из данных векторов нельзя составить нулевую линейную комбинацию с отличными от нуля коэффициентами, т.е. для линейно-независимой системы векторов выражение (1.3) справедливо тогда, когда все коэффициенты =0, .
Справедливы следующие утверждения.
Лемма. Если часть системы векторов линейно-зависима, то и вся система векторов линейно-зависима.
Теорема 1. Если система векторов линейно-зависима, то хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов.
Следствие 1. Если хотя бы один вектор системы линейно выражается через остальные векторы, то система линейно-зависима.
Следствие 2. В линейно-независимой системе ни один из векторов нельзя выразить через остальные.
Теорема 2: Если каждый из векторов системы линейно выражается через векторы (k<m), то система векторов линейно зависима.
Теорема 3: В n-мерном пространстве любая система, содержащая более чем n векторов линейно - зависима.
Следствие: В n-мерном пространстве любая линейно – зависимая система может содержать не более n векторов.
Таким образом, на плоскости линейно – независимыми могут быть только два вектора. Любой третий вектор можно представить линейной комбинацией этих двух векторов. В 3-х мерном пространстве линейно - независимыми могут быть не более трёх векторов и т.д.
Пример : Является ли система векторов = (1;0;0); = (0;1;0) и = (0;0;1) линейно зависимой?
Решение: Составляем нулевую линейную комбинацию:
(1;0;0)λ1 + (0;1;0)λ2 + (0;0;1)λ3 =(0;0;0)
или
Все значения , следовательно, система векторов – линейно – независима. Очевидно, что система из n n-мерных ортов является линейно-независимой.
Наибольшее число r линейно-независимых векторов данной системы (n-мерного пространства) называется рангом данной системы векторов (n-мерного пространства).
Базисом системы векторов, имеющей ранг r, называется любая группа из r линейно-независимых векторов данной системы.
Базисом n-мерного пространства является любая система из n линейно-независимых векторов. Базисов в n-мерном пространстве бесчисленное множество, один из них система из n n-мерных ортов:
Такой базис называется единичным.
Теорема: Если набор линейно-независимых векторов является базисом некоторого множества векторов, то любой вектор этого множества можно представить линейной комбинацией базисных векторов:
Такое представление называется разложением вектора по базису , коэффициенты разложения определяются для данного вектора однозначно.
Пример : Дана система векторов и
Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти разложение вектора в этом базисе.
Найдем решение системы уравнений:
(-1; 2; 0)λ1+(3; 1; -1)λ2+(4; 0; 2)λ3=(-3; 5; -3).
Решив систему получили единственное решение системы уравнений: , подставляя в которое получаем разложение вектора по базису, который образуют векторы :
PAGE 15
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
c
а
H
c
a
b
EMBED Equation.3