Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра "Автоматизированные системы управления"
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ И УПРАВЛЕНИЯ
Методические указания
к лабораторной работе 1 для студентов по специальности 1-53 01 02
« Автоматизированные системы обработки информации»
Могилев 2011
УДК 621.01
ББК 36.4
И87
Рекомендовано к опубликованию
учебно-методическим управлением
ГУВПО «Белорусско-Российский университет»
Одобрено кафедрой «Автоматизированные системы управления»
«11» мая 2010 г. протокол №8
Составитель канд. техн. наук, доц. А.И. Якимов
Рецензент канд. техн. наук, доц. Г.С. Леневский
Изложены последовательность выполнения и варианты заданий для лабораторной работы по нечеткой логике.
Учебное издание
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ И УПРАВЛЕНИЯ
|
Ответственный за выпуск |
С.К. Крутолевич |
|
Технический редактор |
А.Т. Червинская |
|
Компьютерная верстка |
Н.П. Полевничая |
Подписано в печать . Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс.
Печать трафаретная. Усл.печ.л. . Уч.-изд.л. . Тираж 65 экз. Заказ №
Издатель и полиграфическое исполнение
Государственное учреждение высшего профессионального образования
«Белорусско-Российский университет»
ЛИ № 02330/375 от 29.06.2004 г.
212030, г. Могилев, пр. Мира, 43
|
© ГУВПО «Белорусско-Российский университет», 2011 |
Лабораторная работа 1
Множества. Алгебра множеств
Цель работы: Изучение множества, его подмножеств и законов сочетания подмножеств, образующих алгебраическую систему, называемую булевой алгеброй.
Порядок выполнения работы.
Требования к отчету.
Операции над множествами подчинены некоторым очень простым абстрактным законам, которые будут перечислены в этой работе. Эти законы очень напоминают элементарные законы алгебры высказываний. По этой причине множество, его подмножества и законы сочетания подмножеств образуют алгебраическую систему, называемую булевой алгеброй. Система составных высказываний, подчиняющаяся таким законам, тоже называется булевой алгеброй. Таким образом, любую из этих систем можно изучать или с алгебраической, или с логической точки зрения.
Ниже перечислены основные законы, действующие в булевых алгебрах.
Законы для объединения и пересечения:
|
|
|
Законы для дополнений:
|
|
|
Законы для разностей множеств:
|
|
|
Доказательство каждого из перечисленных законов основано на опре делении равенства множеств и определений операций над множествами. Напомним, что множество А равно множеству В, если они состоят из од них и тех же элементов или оба пусты. Докажем один из законов для дополнений: .
Пусть . По определению операции дополнения это означает, что , но . Следовательно, и одновременно . Таким образом, и , . Из определения операции пересечения получаем, что . Поэтому, учитывая произвольность элемента , имеем .
Пусть теперь . Это значит, что и . Таким образом, и . Поэтому . Следовательно, . Поскольку х — произвольный элемент из , то окончательно получаем .
Приходим к выводу, что .
Задача 1. Для каких из следующих пар множеств имеет место одно из соотношений:
Задача 2. Даны множества А={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; B={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
C= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}; D={2, 3, 4, 5, 6}. Задайте списками множества:
Задача 3. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна множества:
Решение. Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна множество
(см. рис. 1).
Рисунок 1 – Диаграмма Эйлера-Венна
Это множество является объединением двух разностей, называется симметрической разностью и обозначается т.е.
Задача 4. Опрос 100 студентов дал следующие результаты о количестве студентов, изучающих различные иностранные языки: испанский – 28; немецкий – 30; французский – 42; испанский и немецкий – 8; испанский и французский – 10; немецкий и французский – 5; все три языка – 3.
а) Сколько студентов не изучает ни одного языка?
б) Сколько студентов изучает один французский язык?
в) Сколько студентов изучает немецкий язык в том и только в том случае, если они изучают французский язык?
Решение. Нарисовать диаграмму Эйлера-Венна в виде трех кругов, обозначаю щих множество студентов, изучающих соответственно французский, немецкий и испанский языки. В каждую из восьми областей вписать данные, используя приведенные цифры. Начинать с конца списка и двигаться к началу.
Ответ: а) 20; б) 30; в) 38.
Задача 5. Следующий опрос 100 студентов (см. задачу 4) выявил следующие данные о числе студентов, изучающих различные иностранные языки: только немецкий – 18; немецкий, но не испанский – 23; немецкий и французский – 8; немецкий – 26; французский – 48; французский и испанский – 8; никакого языка – 24.
а) Сколько студентов изучают испанский язык?
б) Сколько студентов изучают немецкий и испанский языки?
в) Сколько студентов изучают французский язык, в том и только в том случае, если они не изучают испанский?
Ответ: а) 18; б) ни одного; в) 50.
Задача 6. В отчете об опросе 100 студентов (см. задачу 4) сообщалось, что количество студентов, изучающих различные языки, таково: все три языка – 5; немецкий и испанский – 10; французский и испанский – 8; немецкий и французский – 20; испанский – 30; немецкий – 23; французский – 50. Инспектор, представивший этот отчет, был уволен. Почему?
Задача 7. Докажите, пользуясь диаграммой Эйлера-Венна, что высказывание – логически истинно.
Решение. Этому высказыванию соответствует множество , отвечающая ему диаграмма изображена на рис. 2.
Рисунок 2 – Диаграмма к задаче 7
Множество А заштриховано вертикальными линиями, а множество – горизонтальными. Вся заштрихованная область является их объединением и совпадает с множеством , так что наше составное высказывание логически истинно.
Задача 8. Воспользовавшись диаграммой Эйлера—Венна, определите, какие из следующих высказываний логически истинны:
а) б) в) г) д)
Ответ: (а) и (г) – логически истинны, (б), (д) – логически ложны.
Задача 9. Докажите, пользуясь диаграммой Эйлера-Венна, что эквивалентно .
Решение. Множество истинности высказывания совпадает со всей заштрихованной областью на диаграмме слева, а множество истинности высказывания совпадает с дважды заштрихованной областью на диаграмме справа (см. рис. 3).
Рисунок 3 – Диаграмма к задаче 9
Так как эти множества совпадают, то наши два высказывания эквивалентны.
Задача 10. Покажите, пользуясь диаграммой Эйлера-Венна, что из Y следует .
Решение. Множество истинности высказывания совпадает с заштрихованной областью на диаграмме (см. рис. 4).
Рисунок 4 – Диаграмма к задаче 10
Так как эта заштрихованная область включает в себя множество В, то мы видим, что из Y следует .
Задача 11. Найдите множества истинности каждого высказывания и, воспользовавшись диаграммой Эйлера-Венна, определите, какие из выписанных ниже пар высказываний состоят из высказываний, одно из которых является следствием другого:
Задача 12. Три или более высказывания называются несовместимыми, если они не могут быть истинными все сразу. Что можно сказать о множествах истинности таких высказываний?
Задача 13. Для следующих трех составных высказываний:
а) введите буквенные обозначения для компонент;
б) дайте символическое выражение;
в) найдите множества истинности;
г) проверьте их совместимость.
Если этот курс интересен, то я буду упорно над ним работать. Если этот курс не интересен, то я получу по нему плохую отметку. Я не буду упорно работать, но получу по этому курсу хорошую отметку.
Ответ: Несовместимы.
Задача 14. Каждому множеству поставьте в соответствие высказывание, имеющее это множество своим множеством истинности, и, воспользовавшись таблицами истинности, определите, какие из следующих множеств пусты:
Ответ: (б) и (в).
Задача 15. Каждому множеству поставьте в соответствие высказывание, имеющее это множество своим множеством истинности, и, воспользовавшись таблицами истинности, определите, являются ли попарно различными следующие множества:
Задача 16. Каждому множеству поставьте в соответствие высказывание, имеющее это множество своим множеством истинности, и, воспользовавшись таблицами истинности, определите, в каких из следующих пар множеств одно из множеств является подмножеством другого:
Задача 17. Докажите, как с помощью таблиц истинности, так и с помощью диаграммы Эйлера-Венна, что высказывание эквивалентно высказыванию .
Задача 18. Проверьте все законы операций над множествами для объединения и пересечения с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Переведите эти законы в законы для составных высказываний. Проверьте их с помощью таблиц истинности.
Задача 19. Проверьте все законы операций над множествами для дополнений и для разностей с помощью диаграмм Эйлера-Венна, переведите их в законы для составных высказываний и проверьте их с помощью таблиц истинности.
Задача 20. Из законов булевой алгебры над множествами получите следующие результаты:
Задача 21. Каждый из 500 студентов обязан посещать хотя бы один из трех спецкурсов: по математике, физике, астрономии. Три спецкурса посещают 10 студентов, по математике и фи зике - 30, по математике и астрономии - 25; спецкурс только по физике - 80 студентов. Известно также, что спецкурс по математике посещают 345 студентов, по физике - 145, по аст рономии - 100 студентов. Сколько студентов посещают спец курс только по астрономии? Сколько студентов посещают два спецкурса?
Задача 22. 500 студентов посещают три спецкурса. Спецкурс только по математике, только по математике и физике и только по физике и астрономии посещают одинаковое число студентов; три спецкурса посещают 20 студентов. Спецкурс по математике посещают столько же студентов, сколько спецкурс по физике. Один спецкурс по физике посещают 50 студентов, а спецкурс по астрономии - 250 студентов. Сколь ко студентов посещают только один спецкурс?
Задача 23. Экзамен по математике содержал три задачи: по ал гебре, по геометрии и по тригонометрии. Из 750 абитуриен тов задачу по алгебре решили 400 абитуриентов, по геомет рии - 480, по тригонометрии- 420; задачи по алгебре или гео метрии решили 630 абитуриентов; по геометрии или тригонометрии - 600 абитуриентов; по алгебре или тригоно метрии - 620 абитуриентов; 100 абитуриентов не решили ни одной задачи. Сколько абитуриентов решили все задачи? Сколько абитуриентов решили только одну задачу?
Задача 24. Экзамен по математике содержал три задачи: по ал гебре, геометрии и тригонометрии. Из 800 абитуриентов за дачу по алгебре решили 250 человек, по алгебре или геомет рии - 660 человек, по две задачи решили 400 человек, из них две задачи по алгебре и геометрии решили 150 человек, по алгебре и тригонометрии 50 человек; ни один абитуриент не решил все задачи; 20 абитуриентов не решили ни одной зада чи; только по тригонометрии задачи решили 120 человек. Сколько решили только одну задачу? Сколько человек реши ли задачи по геометрии?
Задача 25. На кафедре иностранных языков работают 18 преподавателей, из них 12 преподают английский язык, 11 – немецкий, 9-французский; 5 преподавателей преподают английский и немецкий языки, 4 - английский и французский, 3 –немецкий и французский. Сколько преподавателей преподают все три языка? Только два языка?
Задача 26. На кафедре иностранных языков работают 37 преподавателей, из них французский преподают 23 преподавателя, английский язык 28 преподавателей, все три языка - три преподавателя. Число преподавателей, ведущих занятия только по английскому языку равно числу преподавателей, ведущих занятия только по немецкому языку. Число преподавателей, ведущих занятия только по английскому и немецкому языкам, равно числу преподавателей, ведущих занятия только по не мецкому и французскому языкам. Сколько преподавателей преподают один иностранный язык? Сколько преподавателей преподают один английский язык?
Задача 27. На курсах иностранных языков учится 600 человек, из них французский изучают 220 человек, английский - 270 человек, слушатели, изучающие английский язык, не изучают немецкий язык; один французский язык изучают 100 человек, один немецкий - 180 человек. Сколько человек изучает по два иностранных языка? Сколько человек изучает один иностранный язык?
Задача 28. Группа студентов из 25 человек сдала экзаменационную сессию следующими результатами: 2 человека получили только 'отлично", 3 человека получили отличные, хорошие и удовлетворительные оценки; 4 человека только “хорошо”; 3 человека только хорошие и удовлетворительные оценки; число студентов, сдавших сессию только на “отлично”, "хорошо", равно числу студентов, сдавших сессию только на "удовлетворительно". Студентов, получивших только отличные и удовлетворительные оценки - нет. Удовлетворительные или хорошие оценки получили 22 студента? Сколько студентов не явилось на экзамены? Сколько студентов сдали сессию только на удовлетворительно?
Задача 29. На курсы иностранных языков зачислено 300 слушателей. Из них французский или английский изучают 250 человек, английский и немецкий - 60 человек, английский и французский - 80 человек; число слушателей, изучающих только французский язык, равно числу слушателей, изучающих толь ко немецкий язык; 70 человек изучает только английский I язык. Занятия по французскому и немецкому языкам прово дятся единовременно. Сколько слушателей изучает немецкий язык или французский? Сколько слушателей не посещает занятия?
Задача 30. Преподаватели кафедры Прикладной математики препо дают на трех факультетах: механическом, технологическом, экономическом. На технологическом факультете работает 22 преподавателя, на механическом - 23 преподавателя, на меха ническом и экономическом - 36 преподавателей; только на технологическом факультете - 10 преподавателей; 2 - на трех факультетах; 5 преподавателей работают только на механи ческом и экономическом факультетах. Число преподавателей, работающих только на механическом и технологическом фа культетах, равно числу преподавателей, работающих на эко номическом и технологическом факультетах. Сколько препо давателей работает на кафедре? Сколько преподавателей ра ботают только на одном факультете?
Задача 31. Каждый из 500 студентов обязан посещать хотя бы один из трех спецкурсов: по математике, физике, астрономии. Три спецкурса посещают 10 студентов, по математике и фи зике - 30, по математике и астрономии - 25; спецкурс только по физике - 80 студентов. Известно также, что спецкурс по математике посещают 345 студентов, по физике - 145, по аст рономии - 100 студентов. Сколько студентов посещают спец курс только по астрономии? Сколько студентов посещают два спецкурса?
Задача 32. 500 студентов посещают три спецкурса. Спецкурс только по математике, только по математике и физике и только по физике и астрономии посещают одинаковое число студентов; три спецкурса посещают 20 студентов. Спецкурс по математике посещают столько же студентов, сколько спецкурс по физике. Один спецкурс по физике посещают 50 студентов, а спецкурс по астрономии - 250 студентов. Сколь ко студентов посещают только один спецкурс?
Задача 33. Экзамен по математике содержал три задачи: по ал гебре, по геометрии и по тригонометрии. Из 750 абитуриен тов задачу по алгебре решили 400 абитуриентов, по геомет рии - 480, по тригонометрии- 420; задачи по алгебре или гео метрии решили 630 абитуриентов; по геометрии или тригонометрии - 600 абитуриентов; по алгебре или тригоно метрии - 620 абитуриентов; 100 абитуриентов не решили ни одной задачи. Сколько абитуриентов решили все задачи? Сколько абитуриентов решили только одну задачу?
3. Индивидуальные задания
|
вариант |
задача1 |
задача 2 |
задача3 |
|
1 |
1(1) |
4 |
11(а) |
|
2 |
1(2) |
5 |
11(г) |
|
3 |
1(3) |
21 |
11(б) |
|
4 |
2(1) |
22 |
11(в) |
|
5 |
2(2) |
23 |
16(б) |
|
6 |
2(3) |
24 |
14(б) |
|
7 |
2(4) |
25 |
14(г) |
|
8 |
2(5) |
26 |
14(а) |
|
9 |
3(1) |
27 |
14(в) |
|
10 |
3(2) |
28 |
15(а) |
|
11 |
3(3) |
29 |
15(в) |
|
12 |
3(4) |
30 |
15(б) |
|
13 |
8(а) |
31 |
15(д) |
|
14 |
8(б) |
32 |
15(г) |
|
15 |
8(в) |
33 |
16(а) |
Список использованных источников
1 Галушкина, Ю. И. Конспект лекций по дискретной математике / Ю. И. Галушкина, А. Н. Марьямов. – М. : Айрис-Пресс, 2007. – 176 с. : ил.