Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Введение
Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.
В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.
Логарифмические уравнения и неравенства
1. Логарифмические уравнения
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида
loga x = b. (1)
Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab.
Пример 1. Решить уравнения:
a) log2 x = 3, b) log3 x = -1, c)
Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 23 или x = 8; b) x = 3-1 или x = 1/3; c) или x = 1.
Приведем основные свойства логарифма.
Р1. Основное логарифмическое тождество:
где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.
Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:
loga N1·N2 = loga N1 + loga N2 (a > 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2 > 0).
Замечание. Если N1·N2 > 0, тогда свойство P2 примет вид
loga N1·N2 = loga |N1| + loga |N2| (a > 0, a ≠ 1, N1·N2 > 0).
Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя
(a > 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2 > 0).
Замечание. Если , (что равносильно N1N2 > 0) тогда свойство P3 примет вид
(a > 0, a ≠ 1, N1N2 > 0).
P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:
loga N k = k loga N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).
Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то
loga N 2s = 2s loga |N| (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).
P5. Формула перехода к другому основанию:
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),
в частности, если N = b, получим
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)
Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3)
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4)
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)
и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место
(b > 0, a ≠ 0, |a| ≠ 1). (6)
Перечислим и основные свойства логарифмической функции f(x) = loga x:
1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.
2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.
3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x1 < x2 loga x1 < loga x2), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x1 < x2 loga x1 > loga x2).
4. loga 1 = 0 и loga a = 1 (a > 0, a ≠ 1).
5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+∞), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) и отрицательна при x (1;+∞).
6. Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.
Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.
Утверждение 2. Уравнение loga f(x) = loga g(x) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)
f(x) = g(x),
f(x) = g(x),
f(x) > 0,
g(x) > 0.
Утверждение 3. Уравнение logh(x) f(x) = logh(x) g(x) равносильно одной из систем
f(x) = g(x),
f(x) = g(x),
h(x) > 0,
h(x) > 0,
h(x) ≠ 1,
h(x) ≠ 1,
f(x) > 0,
g(x) > 0.
Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения
f(x) = g(x) и loga f(x) = loga g(x)
или
loga [f(x)·g(x)] = b и loga f(x) + loga g(x) = b
вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).
Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.
2. Использование определения логарифма
Пример 1. Решить уравнения
a) log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3,
c) log(x - 2)9 = 2,
b)
d) log2x + 1(2x2 - 8x + 15) = 2.
Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, logab = c, b = ac и, следовательно,
5 + 3log2(x - 3) = 23
или
3log2(x - 3) = 8 - 5, log2(x - 3) = 1.
Опять используя определение, получим
x - 3 = 21, x = 5.
Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:
log2(5 + 3log2(5 - 3)) = log2(5 + 3log22) = log2(5 + 3) = log28 = 3.
Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.
b) Аналогично примеру a), получим уравнение
откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.
c) Аналогично примеру a), получим уравнение
(x - 2)2 = 9.
Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x2 - 4x - 5 = 0 с решениями x1 = -1 и x2 = 5. После проверки остается лишь x = 5.
d) Используя определение логарифма, получим уравнение
(2x2 - 8x + 15) = (2x + 1)2
или, после элементарных преобразований,
x2 + 6x-7 = 0,
откуда x1 = -7 и x2 = 1. После проверки остается x = 1.
3. Использование свойств логарифма
Пример 3. Решить уравнения
a) log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24),
b) log4(x2 - 4x + 1) - log4(x2 - 6x + 5) = -1/2
c) log2x + log3x = 1
Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x (0;+) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)
x > 0,
x+3 > 0,
x+24 > 0.
Используя свойство P2 и утверждение 1, получим
log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24)
log3x(x + 3) = log3(x + 24),
x > 0,
x(x + 3) = x + 24,
x > 0,
x2 + 2x - 24 = 0,
x > 0,
x1 = -6,
x2 = 4,
x > 0,
x = 4.
b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения
откуда, используя определение логарифма, получим
или
x2 - 4x + 1 = 1/2(x2 - 6x + 5),
откуда получаем уравнение
x2 - 2x - 3 = 0
с решениями x1 = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.
c) ОДЗ уравнения: x (0;+). Используя свойство P5, получим уравнение
log2x(1 + log32) = 1,
откуда или или log2x = log63. Следовательно,
Логарифмические неравенства
Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.
Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств
f(x) > g(x),
g(x) > 0.
Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств
f(x) < g(x),
f(x) > 0.
Утверждение 3. Неравенство logh(x) f(x) > logh(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств
h(x) > 1,
f(x) > g(x) > 0,
0 < h(x) < 1,
0 < f(x) < g(x).
Подчеркнем, что в неравенстве loga f(x) > loga g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , < , ≤ . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.
Пример 1. Решить неравенства
a) log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8);
b)
c)
Решение. a) Используя утверждение 1 , получим
log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8)
x2 - x ≥ x + 8,
x2 - 2x - 8 ≥ 0,
x+8 > 0,
x > -8,
x ≤ -2,
x ≥ 4,
x (-8;-2][4;+∞).
x > -8,
b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим
c) Запишем 0 = log21 и, используя утверждение 1, получим
Запишем и, используя утверждение 2, получим
Показательные уравнения и неравенства 1. Показательные уравнения Показательным называется уравнение, в котором неизвестное содержится только в показателе степени при постоянных основаниях. Простейшим показательным уравнением является уравнение вида Это уравнение равносильно алгебраическому уравнению Пример 1. Решить уравнение . Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 2: . Перейдем теперь к равносильному алгебраическому уравнению: Если после введения новой переменной показательное уравнение сводится к алгебраическому, дробно-рациональному или другому уравнению от переменной y, то сначала находят корни этого уравнения, а потом выражают x через y, используя решение простейшего показательного уравнения. 2. Показательные неравенства
Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
При решении показательных неравенств используются следующие утверждения:
A.1. Если a > 1, неравенство
a f(x) > a g(x)
равносильно неравенству
f(x) > g(x).
Аналогично, a f(x) < a g(x) ; f(x) < g(x).
A.2. Если 0 < a < 1, неравенство
a f(x) > a g(x)
равносильно неравенству
f(x) < g(x).
Аналогично, a f(x) < a g(x) ; f(x) > g(x).
A.3. Неравенство
[h(x)] f(x) > [h(x)] g(x)
(1)
равносильно совокупности систем неравенств
h(x) > 1,
f(x) > g(x),
0 < h(x) < 1,
f(x) < g(x).
Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай
h(x) = 1,
x D(f); D(g),
где D(f) (D(g)) означает область определения функции f (g).
A.4. Если b ≥ 0, неравенство
af(x) < b
не имеет решений (следует из свойств показательной функции).
A.5. Если b ≤ 0, множеством решений неравенства af(x) > b является x D(f).
A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство
af(x) > b
равносильно неравенству
f(x) > logab.
Аналогично, a f(x) < b ; f(x) < logab.
A.7. Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство
a f(x) > b
равносильно неравенству
f(x) < logab.
Аналогично, a f(x) < b ; f(x) > logab.
Упражнение 1. Решить неравенства:
a)
b) (0.3)|2x-3| < (0.3)|3x+4|,
c)
Решение. a) Так как 2 > 1, используя утверждение A.1, получаем равносильное неравенство
которое решается методом интервалов,
b) Так как 0 < 0.3 < 1 используя утверждение A.2, получаем равносильное неравенство
|2x-3| > |3x+4|,
которое решается, используя свойства модуля (|a| > |b| (a-b)(a+b) > 0):
|2x-3| > |3x+4| ((2x-3)-(3x+4)) ((2x-3)+(3x+4)) > 0 (-x-7)(5x+1) > 0
Решив последнее неравенство методом интервалов, получим x (-7;-1/5).
c) Используя утверждение A.3, получим
4x2+2x+1 > 1,
x2-x > 0,
4x2+2x+1 < 1,
4x2+2x+1 > 0,
x2-x < 0
x > 0,
x < -12,
x > 1,
x < 0,
x (-12;0),
x R,
x(0;1).
x (-; -12) (1;+),
x
x (-;- 12) (1;+).
Заключение
Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.
Список литературы
1. Курош А.Г. «Курс высшей алгебры» Москва 1975
2. Штейн Е.А. «Большая школьная энциклопедия» том 1; Москва 2004
3. М. Д. Аксенова. «Энциклопедия для детей». Том 11. Математика. – Аванта+, 1998.
4. Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. «Справочник по математике для средней школы». – М.: Наука, 1980
5. Г. Корн и Т. Корн. «Справочник по математике для научных работников и инженеров». – М.: Наука, 1970