Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторная работа 4
РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА МЕТОДОМ ПРОГОНКИ
Пусть на отрезке [a,b] требуется найти решение дифференциального уравнения
, (1)
удовлетворяющее следующим краевым условиям:
, , (2)
Численное решение задачи состоит в нахождении приближённых значений y0, y1, …, yn искомого решения y(x) в точках x0, x1, …, xn. Точки x0, x1, …, xn называются узлами сетки. Используем равномерную сетку, образованную системой равноотстоящих узлов i=0, 1, 2, …, n. При этом x0=a, xn=b, h=(b-a)/n. Величина h – шаг сетки. Пусть p(xi)=pi, q(xi)=qi, f(xi)=fi, y(xi)=yi. Аппроксимируем y(xi) и y(xi) в каждом внутреннем узле центральными разностными производными
и на концах отрезка – односторонними производными
Используя эти формулы, получаем разностную аппроксимацию исходной задачи (1) – (2):
(3)
Чтобы найти приближённые значения y0, y1, …, yn искомого решения, необходимо решить систему n+1 линейных уравнений (3) с n+1 неизвестными. Эту систему можно решить одним из стандартных методов решения линейных систем. Однако матрица системы (3) трёхдиагональная, поэтому для её решения применим специальный метод, называемый методом прогонки.
Перепишем систему (3) следующим образом:
(4)
где 0=c1h–c2, 0=c2, 0=hc, i=fih2, i=1–(1/2)pih, i=qih2–2, i=1+(1/2)pih, i=1, 2, …, n–1, n=–d2, n=hd1+d2, n=hd.
Будем искать решение системы (4) в виде
. (5)
тогда для ui и vi получаем следующие рекуррентные формулы:
.
Чтобы сделать схему счёта однородной, положим 0=0, n=0. Прямой ход прогонки состоит в последовательном вычислении коэффициентов ui и vi, исходя из значений
v0=–0/0, u0=0/0.
При обратном ходе прогонки по формуле (5) последовательно определяются величины yn, yn-1, …, y0. Так как n=0, то vn=0 и yn=un, т.е. в прямом ходе прогонки вычисляются величины vn, un и приближённое значение решения yn на правом конце отрезка. Остальные величины yn-1, yn-2, …, y0 вычисляются в обратном ходе прогонки по рекуррентной формуле (5). Таким образом, метод прогонки позволяет найти точное решение системы (3).
Погрешность решения краевой задачи (1)–(2) определяется только погрешностью разностной аппроксимации O(hk) исходной задачи системой (3). Порядок аппроксимации k равен 2, если с2=d2=0, или 1 в противном случае. Так как h=(b-a)/n, то выбирая n достаточно большим, можно добиться уменьшения погрешности ценой увеличения объёма вычислений при решении системы (3).
При практической оценке погрешности найденного решения обычно используют правило Рунге. Если y(xi) – точное значение решения в узле xi, а yi и – приближённые значения решения в том же узле, полученные соответственно с шагом h и h/2, то оценка погрешности решения yi определяется формулой
, .
Варианты заданий
На отрезке [a,b] решить методом прогонки линейную краевую задачу
Здесь
|
№ |
p(x) |
Q(x) |
a |
b |
c |
d |
1 |
2 |
|
|
1 2 3 4 5 6 |
0 0 0 0 0 0 |
0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 |
-0,5 0 -0,375 0 0 0 |
0,5 0,1 -0,2 -0,4 -0,1 -0,3 |
2 2 2 2 1,4 1,8 |
0 0 0 0 0 0 |
6 12 20 30 27 29 |
||
|
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 |
-2x |
2 4 6 |
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 0,5 0,5 1 1 1 |
0,8 0,8 0,8 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 3 3 3 5 5 5 |
0 0 0 0,2 0,15 -0,05 -0,1 -0,2 -0,5 0,4 0 1 0 0 0 0 -1 0 1 -1 -5 -0,5 -0,667 -0,625 |
-0,5 -0,8 -1,3 0,8 0,2 0,2 -0,6 -1,2 -1,2 -0,9 0,896 -0,1264 -1,09824 -0,352 -0,843 -0,997 -0,7522 -0,2064 6 3,4 1,8 3,5 2,667 -1,292 |
2,2 2,6 3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5 2,3 0 0 0 0 0 0 0 0 |
0 0 0 2,5 2,7 2,9 3,1 3,3 3,5 2,7 3 3 3 1 1 1 1 1 |
31 33 35 33 33,5 34,5 35,5 36,5 37,5 33,5 15 24 35 9 16 25 36 49 2 3 4 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА МЕТОДОМ СЕТОК
В настоящей лабораторной работе методом сеток требуется решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа. Эта задача ставится следующим образом.
Найти непрерывную функцию и(х, у), удовлетворяющую внутри прямоугольной области уравнению Лапласа
и принимающую на границе области заданные значения, т. е.
, ,
, ,
где fl, f2, f3, f4 — заданные функции.
Будем считать, что и(х, у) непрерывна на границе области , т. е. , , , . Выбрав шаги h, l по x и y соответственно, строим сетку , , , , где , .
Вводя обозначения , аппроксимируем частные производные и в каждом внутреннем узле сетки центральными раз ностными производными второго порядка
,
и заменим уравнение Лапласа конечно-разностным уравнением
, (1)
, .
Погрешность замены дифференциального уравнения разностным составляет величину .
Уравнения (1) вместе со значениями в граничных узлах образуют систему линейных алгебраических уравнений отностиельно приближенных значений функции и(х, у) в узлах сетки . Наиболее простой вид имеет эта система при :
(2)
, , , ,
, .
При получении сеточных уравнений (2) была использована схема узлов, изображенная на рис. 22. Набор узлов, используемых для аппроксимации уравнения в точке, называется шаблоном. В данной работе используется шаблон типа «крест».
Численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике состоит в нахождении приближенных значений искомой функции и(х, у) во внутренних узлах сетки. Для определения величин требуется решить систему линейных алгебраических уравнений (2).
В данной лабораторной работе она решается методом Гаусса—Зейделя, который состоит в построении последовательности итераций вида
(верхним индексом s обозначен номер итерации). При последовательность сходится к точному решению системы (2). В качестве условия окончания итерационного процесса можно принять
, , .
Таким образом, погрешность приближенного решения, полученного методом сеток, складывается из двух погрешностей: погрешности аппроксимации дифференциального уравнения разностными; погрешности, возникающей в результате приближенного решения системы разностных уравнений (2).
Известно, что описанная здесь разностная схема обладает свойством устойчивости и сходимости. Устойчивость схемы означает, что малые изменения в начальных данных приводят к малым изменениям решения разностной задачи. Только такие схемы имеет смысл применять в реальных вычислениях. Сходимость схемы означает, что при стремлении шага сетки к нулю () решение разностной задачи стремится в некотором смысле к решению исходной задачи. Таким образом, выбрав достаточно малый шаг h, можно как угодно точно решить исходную задачу.
Лабораторная работа № 6
РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
1 Цель работы
Ознакомление с методами решения смешанных задач для дифференциальных уравнений параболического типа, с понятием устойчивости численных методов, а также со способами разработки экономных алгоритмов и программ. Работу можно считать расчетно-графической в связи с возможностью наглядного графического представления функции двух переменных.
2 Описание метода
Рассмотрим стержень из теплопроводящего материала с коэффициентом теплопроводности k. Предположим, что температура на концах стержня задана, а боковая поверхность стержня теплоизолирована. Пусть ось x направлена вдоль оси стержня, а его концы расположены в точках x=0 и x=L. Тогда задача сводится к определению зависимости от времени температуры u в точках стержня, то есть функции двух переменных u(x,t). Функция u(x,t) должна удовлетворять уравнению теплопроводности
(0<x<L), (1)
начальному условию
u(x,0)=f(x), (0<x<L), (2)
и условиям на концах стержня
u(0,t)=1(t), u(L,t)=2(t), (t0). (3)
Значения u(0,0) и u(L,0), полученные из (2) и (3), должны совпадать. Это будет если 1(0)=f(0), 2(0)=f(L).
Следует отметить, что путем замены переменных t=a2t уравнение (1) можно преобразовать к виду
. (4)
Это означает, что решение задачи (1)-(3) путем замены переменных сводится к решению задачи (4),(2),(3). Далее будем полагать а=1.
Построим на плоскости (x,t) сетку с шагом h по переменной x (xi = (i-1)h, i=1,..,n+1, h=L/n) и с шагом по переменной t (tj = (j-1)). Обозначим uij = u(xi,tj). Производные в уравнении (1) аппроксимируем следующим образом:
, (5)
. (6)
Подставляя (5) и (6) в (1) при a=1, получим разностное уравнение:
(7)
В соответствии с (2) и (3) значения
ui0 = f(xi), u0j = 1(tj), unj = 2(tj) (8)
являются известными. Тогда, подставляя в (7) j=0, получим систему n-1 линейных уравнений, решив которую можно определить ui1, i=1,..,n-1. При этом, поскольку u01=1(t1), un1=2(t1), известными оказываются все значения временного слоя j=1, (t=t1). Затем, подставляя в (7) j=2, решаем систему уравнений относительно ui2 и т.д. для всех j=2,..,m.
Из (7) следует, что в каждое i-тое уравнение (i=1,..,n-1) с ненулевыми коэффициентами входят только три неизвестных ui-1,j; uij; ui+1,j. Величина ui,j-1 к этому моменту является известной и потому отнесена в правую часть уравнения. Таким образом, матрица системы уравнений является трехдиагональной и эту систему можно решить методом прогонки. Для этого представим ее в стандартном виде:
.(9)
Для данной задачи xi=uij, i = , i = , i = 1-2, 0 = 1, 0 = 0, 0 = u0j = 1(tj), n = unj = 2(tj), i = -ui,j-1 (i=1,..,n-1).
Пусть на j-том шаге заданными являются параметры ui,j-1 (i=1,..,n-1), u0j, unj, . Все неизвестные значения uij можно разместить в массиве xi (xi=uij, i=0,..,n). Ищем связь xi-1 с xi в виде рекуррентного соотношения
xi-1=i-1xi+i-1, i=1,..,n. (10)
Подставляя (10) в (7), получаем
i-1xi-(1+2)xi+xi+1 = -ui,j-1-i-1.
Отсюда
(11)
Сравнивая (11) с (10), находим рекуррентные соотношения ,
, (12)
0= 0, 0 = u0j .
Таким образом, алгоритм определения значений uij по известным ui,j-1 состоит из двух этапов: прямого хода прогонки по формулам (12) при i=1,..,n-1 и обратного хода прогонки по формуле (10) при i=n,..,2.
|
а) |
б) |
Рис. 5.1
Необходимо отметить, что разностное уравнение (7) связывает одно известное значение Ui,j-1 (из предыдущего j-1 временного слоя) и три неизвестных Ui,j, Ui-1,j, Ui+1,j. Поэтому найти значения Ui,j (i=1,...,n-1) можно только все сразу путем решения системы уравнений. Такая схема связи переменных в разностном уравнении называется неявной. Шаблон неявной разностной схемы представлен на рис. 5.1а.
Наряду с неявной возможна организация явной разностной схемы. Для этого вместо выражения (5) для первой разностной производной по времени используют формулу
, (13)
Тогда разностное уравнение запишется в виде
(14)
В этом случае связываются три неизвестные значения, относящиеся к предыдущему временному слою (здесь j-тому) и только одно неизвестное Ui,j+1. Шаблон явной разностной схемы представлен на рис. 5.1а.
При использовании этой схемы неизвестные параметры определяются путем последовательного применения формулы (2.14) при i=1,...n-1. Поскольку при этом не надо решать системы уравнений, то процесс определения параметров одного временного слоя требует меньших затрат времени, чем в случае неявной схемы.
Однако, неявная схема устойчива (ошибка не возрастает от шага к шагу) при любых значениях l=t/h2. Явная схема является устойчивой только при l<1/2. В противном случае развивается экспоненциальный рост погрешности так, что обычно происходит аварийная остановка ЭВМ по переполнению порядка. Поэтому при использовании явной схемы вычисления приходится вести с очень малым шагом по времени.
В случае применения неявной схемы затраты машинного времени для расчета одного временного слоя больше, но возможность выбора значительно большего шага по времени t может обеспечить общее ускорение процесса расчета по сравнению с явной схемой.
При выполнении данной работы будем предполагать, что температура на концах стержня поддерживается постоянной, то есть
1(t)f(0), 2(t)f(L).
3 Порядок выполнения работы на ПЭВМ
Исходные данные взять из таблицы 6.1 согласно номеру своего варианта.
Провести вычисления на ЭВМ.
Написать отчет о работе.
4 Варианты заданий
Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности с начальным u(x,0)=f(x) и граничными условиями u(0,t)=f(0), u(1,t)=b (L=1).
Таблица 6.1
|
№ |
а |
b |
c |
d |
f(x) |
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 |
0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95 |
f b a 0 x c 1 |
|
|
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 |
8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 |
3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 |
20.0 21.0 22.0 23.0 24.0 25.0 26.0 27.0 28.0 29.0 |
0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95 |
f a
c
b 0 x d 1 |
Продолжение таблицы 6.1
|
№ |
а |
b |
c |
d |
f(x) |
|
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 |
10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 18.0 19.0 |
14.0 14.5 15.0 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5 18.0 18.5 |
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 |
0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 |
f b a 0 x c d 1 |
ЛИТЕРАТУРА
1. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике.- М. : Высшая школа, 1994.
2. Волков Е.А. Численные методы.- М. : Наука, 1982.
42