Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА
Принадлежности: трифилярный подвес; секундомер; счетчик числа колебаний; штангенциркуль; набор тел, подлежащих измерению (диск, стержень, полый цилиндр и т. д.).
Момент инерции J твердого тела относительно некоторой оси определяется выражением
,
где r — расстояние элемента массы dm от оси вращения.
В простых случаях величину момента инерции можно определять расчетом, а в сложных — его приходится находить экспериментальным путем. Одним из удобных методов измерения моментов инерции твердых тел является метод трифилярного подвеса. Устройство такого подвеса показано на рис. 1. Подвижная платформа P΄ подвешена к платформе P на трех симметрично расположенных нитях AA΄, BB' и СС'. Платформа P укреплена па кронштейне и снабжена рычагом (на чертеже не показан), при помощи которого системе можно сообщать крутильные колебания. Если повернуть нижнюю платформу Р' вокруг вертикальной оси на некоторый угол относительно верхней, то возникает момент сил, стремящийся вернуть платформу в положение равновесия. В результате этого платформа начинает совершать крутильные колебания.
Рассмотрим теорию трифилярного подвеса. Если пренебречь трением, то на основании закона сохранения энергии для колеблющейся платформы можно написать следующее уравнение:
, (1)
где J — момент инерции платформы вместе с исследуемым телом, М — масса платформы с телом, Е—полная энергия системы, z0 — начальная координата точки О' (при = 0), z — координата точки О' при текущем значении . Точкой обозначено дифференцирование по времени.
Рис. 1. Трифилярный подвес. 1 — пересчетное устройство, 2 — осветитель, 3 — фотоэлемент.
Как следует из рис. 1, координаты точки С равны (r, 0, 0), а точка С' имеет координаты (R соs , R sin ). Расстояние между точками С и С' равно длине нити l.
Поэтому , или
. (2)
При написании (2) было принято во внимание, что для малых углов соs. Извлекая корень из выражения (2), найдем, что при малых
. (3)
Подставив это значение z в уравнение (1), получим:
. (4)
Продифференцировав последнее выражение по времени и сократив на , получим уравнение движения системы:
. (5)
Нетрудно убедиться непосредственной подстановкой, что решение этого уравнения имеет вид:
, (6)
где амплитуда 0 и фаза определяются начальными условиями. Период колебаний системы Т, следовательно, равен:
. (7)
Разрешив (7) относительно J, найдем выражение для момента инерции:
. (8)
Учитывая, что параметры прибора (R, r, z0) во время опыта не меняются, формулу (8) удобно записать в виде:
, где (9)
k для данного прибора постоянно. Формула (9) позволяет вычислить момент инерции платформы с телом и без него по измеренной величине периода Т.
Как следует из вывода, формула (8) справедлива при отсутствии потерь энергии на трение. Учет таких потерь весьма затруднителен. Однако поправки оказываются небольшими, если потери энергии за период малы по сравнению с энергией колебаний системы. Таким образом, формула (8), а вместе с ней и (9), справедлива, если
, (10)
где — время, в течение которого амплитуда колебаний платформы существенно уменьшается (в 2 — 3 раза).
В данной работе значения Т рекомендуется измерять с точностью не хуже чем 0,5%. Этим условием определяется время и полное число колебаний платформы, которое необходимо отсчитать в процессе измерений.
Для счета числа колебаний используется счетчик, состоящий из осветителя, фотоэлемента и пересчетного устройства (см. рис. 1). Легкий лепесток, укрепленный на платформе, пересекает световой луч дважды за период. Соответствующие сигналы от фотоэлемента поступают на пересчетный прибор. Если п1 и п2 — начальное и конечное значения показаний прибора, то за время наблюдения измеренное число периодов равно N=(п2 — п1)/2, а период колебаний равен Т = t/N. Для уменьшения ошибки секундомер лучше всего включать и выключать в момент прохождения маятника через положение равновесия (в этот момент лепесток пересекает световой луч).
1. Не нагружая нижней платформы, проверьте, пригодна ли установка для измерений, т. е. нормально ли функционирует устройство для возбуждения крутильных колебаний, не возникают ли при этом паразитные маятникообразные движения платформы, работает ли счетчик числа колебаний и т. д.
2. Возбудив в системе крутильные колебания, проверьте, достаточно ли хорошо выполняется неравенство (10). Добиваться большой точности при выполнении этого упражнения не имеет смысла. Это измерение рекомендуется выполнять при ненагруженной платформе. Почему?
3. Как видно из формулы (7), период колебаний платформы Т не должен зависеть от амплитуды 0. Это справедливо, конечно, только для достаточно малых значений 0, поэтому необходимо установить рабочий диапазон амплитуд. Возбудив в ненагруженной системе крутильные колебания, измерьте время 20 — 30 полных колебаний и найдите период Т1, соответствующий некоторому начальному значению амплитуды 1. Затем, уменьшив амплитуду приблизительно вдвое, таким же способом найдите соответствующий ей период Т2. Если в пределах точности эксперимента окажется, что Т1 =Т2, то для дальнейших измерений можно выбрать любое значение . Если же окажется, что Т1Т2, то начальное значение амплитуды 1 необходимо уменьшать до тех пор, пока указанное равенство не будет выполнено.
Выбор амплитуд колебаний
Таблица -1
|
№ |
|
|||
|
t1 время n1 колебаний |
T1 Период колебаний |
t 2 время n2 колебаний |
T2 |
|
|
1 |
||||
|
2 |
||||
|
3 |
||||
|
Ср. |
4. Измерьте высоту z0 и радиусы R и r. Рассчитайте константу прибора k. Найдите величину погрешности k.
5. Определите момент инерции ненагруженной платформы (измерение периода колебаний Т в этом и следующих упражнениях проводите с точностью не хуже чем 0,5%).
Определение момента инерции платформы.
Таблица -2
|
№ |
t |
T |
J |
|
1 |
|||
|
2 |
|||
|
3 |
|||
|
Ср. |
6. Измерьте моменты инерции двух тел из имеющегося набора сначала порознь, а потом вместе. Помещать грузы надо так, чтобы центр масс каждого из них лежал на оси вращения системы, т. е. чтобы не было перекоса платформы. Для удобства па платформе нанесены концентрические окружности на определенном расстоянии друг от друга.
Определение момента инерции тел ( цилиндр, стержень, диск…)
Таблицы № 3-5
|
№ |
t |
T |
Jобщ |
Jобразца эксперем. |
Jобразца теоретич |
|
1 |
|||||
|
2 |
|||||
|
3 |
|||||
|
Ср. |
Проверьте аддитивность моментов инерции, т. е. справедливость соотношения
,
где J1 и J2 — моменты инерции первого и второго грузов, а J0 — их общий момент инерции. Точность, с которой выполняется указанное равенство, служит хорошей мерой точности экспериментов. Измеренные значения моментов инерции сравните с расчетными (по формулам для моментов инерции простых тел).
7. Поместите на платформу диск, разрезанный вдоль оси, и постепенно раздвигайте половинки диска так, чтобы их общий центр масс все время оставался на оси вращения платформы (рис. 2). Снимите зависимость момента J такой системы от расстояния h каждой из половинок до оси платформы. В каких координатах следует построить полученную зависимость J = f(h), чтобы график имел вид прямой линии? Постройте этот график. Чему равен угловой коэффициент полученной прямой?
Рис. 2. Расположение раздвинутых половин груза на платформе.
Контрольные вопросы
1. При каких упрощающих предположениях выведена формула (8)?
2. Можно ли пользоваться предложенным методом для определения моментов инерции тел в том случае, если ось вращения платформы не проходит через их центр масс?
3. В каком случае период колебаний будет измерен с большей точностью: когда секундомер включается (и выключается) в точке наибольшего отклонения платформы от положения равновесия (скорость платформы равна нулю) или в момент, когда платформа проходит через положение равновесия (ее скорость максимальна)?
4. Сформулируйте и докажите теорему Гюйгенса — Штейнера.
1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. I. Механика.— М.: Наука, 1979, §§ 35, 36, 42.
2. Стрелков С. П. Механика.— М.: Наука, 1975, §§ 52, 55, 59.
3. Хайкин С. Э. Физические основы механики.— М.: Наука, 1971, §§ 67, 68,. 89.
Некоторые константы:
а) от центра платформ до точки подвеса:
R = 11,5 cм,
r = 4,2 см
б) между платформами:
Z0 = 168 см.
а) прямоугольного стержня – 0,4 кг
б) цилиндра – 0,7 кг
в) одной половинки цилиндра – 0,35 кг
г) полого цилиндра – 0,62 кг
д) нижней платформы – 0,85 кг.