Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Билет № 27
Частотные характеристики систем управления.
Метод частотных характеристик основывается на исследовании в установившихся режимах реакции системы на синусоидальный тестовый сигнал. При этом изменяют частоту входного сигнала во всем возможном диапазоне и анализируют изменение амплитуды и фазы выходного сигнала.
Частотные передаточные функции
Частотная передаточная функция является важнейшей характеристикой динамической системы управления. Для однозначного преобразования некоторой непрерывной функции времени в функцию частоты служит прямое преобразование (изображение) Фурье [2, 19]
. (6.1)
Частотной передаточной функцией системы называется отношение изображения Фурье ее выходной переменной к изображению Фурье входной переменной.
Если непрерывная функция времени равна нулю при t < 0, то частотная передаточная функция системы легко может быть найдена по ее передаточной функции при подстановке , где p – символ преобразования Лапласа, т. е.
(6.2)
Функция может быть представлена в показательной форме или в форме координат вектора на комплексной плоскости в следующем виде:
(6.3) где - модуль частотной передаточной функции,
- аргумент или фаза частотной передаточной функции;
- соответственно вещественная и мнимая составляющие частотной передаточной функции.
Из теории комплексных чисел [19, 20] известны следующие выражения, позволяющие сделать переход из показательной формы комплексного числа в алгебраическую форму:
, (6.4)
. (6.5)
Для анализа частотных свойств звеньев и синтеза корректирующих звеньев САУ используются так называемые частотные характеристики: амплитудная частотная характеристика (АЧХ), фазовая частотная характеристика (ФЧХ) и амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).
Частотные характеристики САУ
Частотные характеристики системы характеризуют реакцию элементарного звена, объекта управления или всей системы на гармоническое воздействие в установившемся режиме.
Пусть на вход звена подано гармоническое воздействие:
(6.6) где - амплитуда;
- угловая частота этого воздействия.
Выходной сигнал линейного звена в установившемся режиме будет также представлять собой гармоническую функцию:
(6.7) где - амплитуда;
- угол сдвига выходного гармонического сигнала по отношению к входному (сдвиг по фазе).
С учетом введенных обозначений модуль частотной передаточной функции представляет собой отношение амплитуды выходной сигнала к амплитуде входного в установившемся режиме, т. е.
, (6.8)
а аргумент частотной передаточной функции - сдвиг фазы выходной величины по отношению к входной величине на данной частоте.
Таким образом, амплитудная частотная характеристика (АЧХ) отражает изменение амплитуды выходного сигнала звена при пропускании звеном входного сигнала различной частоты. Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах входного сигнала.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) строится в полярных координатах на комплексной плоскости . Она представляет собой геометрическое место концов вектора (годограф), соответствующих частотной передаточной функции при изменении частоты от нуля до бесконечности.
На рис. 6.1 в качестве примера приведена АФЧХ динамического звена (фильтра) третьего порядка. По оси абсцисс АФЧХ откладывается вещественная часть , а по оси ординат - мнимая часть . Годограф описывает изменение амплитуды и фазы выходного сигнала при изменении частоты входного сигнала. Заметим, что при изменении частоты от нуля до бесконечности амплитуда годографа уменьшается от некоторого ненулевого значения до нуля, а фаза выходного сигнала стремится к величине -270˚ (вращение годографа против часовой стрелке принято положительным). Заметим также, что изменение частоты от нуля до минус бесконечности
соответствует зеркальному отображению АФЧХ на комплексной плоскости относительно оси абсцисс.
Рис. 6.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика динамическогозвена третьего порядка
Диапазон изменения частоты входного сигнала теоретически равен бесконечности. Поэтому часто при анализе и синтезе систем автоматического управления используются логарифмические частотные характеристики (диаграмму Боде) - логарифмические амплитудные частотные характеристики (ЛАЧХ) и логарифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ), когда по оси абсцисс круговая частота откладывается в логарифмическом масштабе. При этом ЛАЧХ определяют выражением
. (6.9)
Диаграмма Боде.
Асимптотические частотные характеристики
На рис 6.3 приведена диаграмма Боде частотной передаточной функции апериодического звена. Это диаграммы ЛАЧХ и ЛФЧХ, рассматриваемые в едином масштабе изменения частоты .
Сплошными линиями на рис. 6.3 изображены фактические ЛАЧХ и ЛФЧХ, а пунктирными – так называемые асимптотические частотные характеристики.
Частоту , при которой происходит изменение наклона асимптотической ЛАЧХ, называют частотой излома или сопрягающей частотой. Для рассматриваемого апериодического звена наклон асимптотической ЛАЧХ уменьшается на 20 децибел на декаду (-20дБ/дек). Декадой называют расстояние между двумя частотами, отличающимися в 10 раз. Заметим, что фактическое изменение ЛАЧХ (см. рис. 6.3) на частоте излома составит
дБ.
Фаза частотной характеристики апериодического звена на частоте излома составляет половину максимального изменения, т. е. выходной сигнал на сопрягающей частоте отстает от входного сигнала на угол .
Основным преимуществом логарифмических частотных характеристик и диаграмм Боде на их основе состоит в том, что сомножители вида , входящие в частотную передаточную функцию, позволяют легко строить ЛАЧХ и ЛФЧХ путем простого алгебраического сложения характеристик, соответствующих каждому отдельному сомножителю.
10/T
1/T
0,1/T
0
, рад.
-20
-10
0
L(), дБ
10/T
1/T
0,1/T
Рис 6.3. Диаграмма Боде для частотной передаточной функции (6.11)
Диаграммы Боде служат для оценки абсолютной устойчивости и относительной устойчивости системы (запасов устойчивости по модулю и фазе). Они применяются также для синтеза САУ методом частотных характеристик [6], определения полосы пропускания, резонансных частот и др. Кроме того, по экспериментально полученным частотным характеристикам можно определить передаточную функцию системы (идентифицируемая САУ предположительно должна принадлежать классу линейных систем управления).
2. Потери энергии при установившемся режиме работы в регулируемом и нерегулируемом электроприводе.
Потери энергии при установившемся режиме работы нерегулируемого электропривода:
Мощность потерь в нерегулируемом электроприводе при работе его в установившемся режиме на естественной механической характеристике складывается из мощности потерь в двигателе и в механических передачах от двигателя к рабочему органу, т.е.
, где
K и V – постоянные и переменные потери в двигателе.
К постоянным потерям относятся потери в стали, механические, а для двигателей постоянного тока независимого возбуждения и синхронных двигателей – еще и потери на возбуждение. Постоянные потери в действительности не являются постоянными, а изменяются при изменении скорости, напряжения и частоты сети. Однако при работе двигателя на естественной характеристике его скорость изменяется незначительно. Это позволяет считать постоянные потери неизменными.
Переменные потери – это потери в обмотках, зависящие от тока нагрузки. Для двигателей постоянного тока .
Для АД .
При небольшом диапазоне изменения токов АД, когда намагничивающий ток Iconst, при малых скольжениях S, для которых cos21, можно считать потери от тока намагничивания I2r1, постоянными и отнести их к постоянным потерям, а переменные потери выразить только через ток ротора, т.к. при Iconst
.
Для синхронных двигателей
.
Здесь x – кратность тока нагрузки.
Таким образом, переменные потери для различных двигателей , а суммарные потери в двигателе , где - коэффициент потерь.
Для двигателей постоянного тока с независимым возбуждением и АД переменные потери можно выразить через электромагнитный момент и относительный перепад скорости (скольжение).
Для ДПТ
.
Для АД переменные потери в роторе
.
Полные переменные потери в АД
.
КПД нерегулируемого электропривода
, где
Рр0 – мощность на рабочем органе;
Р1 – мощность, потребляемая из сети.
Если принять, что для рабочего участка естественной механической характеристики , то для КПД двигателя можно написать
.
Коэффициент мощности АД
, где ,
.
Выразив Q через Ра, получим
.
|
3. |
Математические модели электродвигателей постоянного тока, |
|
регулируемых по цепям якоря и возбуждения как объектов управления |
|
|
(функциональные схемы; схемы замещения; обыкновенные |
|
|
дифференциальные уравнения; структурные схемы). |
Электродвигатель постоянного тока (ДПТ) представляет собой объект управления, регулируемый, в общем случае, по цепям якоря и возбуждения [4]. Функциональная схема и схемы замещения электродвигателя приведены на рис. 4.2.
Eд
Rэ
Lэ
iя
Uя
а) б)
Iв
Uв
M
iя
Я
Uя
Rв
Lв
Iв
Uв
в)
г)
M
Jд
Mс
Рис. 4.2. Функциональная схема (а) и схемы замещения (б, в, г) электродвигателя постоянного тока
Применяя декомпозицию ДПТ, нетрудно заметить, что в его структуре имеются три основных подсистемы или цепи (см. рис. 4.2б, 4.2в, 4.2г):
- цепь якоря, питаемая регулируемым напряжением Uя; Rэ, Lэ – соответственно эквивалентное активное сопротивление и эквивалентная индуктивность якорной обмотки; Eд – э.д.с. электродвигателя; iя – ток якоря;
- цепь возбуждения, питаемая регулируемым напряжением Uв; Rв, Lв – соответственно эквивалентное активное сопротивление и эквивалентная индуктивность обмотки возбуждения; iв – ток возбуждения;
- электромеханическая цепь, обеспечивающая преобразование электромагнитной энергии в энергию вращения вала ротора; Jд – приведенный к валу двигателя момент инерции электродвигателя и вращаемого механизма; M, Mc – соответственно электромагнитный момент электродвигателя и момент сопротивления на его валу; - скорость вращения вала двигателя.
Приведем описание ДПТ в различных формах, что позволит при необходимости легко установить взаимосвязь математических моделей.
Для описания динамических моделей электрических цепей электродвигателя (см. рис. 4.2) воспользуемся законами Кирхгофа, а для описания механической цепи – 2-м законом Ньютона. Тогда получим систему дифференциальных уравнений:
,
, (4.23)
,
где , - электромагнитные постоянные времени соответственно обмотки якоря и обмотки возбуждения, , .
Электромагнитные цепи двигателя взаимосвязаны. При подаче напряжения , по цепи якоря протекает ток , создающий электромагнитный момент, вращающий ротор,
, (4.24)
где - конструктивная постоянная двигателя.
Электромагнитные и механическая цепь также взаимосвязаны, т.к. ток, протекающий по обмотке возбуждения, создает магнитный поток Ф, пронизывающий обмотку якоря и наводящий в ней э.д.с. вращения,
, (4.25)
где - конструктивная постоянная двигателя, в системе СИ равная по величине .
Анализируя выражения (4.24), (4.25), заметим, что произведение переменных приводит к нелинейности математической модели электродвигателя, регулируемого одновременно по цепям якоря и возбуждения. Кроме того, при регулировании напряжения возбуждения двигателя проявляется нелинейный характер изменения потока Ф в функции тока возбуждения iв (намагничивающей силы F = wв iв, где wв – число витков обмотки возбуждения). Кривая намагничивания ДПТ соответствует нелинейному звену типа «насыщение» (рис. 4.3).
0
ΔF
ΔФ
F
Ф
F0
Ф0
А
Рис. 4.3. Кривая насыщения магнитной цепи ДПТ
Рабочая точка А с координатами {F0, Ф0} на кривой насыщения соответствует некоторому, например номинальному режиму работы ДПТ.
ДПТ как нелинейный ОУ, регулируемый по цепям якоря и возбуждения, в соответствие с выражениями (4.23)…(4.25) и рис. 4.3 может быть представлен в виде структурной схемы (рис. 4.4)
Ф
F
Eд
M
iя
-
-
Uя
Mc
×
×
Iв
Uв
wв
Рис. 4.4. Структурная схема ДПТ, регулируемого по цепям якоря
и возбуждения, как нелинейного объекта управления
Пусть электродвигатель регулируется только по цепи якоря (напряжение возбуждения , а, следовательно, и ). Тогда математическая модель электродвигателя примет вид
, (4.26)
.
Математическая модель в виде (4.26) описывает ДПТ как линейный объект 2-го порядка.
Для перехода от дифференциальных уравнений (4.26) к операторным уравнениям произведем замену . Тогда получим
, (4.27)
.
По операторным уравнениям (4.27) составим структурную схему электродвигателя, приведенную на рис. 4.4.
Eд
M
iя
-
-
Uя
Mc
Рис. 4.5. Структурная схема ДПТ, регулируемого по цепи якоря
Как видим, структурная схема ДПТ, регулируемого по цепи якоря, содержит 4 типовых линейных динамических звена: апериодическое, интегрирующее и 2 безынерционных звена, а также 2 суммирующих звена.
Пусть ДПТ регулируется одновременно по цепи якоря и возбуждения, причем изменения аддитивных (управляющих и возмущающих) воздействий незначительны или, по крайней мере, непрерывны. Тогда нелинейную модель ДПТ целесообразно линеаризовать в окрестности вектора рабочих траекторий и представить в виде линейной модели. В качестве рабочих траекторий примем уравнения M0 = Cм Ф0 i я0, Eд = Cе Ф0 ω0, а все переменные ДПТ будем рассматривать в приращениях, т. е. в малой окрестности рабочих траекторий и обозначать через символ приращения ∆. Проведем также касательную линеаризацию кривой намагничивания, задавшись координатами {F0, Ф0} текущей рабочей точки и соответствующими приращениями (см. рис. 4.3).
Тогда математическую модель ДПТ можно представить системой уравнений в приращениях
,
(4.28)
,
,
где , - приращения координат э.д.с. двигателя и электромагнитного момента вдоль вектора рабочих траекторий;
- приращение магнитного потока;
+
+
+
+
+
ΔФ
ΔF
ΔEд
ΔM
Δiя
-
-
ΔUя
ΔMc
ΔIв
ΔUв
wв
Ф0
Ф0
ω0
Kф
iя0
- коэффициент линеаризации кривой насыщения магнитной цепи, являющийся функцией координат рабочей точки (см. рис. 4.3).
Структурная схема ДПТ, соответствующая уравнениям (4.28), приведена на рис. 4.6.
Рис. 4.6. Структурная схема ДПТ, регулируемого по цепям якоря
и возбуждения как линеаризованного объекта управления