тематика Специальность 240 01 01 Программное обеспечение информационных технологий Группа Препод

Работа добавлена на сайт samzan.net:

План учебного занятия № 69.

дисциплины «Высшая математика»

Специальность  2-40 01 01 Программное обеспечение информационных технологий

Группа     

Преподаватель Моисеева Т.И.

Раздел программы   Интегральное исчисление функции одной переменной.

Тема:       Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.                   

Цель обучения: Сформировать понятие  неопределенного интеграла, увязать с уже изученной производной.

Цель развития: Показать   способы определения нового понятия – интеграла.

Цель воспитания: Способствовать воспитанию аккуратности, четкости мышления и восприятия незнакомых образов.

Тип занятия: Урок изучения нового материала.

Вид занятия:  Урок-лекция.

Межпредметные связи: Науки, изучающие применение интегрального исчисления,  исследующие   значения  площадей под графиками функций на отрезке.

Ход занятия:

1.                                                      Первообразная функция.

 Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.

1.                                                       Неопределенный интеграл.

 Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

 Свойства:

1.

2.

3.

4.  где u, v, w – некоторые функции от х.

5.

Пример: 

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

Интеграл	Значение	Интеграл	Значение
1		-lncosx+C	9		ex + C
2		lnsinx+ C	10		sinx + C
3			11		-cosx + C
4			12		tgx + C
5			13		-ctgx + C
6		ln	14		arcsin + C
7			15
8			16

Методы интегрирования.

Рассмотрим три основных метода интегрирования.

3.                                             Непосредственное интегрирование.

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования   можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

 Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится  в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

4.                                         Способ подстановки (замены переменных).

 Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:

 Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:

f(x)dx = f[(t)](t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

 Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

 Пример. 

Замена  Получаем:

 Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

1.                                            Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv) = uv + vu

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

      или          ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

 Пример. 

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

 Пример. 

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.

 Пример. 

 Пример.

 Пример.

 Пример.

 

Пример.

 Пример.

 Пример.

 Пример.

 Пример.

 

 Пример.

1. Вступ Верстатобудування в Україні ~ крупна галузь машинобудування
2. 10 Олигрофренияны~ же~іл т~рі- дебилдік
3. ку панкреатический пищеварительный сок содержащий ферменты расщепляющие белки УВ жиры а в кровь гормон
4. Конституционные идеи в Украине периода гетмана П Скоропадского
5. Об утверждении предупредительных надписей о вреде курения табака
6. Особенности и проблемы развития рынка труда в переходной экономике
7. Основы радиоэлектроники и схемотехники
8. Природа. Определения.html
9. Лабораторная работа по триботехнике 3 Исследование работы по разрушению смазывающей пленки
10. Музей-заповедник Павловск
11. Он много времени уделял взаимосвязи природы и общества
12. Ярославская государственная сельскохозяйственная академия Кафедра информационноконсультационных т
13. Большой театр этап биографии
14. ТЕМА 2 СУБЪЕКТЫ СОВРЕМЕННОЙ МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ 2 часа СОДЕР
15. Внутренние водные пути
16. .ч. VORTEX пр. пол. 450 EN 242x175x190 Аккумулятор 1000 2 58600 55 А
17. чистой технологии производства в переходе к малоотходным и безотходным производственным процессам
18. При участии Питера Капальди Богобоязненный человек боится настигающей его старости
19. планах стала настолько очевидной что уже в 2000 ~ 2011 гг
20. Вам нужно проанализировать преимущества и недостатки

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе