Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство сельского хозяйства РФ.
Федеральное агентство по сельскому хозяйству.
ФГОУ ВПО Тюменская государственная сельскохозяйственная академия.
Программа, методические указания и задания
для контрольных работ № 1,2 для студентов-заочников первого курса инженерных специальностей ТГСХА.
Часть I
Тюмень 2008
Утверждено
методических указаний
Программа, методические указания и задания для выполнения контрольных работы для студентов заочной формы обучения составлены в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины «Математика»
Составители: доцент кафедры математики Дьячкова Л.И.
старший преподаватель кафедры математики Пинаева Г.М.
старший преподаватель кафедры математики Антропов В.А.
Научный редактор
Столярова О.А., ст. преподаватель
Обсуждено
на заседании кафедры математики
Протокол № 2 от «15» ноября 2004 г.
Одобрено
научно-методическим советом
института экономики и финансов.
Протокол № 7 от «19» марта 2004 г.
Содержание:
Программа курса высшей математики…………………………………стр.4
Методика самостоятельной работы студента………………………….стр.8
Таблица вариантов контрольных работ………………………………..стр.9
Указания к выполнению контрольной работы № 1………………….стр.10
Контрольная работа №1………………………………………………..стр.38
Указания к выполнению контрольной работы № 2…………………..стр.44
Контрольная работа № 2……………………………………………..…стр.72
Рабочая программа курса.
«Высшая математика» для инженерно-технических специальностей.
Содержание программы.
1. Трехмерное пространство R3. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейно-независимые системы векторов. Базис.
2. Скалярное произведение в R3 и его свойства. Длина вектора. Угол между двумя векторами. Ортогональный базис. Разложение вектора по базису.
3. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алге браические дополнения и миноры. Определители n-го порядка. Вектор ное произведение и его свойства. Смешанное произведение.
4. Уравнение плоскости в R3 (векторная и координатная формы). Уравнения прямой в R2 и R3 (векторная и координатная формы).
5. Системы двух и трех линейных уравнений с двумя и тремя не известными. Правило Крамера. Системы т линейных уравнений с п неизвестными. Метод Гаусса-Жордана.
6. Матрицы. Действия над матрицами, обратная матрица. Матрич ная запись системы линейных уравнений и ее решения. Пространство Rn. Линейная зависимость и независимость векторов в Rn. Ранг матри цы, его вычисление. Исследование системы линейных уравнений. Теоре ма Кронекера-Капелли.
7. Понятие о линейном операторе как о линейном преобразовании пространства. Линейные операторы и их матрицы в R2 и R3. Собствен ные векторы и собственные значения линейных операторов.
8. Квадратичные формы. Приведенные к каноническому виду. Геометрические приложения квадратичных форм в пространствах R2 и R3.
9. Общее уравнение кривых второго порядка. Канонические формы уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы.
10. Поверхности второго порядка, Канонические формы уравнений. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.
11. Элементы математической логики. Необходимость и достаточ ность. Символика математической логики и ее использование.
12. Множество вещественных чисел. Числовые последовательности. Предел. Верхние и нижние пределы множеств. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Свойства функций, имеющих предел.
13. Непрерывность функции. Непрерывность основных элементар ных функций.
14. Бесконечно малые функции и их свойства.
15. Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно большими функциями и бесконечно малыми.
16. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно ма лые. Их использование при вычислении пределов.
17. Свойства непрерывных в точке функций. Непрерывность сум мы, произведения и частного. Предел и непрерывность сложной функ ции.
18. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация.
19. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.
III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
20. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения и частного (обзор теорем школьного курса).
21. Производная сложной функции. Производная обратной функ ции. Производные обратных тригонометрических функций. Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование.
22. Гиперболические функции, их свойства и графики. Производ ные гиперболических функций.
23. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Линеаризация функции. Дифференциал суммы, произведения и част ного. Инвариантность формы дифференциала.
24. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
25. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя.
26. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Представление функций ex, cos x, sin x, ln (l+x), (1+х) по формуле Тейлора. Понятие главной части функции, выделение главной части функции. Приложения формулы Тейлора. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
IV. Исследование функций с помощью производных
27. Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимые условия экстремума. Достаточные признаки существо вания экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.
28. Исследование функции на экстремум с помощью производных высшего порядка. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций.
V. Неопределенный интеграл.
29. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таб лица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирова ние по частям и подстановкой.
30. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование выражений, содержащих тригоно метрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Использование таблиц интегралов.
VI. Определенный интеграл.
31. Задачи, приводящие к понятию определенных интегралов. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойcтва определенного интеграла.
32. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Нью тона — Лейбница.
33. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по час тям и подстановкой. Приближенное вычисление определенного интегра ла: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.
34. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей враще ния. Физические приложения определенного интеграла.
35. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несоб ственные интегралы от неограниченных функций, основные свойства. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости.
VII. Функции нескольких переменных.
36. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность.
37. Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифферен циала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.
38. Частные производные и полные дифференциалы высших по рядков. .Формула Тейлора.
39. Неявные функции. Теоремы существования. Дифференцирова ние неявных функций.
40. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое
условие. Достаточные условия.
41. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
42. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла. Двойные и тройные интегралы, их основные свойства. Представление об инте гралах любой кратности.
43. Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых коор динатах.
44. Замена переменных в кратных интегралах. Переход от декартовых координат к полярным, цилиндрическим и сферическим коорди натам.
45. Применение кратных интегралов для вычисления объемов и площадей, для решения задач механики и физики.
IX. Криволинейные и поверхностные интегралы.
46. Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определе ние криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление. Геометрические и механические приложения. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Формула Грина.
47. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов. Их свойства и вычисления.
Л и т е р а т у р а:
1. Пискунов П. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т 1,2. М., Наука, 1973.
2. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа. М., Наука, 1973.
3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М., Наука, 1972.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1977
5. Лихолетов И.И. Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика.
Минск, Высшая школа, 1976.
6. Лихолетов И.И. Руководство к решению задач по высшей математике. Минск, Высшая школа, 1976.
7. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах . Часть I, II. М., Высшая школа, 1974.
8. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.
Методика самостоятельной работы студента при изучении математики.
1. При изучении материала по учебнику, указанному в пособии перед каждой темой, ведите конспект, в котором выписывайте определе ния, формулировки теорем, формулы, графики и т.д.
2. На полях конспекта отмечайте вопросы для письменной или устной консультации с преподавателем.
3. Переходите к следующему вопросу только после хорошего понимания
предыдущего материала.
4. Теоретические формулы обводите рамкой, чтобы они лучше запомина лись при перечитывании конспекта. Можно выписать основные фор мулы на отдельном листе в форме справочника.
5. При решении задач обосновывайте каждый этап решения, теоретичес кими положениями курса математики, задавая себе вопрос: "На ка ком основании сделан переход от одной операции к другой?".
6. Отделяйте вспомогательные вычисления от основных при оформлении решения.
7. Делайте рисунки, но аккуратно и в соответствии с условием задачи.
8. Запишите краткий план решения задачи. Помните, что вы должны приобрести твёрдые навыки в решении однотипных задач.
9. Помогите себе в повторении, закреплении, усвоении изученного ма териала по вопросам для самопроверки, предлагаемым в этом посо бии после каждой темы.
Помните, что умение решать задачи является необходимым, но не достаточным условием хорошего знания теории.
10. Для обратной связи студента-заочника с преподавателем следует выполнить две контрольные работы, предложенные на стр. 38,72. Рецензия на работу указывает на пробелы в знаниях. Несамостояте льное выполнение работы делает студента неподготовленным к устному экзамену или зачёту.
10. Без контрольных работ с рецензией преподавателя, исправлениями и дополнениями студент не допускается к сдаче экзамена или зачёта.
12. На экзамене и зачёте проверяются отчётливое понимание теоретических и прикладных вопросов программы, а также умение применить знания к решению практических задач.
13. Студент выполняет тот вариант контрольных работ, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра (номера зачётной книжки).
14. На титульном листе выполненной контрольной работы укажите номер этой контрольной работы, Ф.И.О. студента, учебный шифр (номер зачётной книжки), дату окончания работы, подробный адрес студента.
На 1 курсе выполняются контрольные работы №1 и №2.
На 2 курсе выполняются контрольные работы №3 и №4.
15. Указать используемую литературу в конце решённой работы.
Таблица заданий для контрольных работ №1 и №2.
Номерварианта |
Номер задач для контрольных работ |
|
|
Работа №1 |
Работа №2 |
|
|
1 |
1 11 21 31 41 51 61 71 81 |
91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 201 |
|
2 |
2 12 22 32 42 52 62 72 82 |
92 102 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 |
|
3 |
3 13 23 33 43 53 63 73 83 |
93 103 113 123 133 143 153 163 173 183 193 203 |
|
4 |
4 14 24 34 44 54 64 74 84 |
94 104 114 124 134 144 154 164 174 184 194 204 |
|
5 |
5 15 25 35 45 55 65 75 85 |
95 105 115 125 135 145 155 165 175 185 195 205 |
|
6 |
6 16 26 36 46 56 66 76 86 |
96 106 116 126 136 146 156 166 176 186 196 206 |
|
7 |
7 17 27 37 47 57 67 77 87 |
97 107 117 127 137 147 157 167 177 187 197 207 |
|
8 |
8 18 28 38 48 58 68 78 88 |
98 108 118 128 138 148 158 168 178 188 198 208 |
|
9 |
9 19 29 39 49 59 69 79 89 |
99 109 119 129 139 149 159 169 179 189 199 209 |
|
0 |
10 20 30 40 50 60 70 80 90 |
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 |
Указания к выполнению контрольной работы №1
(темы 1-6)
Тема 1. Решение систем линейных уравнений.
Данко, гл 4,§1-7
Лихолетов, ч I гл. 7, §58-61.
Пусть требуется решить систему
(1)
После исключения переменной y из уравнений получим (2).
После исключения переменной x из уравнений получим (3)
Если знаменатель , то система (1) имеет единственное решение, которое находится по формулам (2),(3).
Если принять обозначения:
, то решение системы примет вид : , (4)
, где - определители системы, - главный определитель.
Определитель- таблица, составленная из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (1).
Определитель, имеющий две строки и два столбца называется определителем 2-го порядка. Формулы (4) называются формулами Крамера.
Вычисление определителей второго порядка:
(+)
(-)
Пример: =(-2·3)-(4·(-5))= -6+20=14,
, т. е
Определитель 3-го порядка равен сумме произведений трёх элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.
Пример. = ((-1)·1·(-1)+2·2·3+2·(-3)·3)-(3.1·3+2·2·(-1)+2·(-3)·(-1))= (1+12-18)- (9-4+6)=
= (-5)-11= -16.
=
т.е значение определителя равно произведению элементов 1-ой строки на соответствующие определители 2-го порядка, полученные после вычёркивания -той строки и -того столбца, на пересечении которых находится соответствующий элемент, причём a1 берётся со своим знаком, a2-c противоположным, a3- со своим знаком.
Пример: Вычислить определитель.
-1 2 3
2 1 –3 = -1 -2 +3 = -1·(-1+6)-2(-2+9)+3(4-3)= -1·5-2·7+3·1= -16
3 2 -1
Замечание. Разложение можно выполнять по элементам любой строки (столбца).
Задача. Решить систему
Решение: Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:
= 1· - (-2) +1· = (-2+6)+2(-4+9)+1(4-3)=4+10+1=15
Составим вспомогательный определитель . Он получается из главного путём замены первого столбца свободными членами.
= 8· +2 +1 = 8(-2+6)+2 (-2-0)+1(2-0)=8·4+2·(-2)+2=30
Составим определитель , путём замены 2-го столбца (в главном определителе) свободными членами.
= - 45 Вычислить самостоятельно.
Составим определитель путём замены 3-го столбца (в главном определителе) свободными членами.
= =0 Вычислить самостоятельно.
Тогда по правилам Крамера имеем
, или , ,
Сделать проверку самостоятельно.
Ответ: x=2, y= -3, z =0
Пусть дана система (1)
Гаусс при решении системы использовал метод исключения неизвестных. В результате исходная система приводится к треугольному виду:
В этих таблицах, называемых матрицами, должны быть записаны коэффициенты при неизвестных, а после вертикальной черты-свободные члены.
В системе (2) из последнего уравнения находится неизвестное z, из 2-го-другое неизвестное y, из 1-го- первое неизвестное x.
Задача. Решить систему.
~ ~
(первую строку умножаем на (-2) и на (-3) и складываем последовательно со второй и третьей строкой соответственно)
~ ~
(умножаем элементы второй строки на (-8) и складываем с 3-ей строкой).
Имеем систему
Из этой системы имеем z =0 (из последней строки), y= -3 (из 2-ой строки), x=2 (из 1-ой строки).
Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
Ефимов, гл 1-3, 4-6
Данко, гл. 1, §1-5.
1. - длина отрезка между точками и
2. ; - координаты точки деления отрезка в данном отношении.
| | | | |
-отношение величины отрезка от начала отрезка т. M1 до делящей т. C к величине отрезка от делящей точки C до конца отрезка M2 .
3. - уравнение прямой линии с угловым коэффициентом.
- угловой коэффициент прямой.
- тангенс угла между двумя прямыми.
-угол между двумя прямыми.
- условие | | двух прямых.
- условие двух прямых.
y y
b
x x 0 0
рис 1. рис 2.
4. - уравнение пучка прямых.
y
- центр пучка.
M0
х
0
рис 3.
5. - уравнение прямой, проходящей через две точки и
6. - уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору +
y
x
0
рис 4.
7. - уравнение прямой, проходящей через т. , перпендикулярно вектору .
y
x
0
М0
рис. 5
8. - общее уравнение прямой- уравнение первой степени с двумя неизвестными.
9. - уравнение в отрезках на осях.
y
b
0 a x
рис. 6
10. параметрические уравнения прямой.
, t- переменный параметр.
11. - уравнение окружности с центром в т. O (0;0) и радиусом r. ( рис. 7 )
рис. 7
- уравнение окружности со смещённым центром . (рис. 8)
12. Каноническое уравнение эллипса.
- уравнение эллипса с центром в начале координат.
- уравнение эллипса со смещённым центром в т. O1(x0,y0).
13. Каноническое уравнение гиперболы.
- каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат.
- уравнение гиперболы со смещённым центром O1 ( x0, y0).
14. Каноническое уравнение параболы.
- каноническое уравнение параболы с вершиной в т. O (0,0).
- уравнение директрисы.
- уравнение параболы со смещённой вершиной в т. O1 (x0,y0)
Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС: А (4; 3), В (16; - 6), С (20; 16). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пере сечения этой медианы с высотой CD; 6) уравнение пря мой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрич но точке А относительно прямой CD.
Решение. 1. Расстояние d между точками А ( x1; y1) и В (х2; y2) определяется по формуле:
(1)
Применяя (1), находим длину стороны АВ: =15
2. Уравнение прямой, проходящей через точки А(х1; у1) и В(х2; y2), имеет вид:
(2)
Подставляя в (2) координаты точек A и В, получим уравнение стороны АВ:
4y-12= -3x+12;
3x+4y-24=0 (AB).
Решив последнее уравнение относительно у, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с уг ловым коэффициентом:
4y= -3x+24; откуда
Подставив в (2) координаты точек В и С, получим уравнение прямой BC:
;
или y=5,5x-94, откуда kBC=5,5.
3. Известно, что тангенс угла между двумя прямы ми, угловые коэффициенты которых соответственно рав ны k1 и k2 вычисляется по формуле:
(3)
Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угло вые коэффициенты которых найдены: Применяя (3), получим
В=63°26'. или В 1,11 рад.
4. Уравнение прямой, проходящей через данную точ ку в заданном направлении, имеет вид: y—y1 = k(x—x1). (4)
Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся усло вием перпендикулярности прямых. Так как, , то . Подставив в (4) координаты точки С и най денный угловой коэффициент высоты, получим:
Чтобы найти длину высоты CD, определим сперва координаты точки D-~ точки пересечения прямых АВ и CD. Решая совместно систему:
, находим x=8, y=0, т.е D(8;0)
По формуле (1) находим длину высоты CD:
5. Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является середи ной стороны ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части:
Следовательно, E (18;5).
Подставив в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы:
Чтобы найти координаты точки пересечения высоты CD и медианы АЕ, решим совместно систему уравнений:
x=11, y=4; K (11;4).
6. Так как искомая прямая параллельна стороне АВ, то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэф фициенту прямой АВ. Подставив в (4) координаты най денной точки К и угловой коэффициент по лучим:
7. Так как прямая АВ перпендикулярна прямой CD, то искомая точка М, расположенная симметрично точ ке А относительно прямой CD, лежит на прямой АВ. Кроме того, точка D является серединой отрезка AM. Применяя формулы (5), находим координаты искомой точки М:
Треугольник ABC, высота CD, медиана АЕ, прямая KF и точка М построены в системе координат хОу на рис. 1.
рис. 1
Задача 2. Составить уравнение геометрического мес та точек, отношение расстояний которых до данной точ ки A (4; 0) и до данной прямой х=1 равно 2.
Решение.
рис. 2
В системе координат хОу построим точку A (4;0) и прямую х=1. Пусть М(х; у) —произ вольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр MB на данную прямую х=1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то ее абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, В(1,у) (рис. 2).
По условию задачи МА:МВ=2. Расстояния МА и MB находим по формуле (1) задачи 1:
Возведя в квадрат левую и правую части, получим:
или
Полученное уравнение представляет собой гипербо лу, у которой действительная полуось а=2, а мнимая -
Определим фокусы гиперболы. Для гиперболы вы полняется равенство Следовательно, с2=4+12=16; с=4; F 1(— 4; 0), F2(4; 0) — фокусы гипер болы. Как видно, заданная точка A(4; 0) является пра вым фокусом гиперболы.
Определим эксцентриситет полученной гиперболы:
Уравнения асимптот гиперболы имеют вид и
Следовательно, или и — асимптоты гиперболы. Прежде чем постро ить гиперболу, строим ее асимптоты.
Задача 3. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки A (4; 3) и прямой у=1. Полученное уравнение привести к простейшему виду.
Решение.
рис. 3
Пусть М(х; у) — одна из точек искомого геометрического места точек. Опустим из
точки М пер пендикуляр MB на данную прямую у=1 (рис. 3). Опре делим координаты точки В. Очевидно, что абсцисса точ ки В равна абсциссе точки М, а ордината точки В равна I, т. е. В (х; 1). По условию задачи МА=МВ. Следовательно, для любой точки М(х; у), принадлежащей искомому геометрическому месту точек, справедливо равенство:
или
Полученное уравнение определяет параболу с верши ной в точке О (4; 2). Чтобы уравнение параболы при вести к простейшему виду, положим x-4=Х и y+2=Y; тогда уравнение параболы принимает вид:
Чтобы построить найденную кривую, перенесем нача ло координат в точку О' (4; 2), построим новую систему координат XO'Y, оси которой соответственно парал лельны осям Ох и Оу, и затем в этой новой системе построим параболу (*) (рис. 3).
к каноническому виду. Назовите центр и радиус данной окружности.
Тема 3. Основы векторной алгебры.
Ефимов, гл. 7,8
Клетенник, гл. 8,9; Данко, гл. 2.
3.1 Операции над векторами.
1. - направленный отрезок.
+
или
+
-
- или
3
| | |
-3
| | |
1) ·=)
2) ·=P, P- число
3) =
4) =
Свойства:
1). ·=-скалярное произведение векторов, заданных координатами.
2). cos = (проекция вектора на ). Поэтому
·=cos ==
3). =, =, где =
4). ·=0, если
5). = или -условие коллинеарности векторов.
6). Угол между векторами:
, - условие перпендикулярности двух векторов.
7). ·=·
8). ·
9).
удовлетворяет условиям:
1). и
2).
3). -образуют такую же ориентацию как
Свойства:
1). =
2). , где
3).
4). Если то
5).
6). Если , то
7.) - площадь параллелограмма.
-площадь треугольника.
8).
9).
1). -форма записи смешанного произведения.
2). =
3). Если -компланарны , то
4). , если
5).
Д1 С1
М A1
В1
Д С
А В
, где V-объём параллелепипеда .
3. 2 Примеры решения задач.
Задача 5. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: А (2; 1; 0), B (3; -1; 2), С (13; 3; 10), D (0; 1; 4). Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) найти проекцию вектора на вектор ; 4) найти площадь грани ABC; 5) най ти объем пирамиды ABCD.
Решение. I. Произвольный вектор а может быть представлен в системе орт i, j, k следующей формулой;
(1)
где ах, ау, аг — проекции вектора а на координатные оси Ох, Оу и Oz, а — единичные векторы, направле ния которых совпадают с положительным направлением осей Ох, Оу и Oz. Если даны точки и то проекции вектора на координатные оси находятся по формулам:
(2)
Тогда
(3)
Подставив в (3) координаты точек A и В, получим вектор
Аналогично, подставляя в (3) координаты точек А и С, находим
Подставив в (3) координаты точек А и D, находим век тор :
Если вектор задан формулой (1), то его модуль вы числяется по формуле
(4)
Применяя (4), получим модули найденных векторов:
,
2. Косинус угла между двумя векторами равен ска лярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей. Находим скалярное произведение векторов и :
Модули этих векторов уже найдены: , Следовательно,
¢.
3. Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора :
4. Площадь грани ABC равна половине площади па раллелограмма, построенного на векторах и . Обозначим векторное произведение вектора на век тор через вектор . Тогда, как известно, модуль вектора выражает собой площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а площадь грани ABC будет равна половине модуля вектора:
_
кв. ед.
5. Объем параллелепипеда, построенного на трех не компланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произ ведение
Следовательно, объем параллелепипеда равен 144 куб. ед., а объем заданной пирамиды ABCD равен 24 куб. ед.
3. 3 Вопросы для самопроверки.
Тема 4. Введение в анализ.
Пискунов, гл 1, § 1-9, упр 1-9, 39, 40
Гл 2, § 1-5, упр 1-6, 9-29, § 6-8,
Упр 31-35, 41-48, § 9, 10, упр 57-59
§ 11, упр 60-62.
Определение. Число а называется пределом функции y =f(x) в т. если для любого сколько угодно малого наперёд заданного ε >0 найдётся такое δ>0 (δ=δ(ε)), что выполняется неравенство < при <
Этот факт записывается так:
Если , то говорят, что функция имеет пределом число a на бесконечности (x→∞).
Если , то функцию называют бесконечно большой величиной в окрестности т..
Если , то f(x)- бесконечно большая величина на бесконечности (x→∞).
Если , то - бесконечно малая функция (величина) в окрестности т. X0 .
Если , то - бесконечно малая величина на бесконечности (x→∞).
При вычислении пределов используются теоремы о пределах, а также 1-ый замечательный предел
второй замечательный предел , а также формулы ,
4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .
I. Если то можно использовать три способа раскрытия этой неопределённости.
1-ый способ. Разложить и числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократить на общий множитель.
Пример.
Ответ: где 2- предельное значение аргумента, (-1) -
предельное значение функции y.
2-ой способ. Использовать правило Лопиталя, т.е использовать равенство:
Пример:
3-ий способ. Применить таблицу эквивалентности бесконечно малых.
Таблица.
1.
2.
3.
4.
Пример: Найти
Решение.
II. Если то можно использовать три способа раскрытия этой неопределённости.
1-ый способ. Использовать правило Лопиталя.
Пример. Найти
Решение:
2-ой способ. Разделить все слагаемые числителя и все слагаемые знаменателя на старшую переменную дроби.
Пример. Найти [-бесконечно малые величины ]=
Ответ:
1. - первый замечательный предел.
Замечание. При x0 sin x~ x
Пример 1.
Найти
если заменить , т.к , то
Заметим,что показатель степени обратен по величине второму слагаемому в основании.
Пример 2. представили основание в виде суммы 1 и некоторой бесконечно малой величины.
Выполненные тождественные преобразования в показателе степени, позволяют выделить 2-ой замечательный предел. ( в квадратных скобках)
Определение 1. Функция называется непрерывной в точке x0 , если выполняется равенство:
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке x0 , если
где соответственно приращение аргумента и приращение функции.
Пример. Дана функция
Требуется : 1). Найти точку разрыва данной функции.
2). Найти и
3). Найти скачок функции в точке разрыва.
Решение.
Данная функция определена и непрерывна в
При x=1 функция терпит разрыв, т.к меняется аналитическое выражение функции.
y
x=1- точка разрыва первого рода.
Скачком функции называется абсолютная величина разности между её правым и левым предельными значениями т.е (ед). –скачок функции.
Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента.
Пискунов, гл. III, § 1-26, упр 1-220
Гл. IV, § 1-7, упр 1-55.
5. 1 Определение производной, дифференциала.
1. Определение. Производной первого порядка от функции по аргументу x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что , т.е. или
2. , где - угол наклона касательной к
- уравнение касательной, проведённой в т.
3. - скорость изменения функции в т. x0.
Геометрически dy представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в заданной точке.
6. - дифференциал аргумента равен приращению аргумента.
- дифференциал функции и приращение функции равны лишь приближённо.
7. - формула для приближённых вычислений.
Таблица дифференциалов и производных основных элементарных функций.
|
Элементарные функции |
дифференциал |
производная |
|
1 |
2 |
3 |
|
1. Степенная функция |
||
|
2. Линейная функция a,b-постоянные y=x. |
||
|
3.Тригонометрич. функции y=sin x y=cos x y=tg x y=ctg x |
||
|
4. Показательная функция , a-число |
||
|
5. Логарифмическая функция y=ln x |
||
|
6. Иррациональная функция |
|
1 |
2 |
3 |
|
7. Обратно тригонометричес- кие функции y= arcsin x y=arcos x y= arctg x y=arcctg x |
||
|
8. y=c c-const |
d(c)=0·dx |
|
Основные правила дифференцирования.
Пусть С- постоянное, и - функции имеющие производные.
Тогда :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7) если , , т.е , где функции f (U) и U (x) имеют производные, то - правило дифференцирования сложной функции.
Задача 1. Найти производные или следующих функций:
а)
б)
в)
г)
Решение:
а) Пользуясь правилом логарифмиро вания корня и дроби, преобразуем правую часть:
Применяя правила и формулы дифференцирования, получим:
б) Предварительно прологарифмируем по основанию е обе части равенства:
Теперь дифференцируем обе части, считая сложной функцией от переменной х:
откуда
в) В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разре шено относительно функции у. Чтобы найти производ ную у', следует дифференцировать по х обе части задан ного уравнения, считая при этом у функцией от х, а за тем полученное уравнение решить относительно искомой производной у'. Имеем
Из полученного равенства, связывающего х, у, и у',
находим производную у':
откуда
г) Зависимость между переменными х и у задана па раметрическими уравнениями. Чтобы найти искомую производную у', находим предварительно дифференци алы dy и dx и затем берем отношение этих дифферен циалов
Задача 2. Найти производную второго порядка
а)
б)
Решение: а) Функция у задана в неявном виде. Дифференцируем по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х:
откуда
Снова дифференцируем по х обе части (1):
(2)
Заменив у' в (2) правой частью (1), получим:
б) Зависимость между переменными x и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти произ водную у', находим сперва дифференциалы dy и dx и за тем берем отношение этих дифференциалов:
Тогда
Производная второго порядка . Следователь но, чтобы найти у", надо найти дифференциал dy':
Тогда
Задача 3. Найти приближенное значение функции при исходя из ее точного зна чения при
Решение: Известно, что дифференциал dy функ ции представляет собой главную часть прира щения этой функции .Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то приращение при ближенно равно дифференциалу, т. е. . Так как , а то имеет место при ближенное равенство:
Пусть , т. е.
Тогда
или
Приближенное равенство (1) дает возможность найти значение функции при , если известно значение функции и ее производной при Прежде чем воспользоваться приближенным равен ством ( 1 ) , находим числовое значение производной f'(x) при х= 6:
или
Применяя (1), получаем
Тема 6. Приложения производной к исследованию поведения функции и построению графика и к другим задачам.
Пискунов, гл. V, §1-12, упр 1-134
Данко , ч. I, гл. 3
План исследования функции и построения графика.
Задача 1. Исследовать функцию у = 1п(х2 — 6х +10) и построить ее график.
Решение:
1. Определим область существования функции. Квадратный трехчлен, стоящий под знаком ло гарифма, можно представить так: х2—6x+10=(x-3)2 + 1. Как видно, под знаком логарифма будет положи тельное число при любом значении аргумента х. Следо вательно, областью существования данной функции слу жит вся числовая ось.
2. Исследуем функцию на непрерывность. Функция всюду непрерывна и не имеет точек разрыва.
3. Установим четность и нечетность функции. Так как у(-х)¹у(х) и у(- х)¹ - у(х), то функция не яв ляется ни четной, ни нечетной.
4. Исследуем функцию на экстремум. Находим пер вую производную:
Знаменатель х2- 6x+10>0 для любого значения х. Как видно, при х < 3 первая производная отрицательна, а при х > 3 положительна. При х = 3 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс. В этой точке функ ция имеет минимум:
Итак, A(3; 0) - точка минимума . Функция убывает на интервале (- ¥ , 3) и возрастает на интервале (3, + ¥).
5. Определим точки перегиба графика функции и интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Для этого находим вторую производную:
Разобьем всю числовую ось на три интервала: ( - ¥, 2), (2, 4), (4, + ¥). Как видно, в первом и третьем интерва лах вторая производная отрицательна, а во втором ин тервале положительна. При x1 = 2 и х2 = 4 вторая произ водная меняет свой знак. Эти значения аргумента явля ются абсциссами точек перегиба. Определим ординаты этих точек:
Следовательно, P1(2; ln 2) и P2(4; ln 2) — точки перегиба графика функции. График является выпуклым в интерва лах ( - ¥, 2) и (4, +¥) и вогнутым в интервале (2, 4).
6. Определим уравнения асимптот графика функции. Для определения уравнения асимптоты y=kx+b вос пользуемся формулами:
Имеем
Чтобы найти искомый предел, дважды применяем правило Лопиталя:
Итак, кривая не имеет асимптот.
Использование производной в задачах прикладного характера.
Задача 1. Найти такой цилиндр, который имел бы наибольший объём при данной полной поверхности S.
Решение: Пусть радиус основания цилиндра равен x, а высота равна y.
Тогда
Следовательно, объём цилиндра выразится так:
Задача сводится к исследованию функции V(x) на максимум при x > 0.
Найдём производную
Найдём
При
т.е осевое сечение цилиндра должно быть квадратом.
Ответ: Цилиндр с квадратным сечением имеет наибольший объём при данной полной поверхности S.
План действий при решении задач прикладного характера.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Задача. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
на сегменте -2; 2
Решение: Найдём критические точки и исследуем их на экстремум.
В точке x=0 функция имеет максимум, равный f(0)=3.
В каждой из точек x=-1 и x=1 функция имеет минимум, равный f (-1)=f (1)=2
Найдём значения функции на концах сегмента :
Итак , наибольшее значение равно 11, а наименьшее 2.
Задача . Найти радиус кривизны и координаты центра кривизны кривой в точке А (0; 1).
Решение: Радиус кривизны вычисляется по фор муле:
Дважды дифференцируя данную функцию, находим
Вычислим значения производных у' и у" в заданной точке А (0; 1), т.е. при x = 0; имеем y¢(0) = 2; y¢¢ (0) = - 4.
Тогда радиус кривизны:
Для нахождения координат центра кривизны С(xс; yс] воспользуемся формулами:
Подставив в эти формулы координаты точки А и найден ные значения производных, получим:
Итак, точка С (5/2; -1/4) — центр кривизны.
Кривая , точка А (0; 1), центр кривизны С (5/2; -1/4) и радиус кривизны R»2,8 .
Задача. Найти радиус кривизны кривой r = a sin3 j (трех лепестковая роза) в точке A (p/6; а).
Решение. Если кривая задана в полярной системе координат уравнением r=f (j), то ра диус кривизны вычисляется по фор муле:
Дважды дифференцируя данную функ цию r= a sin 3j , найдем
Вычислим значения производных r¢ и r¢¢ в точке A (p/6;a), т.е при j=p/6 и r =a.
Имеем: r¢ (p/6)=0 и r¢¢ (p/6)=-9a. Подставив в формулу r =a, r¢=0 и r¢¢=9a, получим
Вопросы для самопроверки.
Сформулируйте признаки возрастания (убывания) функции. Приведите примеры.
Дайте определение экстремума функции.
Как найти максимум, минимум функции (два правила)?
Приведите пример, когда обращение производной в нуль не является достаточным условием экстремума функции.
Как найти интервалы выпуклости (вогнутости) функции? Примеры.
Контрольная работа № 1.
В ЗАДАЧАХ 1 –10 решить заданную систему уравнений, пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку полученного решения.
1. 5x +8y-z= -7, 2. x+2y +z=4,
x+2y+3z =1, 3x-5y+3z =1,
2x-3y +2z=9. 2x +7y- z=8.
3. 3x+2y + z= 5, 4. x+2y+4z=31,
2x+3y+ z =1, 5x+ y+ 2z=29,
2x + y+3z =11. 3x –y+ z=10.
5. 4x-3y +2z=9, 6. 2x-y- z =4,
2x+5y-3z=4, 3x+4y-2z=11,
5x+6y-2z=18. 3x-2y+4z =11.
7. x+ y+2z = -1, 8. 3x-y =5,
2x-y+2z= -4, -2x+ y+ z =0,
4x+ y+ 4z= -2. 2x- y+ 4z=15.
9. 3x –y+ z =4, 10. x+y +z =2,
2x- 5y –3z= -17, 2x- y – 6z= -1,
x + y- z= 0. 3x – 2y = 8.
В ЗАДАЧАХ 11-20 даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны AB; 2) уравнения сторон AB и BC и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол B в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение медианы AE; 5) уравнение и длину высоты CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку E параллельно стороне AB.
11. A (1;-1), B (4;3), C (5;1). 12. A (0;-1), B(3,3), C(4;1).
13. A(1;-2) B (4;2), C (5;0). 14. A (2;-2), B (5;2), C (6;0).
15. A(0;0), B (3;4), C (4;2). 16. A (0;1), B (3;5), C (4;3).
17. A(3;-2), B (6;2), C (7;0). 18. A (3;-3), B (6;1), C (7;-1).
19. A (-1;1), B (2;5), C (3;3) 20. A (4;0), B(7;4), C (8;2).
В ЗАДАЧАХ 21-30 даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется:
1. записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов;
2. найти угол между векторами
3. найти проекцию вектора на вектор
4. найти площадь грани ABC;
5. найти объём пирамиды ABCD;
21. A (1;2;1), B (-1;5;1), C (-1;2;7), D (1;5;9).
22. A (2;3;2), B (0;6;2), C (0;3;8), D (2;6;10).
23. A (0;3;2), B (-2;6;2), C (-2;3;8), D (0;6;10).
24. A (2;1;2), B (0;4;2), C (0;1;8), D (2;4;10).
25. A (2;3;0), B (0;6;0), C (0;3;6), D (2;6;8).
26. A (2;2;1), B (0;5;1), C (0;2;7), D (2;5;9).
27. A (1;3;1), B (-1;6;1), C (-1;3;7), D (1;6;9).
28. A (1;2;2), B (-1;5;2), C (-1;2;8), D (1;5;10).
29. A (2;3;1), B (0;6;1), C (0;3;7), D (2;6;9).
30. A (2;2;2), B (0;5;2), C (0;2;8), D (2;5;10).
В ЗАДАЧАХ 31-40 найти указанные пределы.
31. 1) а) x0=2; б) x0= -1; в) x0=
2)
32. 1) a) x0= -1; б) x0=1; в) x0=.
2)
33. 1) а) x0=2; б) x0=-2; в) x0=.
2)
34. 1) а) x0=1; б) x0=2; в) x0=.
2)
35. 1) а) x0= -2; б) x0= -1; в)= .
2)
36. 1) а) x0=-1; б) x0=1; в) x0=.
2)
37. 1) a) x0=2; б) x0=-2; в) x0=
2)
38. 1) a) x0=1; б) x0=2; в) x0=.
2)
39. 1) а) x0= -2; б) x0= -1; в) x0=.
2)
40. 1) a) x0= -1; б) x0=1; в) x0= .
2)
В ЗАДАЧАХ 41-50 найти производные пользуясь правилами и формулами дифференцирования.
41. а) б)
в) г)
42. а) б)
в) г)
43. а) б)
в) г)
44. а) б)
в) г)
45. а) б)
в) г)
46. а) б)
в) г)
47. а) б)
в) г)
48. а) б)
в) г)
49. а) б)
в) г)
50. а) б)
в) г)
В ЗАДАЧАХ 51-60 1). исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и начертить их графики. 2). Для функции из пункта а) найти дополнительно наибольшее и наименьшее значения на отрезке ;.
51. a) = -1; = 3;
б)
52. а) = -1; =2;
б)
53. а) =2, =4;
б)
54. а) = -1, =2;
б)
55. a) =0, =4;
б)
56. а) =-2, =3;
б)
57. а) =-3, =0;
б)
58. а) = -3, =1;
б)
59. а) =1, =4;
б)
60. а) = -1, =4;
б)
Решить ЗАДАЧИ 61-70 используя понятие экстремума функции.
61. Каковы должны быть размеры прямоугольника наибольшей площади, вписанного в круг радиуса 6 см?
62. Проволока длиной 40 см согнута в прямоугольник. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы площадь его была наибольшей?
64. Найти наибольший объем конуса, образующая которого равна (м).
64. Объем правильной треугольной призмы равен V= 16 (м3). Какова должна быть длина стороны основания призмы, чтобы ее полная поверхность была наименьшей?
65. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 (см3), причем стороны основания относились бы как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?
66. Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий фор му прямого кругового конуса заданной вместимости (м3). Каковы должны быть размеры конуса (высота и радиус основания), чтобы на шатер ушло наименьшее коли чество полотна?
67. Найти прямоугольник наибольшей площади, если сумма длин его катета и гипотенузы постоянна и равна. 4 (см).
68. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
69. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма ' их кубов была наименьшей.
70. Огород прямоугольной формы огорожен изгородью, дли на которой 72 м. Каковы должны быть размеры огорода, что бы его площадь была максимальной?
В ЗАДАЧАХ 71-80 найти приближённое значение функции y =f(x), заменяя приращение функции y соответствующим дифференциалом dy.
71. , x=3,94
72. , x=5,08
73. , x= 5,84
74. , x=4,06
75. , x= -7,85
76. , x= 9,08
77. , x=1,92
78. , x= 7,05
79. , x= -4,03
80. , x= 2,88
В ЗАДАЧАХ 81-90 для кривых в указанной точке A (x1,y1) найти радиус кривизны и координаты центра кривизны.
81. , 82. , A (3;4)
83. y=2x2, 84. A (0;1)
85. , A (2;2) 86. , A(1;1)
87. , A 88. , A (1;0)
89. , A (1;1) 90. y =cosx , .
Указания к выполнению контрольной работы № 2
( Темы 7-10)
Тема 7. Неопределённый интеграл.
Пискунов, гл X, § 1-14, упр. 1-214.
Данко, гл IX, § 1-5.
Непосредственное интегрирование.
Определение 1. Функция F ( x ) называется первообразной для функции f ( x ),
если F´ ( x )=f ( x ) и dF ( x )= f ( x )dx.
Если функция f ( x ) имеет первообразную F ( x ), то она имеет бесчисленное множество первообразных вида F ( x )+С, где C- постоянная.
Определение 2. Неопределённым интегралом от функции f (x) или от выражения
f (x)dx называется совокупность всех её первообразных.
Обозначение:
Знак - знак интеграла
f (x)- подынтегральная функция
f (x)dx- подынтегральное выражение
x- переменная величина ( аргумент функции )
F (x)- первообразная
F(x)+С –совокупность первообразных.
Отыскание неопределённого интеграла называется интегрированием функции.
Таблица неопределённых интегралов.
1.
2.
3.
4. 5.
6. 7.
8.
9.
10.
11. 12.
13. 14.
15. .
Свойства дифференциалов.
1. , с- const
2. Например :
Под непосредственным интегрированием понимается сведение подынтегрального выражения к табличному виду путём использования тождественных преобразований, таблицы и свойств неопределённых интегралов и дифференциалов.
Например: Найти
Решение: Возведём двучлен во вторую степень и запишем каждое слагаемое в виде степени, затем, произведя почленное деление и, применив соответствующие формулы таблицы, получим:
Классы функций, интегрируемых по частям:
a).
б).
в).
или или U= cosbx
4. Интегралы вида
-универсальная подстановка;
Для частных случаев:
а) формулы понижения порядка:
б) Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:
5. Интегралы вида и
Подстановка
В частности:
для применяется формула
для -формула
а) подстановка
б) подстановка
в) Тригонометрические подстановки:
Например:
1) решается способом интегрирования по частям.
2) решается способом подведения функции под знак дифференциала.
3) - решается методом подстановки x =sin t .
Примеры 1-3 решить самостоятельно.
7. 3 Примеры решения задач.
№1 Найти
Решение . Данный интеграл не является табличным. Умножив на и на (3) одновременно подинтегральное выражение, получим:
d3x
№ 2. Найти интеграл:
Решение. Используем интегрирование по частям, т.е используем формулу:
Имеем:
№ 3. Найти интеграл:
Решение: Используем подстановку , чтобы сделать подынтегральное выражение рациональным (без корня).
Итак,
Тогда J примет вид:
Использованы операции:
1. Замена
7. Замена переменной по формуле (из подстановки)
Тема 8. Определённый интеграл по отрезку.
Определение: Определённым интегралом по отрезку a;b от функции f (x) называется предел интегральной суммы , если этот предел существует и не зависит ни от деления отрезка a;b на части, ни от выбора точек внутри каждой из частей при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков (∆xi) стремится к нулю, т.е
Числа a,b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, т.е a;b-отрезок интегрирования.
Свойства определённого интеграла по a;b.
1.
2.
3.
4.
5. С- постоянная
Правила вычисления определённого интеграла по a;b
1. - формула Ньютона-Лейбница, где F(x)- первообразная
2. - интегрирование по частям.
3. , где x=(t) функция непрерывная вместе со своей производной
на ;
Например: Найти значение определённого интеграла
Решение:
Решаем методом подстановки
|
x |
1 |
e |
|
t |
0 |
1 |
Положим
Тогда
К несобственным интегралам относятся:
Пример 1. - несобственный интеграл 2) типа, т.к на отрезке -2;9 функция терпит бесконечный разрыв в точке x=0.
Пример 2. Вычислить
Решение
Пример 3. Вычислить
Решение:
Т.к - чётная функция.
Тогда
Замечание. Если предел несобственного интеграла существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся.
Если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.
1. -площадь криволинейной трапеции, где y=f (x)- кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, aABb- криволинейная трапеция.
2. - площадь криволинейной трапеции, если кривая задана
параметрически:
3. - площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах, где r = r(a) - уравнение кривой.
5. Вычисления объёма тела вращения.
Если криволинейная трапеция вращается вокруг оси OX, то объём тела вращения вычисляется по формуле:
6. Статические моменты и моменты инерции дуги плоской кривой y=f(x), (a x b) вычисляются по формулам (соответственно):
где - дифференциал дуги кривой y=f(x)
7. Координаты центра тяжести однородной дуги плоской кривой y=f(x) (a x b)
выражаются формулами:
где L-длина дуги.
Примеры решения задач.
Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=4x-x2 и осью ОХ.
Решение:
Решая систему, найдём точки пересечения: x=0; x=4.
Фигура OABO- криволинейная трапеция.
Значит, (кв. ед)
Задача 2. Найти длину дуги кривой y2=x3 от x=0 до x=1, (y 0).
Решение:
Дифференцируем уравнение кривой
Имеем: (ед.)
Задача 3. Найти статический момент и момент инерции полуокружности
(-r x r) относительно оси OX.
Решение.
1.
2.
Введём подстановку
. Если x=0, то t=0, если x=r, то .
Следовательно
Задача 4. Найти площадь, заключённую внутри лемнискаты Бернулли
Решение: В силу симметрии достаточно вычислить одну четверть искомой площади, а затем учетверить результат.
По формуле имеем
Отсюда S=a2
4. По какой формуле вычисляется Приведите примеры.
5. Дайте определение несобственного интеграла.
6. Является ли несобственными?
7. Геометрический смысл несобственных интегралов.
8. В каких задачах используются определённые интегралы по отрезку a;b в геометрии?
В механике?
Тема 9. Функции нескольких переменных.
Пискунов, гл VIII, § 1-17, гл IX, § 6. упр 1-49.
Данко, гл VIII, § 1-4.
Определение. Если каждой паре действительных чисел (x,y) D по некоторому правилу (закону) поставлено в соответствие одно и только одно значение переменной Z E, то говорят, что на множестве D задана функция z =f(x,y).
Множество D-область определения функции.
Область D есть часть плоскости, ограниченная замкнутой линией.
Графиком функции z =f(x,y) является некоторая поверхность Q.
Задача. Найти область определения функции
Решение:
Функция z принимает действительные значения при условии a2-x2-y2≥0→x2+y2≤ a2 круг с центром в начале координат, радиус круга a.
Ответ: Областью определения данной функции является круг вида x2+y2 ≤ a2
(граница-окружность включается)
Изображение области определения на координатной плоскости ХОУ.
Основные формулы.
1. - частная производная 1-го порядка функции z по переменной x.
2. - частная производная 1-го порядка функции Z по переменной y.
вычисляется при постоянном y, вычисляется при постоянном x.
При вычислении , используются правила и формулы дифференцирования (смотреть таблицу производных).
полный дифференциал функции
где - частные дифференциалы
функции
а) , где - полное приращение функции.
, dz- полный дифференциал.
Эта функция используется в нахождении приближённых значений функции.
5.Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от её частных производных первого
порядка.
6. - дифференциал второго порядка для функции
7. Если z = f(x,y) , где x = φ(t) , y=ψ(t) , то - производная сложной функции .z=f(φ(t),ψ(t)).
9. Производная неявной функции , заданной уравнением ,где F(x,y)-дифференцируемая функция,
вычисляется по формуле:
10. Частные производные неявной функции заданной уравнением вычисляются по формулам:
при условии
Задача 1.
Найти .
Решение:
, где
Задача 2. Найти полный дифференциал функции z = x3y + xtgx
Решение:
- теоретическая формула.
Где
Задача 3. Вычислить приближённое значение функции в точке P(2,97;4,02)
Решение:
т.Р
Тогда
Или
Или
Задача 4. Найти производную функции в направлении, составляющим с положительным направлением оси (ОХ) угол =60.
Решение:
, где и - углы наклона вектора к оси и к оси (OY)+ соответственно.
=60, тогда =30
- ответ.
Задача 5. Вычислить градиент функции в точке А (2;1).
Решение:
, где - базисные векторы, орты.
Задача 6. Найти смешанные частные производные второго порядка функции
Решение:
Дифференцируя, получаем
Дифференцируя по x (y=const), получаем
Ответ:
Задача 7. Исследовать на экстремум функцию
Решение: (1) - необходимое условие экстремума.
(2) где является решением системы (1).
Неравенство (2) является достаточным условием экстремума.
Причём , если то в точке есть максимум функции.
И если то в точке есть минимум функции.
Имеем:
(1)
то в точке P0(0;3) есть максимум
Ответ:
Задача 8.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом треуголь нике АОВ, ограниченном осями координат и прямой x + y -4=0 (рис. 12).
Решение. Чтобы найти наибольшее, и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области, необ ходимо:
Находим стационарные точки, ле жащие внутри заданной области:
Приравняв нулю частные производные и решив полученную систему
находим стационарную точку Р0(1; 2). Эта точка принад лежит заданной области. Вычислим значение функции в этой точке:
Граница области состоит из отрезка ОА оси Ох, от резка 0В оси Оу и отрезка АВ. Определим наибольшее и наименьшее значения функции z на каждом из этих трех участков. На отрезке ОА
у = 0, а 0 x 4. Если у=0, то z(x) = х2 — 2x + 5. Находим наибольшее и наи меньшее значения этой функции на отрезке [0, 4]:
Вычислим значения функции на концах отрезка ОА, т. е. в точках 0(0; 0) и A(4; 0):
z(0) = 5, z(4)= 13.
На отрезке OB х = 0 и 0 y 4. Если х = 0, то z(y) = 2у 2 -8у + 5. Находим наибольшее и наименьшее зна чения функции z от переменной у на отрезке [0; 4]:
В точке О (0; 0) значение функции уже было найдено. Вычислим значение функции в точке В:
z(В) = z (0; 4) = 5.
Теперь исследуем отрезок АВ. Уравнением прямой АВ будет у = 4 - х. Подставив это выражение- для у в за данную функцию z, получим
Определим наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [0; 4]:
Рз — стационарная точка на отрезке АВ. Вычислим зна чение функции в этой точке:
Значения функции на концах отрезка АВ найдены ранее.
Сравнивая полученные значения функции z в стацио нарной точке Ро заданной области, в стационарных точ ках на границах области P1, Р2, Рз и в точках О, А и В, заключаем, что наибольшее значение в заданной замкну той области функция z имеет в точке А, наименьшее значение — в точке Ро(1; 2). Итак,
Задача 9. Найти если , где x=acost, y=asint.
Решение:
Речь идёт о дифференцировании сложной функции.
Используя формулу получим
Задача 10.
Исследовать на экстремум функцию z = - 4 + 6x-х2 –ху- у2.
Решение: Чтобы исследовать данную дважды дифференцируемую функцию z = f (x, у) на экстремум, необходимо:
1. Найти частные производные первого порядка и , приравнять их нулю и решить систему уравнений:
Каждая пара действительных корней этой системы опре деляет одну стационарную точку исследуемой функции.
Пусть ро (х0 , у0) одна из этих точек.
2. Найти частные производные второго порядка и вычислить их значения в каждой стационарной точке.
Положим, что
3. Составить и вычислить определитель второго порядка
4. Если в исследуемой стационарной точке р0( x0, y0) >0, то функция z = f(x, у) в этой точке имеет макси мум при A<0 и минимум при A>0; если <0, то в исследуемой точке нет экстремума.
Если = 0, то вопрос об экстремуме требует допол нительного исследования.
Находим стационарные точки заданной функции:
Решение системы даёт x 0= 4, y 0= -2.
Следовательно, данная функция имеет только одну стационарную точку Ро(4, - 2).
Находим частные производные второго порядка и их значения в найденной стационарной точке:
Как видно, частные производные второго порядка не содержат х, они постоянны в любой точке и, в частности, в точке Р0(4, -2). Имеем А = -2; В = - 1; С=-2.
Так как >0 и A<0, то в точке Ро(4; -2) данная функ ция имеет максимум:
Тема 10. Криволинейный интеграл.
Пискунов, гл. XV, § 1-2, упр. 1-5
Данко, гл. II, § 1-4
Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам.
Основные формулы.
где h=AB, имеющая уравнение y= (x)
dh-дифференциал дуги AB или h.
где имеющая уравнение y=(x),
/(x)- производная y.
Криволинейный интеграл по координатам (II-го рода) есть работа, совершаемая переменной силой
на криволинейном пути AB (механическое толкование).
4.
5.
( A C B )
где представлена уравнением y= (x), a,b-отрезок изменения x дуги AB.
7.
т.е криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.
8. не зависит от контура интегрирования между т. А и т. В, если выполняется тождественное равенство:
Этот факт используется в качестве наивыгоднейшего пути интегрирования (следует выбрать ломаную, соединяющую точки А и В , звенья которой параллельны осям (OX) и (OY).
Подынтегральное выражение при указанных условиях является полным дифференциалом некоторой однозначной функции т.е а уравнение называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах.
9. Площадь фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром С, находится по формуле:
10.2. Примеры решения задач.
Задача 1. Вычислить криволинейный интеграл I-го рода по длине дуги
где L- отрезок прямой от т. O(0;0) до B(4;3)
Решение:
Уравнение прямой имеет вид:
или
Находим тогда
Задача 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x2, x = y 2 и 8xy =1.
Решение:
Решая совместно уравнения кривых находим координаты точек A и B:
Значит, или
Это краткое решение. Более подробное решение имеет вид:
или
1. -дуга параболы y = x2; dy =2xdx; тогда
2. - дуга кривой тогда
3. -дуга кривой тогда
Задача 3. Дано
Проверить, что данное выражение является полным дифференциалом функции «U» и найти эту функцию.
Решение:
- требование полного дифференциала выполняется и данное
выражение можно записать , где U=U(x,y)- искомая функция.
Будем интегрировать dU по ломаной OAM (см. рис.)
y . M (x;y)
O(0;0) A(x;0) x
Учтя, что на пути OA y =0; dy=0 а на пути AM x=const, dx=0, получим:
Ответ:
Задача 4. Найти центр тяжести дуги полуокружности лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице.
Решение: Из соображения симметрии ясно, что центр тяжести лежит на оси (OY), поэтому
Xc=0.
Ордината , где dL-длина дуги.
- длина полуокружности, т.е
Тогда
Ответ:
10.3 Вопросы для самопроверки.
Контрольная работа № 2
В ЗАДАЧАХ 91-100 найти неопределённые интегралы способом подстановки
(методом замены переменной).
91. . 92.
93. 94.
95. 96.
97. 98.
99. 100.
В ЗАДАЧАХ 101-110 найти неопределённые интегралы применяя метод интегрирования по частям.
101. 102.
103. 104.
105. 106.
107. 108.
109. 110.
В ЗАДАЧАХ 111-120 найти неопределённые интегралы, пользуясь разложением рациональных дробей на простейшие.
111. 112.
113. 114.
115. 116.
117. 118.
119. 120.
В ЗАДАЧАХ 121-130 вычислить определённые интегралы.
121. 122.
123. 124.
125. 126.
127. 128.
129. 130.
В ЗАДАЧАХ 131-140 вычислить площадь, ограниченную заданными параболами.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
В ЗАДАЧАХ 141-150 найти длину дуги кривой.
141. 142.
143. 144.
145. 146.
147. 148. y =lnx,
149. 150.
В ЗАДАЧАХ 151-160 вычислить несобственные интегралы и установить их расходимость.
151. 152.
153. 154.
155. 156.
157. 158.
159. 160.
В ЗАДАЧАХ 161-210 вычислить частные производные первого и второго порядков от заданных функций.
161. 162.
163. 164.
165. 166.
167. 168.
169. 170.
В ЗАДАЧАХ 171-180 задана функция z = f (x,y). Найти градиент и производную этой функции в заданной точке M (x0, y0) в направлении вектора составляющего угол с положительным направлением оси OX.
171.
172.
173. M (2,2),
174.
175.
176. z =ln (x2+y2), M (3,4),
177. M (1,-2),
178.
179. M (1,1),
180. M (2,2),
В ЗАДАЧАХ 181-190 найти экстремум заданной функции.
181. 182.
183. 184.
185. 186.
187. 188.
189. 190.
В ЗАДАЧАХ 191-200 с помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной заданными линиями (поверхностную плотность считать равной единице).
191. -x+2y = 1 192.
193. 3x - 4y =1 194. x2+y2 =9;
195. 196. x-5y =1.
197. x-3y-3 =0. 198. 2x-5y-1 =0.
199. 200. x+y+2=0.
В ЗАДАЧАХ 201-210 вычислить работу, совершаемую переменной силой на криволинейном пути L, соединяющем заданные точки M и N.
201.L-дуга параболы y =x2+2x;M (0;0),N (1;3)
202.L- дуга параболы y =2x2+1;M (0;1), N (2;9)
203.L-дуга кубической параболыy=x3;M (0;0),
N (2;8).
204.L- дуга параболы y =7x2+2x; M (0;0),
N (2;32)
205.L- отрезок прямой, соединяющий точки
M (1;2) и N (3;5)
206.L- дуга параболы y =3x2+x; M (1;4),
N (3;30).
207.L- дуга кубической параболы y=x3+1;
M (0;1), N (1;2).
208.L-дуга кубической параболы y=x3+2;
M (1;3), N (2;10).
209.L- дуга параболы y =x2+x; M (1;2), N (3;12).
210.L- дуга параболы y =3x2+2; M (2;14),
N (3;29).
ПРИЛОЖЕНИЕ
|
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0,0 |
0,3989 |
3989 |
3989 |
3988 |
3986 |
3984 |
3982 |
3980 |
3977 |
3973 |
|
0,1 |
3970 |
3965 |
3961 |
3956 |
3951 |
3945 |
3939 |
3932 |
3925 |
3918 |
|
0,2 |
3910 |
3902 |
3894 |
3885 |
3876 |
3867 |
3857 |
3847 |
3836 |
3825 |
|
0,3 |
3814 |
3802 |
3790 |
3778 |
3765 |
3752 |
3739 |
3726 |
3712 |
3697 |
|
0,4 |
3683 |
3668 |
3653 |
3637 |
3621 |
3605 |
3589 |
3572 |
3555 |
3538 |
|
0,5 |
3521 |
3503 |
3485 |
3467 |
3448 |
3429 |
3410 |
3391 |
3372 |
3352 |
|
0,6 |
3332 |
3312 |
3292 |
3271 |
3251 |
3230 |
3209 |
3187 |
3166 |
3144 |
|
0,7 |
3123 |
3101 |
3079 |
3056 |
3034 |
3011 |
2989 |
2966 |
2943 |
2920 |
|
0,8 |
2897 |
2874 |
2850 |
2827 |
2803 |
2780 |
2756 |
2732 |
2709 |
2685 |
|
0,9 |
2661 |
2637 |
2613 |
2589 |
2565 |
2541 |
2516 |
2492 |
2468 |
2444 |
|
1,0 |
0,2420 |
2396 |
2371 |
2347 |
2323 |
2299 |
2275 |
2251 |
2227 |
2203 |
|
1,1 |
2179 |
2155 |
2131 |
2107 |
2083 |
2059 |
2036 |
2012 |
1989 |
1965 |
|
1,2 |
1942 |
1919 |
1895 |
1872 |
1849 |
1826 |
1804 |
1781 |
1758 |
1736 |
|
1,3 |
1714 |
1691 |
1669 |
1647 |
1626 |
1604 |
1582 |
1561 |
1539 |
1518 |
|
1,4 |
1497 |
1476 |
1456 |
1435 |
1415 |
1394 |
1374 |
1354 |
1334 |
1315 |
|
1,5 |
1295 |
1276 |
1257 |
1238 |
1219 |
1200 |
1182 |
1163 |
1145 |
1127 |
|
1,6 |
1109 |
1092 |
1074 |
1057 |
1040 |
1023 |
1006 |
0989 |
0973 |
0957 |
|
1,7 |
0940 |
0925 |
0909 |
0893 |
0878 |
0863 |
0848 |
0833 |
0818 |
0804 |
|
1,8 |
0790 |
0775 |
0761 |
0748 |
0734 |
0721 |
0707 |
0694 |
0681 |
0669 |
|
1,9 |
0656 |
0644 |
0632 |
0620 |
0608 |
0596 |
0584 |
0573 |
0562 |
0551 |
|
2,0 |
0,0540 |
0529 |
0519 |
0508 |
0498 |
0488 |
0478 |
0468 |
0459 |
0449 |
|
2,1 |
0440 |
0431 |
0422 |
0413 |
0404 |
0396 |
0387 |
0379 |
0371 |
0363 |
|
2,2 |
0355 |
0347 |
0339 |
0332 |
0325 |
0317 |
0310 |
0303 |
0297 |
0290 |
|
2,3 |
0283 |
0277 |
0270 |
0264 |
0258 |
0252 |
0246 |
0241 |
0235 |
0229 |
|
2,4 |
0224 |
0219 |
0213 |
0208 |
0203 |
0198 |
0194 |
0189 |
0184 |
0180 |
|
2,5 |
0175 |
0171 |
0167 |
0163 |
0158 |
0154 |
0151 |
0147 |
0143 |
0139 |
|
2,6 |
0136 |
0132 |
0129 |
0126 |
0122 |
0119 |
0116 |
0113 |
0110 |
0107 |
|
2,7 |
0104 |
0101 |
0099 |
0096 |
0093 |
0091 |
0088 |
0086 |
0084 |
0081 |
|
2,8 |
0079 |
0077 |
0075 |
0073 |
0071 |
0069 |
0067 |
0065 |
0063 |
0061 |
|
2,9 |
0060 |
0058 |
0056 |
0055 |
0053 |
0051 |
0050 |
0048 |
0047 |
0046 |
|
3,0 |
0,0044 |
0043 |
0042 |
0040 |
0039 |
0038 |
0037 |
0036 |
0035 |
0034 |
Продолжение табл. 1
|
|
0033 |
0032 |
0031 |
0030 |
0029 |
0028 |
0027 |
0026 |
0025 |
0025 |
|
3,2 |
0024 |
0023 |
0022 |
0022 |
0021 |
0020 |
0020 |
0019 |
0018 |
0018 |
|
3,3 |
0017 |
0017 |
0016 |
0016 |
0015 |
0015 |
0014 |
0014 |
0013 |
0013 |
|
3,4 |
0012 |
0012 |
0012 |
ОО11 |
ОО11 |
0010 |
0010 |
0010 |
0009 |
0009 |
|
3,5 |
0009 |
0008 |
0008 |
0008 |
0008 |
0007 |
0007 |
0007 |
0007 |
0006 |
|
3,6 |
0006 |
0006 |
0006 |
0005 |
0005 |
0005 |
0005 |
0005 |
0005 |
0004 |
|
3,7 |
0004 |
0004 |
0004 |
0004 |
0004 |
0004 |
0003 |
0003 |
0003 |
0003 |
|
3,8 |
0003 |
0003 |
0003 |
0003 |
0003 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
|
3,9 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0001 |
0001 |
Значение функции
|
x |
Ф (x) |
x |
Ф (x) |
x |
Ф (x) |
x |
Ф (x) |
|
0,00 |
0,0000 |
0,40 |
0,1554 |
0,80 |
0,2881 |
1,20 |
0,3849 |
|
0,01 |
0,0040 |
0,41 |
0,1591 |
0,81 |
0,2910 |
1,21 |
0,3869 |
|
0,02 |
0,0080 |
0,42 |
0,1628 |
0,82 |
0,2939 |
1,22 |
0,3883 |
|
0,03 |
0,0120 |
0,43 |
0,1664 |
0,83 |
0,2967 |
1,23 |
0,3907 |
|
0,04 |
0,0160 |
0,44 |
0,1700 |
0,84 |
0,2995 |
1,24 |
0,3925 |
|
0,05 |
0,0199 |
0,45 |
0,1736 |
0,85 |
0,3023 |
1,25 |
0,3944 |
|
0,06 |
0,0239 |
0,46 |
0,1772 |
0,86 |
0,3051 |
1,26 |
0,3962 |
|
0,07 |
0,0279 |
0,47 |
0,1808 |
0,87 |
0,3078 |
1,27 |
0,3980 |
|
0,08 |
0,0319 |
0,48 |
0,1844 |
0,88 |
0,3106 |
1,28 |
0,3997 |
|
0,09 |
0,0359 |
0,49 |
0,1879 |
0,89 |
0,3133 |
1,29 |
0,4015 |
|
0,10 |
0,0398 |
0,50 |
0,1915' |
0,90 |
0,3159 |
1,30 |
0,4032 |
|
0,11 |
0,0438 |
0,51 |
0,1950 |
0,91 |
0,3186 |
1,31 |
0,4049 |
|
0,12 |
0,0478 |
0,52 |
0,1985 |
0,92 |
0,3212 |
1,32 |
0,4066 |
|
0,13 |
0,0517 |
0,53 |
0,2019 |
0,93 |
0,3238 |
1,33 |
0,4082 |
|
0,14 |
0,0557 |
0,54 |
0,2054 |
0,94 |
0,3264 |
1,34 |
0,4099 |
|
0,15 |
0,0596 |
0,55 |
0,2088 |
0,95 |
0,3289 |
1,35 |
0,4115 |
|
0,16 |
0,0636 |
0,56 |
0,2123 |
0,96 |
0,3315 |
1,36 |
0,4131 |
|
0,17 |
0,0675 |
0,57 |
0,2157 |
0,97 |
0,3340 |
1,37 |
0,4147 |
|
0,18 |
0,0714 |
0,58 |
0,2190 |
0,98 |
0,3365 |
1,38 |
0,4162 |
|
0,19 |
0,0753 |
0,59 |
0,2224 |
0,99 |
0,3389 |
1,39 |
0,4177 |
|
0,20 |
0,0793 |
0,60 |
0,2257 |
1,00 |
0,3413 |
1,40 |
0,4192 |
|
0,21 |
0,0832 |
0,61 |
0,2291 |
1,01 |
0,3438 |
1,41 |
0,4207 |
|
0,22 |
0,0871 |
0,62 |
0,2324 |
1,02 |
0,3461 |
1,42 |
0,4222 |
|
0,23 |
0,0910 |
0,63 |
0,2357 |
1,03 |
0,3485 |
1,43- |
0,4236 |
|
0,24 |
0,0948 |
0,64 |
0,2389 |
1,04 |
0,3508 |
1,44 |
0,4251 |
|
0,25 |
0,0987 |
0,65 |
0,2422 |
1,05 |
0,3531 |
1,45 |
0,4265 |
|
0,26 |
0,1026 |
0,66 |
0,2454 |
1,06 |
0,3554 |
1,46 |
0,4279 |
|
0,27 |
0,1064 |
0,67 |
0,2486 |
1,07 |
0,3577 |
1,47 |
0,4292 |
|
0,28 |
0,1103 |
0,68 |
0,2517 |
1,08 |
0,3599 |
1,48 |
0,4306 |
|
0,29 |
0,1141 |
0,69 |
0,2549 |
1,09 |
0,3621 |
1,49 |
0,4319 |
|
0,30 |
0,1179 |
0,70 |
0,2580 |
1,10 |
0,3643 |
1,50 |
0,4332 |
|
0,31 |
0,1217 |
0,71 |
0,2611 |
1,11 |
0,3665 |
1,51 |
0,4345 |
|
0,32 |
0,1255 |
0,72 |
0,2642 |
1,12 |
0,3686 |
1,52 |
0,4357 |
|
0,33 |
0,1293 |
0,73 |
0,2673 |
1,13 |
0,3708 |
1,53 |
0,4370 |
|
0,34 |
0,1331 |
.0,74 ' |
0,2703 |
1,14 |
0,3729 |
1,54 |
0,4382 |
|
0,35 |
0,1368 |
0,75 |
0,2734 |
1,15 |
0,3749 |
1,55 |
0,4394 |
|
0,36 |
0,1406 |
0,76 |
0,2764 |
1,16 |
0,3770 |
1,56 |
0,4406 |
|
0,37 |
0,1443 |
0,77 |
0,2794 |
1,17 |
0,3790 |
1,57 |
0,4418 |
|
0,38 |
0,1480 |
0,78 |
0,2823 |
1,18 |
0,3810 |
1,58 |
0,4429 |
|
0,39 |
0,1517 |
0,79 |
0,2852 |
1,19 |
0,3830 |
1,59 |
0,4441 |
Продолжение табл. 2
|
x |
Ф (x) |
x |
Ф (x) |
x |
Ф (x) |
x |
Ф (x) |
|
1,60 |
0,4452 |
1,85 |
0,4678 |
2,20 |
0,4861 |
2,70 |
0,4965 |
|
1,61 |
0,4463 |
1,86 |
0,4686 |
2,22 |
0,4868 |
2,72 |
0,4967 |
|
1,62 |
0,4474 |
1,87 |
0,4693 |
2,24 |
0,4875 |
2,74 |
0,4969 |
|
1,63 |
0,4484 |
1,88 |
0,4699 |
2,26 |
0,4881 |
2,76 |
0,4971 |
|
1,64 |
0,4495 |
1,89 |
0,4706 |
2,28 |
0,4887 |
2,78 |
0,4973 |
|
1,65 |
0,4505 |
1,90 |
0,4713 |
2,30 |
0,4893 |
2,80 |
0,4974 |
|
1,66 |
0,4515 |
1,91 |
0,4719 |
2,32 |
0,4898 |
2,82 |
0,4976 |
|
1,67 |
0,4525 |
1,92 |
0,4726 |
2,34 |
0,4904 |
2,84 |
0,4977 |
|
1,68 |
0,4535 |
1,93 |
0,4732 |
2,36 |
0,4909 |
2,86 |
0,4979 |
|
1,69 |
0,4545 |
1,94 |
0,4738 |
2,38 |
0,4913 |
2,88 |
0,4980 |
|
1,70 |
0,4554 |
1,95 |
0,4744 |
2,40 |
8,4918 |
2,90 |
0,4981 |
|
1,71 |
0,4564 |
1,96 |
0,4750 |
2,42 |
0,4922 |
2,92 |
0,4982 |
|
1,72 |
0,4573 |
1,97 |
0,4756 |
2,44 |
0,4927 |
2,94 |
0,4984 |
|
1,73 |
0,4582 |
1,98 |
0,4761 |
2,46 |
0,4931 |
2,96 |
0,4985 |
|
1,74 |
0,4591 |
1,99 |
0,4767 |
2,48 |
0,4934 |
2,98 |
0,4986 |
|
1,75 |
0,4599 |
2,00 |
0,4772 |
2,50 |
0,4938 |
3,00 |
0,49865 |
|
1,76 |
0,4608 |
2,02 |
0,4783 |
2,52 |
0,4941 |
3,20 |
0,49931 |
|
1,77 |
0,4616 |
2,04 |
0,4793 |
2,54 |
0,4945 |
3,40 |
0,49966 |
|
1,78 |
0,4625 |
2,06 |
0,4803 |
2,56 |
0,4948 |
3,60 |
0,499841 |
|
1,79 |
0,4633 |
2,08 |
0,4812 |
2,58 |
0,4951 |
3,80 |
0,499928 |
|
1,80 |
0,4641 |
2,10 |
0,4821 |
2,60 |
0,4953 |
4,00 |
0,499968 |
|
1,81 |
0,4649 |
2,12 |
0,4830 |
2,62 |
0,4956 |
4,50 |
0,499997 |
|
1,82 |
0,4656 |
2,14 |
0,4838 |
2,64 |
0,4959 |
5,00 |
0,49999997 |
|
1,83 |
0,4664 |
2,16 |
0,4846 |
2,66 |
0,4961 |
¥ |
0,5 |
|
1,84 |
0,4671 |
2,18 |
0,4854 |
2,68 |
0,4963 |