Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Тема №1.
Арифметические вычисления. Проценты.
1º. Натуральные числа – это числа, употребляемые при счете. Множество всех натуральных чисел обозначают N, т.е. N={1, 2, 3, …}.
Дробью называется число, состоящее из нескольких долей единицы. Обыкновенной дробью называется число вида , где натуральное число n показывает, на сколько равных частей разделена единица, а натуральное число m показывает, сколько таких равных частей взято. Числа m и n называют соответственно числителем и знаменателем дроби.
Если числитель меньше знаменателя, то обыкновенная дробь называется правильной; если числитель равен знаменателю или больше него, то дробь называется неправильной. Число, состоящее из целой и дробной частей, называется смешанным числом.
Например, - правильные обыкновенные дроби, - неправильные обыкновенные дроби, 1 - смешанное число.
2º. При выполнении действий над обыкновенными дробями следует помнить следующие правила:
1) Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.
Например, а) ; б) .
Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы, называется сокращением дроби.
2) Чтобы смешанное число представить в виде неправильной дроби, нужно умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части, записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель оставить прежним.
Аналогично любое натуральное число можно записать в виде неправильной дроби с любым знаменателем.
Например, а) , так как ; б) и т.д.
3) Чтобы неправильную дробь записать в виде смешанного числа (т.е. из неправильной дроби выделить целую часть), нужно числитель разделить на знаменатель, частное от деления взять в качестве целой части, остаток - в качестве числителя, знаменатель оставить прежним.
Например, а) , так как 200 : 7 = 28 (ост. 4);
б) , так как 20 : 5 = 4 (ост. 0).
4) Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей (оно и будет их наименьшим общим знаменателем), разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей (т.е. найти дополнительные множители для дробей), умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Например, приведем дроби к наименьшему общему знаменателю:
, , ;
;
630 : 18 = 35, 630 : 10 = 63, 630 : 21 = 30.
Значит, ; ; .
5) Правила арифметических действий над обыкновенными дробями:
a) Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями выполняется по правилу:
.
b) Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями выполняется по правилу a), предварительно приведя дроби к наименьшему общему знаменателю.
c) При сложении и вычитании смешанных чисел можно обратить их в неправильные дроби, а затем выполнить действия по правилам a) и b),
d) При умножении дробей пользуются правилом:
.
e) Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю:
.
f) При умножении и делении смешанных чисел, их предварительно переводят в неправильные дроби, а затем пользуются правилами d) и e).
3º. При решении примеров на все действия с дробями следует помнить, что сначала выполняются действия в скобках. Как в скобках, так и вне их сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
Рассмотрим выполнение вышеизложенных правил на примере.
Пример 1. Вычислить: .
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) . Ответ: 3.
Дидактический материал.
Найдите значение выражения:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ;
8) .
Ответы:
1º. Обыкновенную дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д., записанную без знаменателя, называют десятичной дробью.
Например, ; ; .
2º. Правила арифметических действий над десятичными дробями:
Например, .
Например, .
Например, .
Например, ; .
3º. При выполнении совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями нужно учитывать рациональность выбора: иногда лучше действия выполнить в - обыкновенных дробях, а в других случаях – в десятичных.
Например, ; .
Например, .
Например, ; .
Дидактический материал.
Найдите значение выражения:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ;
8) ; 9) ;
10) ; 11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ; 17) ;
18) ; 19) ;
20) .
Найти Х из пропорции:
21) ;
22) ;
23) ;
24) .
Ответы: 1) 84,075; 2) 1; 3) 6; 4) 8; 5) 20; 6) 32; 7) 1; 8) 2; 9) 4; 10) 2; 11) 3; 12) 3; 13) 0,5; 14) 3; 15) 1; 16) 3; 17) 5; 18) ; 19) 1; 20) 9; 21) 1; 22) 5; 23) 25; 24) 5.
1º. Процентом называется сотая часть какого-либо числа. Следовательно, само число составляет 100 процентов. Слово «процент» заменяют знаком %, т.е. .
2º. При решении основных задач на проценты (нахождение процентов данного числа; нахождение числа по его процентам) некоторая величина b принимается за 100 %, а ее часть – величина a – принимается за p % и составляется пропорция
.
Из этой пропорции по двум известным величинам определяют искомую третью величину, пользуясь основным свойством пропорции: b · p = 100 · a .
Пример 2. Сколько процентов числа 7 составляет разность между ним и 4 % числа 28?
Решение.
Найдем 4 % от числа 28. Чтобы найти проценты от числа, надо перевести проценты в десятичную дробь и умножить данное число на эту дробь. Это будет: 28 · 0,04 = 1,12.
Определим разность 7 – 1,12 = 5,88. Найдем, сколько процентов числа 7 составляет 5,88. Для этого составим пропорцию:
число 7 – 100 %,
число 5,88 – x %.
Отсюда .
3º. Чтобы найти процентное отношение двух чисел a и b, надо отношение этих чисел умножить на 100%, т.е. вычислить .
4º. При нахождении суммы вклада в банк используют формулу простых процентов или формулу сложных процентов.
Простой процентный рост: , где S – начальная сумма вклада, p - число процентов годовых, n – срок вклада, - величина вклада через n лет.
Сложный процентный рост: .
Дидактический материал.
а) 4% от 75; б) % от 330; в) 160% от 82,25.
а) 40% его равны 12; б) 1,25 % его равны 55; в) 0,8% его равны 1,84; г) % его равны .
а) число 15,57 от числа 90; б) число 150 от числа 120; в) число 0,3 от 1,9
а) 0,672 б) 400 в) 672 г) 500 д) 472
а) 762 б) 580 в) 140 г) 350 д) 7,62
а) 93,05 б) 93 в) 94 г) 92 д) 92,86
а) 110,46 б) 110,44 в) 109,59 г) 110,50 д) 110,47
Ответы: 6) 80%; 7) 12; 10) 15660; 11) 15606; 12) 150; 13) 10000; 14) 10; 15) 21; 16) 19; 17) 3; 18) 700; 19) 4; 20) 500; 21) 5.
Тема №2.
Уравнения. Модуль числа.
1º. Равенство функций называется уравнением с одной переменной.
Множество всех значений неизвестного х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x), называется областью определения или областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Чтобы найти ОДЗ уравнения, необходимо найти пересечение областей определения функций f(x) и g(x).
Число х из ОДЗ уравнения называется корнем ( или решением) уравнения, если при подстановке его в уравнение вместо неизвестного уравнение обращается в верное числовое равенство. Решить уравнение – значит найти множество его корней или доказать, что их нет.
2º. Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают.
Процесс решения уравнения, в идеале, это цепочка переходов от исходного уравнения к равносильным, приводящая с помощью равносильных преобразований к такому уравнению, для которого множество решений может быть найдено. В общем случае над уравнениями можно выполнять только такие преобразования, которые не нарушают равносильности или нарушают ее, приводя к приобретению посторонних корней. Последние должны быть выявлены путем проверки и отброшены.
1º. Линейным уравнением или уравнением первой степени называется уравнение вида , где a и b – действительные числа.
Для линейного уравнения могут представиться три случая:
1) a ≠ 0; в этом случае корень уравнения ;
2) a = 0, b ≠ 0; тогда получаем уравнение , которое не имеет корней;
3) a = 0, b = 0; тогда получаем уравнение , решением которого является любое действительное число, т.е. .
2º. Уравнения, сводящиеся к линейным, в т.ч. уравнения вида , обычно решают так:
1º. Уравнение вида , где a,b,c – действительные числа, причем а ≠ 0, называют квадратным уравнением.
Корни квадратного уравнения находят по формуле:
.
Если коэффициент а = 1, то квадратное уравнение называют приведенным; если коэффициент а ≠ 1 – неприведенным.
2º. Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения.
Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней; если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня); если D > 0, уравнение имеет два различных действительных корня.
3º. Теорема Виета. Сумма корней квадратного уравнения равна а произведение корней равно .
Для корней x1 и x2 приведенного квадратного уравнения формулы Виета имеют вид:
4º. Уравнения вида , , называют неполными квадратными уравнениями.
Неполные квадратные уравнения решают следующим образом:
1) ;
2) .
5º. Выражение называется квадратным трехчленом относительно х.
Квадратный трехчлен может быть разложен на линейные множители по формуле:
,
где x1 и x2 – корни квадратного трехчлена, т.е. корни уравнения (если уравнение имеет действительные корни).
1º. Функция, заданная формулой , где x, y – переменные, a, b, c – действительные числа, причем а ≠ 0, называется квадратичной.
2º. Графиком функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы.
Координаты вершины параболы определяются по формулам:
.
Если квадратичную функцию путем выделения полного квадрата привести к виду , то точка (x0; y0) – вершина параболы.
График квадратичной функции получается из графика функции с помощью параллельного переноса.
3º. Если коэффициент a > 0, ветви параболы направлены вверх, если a < 0 – вниз.
При парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, при D=0 – в одной (т.е. касается оси Ох), при D<0 - парабола не пересекает ось абсцисс.
Пример 3. Построим график функции .
Выполним следующие преобразования (называемые «выделением полного квадрата»):
График функции получается из графика функции параллельным переносом на 2 единицы влево и на две единицы вниз.
1º. Модуль (абсолютная величина) числа а определяется следующим образом:
.
Геометрический смысл модуля: |a| есть расстояние от точки числовой оси, изображающей данное число а, до начала отсчета - точки О, а |x-a| есть расстояние между точками числовой оси, соответствующими числам х и а.
2º. Уравнения вида можно решать геометрически.
Рассмотрим аналитические способы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, на примерах.
При решении уравнений важно уметь в соответствии с определением модуля освободиться от вертикальных скобок.
Например, , если a ≥ 5;
, если a < 5.
Пример 4. Решим уравнение , используя определение модуля числа.
Решение: Уравнение имеет решение, если x+1≥0, т.е. x≥-1.
.
Условие x≥-1 выполняется в обоих случаях.
Ответ: 4; 2/3.
Пример 5. Решим уравнение , используя свойство модулей («модули противоположных чисел равны»).
Решение:
.
Ответ: 3; -4.
Пример 6. Решим уравнение , рассматривая решения на интервалах.
Решение: Найдем нули модулей, т.е. такие значения x, при которых и : .
Рассмотрим уравнение на интервалах (-∞; -2), [-2; -1), [-1; +∞).
а) Для уравнение примет вид:
-(x+1)-(x+2)=2; -x-1-x-2=2; -2x=5; x=-2,5; => x=-2,5 – корень уравнения.
б) Для уравнение примет вид:
-(x+1)+(x+2)=2; -x-1+x+2=2; 0·x=1- нет корней.
в) Для уравнение примет вид:
x+1+x+2=2; 2x=-1; x=-0,5; => x=-0,5 – корень уравнения.
Ответ: -2,5; -0,5.
Дидактический материал.
Решите уравнения, сводящиеся к линейным:
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ;
6. ; 7. ;
8. ; 9. ;
10. ; 11. .
Решите квадратные уравнения:
12. ; 13. ;
14. ; 15. ;
16. .
Разложите на линейные множители:
17. ; 18. ; 19. ;
20. ; 21. .
Сократите дроби:
22. ; 23. ; 24. ;
25. ; 26. ; 27. .
Упростите выражение:
28. ; 29. .
Найдите среднее арифметическое всех действительных корней уравнения:
30. ; 31. ;
32. ; 33. ;
34. ; 35.;
36. .
Найдите расстояние от вершины параболы до точки М:
37. ; 38. ;
39. ; 39. .
Постройте график функции:
40. ; 41. ; 42. ;
43. ; 44. ; 45. ;
46. ; 47. ; 48. ;
49. ; 50. ; 51. .
52. По графику квадратичной функции определить знаки ее коэффициентов и их суммы:
Найдите рациональные корни уравнения:
53. ; 54. ; 55. ;
56. ; 57. ; 58. ;
59. ; 60. ; 61. .
Решите уравнения:
62. ; 63. ; 64. ;
65. ; 66. ; 67. ;
68. ; 69. ;
70. ; 71. ; 72. .
Тема №3.
Степени и корни.
3.1. Степень с целым показателем.
1º. Степенью числа а () с целым показателем n называется число , определяемое следующим образом:
1) если n = 0, а ≠ 0: ;
2) если : ;
3) если а ≠ 0: .
При этом число а называется основанием степени, а число n – показателем степени. 2º. Степень с целым показателем удовлетворяет следующим свойствам:
3.2. Арифметический корень. Степень с рациональным показателем.
1º. Арифметическим корнем k-ой степени () из числа а ≥ 0 называется неотрицательное число b, k-ая степень которого равна а:
2º. Замечание. Для любого действительного числа а, любого натурального числа n действуют правила:
в частности .
3º. Свойства арифметических корней. Пусть . Тогда:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) .
4º. Степенью числа a с рациональным показателем определяется равенством:
Степень с рациональным показателем обладает теми же свойствами, что и степень с целым показателем.
Пример 7. Упростить выражение: .
Решение. Используя определение степени и ее свойства, получим:
3.3. Формулы сокращенного умножения.
1º. Во всякого рода алгебраических преобразованиях используются формулы сокращенного умножения:
; ;
; ;
;
; .
Так, если а ≥ 0, b ≥ 0, то .
Или .
Пример 8. Вычислить .
Решение:
Ответ: 4.
Дидактический материал.
Вычислите:
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
11. ; 12. ;
13. ; 14. ; 15. .
Внесите множители под знак общего корня:
16. ; 17. ; 18. .
Упростите выражения:
19. ; 20. ; 21. ;
22. ; 23. ;
24. ; 25. ;
26. ;
27. .
Ответы: 19. ; 20. x + 4; 21. 0,5; 22. -1; 23. ; 24. 1; 25. 3; 26. x – y;
27. .
Тема №4.
Неравенства с одной переменной (часть I).
4.1. Решение линейных и квадратных неравенств.
1º. Решить неравенство с одной переменной – значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным. Элементы этого множества называются решениями неравенства.
Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают. Равносильность неравенств обозначается так: .
2º. Линейным неравенством называется неравенство вида , где.
Если a > 0, то .
Если a < 0, то .
Пример 9. Решить неравенство, сводящееся к линейному:
.
Решение: Раскрыв скобки, получим:
.
Ответ:
3º. Квадратным неравенством называется неравенство вида (или ), где а ≠ 0.
При решении квадратного неравенства в зависимости от знака дискриминанта могут представиться 3 варианта:
1) Если D < 0, то график квадратного трехчлена не пересекает ось Ох и лежит выше этой оси при a > 0 и ниже ее при a < 0. В первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая, а во втором – пустое множество.
2) Если D > 0, то график квадратного трехчлена пересекает ось Ох в точках х1 и х2 (x1 < x2), являющихся корнями уравнения . Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка (-∞; x1), (x1; x2), (x2; +∞). Если a > 0, то решением неравенства является множество . Если a < 0, то решением неравенства является множество (x1; x2).
3) Если D = 0, то график квадратного трехчлена касается оси Ох в точке х1, являющейся единственным корнем уравнения . При a < 0 решением неравенства будет пустое множество, при a > 0 – множество .
Пример 10. Решить неравенство .
Решение: Рассмотрим функцию . Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как a = -3 < 0.
Решим уравнение или . Корни этого уравнения . Изобразив схематически параболу , найдем, что y < 0 в каждом из промежутков (-∞; 1/3), (3; +∞).
Ответ: .
4.2. Метод интервалов.
1º. Если дискриминант квадратного трехчлена D > 0 или D = 0, то квадратное неравенство можно переписать в виде или , где x1 и x2 – корни квадратного трехчлена, и использовать для его решения метод интервалов.
2º. Для решения любых алгебраических уравнений
вида (1) или вида (2) , где x1, x2, …, xn – действительные числа, удовлетворяющие условию x1 < x2 < …< xn, а k1, k2, …, kn – натуральные числа, применим обобщенный метод интервалов.
Суть его состоит в следующем: на координатной оси отмечают числа x1, x2, …, xn, в промежутке справа от xn ставят знак +,
затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередную точку xi меняют знак, если ki - нечетное число и сохраняют знак, если ki - четное число. Тогда множеством решений неравенства (1) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак +, а множеством решений неравенства (2) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак – .
Замечание. Обобщенный метод интервалов справедлив и для целых рациональных неравенств P(x) > 0 или Q(x) ≥ 0, и для дробно-рациональных неравенств или , причем последние равносильны неравенству и системе соответственно, где P(x), Q(x) – некоторые многочлены.
Пример 11. Решить неравенство .
Решение: Находим корни квадратного трехчлена :
Данное неравенство равносильно следующему неравенству: . Применяя метод интервалов к последнему неравенству, получим множество всех решений неравенства – отрезок [-2; 3].
Ответ: .
Пример 12. Решить неравенство .
Решение:
Находим корни числителя и знаменателя:
Указанная система равносильна следующей системе:
Нанесем найденные корни на числовую прямую. В интервалах справа налево расставим знаки плюс и минус.
Множеством всех решений данного неравенства является объединение промежутков, в которых поставлен знак минус.
Ответ: .
Дидактический материал.
Решите неравенства:
1. ; 2. ;
3. ; 4. .
Решите системы неравенств:
5. ; 6. .
Найдите целые решения системы неравенств:
7. ; 8. .
Решите неравенства:
9. ; 10. ; 11. ;
12. ; 13. ;
14. ; 15. ;
16. ; 17. ;
18. ; 19. ;
20. ; 21. ; 22. ;
23. ; 24. ;
25. ; 26. ;
27. ; 28. ; 29. ;
30. ; 31. ; 32. .
Тема №5.
Неравенства с одной переменной (часть II).
5.1. Неравенства, содержащие знак модуля.
1º. При решении неравенств, содержащих неизвестные под знаком модуля, используется определение модуля, что приводит к рассмотрению двух случаев:
а) f(x) ≥ 0, тогда |f(x)| = f(x);
б) f(x)<0, тогда |f(x)| = -f(x).
2º. При решении неравенств вида |f(x)| < a или |f(x)| > b полезно использовать следующие соотношения:
3º. Для решения неравенств вида |f(x)| > |g(x)| используют метод возведения в квадрат обеих частей неравенства:
Пример 13. Решить неравенство .
Решение: Возведя обе части неравенства в квадрат, получим неравенство, равносильное данному: . Преобразовав последнее неравенство, получим , откуда находим: x ≤ - 2 , x ≥ 0.
Ответ: .
4º. Для решения неравенств вида часто применяют «метод промежутков». Находят ОДЗ неравенства, затем находят корни совокупности уравнений .
Эти корни разбивают ОДЗ на некоторое число промежутков. На каждом промежутке |fi(x)|=fi(x) или |fi(x)|=-fi(x), i=1,2,…,n. Поэтому на каждом из них данное неравенство заменяется на другое неравенство, уже не содержащее знаков модуля и равносильное данному неравенству на этом промежутке. Затем решают полученные неравенства (каждое на своем промежутке). Объединение всех найденных решений дает решение исходного неравенства.
Пример 14. Решить неравенство .
Решение:
Решение первой системы: ; второй: ; третьей: . Объединяя, получим .
5.2. Множество значений функции.
1º. Множеством (областью) значений E(y) функции y=f(x) называется множество всех таких чисел y0, для каждого из которых найдется число x0 такое, что f(x0)=y0.
2º. Областью значений всякого многочлена четной степени является промежуток , где m – наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток , где n – наибольшее значение этого многочлена.
Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R.
3º. Области значений основных элементарных функций:
Пример 15. Найти множество значений функции, если x≤1.
Решение: Данная функция не определена при x=0 и, следовательно, задана на множестве .
Рассмотрим x<0, тогда |x|=-x и функция принимает вид . Так как для x<0, то . Таким образом, на промежутке функция принимает значения от 5 до +∞.
Если x>0, то |x|=x и функция имеет вид . Так как для , то .
Ответ: .
Дидактический материал.
Решите неравенства:
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ; 6. ;
7. ; 8. ; 9. ;
10. ; 11. ; 12. ;
13. ; 14. ;
15. ; 16. ;
17. ; 18. .
19. При каких x точки графика функции лежат выше прямой ?
20. При каких x точки графика лежат не ниже точек графика функции ?
Найти множество значений функции:
21. , если ; 22. , если .
Тема №6.
Иррациональные уравнения.
1º. Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.
При решении иррациональных уравнений применяют 2 метода: метод возведения в степень обеих частей уравнения и метод введения новой переменной (замены переменной).
2º. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень состоит в следующем:
а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду ;
б) возводят обе части полученного уравнения в n-ую степень: ;
в) учитывая, что , получают уравнение и решают его.
3º. Следует учитывать, что при возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. В этом случае обязательна проверка найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение.
Пример 16. Решить уравнение .
Решение: Преобразуем уравнение к виду и возведем обе части его в квадрат. Получим:
Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:
Откуда получим:
Проверка: 1) При x=5 имеем: . Таким образом, x=5 является корнем заданного уравнения.
2) . Таким образом, x=197 – посторонний корень.
Ответ: 5.
4º. Метод замены переменной продемонстрируем на примере.
Пример 17. Решить уравнение .
Решение: Область определения уравнения: Пусть , тогда Поэтому Отсюда:
1) Получили неверное числовое равенство, значит, в этом случае нет корней.
2)
Ответ: -8/7.
Дидактический материал.
Решите уравнения:
1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. .
Найдите наименьший корень уравнения:
11. ; 12. ;
13. .
Найдите произведение всех корней уравнения:
14. ; 15. .
Решите уравнения:
16. ; 17. ;
18. .
Тема №7.
Показательные уравнения.
7.1. Методы решения показательных уравнений.
1º. Показательными уравнениями называют уравнения, содержащие переменную в показателе степени.
Решение показательных уравнений основано на свойстве степени: две степени с одним и тем же основание равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
2º. Основные способы решения показательных уравнений:
1) простейшее уравнение имеет решение ;
2) уравнение вида логарифмированием по основанию a сводят к виду ;
3) уравнение вида равносильно уравнению ;
4) уравнение вида равносильно уравнению .
5) уравнение вида через замену сводят к уравнению , а затем решают совокупность простейших показательных уравнений ;
6) уравнение со взаимно обратными величинами заменой сводят к уравнению , а затем решают совокупность уравнений ;
7) уравнения, однородные относительно ag(x) и bg(x) при условии вида через замену сводят к уравнению , а затем решают совокупность уравнений .
7.2. Классификация показательных уравнений.
1. Уравнения, решаемые переходом к одному основанию.
Пример 18. Решить уравнение .
Решение: Воспользуемся тем, что все основания степеней являются степенями числа 5: .
2. Уравнения, решаемые переходом к одному показателю степени.
Эти уравнения решаются преобразованием исходного уравнения к виду , которое использованием свойства пропорции приводится к простейшему.
Пример 19. Решить уравнение:
Решение:
.
Если в уравнении каждый показатель степени отличается от другого на некоторое число, то уравнения решаются вынесением за скобки степени с наименьшим показателем.
Пример 20. Решить уравнение .
Решение: Вынесем в левой части уравнения степень с наименьшим показателем за скобки:
.
Пример 21. Решить уравнение
Решение: Сгруппируем отдельно в левой части уравнения слагаемые, содержащие степени с основанием 4, в правой части – с основанием 3, затем вынесем степени с наименьшим показателем за скобки:
.
К квадратному уравнению относительно новой переменной y сводятся уравнения:
а) вида подстановкой , при этом ;
б) вида подстановкой , при этом .
Пример 22. Решить уравнение .
Решение: Сделаем замену переменной и решим квадратное уравнение:
.
Ответ: 0; 1.
Уравнение вида является однородным уравнением второй степени относительно неизвестных ax и bx . Такие уравнения сводятся предварительным делением обеих частей на и последующей подстановкой к квадратным уравнениям.
Пример 23. Решить уравнение .
Решение: Разделим обе части уравнения на :
.
Положив , получим квадратное уравнение с корнями .
Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений . Из первого уравнения находим, что . Второе уравнение не имеет корней, так как при любых значения x.
Ответ: -1/2.
Пример 24. Решить уравнение .
Решение: Разделим числитель и знаменатель дроби на 3x и получим вместо двух – одну показательную функцию:
Такие уравнения с множеством допустимых значений (ОДЗ), определяемым условием , логарифмированием обеих частей уравнения приводятся к равносильному уравнению , которые в свою очередь равносильны совокупности двух уравнений или .
Пример 25. Решить уравнение: .
Решение:
.
Дидактический материал.
Решите уравнения:
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ; 6.;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ; 11. ;
12. ; 13. ;
14. ; 15. ;
16. ; 17. ;
18. ; 19. ;
20. ; 21. ;
22. ; 23. ;
24. ; 25. .
26. Найдите произведение корней уравнения .
27. Найдите сумму корней уравнения .
Найдите значение выражения:
28. , где x0 – корень уравнения ;
29. , где x0 – целый корень уравнения .
Решите уравнение:
30. ;
31. ; 32. .
Ответы: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 5. 0; 6. 0; 7. -2; 8. 2; 9. 1, 3; 10. 8; 11. 5; 12. 1; 13. ¼; 14. 2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17. 0; 18. 1; 19. 0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23. 4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27. 3; 28. 11; 29. 54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
Тема №8.
Показательные неравенства.
1º. Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным неравенством.
2º. Решение показательных неравенств вида основано на следующих утверждениях:
если , то неравенство равносильно ;
если , то неравенство равносильно .
При решении показательных неравенств используют те же приемы, что и при решении показательных уравнений.
Пример 26. Решить неравенство (методом перехода к одному основанию).
Решение: Так как , то заданное неравенство можно записать в виде: . Так как , то данное неравенство равносильно неравенству .
.
Решив последнее неравенство, получим .
Ответ: .
Пример 27. Решить неравенство: (методом вынесения общего множителя за скобки).
Решение: Вынесем за скобки в левой части неравенства , в правой части неравенства и разделим обе части неравенства на (-2), поменяв знак неравенства на противоположный:
.
Так как , то при переходе к неравенству показателей знак неравенства опять меняется на противоположный. Получаем . Таким образом, множество всех решений данного неравенства есть интервал .
Ответ: .
Пример 28. Решить неравенство (методом введения новой переменной).
Решение: Пусть . Тогда данное неравенство примет вид: или , решением которого является интервал .
Отсюда . Поскольку функция возрастает, то .
Ответ: .
Дидактический материал.
Укажите множество решений неравенства:
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. .
6. При каких значениях x точки графика функции лежат ниже прямой ?
7. При каких значениях x точки графика функции лежат не ниже прямой ?
Решите неравенство:
8. ; 9. ; 10. ;
11. ; 12. .
13. Укажите наибольшее целое решение неравенства .
14. Найдите произведение наибольшего целого и наименьшего целого решений неравенства .
Решите неравенство:
15. ; 16. ; 17. ;
18. ; 19. ; 20. ;
21. ; 22. ; 23. ;
24. ; 25. ; 26. .
Найдите область определения функции:
27. ; 28. .
29. Найдите множество значений аргумента, при которых значения каждой из функций больше 3:
и .
Ответы: 11. 3; 12. 3; 13. -3; 14. 1; 15. (0; 0,5); 16. [1,5; 5]; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U{5}; 28. [2; +∞); 29. (-∞; log5(5-5)).
Тема №9.
Логарифмы.
1º. Логарифмом числа b по основанию a (где ) называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить число b.
Логарифм числа b по основанию a обозначается символом logab. В записи logab число a называют основанием логарифма, число b – логарифмируемым числом.
Равенство означает, что .
2º. Основным логарифмическим тождеством называется равенство , которое справедливо при .
Например, .
3º. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается lg вместо log10. Логарифм по основанию e (e=2,712828…) называется натуральным логарифмом и обозначается ln вместо loge.
4º. Основные свойства логарифмов:
1) ;
2) ;
3) (логарифм произведения), где ;
4) (логарифм частного), где ;
5) (логарифм степени), где ;
Замечание. Если b<0, а p – четное целое число, то справедлива формула:
6) (формула перехода к другому основанию логарифма).
В частности, .
Пример 29. Найти .
Решение: Воспользуемся основным логарифмическим тождеством и свойством «логарифм степени».
.
Пример 30. Вычислить .
Решение: Для решения данного примера необходимо использовать все свойства логарифмов:
.
Пример 31. Вычислить .
Решение: Для решения данного примера используются все свойства логарифмов, а также основное логарифмическое тождество:
.
Ответ: 19.
Пример 32. Найти , если и .
Решение: Разложим числа 168, 54, 24 и 12 на множители:
. Полагая и , выразим через x и y все логарифмы, содержащиеся в условии:
;
;
.
Согласно условию для определения x и y получаем систему уравнений:
, решая которую находим, .
Подставим найденные значения x и y в равенство для определения , получим ответ: .
5º. Логарифмирование – это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов переменных.
Потенцирование – это преобразование, обратное логарифмированию.
Пример 33. Дано , где .
Найти выражение для x.
Решение: Потенцируя, получим:
, .
Дидактический материал.
Вычислите:
1. ; 2. ; 3. ; 4. ;
5. ; 6. ; 7. ;
8. ; 9. ; 10. ;
11. ; 12. .
13. Прологарифмируйте по основанию 3 выражение .
14. Прологарифмируйте по основанию 5 выражение .
15. Прологарифмируйте по основанию 4 выражение .
16. Вычислите x, если .
17. Вычислите x, если .
Вычислите значение выражения:
18. при ;
19. при ;
20. при ;
21. при .
Упростите выражение:
22. ; 23. ;
24. ; 25. .
26. Известно, что . Найдите .
27. Найдите значение выражения , если .
28. Найдите значение выражения , если .
29. Найдите значение выражения , если .
30. Найдите значение выражения , если .
Найдите значение функции:
31. при ;
32. при .
Тема №10.
Преобразование тригонометрических выражений.
1º. На плоскости xOy рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. На единичной окружности отметим точку A(1;0). Радиус OA называют начальным радиусом. При повороте начального радиуса на угол α около центра О точка А(1;0) перейдет в некоторую точку М(x;y). Заметим, что поворот можно осуществить по часовой стрелки (угол поворота положителен) или против часовой стрелки (угол поворота отрицателен).
Косинусом угла α называется абсцисса точки М: .
Синусом угла α называется ордината точки М: .
Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки М к ее абсциссе: .
Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки М к ее ординате: .
являются тригонометрическими функциями аргумента α.
2º. Единицами измерения величины угла являются градус и радиан.
Если начальный радиус окружности совершит один полный оборот, то получится угол, равный 360˚ или 2π радиан.
Связь между градусной и радианной мерами измерения угла: рад.
Из этой формулы следует:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) и т.д.
3º. Свойства тригонометрических функций:
Функции - нечетные функции:
.
Функция - четная: .
Функции - периодические с наименьшим периодом 2π:
.
Функции - периодические с наименьшим периодом π:
.
4º. Основное тригонометрическое тождество.
Согласно теореме Пифагора (“в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы”) координаты любой точки М(x;y) единичной окружности удовлетворяют уравнению: . Отсюда:
где (10.1)
Из этой формулы следует:
а) ; б) .
5º. Основные соотношения между тригонометрическими функциями:
, (10.2)
, (10.3)
, (10.4)
, (10.5)
. (10.6)
6º. Формулы сложения аргументов:
, (10.7)
, (10.8)
. (10.9)
7º. Формулы двойного аргумента:
, (10.10)
, (10.11)
. (10.12)
8º. Формулы понижения степени синуса и косинуса:
. (10.13)(10.14)
9º. Преобразование суммы и разности одноименных тригонометрических функций в произведение:
, (10.15)
, (10.16)
, (10.17)
. (10.18)
10º. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму:
, (10.19)
, (10.20)
. (10.21)
11º. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.
При доказательстве тождеств, решении тригонометрических уравнений и т.п. часто возникает необходимость выразить все 4 тригонометрические функции через какую-нибудь одну функцию f(x). Для этого пользуются следующими формулами:
а) , (10.22)
б) , (10.23)
в) . (10.24)
12º. Формулы приведения. Это соотношения, при помощи которых значения тригонометрических функций аргументов выражают через тригонометрические функции угла α. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:
|
Аргумент t Функция |
||||||||
|
sin t |
cos α |
cos α |
sin α |
- sin α |
-cos α |
-cos α |
-sin α |
sin α |
|
cos t |
sin α |
-sin α |
-cos α |
-cos α |
-sin α |
sin α |
cos α |
cos α |
|
tg t |
ctg α |
-ctg α |
-tg α |
tg α |
ctg α |
-ctg α |
-tg α |
tg α |
|
ctg t |
tg α |
-tg α |
-ctg α |
ctg α |
tg α |
-tg α |
-ctg α |
ctg α |
Пример 34. Найдите , если .
Решение: . По формуле (10.6) . Так как α находится в 3-ей четверти, то и, следовательно, . Ответ: .
Пример 35. Вычислить значение выражения , если .
Решение: Используем формулу (10.10), а затем числитель и знаменатель дроби разделим на . Тогда:
Ответ: 9,25.
Пример 36. Доказать тождество: .
Решение: Используя формулы (10.15), (10.16), получим:
.
Пример 37. Вычислить , если .
Решение: Выразив и через по формулам (10.22), (10.23), получим:
.
Ответ: ¼.
Пример 38. Упростить выражение: .
Решение: Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также выделим период в аргументе функций и исключим его, опираясь на свойство периодичности функций:
,
,
,
,
.
Получаем:
Далее используем формулы приведения:
.
Ответ: -1.
Пример 39. Найти .
Решение: Воспользуемся формулой приведения и определением котангенса:
.
Поскольку угол находится в 4-ой четверти , то . Получаем:
.
Дидактический материал.
Найдите значение выражения:
Вычислите:
Упростите выражение:
Преобразуйте в произведение:
Найдите значение выражения:
Ответы: 1. 0; 2. 5,92; 3. 10; 4. 3; 5. 5,2; 6. 6; 7. 3; 8. 3; 9. 1,24; 10. -10; 11. 7/25; 12. 1; 13. 2; 14. 0; 15. 0; 16. 2; 17. -1; 18. 2; 19. -1; 20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. 21; 25. 24; 26. 26.
Тема №11.
Тригонометрические уравнения.
11.1. Решение простейших тригонометрических уравнений.
1º. Уравнение, содержащее неизвестную величину только под знаком тригонометрических функций, называется тригонометрическим. Тригонометрические уравнения либо не имеют корней, либо имеют их бесчисленное множество.
2º. Формула для корней уравнения , где , имеет вид:
.
Уравнение при решений не имеет.
Частные случаи:
а) ;
б) ;
в) .
3º. Формула для корней уравнения , где , имеет вид:
.
Уравнение при решений не имеет.
Частные случаи:
а) ;
б) ;
в) .
4º. Формула для корней уравнения при любом имеет вид:
.
Частные случаи:
а) ;
б) ;
в) .
5º. Формула для корней уравнения при любом имеет вид:
.
Частные случаи:
а) ;
б) ;
в) .
11.2. Основные методы решения тригонометрических уравнений.
1º. Уравнение вида (a0, b0, c0) равносильно уравнению , где , .
Пример 40. Решить уравнение.
Решение:
.
Ответ: .
2º. Одним из основных методов решения тригонометрических уравнений, так же как и других видов уравнений, является метод подстановки (замены переменной).
Пример 41. Решить уравнение .
Решение: Так как , то уравнение можно переписать следующим образом: , т.е. . Полагая , приходим к квадратному уравнению , откуда , и получаем совокупность двух простейших уравнений . Первое из них имеет решение , а второе решений не имеет.
Ответ: .
Метод замены переменной полезен при решении так называемых однородных уравнений, т.е. уравнений вида
(однородное уравнение I порядка),
(однородное уравнение II порядка).
Если a0, то при делении обеих частей первого уравнения на , а второго уравнения на получаем алгебраические уравнения, решаемые подстановкой . Если a=0, то во втором уравнении выносится за скобки.
Пример 42. Решить уравнение .
Решение: Разделив уравнение на , получим . Пусть , тогда или:
1) ;
2) .
Ответ: .
Замечание 1. Уравнение вида (d0) можно привести к однородному уравнению II порядка, положив .
Замечание 2. Уравнение вида (c0) можно привести к однородному уравнению II порядка относительно и .
3º. При решении тригонометрических уравнений также часто используют метод разложения на множители.
Пример 43. Решить уравнение .
Решение: Все члены уравнения переносятся в левую часть, после чего левую часть уравнения раскладывают на множители:
.
Значит, либо , откуда , либо , откуда .
Ответ: .
Заметим, что для разложения на множители могут применяться различные формулы: формулы разложения тригонометрических функций в произведение, формулы понижения степени, формулы преобразования произведения в сумму и др.
Пример 44. Решить уравнение .
Решение: Согласно формуле (10.19) заменим произведение тригонометрических функций суммой, а затем воспользуемся формулой (10.15):
.
Ответ: .
Пример 45. Решить уравнение .
Решение: Это уравнение можно привести к квадратному относительно , понизив степень и , но существует более короткий способ.
Дополним левую часть уравнения до полного квадрата суммы, для чего прибавим к обеим частям уравнения. Получим уравнение равносильное данному:
;
.
Применяя формулы (10.1) и (10.10), получаем: .
Пусть . Тогда ; (не удовлетворяет условию ), . Так как , то ,
.
Ответ: .
11.3. Таблица значений тригонометрических функций.
|
Аргумент Функция |
0 |
π |
2π |
|||||
|
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
||||
|
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
||||
|
0 |
1 |
— |
0 |
— |
0 |
|||
|
— |
1 |
0 |
— |
0 |
— |
Дидактический материал.
Решите уравнение:
1. ; 2. ;
3. ; 4. ; 5. ;
6. ; 7. ;
8. ; 9. ;
10. ; 11. ;
12. ; 13. ;
14. ;
15. ; 16. ;
17. ; 18. ;
19. ;
20. ; 21. ;
22. ; 23. ;
24. ; 25. ;
26. ; 27. ;
28. Определите количество корней уравнения , принадлежащих промежутку .
29. Определите количество корней уравнения , принадлежащих интервалу .
30. Определите количество корней уравнения , принадлежащих интервалу .
Тема №12.
Решение геометрических задач.
12.1.Планиметрия.
1º. Произвольный треугольник.
a, b, c – стороны;
α, β, γ – противолежащие им углы;
p – полупериметр;
R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности;
S – площадь;
ha – высота, проведенная к стороне a.
;
(формула Герона);
;
;
(теорема косинусов);
(теорема синусов).
Следует иметь в виду, что:
1) центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис треугольника;
2) центр окружности, описанной около треугольника, находится в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника;
3) медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
2º. Прямоугольный треугольник.
a, b – катеты; c – гипотенуза;
ac, bc – проекции катетов на гипотенузу;
;
;
;
(центр описанной окружности находится на середине гипотенузы);
(теорема Пифагора);
; ; ;
.
3º. Равносторонний треугольник.
; ; ; .
4º. Параллелограмм.
a, b – смежные стороны;
α – угол между ними;
d1 и d2 – диагонали;
φ – угол между диагоналями;
ha – высота, проведенная к стороне a;
S – площадь.
;
;
;
(сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон).
5º. Ромб.
;
;
;
.
6º. Прямоугольник.
;
;
.
7º. Квадрат.
;
.
8º. Трапеция.
;
.
9º. Описанный многоугольник.
,
где p – полупериметр, r – радиус вписанной окружности.
10º. Правильный многоугольник.
Если an – сторона правильного n-угольника, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, то:
.
11º. Окружность, круг.
Если r – радиус, C – длина окружности, S - площадь круга, то:
;
.
Пример 46. В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны и . Тогда гипотенуза треугольника равна:
1) 8 2) 12 3) 10 4) 14 5) 16.
Решение.
Введем следующие обозначения:
. Тогда по теореме Пифагора получаем:
, .
По условию задачи: .
1) Из ΔBPC: , . (1)
2) Из ΔAKC: , . (2)
Из (1) и (2) получаем систему алгебраических уравнений:
.
Ответ: 10 (правильный ответ – №3).
Пример 47. В трапеции сторона основания равна 7, высота 5, площадь 25. Тогда другое основание трапеции равно
1) 6 2) 4 3) 2 4) 3 5) 5.
Решение.
На рисунке и DC – основания данной трапеции, – ее высота . По условию задачи площадь трапеции равна .
По формуле получаем уравнение относительно DC:
.
Второе основание трапеции равно 3.
Ответ: 3 (правильный ответ – №4).
Пример 48. Периметр ромба равен 2p см, сумма его диагоналей равна m см. Тогда площадь ромба равна
1) 2) 3) 4) 5)
Решение.
Пусть дан ромб ABCD, – его диагонали, .
По условию задачи , периметр ромба . Требуется вычислить площадь ромба. Площадь ромба вычислим по формуле .
Найдем произведение диагоналей ромба: . Так как сумма квадратов диагоналей ромба равна сумме квадратов всех его сторон, то получаем .
Преобразуем это равенство: , но . Поэтому .
Окончательно, .
Ответ: см2 (правильный ответ – №3).
Дидактический материал.
1. В треугольнике ABC длины сторон AB и AC соответственно равны 4 и 6, а синус угла BAC равен . Тогда сторона CB (CB>8) равна:
1) 2) 3) 4) 5) .
2. В равнобедренном треугольнике основание равно 18, а боковая сторона в 1,25 больше высоты. Тогда площадь треугольника равна:
1) 216 2) 108 3) 144 4) 121 5) 110.
3. В треугольнике сторона, равная 12, расположена против угла 30º. Тогда радиус описанной около этого треугольника окружности равен:
1) 24 2) 14 3) 12 4) 8 5) 15.
4. Около прямоугольника с меньшей стороной, равной 46, и углом между диагоналями, равным 60º, описана окружность. Тогда площадь круга равна:
1) 1058π 2) 1600π 3) 2116π 4) 1024π 5) 625π.
5. В ромб вписана окружность радиуса 2. Определить площадь ромба, если его острый угол равен 60º.
1) 2) 3) 4) 5) 16
6. Даны стороны треугольника см, см, см. Тогда радиус описанной около него окружности равен:
1) 64 2) 8 3) 7 4) 5)
7. В треугольник вписан круг радиуса 4 см. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на части, равные 6 см и 8 см. Тогда длины двух других сторон равны:
1) 13 и 12 2) 12 и 8 3) 13 и 15 4) 11 и 9 5) 10 и 6.
8. Внутри круга, радиус которого равен 13 см, дана точка М, отделенная от центра круга на 5 см. через точку М проведена хорда см. Тогда длины отрезков, на которые хорда AB делится точкой М, равны:
1) 9 и 16 2) 8 и 17 3) 4 и 21 4) 5 и 20 5) 6 и 19
9. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 2 и 3. Тогда длина биссектрисы прямого угла этого треугольника равна:
1) 2) 3) 4) 5)
10. Длины оснований трапеции относятся как 7:3 и различаются на 8. Тогда длина средней линии трапеции равна:
1) 6 2) 10 3) 12 4) 8 5) 5.
11. Найти диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 см и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании.
1) 2) 3) 4)
5)
12. Площадь квадрата, вписанного в правильный треугольник со стороной a, равна:
1) 2) 3) 4) 5) .
13. Площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 и 44, а непараллельные – 17 и 25, равна:
1) 420 2) 430 3) 440 4) 450 5) 460
14. Медиана, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, делит его периметр на две части, длины которых равны 30 и 12 соответственно. Определить длину основания треугольника.
1) 1 2) 1,5 3) 2 4) 2,5 5) 3.
15. Сторона ромба равна 16, острый угол равен 30º. Определить радиус вписанного круга.
1) 3 2) 3,5 3) 4 4) 4,5 5) 5.
16. Круг описан около прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен 6 см, а угол, лежащий против этого катета, равен . Тогда площадь круга равна:
1) 6π см2 2) 9π см2 3) 36π см2 4) 144π см2 5) 24π см2
12.2.Стереометрия. Многогранники.
1º. Призмой называется многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников (оснований), расположенных в параллельных плоскостях, и параллелограммов (боковых граней), число которых равно числу сторон оснований.
Если l – длина бокового ребра, P – периметр основания, Sосн – площадь основания, Sсеч – площадь перпендикулярного сечения; Sбок – площадь боковой поверхности, V – объем, H – высота, то:
; .
2º. Прямой называется призма, если ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Прямая призма называется правильной, если в ее основаниях лежат правильные многоугольники.
3º. Прямоугольным параллелепипедом называется прямая призма, основания которой – прямоугольники.
Если a, b, c – измерения параллелепипеда, d – диагональ, то:
; ; .
4º. Куб – прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны (a – ребро).
;
5º. Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого – произвольный многоугольник (основание), а остальные грани (боковые грани) – треугольники, имеющие общую вершину.
Если Sосн – площадь основания, V – объем, H – высота, то:
;
.
Если все боковые ребра пирамиды равны между собой, то:
Если все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом α, то:
6º. Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота проходит через его центр.
Если P – периметр основания, l – апофема, Sбок – площадь боковой поверхности, то:
; ; .
6º. Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.
Для произвольной усеченной пирамиды: ,
,
для правильной усеченной пирамиды: ,
где S1 и S2 – площади оснований, h - высота, V – объем, P1 и P2 – периметры оснований, l – апофема; Sбок – площадь боковой поверхности.
Пример 49. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 6 см, 8 см, 10 см и все боковые ребра образуют с основанием углы по 45º. Тогда объем пирамиды равен:
1) 62 см3 2) см3 3) 40 см3 4) 24 см3 5) 96 см3.
Решение.
Дано: MABC – пирамида,
. Найти .
Так как , т.е. , то по теореме обратной теореме Пифагора – ΔABC – прямоугольный, , AB, BC – его катеты, AC – гипотенуза. По условию все боковые ребра пирамиды наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания, значит, вершина пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности, т.е. в середину гипотенузы ΔABC.
, .
В ΔAOM () острые углы треугольник равнобедренный, . Таким образом,
.
Ответ: см3 (№3 – правильный ответ).
Пример 50. Пусть в треугольной пирамиде все боковые грани образуют с плоскостью основания углы по 60º, и в основание вписан круг площадью 9π см2. Тогда высота пирамиды равна:
1) 3 см 2) см 3) см 4) 9 см 5) см.
Решение. Пусть радиус круга, вписанного в основание пирамиды, - r. Тогда площадь круга S равна: . Отсюда . Из прямоугольного треугольника OMN находим: .
Ответ: высота пирамиды равна см (№3 – правильный ответ).
Пример 51. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат площадью 16 см2. Через одну из сторон нижнего основания и противоположную сторону верхнего проведена плоскость. Площадь полученного сечения равна 20 см2. При этом полная поверхность параллелепипеда равна:
1) 96 см2 2) 48 см2 3) 40 см2 4) 80см2 5) 56 см2.
Решение.
Дано: ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, ABCD – квадрат, . см2, ABC1D1 – сечение параллелепипеда, см2. Найти .
.
По условию .
Тогда .
Вычислим СС1. По условию , , .
Из ΔBCC1: .
Окончательно, .
Ответ: см2 (№4 – правильный ответ).
Дидактический материал.
1. Если боковая поверхность правильной четырехугольной призмы равна 40 см2, а полная 90 см2, то высота призмы равна:
1) 5 см 2) 4 см 3) 2 см 4) 3 см 5) 10 см.
2. Высота правильной треугольной пирамиды равна равна 6 см. На расстоянии 3 см от вершины проведена плоскость, параллельная основанию. Площадь полученного сечения равна 5 см2. Тогда объем данной пирамиды равен:
1) 40 см2 2) 120 см2 3) 20 см2 4) 25 см2 5) 60 см2.
3. Если площадь основания правильного параллелепипеда равна 9 см2, а его полная поверхность равна 66 см2, то объем параллелепипеда равен:
1) 40 см3 2) 48 см3 3) 36 см3 4) 32 см3 5) 64 см3.
4. В основание правильной четырехугольной пирамиды вписан круг радиуса 2 см. Боковые грани составляют с плоскостью основания углы 60º. При этих условиях полная поверхность пирамиды равна:
1) 48 см2 2) 32 см2 3) 64 см2 4) 24 см2 5) 36 см2.
5. Около основания правильной шестиугольной призмы описана окружность радиуса 3 см. Высота призмы 4 см. Тогда площадь боковой поверхности призмы равна:
1) 84 см2 2) 36 см2 3) 72 см2 4) 54 см2 5) 42 см2.
6. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см. Все боковые грани образуют с основанием углы 60º. В этих условиях площадь полной поверхности пирамиды равна:
1) 72 см2 2) 64 см2 3) 48 см2 4) 56 см2 5) 88 см2.
7. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Объем пирамиды равен 40 см3. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом. Этот угол равен:
1) 45º 2) 30º 3) 60º 4) 15º 5) 22º15´.
8. объем правильной треугольной призмы равен . Радиус окружности, описанной около основания равен 2. Найти высоту призмы.
1) 6 2) 8 3) 15 4) 9 5) 12.
9. Объем куба равен . Найти радиус окружности, описанной вокруг грани куба:
1) 2) 3 3) 4) 2 5) .
12.3.Стереометрия. Круглые тела, тела вращения.
1º. Прямым круговым цилиндром (или просто цилиндром) называется тело, образованное вращением прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону. Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник, стороны которого равны длине окружности основания цилиндра и его высоте.
Если обозначить за R – радиус основания, H – его высоту, l – образующую, Sбок – площадь боковой поверхности, V – объем, то:
; .
2º. Прямым круговым конусом (или просто конусом) называется тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет. Развертка боковой поверхности конуса является круговым сектором.
Если обозначить за R – радиус основания, H – его высоту, l – образующую, Sбок – площадь боковой поверхности, V – объем, то:
; .
3º. Сферой называется множество точек пространства, находящихся на данном расстоянии от данной точки, называемой центром этой сферы.
Шаром называется множество точек пространства, расстояние от каждой из которых до данной точки (центра шара) не превосходит данного расстояния R (радиуса шара).
Если обозначить за R – радиус шара (сферы), S – площадь сферической поверхности, V – объем, то:
; .
4º. Шаровой сегмент – часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
Если обозначить за R – радиус шара, h – высоту сегмента, S – площадь сферической поверхности сегмента, V – объем, то:
; .
5º. Шаровой сектор – часть шара, ограниченная конической поверхностью с вершиной в центре шара и поверхностью шара.
Если обозначить за R – радиус шара, h – высоту сегмента, V – объем, то:
Пример 52. Площадь осевого сечения прямого кругового цилиндра равна 24. Найти площадь его боковой поверхности.
1) 2) 24π 3) 72 4) 68 5)
Решение.
Указание. При решении задач на «круглые тела» можно ограничиться изображением осевого сечения тела.
Пусть прямоугольник ABCD – осевое сечение данного цилиндра. Тогда по условию задачи его площадь равна: . Но .
Ответ: 24π (№2 – правильный ответ).
Пример 53. Образующая прямого кругового конуса равна 4 и наклонена к плоскости основания под углом 30º. Найти объем конуса.
1) 8π 2) 6π 3) 4π 4) 10π 5) 12π.
Решение.
Пусть равнобедренный треугольник ABC – осевое сечение данного конуса. По условию задачи образующая BC конуса равна 4, т.е. , кроме того, и OB – радиус основания конуса. Обозначим: . Тогда из ΔOBC найдем: , высота конуса равна в ΔOBC половине гипотенузы , т.е. . По формуле объема конуса:
.
Ответ: (№1 – правильный ответ).
Дидактический материал.
1. Найти диаметр шара, если его объем равен .
1) 8 2) 3) 9 4) 3π 5) 7
2. Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна , а его объем равен 17. Найти высоту цилиндра.
1) 272 2) 68π 3) 262 4) 5) 208
3. В конус вписан шар радиуса 2 см. Угол между образующей конуса и его высотой равен 30º. Боковая поверхность конуса равна:
1) 24π см2 2) 4π см2 3) 16π см2 4) 18π см2 5) 20π см2
4. Пусть шар вписан в усеченный конус, радиус меньшего основания которого равен 10 см, а радиус большего основания – 14 см. Тогда площадь поверхности шара равна:
1) 48π см2 2) 280π см2 3) 144π см2 4) 560π см2 5) 16π см2
5. Расстояние между тремя точками сферы равны 26, 24 и 10 см, а площадь сферы 900π см2, тогда расстояние от проходящей через них плоскости до центра сферы равно:
1) 2) 56 3) 56π 4) 5) .
6. Найти площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра, если его образующая равна 18, а площадь оснований 36π.
1) 126π 2) 90π 3) 72π 4) 108π 5) 216π
7. Если образующая конуса равна 6 см, а угол при вершине осевого сечения равен 60º, то площадь поверхности шара, вписанного в этот конус, равна:
1) 12π см2 2) 6 см2 3) см2 4) 18π см2 5) см2
8. В сферу радиуса 10см вписан конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом 45º. При этом площадь боковой поверхности конуса равна:
1) см2 2) см2 3) см2 4) см2 5) см2.
9. Шар, площадь поверхности которого равна 144π см2, вписан в усеченный конус, образующая которого равна 20 см. При этих условиях площадь меньшего основания усеченного конуса равна:
1) 2π см2 2) 4π см2 3) см2 4) см2 5) см2.
10. В сферу вписан прямоугольный параллелепипед с измерениями 6 см, 3 см и 2 см. Тогда радиус сферы равен:
1) 4 см 2) 3 см 3) 6 см 4) 2,5 см 5) 3,5 см.
2
PAGE 30