Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
БИЛЕТ1
1) Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:
где a, b, c, d, e, f – заданные числа; x, y – неизвестные. Числа a, b, d, e – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными методами.
Метод подстановки.
1) Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например x, через коэффициенты и другое неизвестное y:
x = ( c – by ) / a . (2)
2) Подставляем во второе уравнение вместо x :
d ( c – by ) / a + ey = f .
3) Решая последнее уравнение, находим y :
y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).
4) Подставляем это значение вместо y в выражение (2) :
x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ) .
Сложение или вычитание. Этот метод состоит в следующем.
1) Умножаем обе части 1-го уравнения системы (1) на (– d ), а обе части 2-го уравнения на а и складываем их:
Отсюда получаем: y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).
2) Подставляем найденное для y значение в любое уравнение системы (1):
ax + b( af – cd ) / ( ae – bd ) = c.
3) Находим другое неизвестное: x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ).
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения —несовместной.
Системы линейных уравнений возникают в огромном количестве задач в самых разных областях науки и исследованы очень глубоко, потому не будем тратить время на примеры задач, в которых они появляются. Давайте лучше для удобства запишем коэффициенты системы в прямоугольную таблицу , которую мы теперь гордо можем назвать матрицей коэффициентов системы линейных уравнений:
Теперь мы можем попытаться провести наши преобразования в терминах матриц. Давайте для этого допишем в конце каждой строчки матрицы коэффициент из правой части соответствующего уравнения:
Такая матрица называется расширенной матрицей исходной системы уравнений.
Определители 2-го порядка
1. Определения. В ряде вопросов математики используются некоторые специальные выражения, называемые определителями (или детерминантами). Простейшие из них – это так называемые «определители 2-го порядка». Покажем, как эти определители возникают при решении системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Рассмотрим систему
а1x + b1y = c1,
а2x + b2y = c2.
Чтобы исключить неизвестное у, умножим второе уравнение на b1 и вычтем то, что получится, из первого уравнения, умноженного на b2. В результате окажется
(а1 b2 – а2 b1) х = c1 b2 – c2 b1.
Коэффициент при х записывается в виде и называется определителем 2-го порядка. Таким образом, определитель 2-го порядка есть некоторое число, определяемое как числами а1, а2, b1, b2, так и их взаимным расположением. Это расположение задается квадратной таблицей .
Чтобы подчеркнуть, что эта таблица рассматривается как нечто целое, ее окаймляют круглыми скобками или двумя парами вертикальных чёрточек: или.
Такие таблицы называют матрицами 2-го порядка. Про определитель говорят, что он порождён матрицей. Необходимо чётко понимать разницу между определителем и матрицей . Первый есть число, а вторая – просто таблица, составленная из четырёх чисел.
Итак, определителем матрицы называется число, находимое по формуле:
Det = а1 b2 – а2 b1.
Числа а1, а2, b1, b2 называют элементами определителя и порождающей его матрицы.Различают также первый столбец и второй столбец , первую строку и вторую строку . Строки и столбцы определителя называют рядами. Пара чисел а1, b2 образуют главную диагональ (+) определителя, пара чисел а2, b1 – вторую диагональ (–).
Примеры.
= 35 – 12 = 23; = 24 + 2 = 26; = 0; = 1.
2. Основные свойства определителей 2-го порядка.
I. Определитель не изменится, если его строки превратить в столбцы, а столбцы в строки (равноправность строк и столбцов):
=.
II. При перестановке строк (столбцов) определитель меняет знак:
= – .
III. Если строки (столбцы) определителя одинаковы, то определитель равен нулю: =0.
IV. Если все элементы одной из строк определителя умножить на некоторое число, то весь определитель умножится на это число, т.е. общий множитель элементов одной строки можно вынести за знак определителя:
=q.
V. Если элементы одной строки пропорциональны элементам другой, то определитель равен нулю:
=0.
VI. Если к одной из строк прибавить другую, умноженную на любое число, то определитель не изменится:
=.
Решение системы по формулам Крамера
Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?
Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!
Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.
Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!
Рассмотрим систему уравнений
На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы.
Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.
Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и
На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .
Корни уравнения находим по формулам:
,
Пример 7
|
Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений |
|
Как известно, уравнения с двумя переменными вида Описывают на координатной плоскости Оху прямую. Система двух уравнений такого вида означает, что ее решения как точки на координатной плоскости должны принадлежать одновременно двум прямым, соответствующим уравнениям этой системы. Отсюда возможны следующие варианты: а) обе прямые пересекаются, и тогда система имеет единственное решение; б) прямые параллельны, и система не имеет решения (несовместна); в) прямые совпадают, т. е. ранг системы равен единице, и система имеет бесчисленное множество решений. Уравнение с тремя переменными вида Описывает плоскость в трехмерном пространстве. Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными — это точки пространства, принадлежащие одновременно трем плоскостям, которые описываются уравнениями системы. В этом случае возможны следующие варианты: а) три плоскости пересекаются в одной точке, и система имеет единственное решение; б) три плоскости пересекаются по одной прямой — система имеет бесчисленное множество решений (все точки на этой прямой); в) две плоскости совпадают, а третья пересекает их — бесчисленное множество решений (все точки прямой — на пересечении трех плоскостей), ранг системы равен двум; г) все три плоскости совпадают — все точки общей плоскости являются решениями, и ранг системы равен единице; д) хотя бы одна из плоскостей параллельна какой-либо из двух других — система несовместна; е) плоскости пересекаются попарно по параллельным прямым — система несовместна. В последних двух случаях несовместность системы уравнений обусловлена тем, что нет таких точек трехмерного пространства, которые принадлежали бы одновременно всем трем плоскостям. В случае системы уравнений с N неизвестными каждое уравнение вида Можно интерпретировать как гиперплоскость в координатном пространстве An. Решение системы (15.1) — это множество точек пространства An, которые принадлежат одновременно всем M гиперплоскостям, соответствующим уравнениям этой системы. |
2 вопрос
Асимптоты линии
Вертикальные асимптоты
1. Линия задана уравнением y = f(x). Если , то x = a - вертикальная асимптота. В частности, если , то x = a - вертикальная правосторонняя асимптота; если же , то x = a - вертикальная левосторонняя асимптота.
2. Линия задана уравнениями x = x(t), y = y(t). Если , , то x = a - вертикальная асимптота. В частности, если , , то x = a - вертикальная правосторонняя асимптота; если же , , то x = a - вертикальная левосторонняя асимптота.
Наклонные асимптоты
1. Линия задана уравнением y = f(x).
Если , то прямая y = kx + b - наклонная асимптота. При этом
Если , то прямая y = kx + b - наклонная асимптота вправо,
Если , то прямая y = kx + b - наклонная асимптота влево,
1. Линия задана уравнениями x = x(t), y = y(t).
Если (a - конечное число либо один из символов ) и линия обладает асимптотой y = kx + b, то