Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 11.
Нахождения собственных значений и собственных векторов матриц
Цель работы: Исследование сходимости методов определения собственных значений матрицы.
Теоретический материал к данной теме содержится в Н.С. Бахвалов «Численные методы», §12.
Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие материалы по каждой задаче: 1) постановка задачи; 2) необходимый теоретический материал; 3) результаты вычислительного эксперимента; 4) анализ полученных результатов; 5) графический материал (если необходимо);
6) тексты программ.
Теоретические данные для решения задач даны в ПРИЛОЖЕНИИ 0.А
Фрагмент решения задач даны в ПРИЛОЖЕНИИ 0.В
Задача 0.1.
ПРИЛОЖЕНИИ 0.А
Проблема собственных значений
В различных случаях возникают разные требования к инфор-мации о собственных значениях и собственных векторах матриц, и это порождает многообразие проблем и приемов решения этой задачи.
Для решения ряда задач механики, физики, химии тре буется получение всех собственных значений, а иногда и всех собственных векторов некоторых матриц. Эту задачу называют полной проблемой собственных, значений. В ряде случаев требуется найти лишь максимальное или минимальное по модулю собственное значение матрицы. Про блемы подобного сорта возникают, в частности, при решении некоторых задач ядерной физики. Здесь приходится решать за дачи, эквивалентные задачам отыскания собственных значений матриц размерности порядка 103 -106 или даже существенно большей. При малых размерностях матриц для решения этих задач чаще применяют итерационные методы, при больших - вероятностные. При исследовании колебательных процессов иногда тре буется найти два максимальных по модулю собственных значе ния матрицы, причем меньшее из них обычно достаточно опре делить с меньшей точностью.
Там же возникает задача отыскания собственного зна чения матрицы, наиболее близкого к заданному числу λ°, или отыскания расстояния от данного числа λ° до спектра матрицы.
Собственные векторы и собственные значения матриц
Для произвольной квадратной матрицы А порядка n, может быть составлено уравнение
называемое характеристическим полиномом данной матрицы. Корни полученного уравнения называют собственными значениями матрицы.
Далее, для каждого собственного значения может быть найден собственный вектор , удовлетворяющий следующему уравнению
Собственные значения , подчиняются соотношениям
Также, если собственное значение , соответствует матрице А, что кратко можно записать следующим образом , то выполняется ряд соотношений
последнее выражение истинно, если матрица А невырожденная, т.е. ее детерминант не равен 0.
Все вышеприведенные преобразования матрицы А оставляют все ее собственные векторы неизменными.
Следует также упомянуть следующее преобразование
именуемое преобразованием подобия. Оно оставляет неизменными собственные значения матрицы.
Для отыскания собственных значений и собственных векторов могут быть применены степенной метод и его модификации.
Степенной метод
Степенной метод представляет собой итерационный процесс, который при условии
позволяет найти максимальное по модулю собственное значение и соответствующий собственный вектор и может
быть задан следующей формулой
Здесь А - матрица, для которой вычисляются собственное значения и собственный вектор; есть приближение к
собственному вектору, полученное на k-ом шаге итераций, в принципе выбирается произвольно, на практике обычно используют единичный вектор; - параметр нормировки вектора . Можно показать, что при , , где , - максимальное собственное значение, - собственный вектор, соответствующий этому значению.
Степенной метод может иметь модификации, в зависимости от того, каким образом будет выбираться параметр нормировки. Здесь, для степенного метода, рассматриваются следующие случаи:
(эта модификация будет упоминаться в дальнейшем, как обычный степенной метод), либо
Скорость сходимости обычного степенного метода определяется соотношением
*Здесь и далее max(Xk) означает максимальный по модулю элемент вектора Xk
Степенной метод со сдвигом
Степенной метод со сдвигом, по сути, есть обычный степенной метод, но реализованный для матрицы , что в некоторых случаях позволяет увеличить скорость сходимости итерационного процесса. Для степенного метода со сдвигом она определяется следующим соотношением
Можно показать, что при выборе параметра
достигается наивысшая скорость сходимости метода.
Степенной метод со сдвигом позволяет найти собственные значения в виде
Собственные векторы остаются неизменными.
Метод возведения матрицы в степень
Представляет собой итерационный процесс позволяющий, в случае всех различных , найти собственный вектор соответствующий максимальному по модулю собственному значению матрицы. Итерационная формула
В ходе итераций все столбцы становятся параллельными. Скорость сходимости определяется скоростью, с которой стремиться к нулю.
Метод обратных степеней
Метод обратных степеней, является обычным степенным методом, но реализуется для матрицы
,т.е. в общем виде метод обратных степеней
Здесьесть начальное приближение к собственному значению, приближение, полученное на k-ом шаге итераций, параметр нормировки. Скорость сходимости метода определяется соотношением
Следует отметить, что для реализации метода обратных степеней необходимо иметь начальное приближение , которое достаточно хорошо аппроксимирует истинное собственное значение, иначе, в общем случае, метод может расходится. Для нахождения начального приближения может быть использовано несколько итераций обычного степенного метода. Модификации метода, в зависимости от параметров и предложены в практических заданиях.
Степенной метод со сдвигом позволяет найти собственные значения в виде
Собственные векторы остаются неизменными.
Степенной метод с отсечением
Позволяет вычислить все собственные значения и может быть применен для матриц, у которых на эти значения наложены следующие ограничения
Если матрице А соответствуют собственные значения, то матрице будут соответствовать собственные значения , где собственный вектор. Таким образом, определяя максимальное собственное значение (можно определить при помощи степенного метода) и выполняя вышеуказанное преобразование, избавляемся от этого собственного значения. На следующем шаге можем определить новое максимальное значение. В итоге, с определенной точностью, могут быть найдены все собственные значения.
Соотношение Рэлея
В общем случае для любого собственного значения матрицы может быть записано следующее выражение называемое соотношением Рэлея.
Здесь -собственный вектор, -соответствующее собственное значение матрицы. То есть, когда, в результате итерационного процесса, был получен собственный вектор, всегда можно определить или уточнить соответствующее собственное значение, исходя из этого соотношения.
ПРИЛОЖЕНИИ 0.В
Функции для нахождения максимального и минимального по модулю собственного значения степенным методом используют в качестве параметра нормировки евклидову норму.