объекта кривой поверхности риманова пространства и т
Работа добавлена на сайт samzan.net:
В дифференциальной геометрии, кривизна́ — собирательное название ряда количественных характеристик (скалярных, векторных, тензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» (кривой, поверхности, риманова пространства и т. д.) от соответствующих «плоских» объектов (прямая, плоскость,евклидово пространство и т. д.).
Обычно кривизна определяется для каждой точки на «объекте» и выражается как значение некоторого дифференциального выражения 2-го порядка. Иногда кривизна определяется в интегральном смысле, например, как мера, такие определения используют для «объектов» пониженной гладкости. Как правило, тождественное обращение в нуль кривизны во всех точках влечёт локальное совпадение изучаемого «объекта» с «плоским» объектом.
В этой статье приводятся только несколько простейших примеров определений понятия кривизны.
Пусть — регулярная кривая в -мерном евклидовом пространстве, параметризованная длиной. Тогда
называется кривизной кривой в точке , здесь обозначает вторую производную по . Вектор
называется вектором кривизны в точке .
Очевидно, это определение можно переписать через вектор касательной :
где одна точка над буквой означает первую производную по t.
Для кривой, заданной параметрически в общем случае кривизна отображается формулой
,
где и соответственно обозначают первую и вторую производную радиус-вектора в требуемой точке по параметру (при этом под крестом для кривой в трехмерном пространстве можно понимать векторное произведение, для кривой в двумерном пространстве — псевдоскалярное произведение, а для кривой в пространстве произвольной размерности — внешнее произведение).
Для кривой на декартовой плоскости, заданной уравнением , кривизна вычисляется по формуле:
Для того чтобы кривая совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы кривизна (или вектор кривизны) тождественно равнялась нулю.
Величина, обратная кривизне кривой (), называется радиусом кривизны; он совпадает с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой. Центр этой окружности называется центром кривизны. Если кривизна кривой равна нулю, то соприкасающаяся окружность вырождается в прямую.
Соприкасающаяся плоскость
в точке М кривой l, плоскость, имеющая с l в точке М касание порядка n ≥ 2 (см. Соприкосновение). С. п. может быть также определена как предел переменной плоскости, проходящей через три точки кривой /, когда эти точки стремятся к точке М. С механической точки зрения С. п. может быть охарактеризована как плоскость ускорений: при произвольном движении материальной точки по кривой l вектор ускорения лежит в С. п. Обычно кривая, кроме исключит, случаев, пронизывает свою С. п. в точке соприкосновения (см. рис.). Если кривая l задана уравнениями х = х (u), у = у (u), z = z (u), то уравнение С. п. имеет вид:
<="" em="" style="border-style: none;">
где X, Y, Z — текущие координаты, а х, у, z, х', у', z', х’’, у’’, z’’ вычисляются в точке соприкосновения; если все три коэффициента при X, У, Z в уравнении С. п. исчезают, то С. п. делается неопределённой (может совпадать с любой плоскостью, проходящей через касательную). См. также Дифференциальная геометрия.
Лит.: Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии. 4 изд., М., 1956.
Рис. к ст. Соприкасающаяся плоскость.
2. На тему- Соотношение естественного и позитивного права
3. Лишь сейчас я задумываюсь а как же я собралась описывать свои чувства Неужели я такой гениальный человек
4. . Экологические проблемы питания 11
5. Тема 16. Упрощенная система налогообложения УСН 1
6. реферату- Характеристика бухгалтерських рахунківРозділ- Бухгалтерський облік оподаткування Характеристи
7. УТВЕРЖДАЮ Юридический факультет 1 семестр 20132014 уч.html
8. Економіка та підприємництво за напрямами підготовки 6.1
9. Поэты второй половины XIX века Яков Петрович Полонский
10. Тема 52 Инновационная инвестиционная политика организации предприятия Растущая конкуренция заставл
11. Литературное наследие И Куратова
12. Эдип в Колоне Происходил из обеспеченной семьи Софилла получил хорошее образование
13. Премьерминистру депутату Дэвиду Камерону Лондон Даунингстрит 10 SW1 2 1 июля 2010 года Уважа
14. Причины экстремизма и борьба с ним в современном российском государстве
15. Команды мостика в различных ситуациях.
16. ru Все книги автора Эта же книга в других форматах Приятного чтения Герман Гессе ДЕМИАН И
17. Красноярский медицинский техникум КГБОУ СПО КрасМТ Аттестационный лист производственной практик
18. Первоначальное накопление В период первоначального накопления Франция вступает аграрной страной- 90 ее
19. Значение Урала как важного экономического региона страны
20. Рисунок 3