У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

объекта кривой поверхности риманова пространства и т

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-06-09

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 5.4.2025

В дифференциальной геометриикривизна́ — собирательное название ряда количественных характеристик (скалярныхвекторныхтензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» (кривойповерхностириманова пространства и т. д.) от соответствующих «плоских» объектов (прямаяплоскость,евклидово пространство и т. д.).

Обычно кривизна определяется для каждой точки на «объекте» и выражается как значение некоторого дифференциального выражения 2-го порядка. Иногда кривизна определяется в интегральном смысле, например, как мера, такие определения используют для «объектов» пониженной гладкости. Как правило, тождественное обращение в нуль кривизны во всех точках влечёт локальное совпадение изучаемого «объекта» с «плоским» объектом.

В этой статье приводятся только несколько простейших примеров определений понятия кривизны.

Пусть  — регулярная кривая в -мерном евклидовом пространстве, параметризованная длиной. Тогда

называется кривизной кривой  в точке , здесь  обозначает вторую производную по . Вектор

называется вектором кривизны  в точке .

Очевидно, это определение можно переписать через вектор касательной :

где одна точка над буквой означает первую производную по t.

Для кривой, заданной параметрически в общем случае кривизна отображается формулой

,

где  и  соответственно обозначают первую и вторую производную радиус-вектора  в требуемой точке по параметру (при этом под крестом  для кривой в трехмерном пространстве можно понимать векторное произведение, для кривой в двумерном пространстве — псевдоскалярное произведение, а для кривой в пространстве произвольной размерности — внешнее произведение).

Для кривой на декартовой плоскости, заданной уравнением , кривизна вычисляется по формуле:

Для того чтобы кривая  совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы кривизна (или вектор кривизны) тождественно равнялась нулю.

Величина, обратная кривизне кривой (), называется радиусом кривизны; он совпадает с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой. Центр этой окружности называется центром кривизны. Если кривизна кривой равна нулю, то соприкасающаяся окружность вырождается в прямую.

Соприкасающаяся плоскость

        в точке М кривой l, плоскость, имеющая с l в точке М касание порядка n ≥ 2 (см. Соприкосновение). С. п. может быть также определена как предел переменной плоскости, проходящей через три точки кривой /, когда эти точки стремятся к точке М. С механической точки зрения С. п. может быть охарактеризована как плоскость ускорений: при произвольном движении материальной точки по кривой l вектор ускорения лежит в С. п. Обычно кривая, кроме исключит, случаев, пронизывает свою С. п. в точке соприкосновения (см. рис.). Если кривая l задана уравнениями х = х (u), у = у (u), z = z (u), то уравнение С. п. имеет вид:

         <="" em="" style="border-style: none;">

         где XY, Z — текущие координаты, а х, у, z, х', у', z', х’’, у’’, z’’ вычисляются в точке соприкосновения; если все три коэффициента при X, У, Z в уравнении С. п. исчезают, то С. п. делается неопределённой (может совпадать с любой плоскостью, проходящей через касательную). См. также Дифференциальная геометрия.

        

         Лит.: Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии. 4 изд., М., 1956.

        

        Рис. к ст. Соприкасающаяся плоскость.




1. Строгановы и их усадьбы
2. Тема- Жидкие лекарственные формы Блок учебной информации Растворы Растворы ~ жидкая лекарственная ф
3. Тема- Класс 2 мин
4. трудным автором и такая репутация имеет под собой некоторые основания.
5. Тема 8 Пути совершенствования организации заработной платы 8
6. тема существовавшая в римском государстве от основания Рима 753 или 754 г
7. Конституционное право адвокатура и прокуратура.html
8. Потребитель и его права
9. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук Макіїв
10. Правила участия в розыгрыше организованном Международным олимпийским комитетом МОК в социальной сети В