Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ЛЕКЦІЯ № 2(2). “Елементи аналітичної геометрії на площині”.
1. Системи прямокутних і полярних координат на площині.
2. Відстань між двома точками. Коло.
3. Поділ відрізка в даному відношенні. Площа трикутника.
Віссю називається напрямлена пряма. Вісь називається числовою, якщо на ній вибрано початок координат і одиницю масштабу. Початок координат поділяє вісь на дві пів осі — додатну і від’ємну. Координатою точки на осі називається відстань від цієї точки до початку координат, що береться зі знаком «плюс», якщо точка лежить на додатній півосі, і зі знаком «мінус», якщо вона лежить на від’ємній півосі. Розміщення точки на осі повністю визначається її координатою.
Розглянемо дві взаємно перпендикулярні прямі Ох і Оу (рис. 2.1). Їх називають осями координат. Одна з них Ох (її, здебільшого, проводять горизонтально) називається віссю абсцис, а інша — віссю ординат. Точка О їх перетину називається початком координат. Для вимірювання відрізків на осях координат вибирають деяку одиницю масштабу (довільну, але одну й ту саму для обох осей). На кожній осі вибирають додатний напрям, який позначають стрілкою.
Рис.2.1
Осі координат Ох, Оу (з установленими додатними напрямами та вибраним масштабом) утворюють прямокутну (декартову) систему координат Oxy. Числа х і у, які вимірюють відрізки ОМх та ОМу у вибраному масштабі (а іноді й самі ці відрізки), називаються прямокутними координатами точки М. Записують: М (х, у). Число х називають абсцисою точки М, а число у — її ординатою.
Поряд із декартовою застосовують і інші системи координат, наприклад, полярну систему.
Полярна система координат складається з точки О – початку координат, яка називається полюсом, та променем (рис.2.2). Пряма називається полярною віссю. Будь-яка точка М в полярній системі координат визначається довжиною свого радіус-вектора та кутом між ним і полярною віссю (Позначають М (ρ, φ)).
Відстань | називається полярним радіусом точки М (0), кут - називається полярним кутом точки М (-),
Розглянемо на площині дві системи координат: прямокутну і полярну, які мають спільний початок (рис.2.3).
Нехай в полярній системі координат точка М має координати М(ρ,φ), а в прямокутній М(x,y). Задача: знаючи полярні координати точки М знайти її координати в прямокутній системі координат. Очевидно, що
x=ρ cosφ ; y=ρ sinφ (рис.2.3).
І навпаки, формули переходу від прямокутних координат до полярних мають вигляд:
ρ= та φ=arctg .
Нехай на площині Оху задано дві точки М1(х1, у1), М2(х2, у2). Знайдемо відстань d між ними (рис. 2.4). За теоремою Піфагора маємо:
Звідси знаходимо відстань .
(2.2.1)
Рис. 2.4
Нехай на площині Оху задано деяку криву.
Рівняння називається рівнянням кривої, якщо це рівняння задовольняють координати будь-якої точки цієї кривої і не задовольняють координати будь-якої точки, що не належить їй.
Запишемо рівняння кола з центром у точці C(a, b) і радіусом R. Візьмемо для цього довільну точку М(х, у) на такому колі. Оскільки відстань від точки М до центра кола С дорівнює R, то рівняння
(2.2.2)
є шуканим рівнянням кола.
У загальному випадку рівняння кола набирає вигляду
(2.2.3)
де a, b, c — деякі числа.
Виділимо повний квадрат щодо х і щодо у, подавши рівняння кола в загальному вигляді:
Звідси випливає, що центр кола лежить у точці С(4, –3), а радіус кола R = 5.
Якщо точки на кривій задаються системою рівнянь
(2.2.4) (2.2.4)
то рівняння (2.2.4) називається параметричним рівнянням кривої.
Запишемо параметричне рівняння кола з центром у точ ці C(a, b) і радіусом R (рис. 2.5).
Рис.2.5
Нехай t — кут графіка між відрізками СМ і СK. Тоді з трикутника МСK і того, що x = CK + a, y = MK + b, знаходимо параметричне рівняння кола:
(2.2.5)
Нехай задано відрізок на площині, кінцями якого є точки М1(х1, y1), M2(x2, y2). Точка М(х, y), узята на прямій, що проходить через точки М1, М2, поділяє даний відрізок у відношенні , якщо
М1М = λММ2.
Легко довести, що координати точки М шукаються за наступними формулами:
. (2.2.6)
Якщо , то М лежить між точками М1 і М2. У такому разі говорять, що точка М поділяє відрізок М1М2 внутрішнім чином. Якщо , то М не належить відрізку М1М2. Тоді говорять, що точка М поділяє відрізок М1М2 зовнішнім чином.
У частинному випадку, коли точка М є серединою відрізка М1М2, тобто при = 1, маємо координати середини відрізка М1М2:
. (2.2.7)
Нехай задано трикутник, вершинами якого є точки М1(х1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). Тоді площу трикутника М1M2M3 можна обчислити за формулою
, (2.2.8)
де знак обирається так, щоб для площі отримувалось додатне число.
Зауважимо, що якщо точки М1, M2 та M3 лежать на одній прямій, то площа S=0 і навпаки, якщо S=0, то вершини М1, M2 та M3 лежать на одній прямій.