Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция №5
1. Уравнения, не содержащие явно одного из переменных.
Отыскание решений уравнений вида
F ( х, у, у ) = 0 (14.1)
вызывает особые трудности. Например, уравнение вообще не имеет действительных решений. Общего метода решения уравнений, неразрешимых относительно производной, нет. Рассмотрим некоторые случаи, при которых уравнение (1) имеет решение.
1. Пусть уравнение (14.1) удается разрешить относительно производной, тогда (14.1) распадается на уравнения вида
(14.2)
которые могут быть проинтегрированы вышеизложенными методами. Пусть каждое из уравнений (14.2) имеет общее решение . Совокупность общих решений уравнений (14.2) называется общим решением уравнения (14.1).
Например, уравнение имеет общее решение
.
Пример 1. Найти общий интеграл уравнения:
Решение. Разлагая левую часть уравнения на множители, получим:
,
откуда и . Оба эти уравнения являются уравнениями с разделяющимися переменными. Их общие интегралы:
, .
Поэтому общий интеграл исходного уравнения имеет вид
2. Пусть уравнение (14.1) имеет вид F(у) = 0, причем существует хотя бы один действительный корень
, (14.3)
т.к. уравнение не содержит х ,у то - постоянные. Тогда интегрируя (14.3) получаем, а уравнение дает общий интеграл исходного уравнения.
Пример 2. Найти общий интеграл уравнения:
Решение. Общий интеграл данного уравнения имеет вид
.
3. Пусть уравнение (14.1) не содержит независимой переменной
F ( у , у¢ ) = 0 (14.4)
и трудно разрешимо относительно производной, тогда целесообразно ввести параметр и заменить уравнение (14.4) двумя
,
такими, что . Так как то
,
откуда интегрируя, находим х.
Пример 3. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Положим ; тогда .
Из равенства находим . Та как , то и . В параметрической форме общее решение запишется так:
Исключим параметр p. Для этого из первого уравнения находим t и подставляем во второе. Имеем
и .
4. Пусть уравнение (14.1) не содержит у , т.е.имеет вид
F(х,у¢) = 0 (14.5)
и трудно разрешимо относительно производной, тогда как и ранее, вводят параметр и заменяют уравнение (14.5) двумя
,
такими, что . Так как то
Пример 4. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Положим . Из равенства находим х
Общее решение уравнения получаем в параметрической форме.
5. Если дифференциальное уравнение F(х,у,у) = 0 разрешимо либо относительно искомой функции у = f(x.y'), либо относительно аргумента х = f(y,y), то оно может быть проинтегрировано путем введения параметра р = у'. Исходное уравнение перейдет в алгебраическое. Дифференцируя соответственно по х или по у, получим системы уравнений
или
решения которых находятся в явном или параметрическом виде.
Пример 5: Найти общее решение уравнения
в параметрической форме.
Решение. Положим , тогда . Равенство
перепишем в форме , так как
то .
Общее решение запишется в следующем виде:
Пример 6: Найти общее решение уравнения:
Решение. Положим, что . Тогда , или . Продифференцировав по x, имеем
.
После несложных преобразований, подставляя , получим
,
или
Произведя потенцирование, находим: . Следовательно, общее решение в параметрической форме примет вид:
Исключим параметр t. Для этого найдем выражение
и подставим в уравнение .
Таким образом, общее решение .
Пример 7: Найти общее решение уравнения:
Решение. Так как уравнение разрешимо относительно у
,
то вводя параметр найдем выражение для х :
Исключая параметр р, находим общее решение
.
15. Уравнения Лагранжа и Клеро
Уравнением Лагранжа называют уравнение вида
у = x f ( y' )+ ( y' ).
Введением параметра р = у' уравнение Лагранжа приводится к виду
у = х f ( р )+ ( р ).
Дифференцируя по х, получим
После замены у' через р и алгебраических преобразований придем к уравнению
Это линейное уравнение относительно х и производной . Его общий интеграл имеет вид
Ф ( х, р, С ) = 0. Совместно с уравнением
у = x f ( р )+ ( р ).
он дает общий интеграл уравнения Лагранжа. Произведенное преобразование возможно лишь, если
р – f ( р ) 0.
Корни уравнения p – f ( p ) = 0 дадут также решения уравнения Лагранжа, это особое решение, представляющее собой прямую линию. К уравнениям, не разрешенным относительно производной, приводят чаще всего различные геометрические задачи такие, как задачи об изогональных траекториях и др.
Уравнением Клеро называется частный случай уравнения Лагранжа, когда . Общий вид уравнения Клеро
.
Положим . Тогда . Дифференцируя по x, получим
,
то есть ,
откуда следует, что либо либо .
Из уравнения получаем . Подставляя C вместо p в уравнение , получим общее решение уравнения Клеро
,
представляющее собой семейство прямых. Уравнение вместе с дает решение уравнения Клеро в параметрической форме:
В самом деле, из этих уравнений находим, что
,
,
откуда
.
Подстановка в уравнение Клеро приводит к тождеству
.
Исключая из двух уравнений системы параметр p, получим интеграл уравнения , в виде . Этот интеграл не содержит C и, следовательно, не может быть общим интегралом. Он не может быть также получен их общего не при каких значениях С, так как не является линейной функцией. Это особый интеграл.
Пример 8. Найти общее решение уравнения , где .
Решение. Общее решение получаем непосредственно из уравнения заменой p на C:
Для получения особого решения найдем Система уравнений
представляет собой особое решение в параметрической форме. Исключим параметр p. Для этого возведем обе части второго уравнения в квадрат и разделим их на соответствующие части первого уравнения; получим , откуда .
Геометрически общее решение представляет собой однопараметрического семейство прямых , а особый интеграл параболу.
Рис.6
Непосредственно из чертежа видно, что особый интеграл (парабола) оказался огибающей семейства интегральных линий (прямых), определяемых общим решением. Это свойство не случайно.
Возможность существования особых решений связана с нарушением условий теоремы Коши. Как мы знаем, выполнение этих условий гарантирует существование и единственность решений – не может быть двух различных решений, удовлетворяющих одному тому же начальному условию. Условия единственности нарушаются во всех точках линии (параболы), которая сама оказывается решением уравнения. Это решение является особым решением уравнения.