Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 53
Курс лекций по физике. Часть I: Механика PAGE 53
Лекция 4. Работа и энергия
4.1. Работа переменной силы. Мощность.
4.2. Энергия. Кинетическая и потенциальная энергии.
4.3. Закон сохранения энергии в механике.
Если под действием силы F происходит движение и тело перемещается на величину s, то говорят, что сила совершает работу. Работа – скалярная физическая величина, равная произведению проекции силы Fs на направление перемещения на перемещение s:
А = Fs s. (4.1)
Эта формула справедлива для прямолинейного движения при Fs= const, а также когда угол между вектором силы и перемещением не изменяется. Учитывая, что Fs = F·cos, выражению (4.1) можно придать вид:
(4.2)
Другими словами, работу можно представить как скалярное произведение векторов и .
(4.3)
Из формулы (4.2) видно, что работа может иметь как положительное, так и отрицательное значение. Когда cos > 0 ( – острый угол), работа положительна (А > 0), при cos < 0 ( – тупой угол), работа отрицательна (А < 0).
Единица работы – джоуль (Дж): 1 Дж = 1 Н·м.
Работу можно изобразить графически. При Fs = const график силы представлен на рис. 4.1. На графике видно, что работа равна площади заштрихованного прямоугольника.
Рис. 4.1 Рис. 4.2
Если работа совершается под действием переменной силы, т.е. F ≠ const (F = F (s)), то графически работа будет равна площади под кривой (рис. 4.2).
Чтобы найти работу переменной силы, разобьем пройденный путь на элементарные отрезки пути dsi. Тогда работа на элементарном отрезке пути будет:
(4.4)
Если при прямолинейном движении элементарный отрезок пути выбрать таким, чтобы F = const и = const, то на пути от s1 до s2 работа будет равна:
(4.5)
Для характеристики быстроты совершения работы вводится понятие мощности. Мощность N – физическая величина, равная отношению работы ΔА к промежутку времени Δt, в течение которого она совершается:
(4.6)
Если тело движется со скоростью под действием силы F, то мощность равна произведению проекции силы на перемещение на скорость тела
(4.7)
Если мощность со временем изменяется, то вводится понятие мгновенной мощности
(4.8)
Мощность измеряется в ваттах: 1 Вт = 1 Дж/с.
Тот факт, что тела могут совершать работу над другими телами, означает, что данные тела обладают энергией. Физическая величина, характеризующая способность тела или системы тел совершать работу, называется энергией. Или иначе, работа представляет собой количественную характеристику процесса обмена энергией между взаимодействующими телами. Энергия является универсальной мерой движения и взаимодействия всех видов материи.
В зависимости от вида движения различаются формы энергии: механическая, тепловая, электромагнитная, ядерная и др. Энергия может переходить из одной формы в другую. В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную.
Кинетическая энергия определяется работой, которая необходима, чтобы вызвать движение. Кинетическая энергия – это энергия движения, любое движущееся тело обладает кинетической энергией. Выражение для кинетической энергии можно получить из выражения для работы:
dА = Fds, (4.9)
где
Если скорость изменяется от 1 до 2, то
(4.10)
Работа совершается за счет убыли кинетической энергии
(4.11)
Из формул (4.10) и (4.11) видно, что кинетическая энергия равна:
(4.12)
Потенциальной энергией называется та часть механической энергии, которая определяется взаимодействием тел (частей тела) и зависит от их взаимного расположения. Если взаимодействие осуществляется через силовое поле и работа не зависит от траектории движения, то такие поля называются потенциальными. Силы, действующие в потенциальных полях, называются консервативными. Силы являются неконсервативными (диссипативными), если работа, совершаемая ими, зависит от траектории. Пример неконсервативных сил – силы трения.
Каждой точке потенциального поля соответствует сила F, действующая на тело, и потенциальная энергия En. Установим связь между ними. В потенциальном поле работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:
(4.13)
C другой стороны, работа есть скалярное произведение силы F на перемещение dr, т.е.
dA = = Fsdr. (4.14)
Из соотношений (4.13) и (4.14) получим
(4.15)
Для проекций силы на оси х, у, z получим
(4.16)
В векторном виде
= grad En, (4.17)
т.е. вектор силы равен градиенту потенциала с обратным знаком.
Из математики известно, что
+ + (4.18)
где , , – единичные векторы координатных осей.
Градиент обозначается не только через «grad», но и символом .
Выражение (4.17) можно переписать в виде
(4.19)
где – оператор Гамильтона или набла-оператор.
Полная механическая энергия Е тела равна сумме кинетической Ек и потенциальной Еn энергий
Е = Ек + Еn. (4.20)
Чтобы вывести закон сохранения механической энергии, рассмотрим замкнутую систему, т.е. систему, где действуют только консервативные силы, а действия внешних сил отсутствуют. Допустим, что система состоит из материальных точек m1, m2, …, mn, движущихся со скоростями 1, 2, …, n. Если на каждую точку действуют только внутренние консервативные силы , то по второму закону Ньютона получим:
(4.21)
……………
Пусть все точки за время dt совершают перемещения , , … , . Умножим каждое из уравнений (4.21) на соответствующие перемещения с учетом, что .
(4.22)
…………………
После сложения этих уравнений получим
(4.23)
Первый член уравнения (4.23) представляет собой приращение кинетической энергии dEk:
(4.24)
Второй член уравнения (4.23) есть работа, совершаемая внутренними консервативными силами за счет убыли потенциальной энергии dEn
(4.25)
Подставив выражения (4.24) и (4.25) в уравнение (4.23), получим:
dEk + dEn = 0, (4.26)
откуда полная механическая энергия тела
Е = Ек + Еп = const. (4.27)
Выражение (4.27) представляет собой закон сохранения механической энергии: в замкнутой системе полная механическая энергия есть величина постоянная.
К началу
К следующей лекции К содержанию
К титулу
PAGE 54
Лекция 4. Работа и энергия