Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
15.Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
Пусть π:-проектирование из центра S (рис.). Если центр S
проектирования несобственный, то проектирование называется
параллельным (все проектирующие прямые (SM’) будут принадлежать
связке параллельных прямых).
Свойства:
1.проекция прямой есть прямая.
2.сохраняется параллельность прямых.
3.сохраняется отношение отрезков, лежащих либо на одной, либо на параллельных прямых.
Из свойства 3 вытекает, что проекция середины отрезка будет серединой проекции.
-изображение фигуры F.
F-оригинал (по отношению к )
Свойства проекции сохраняются и при изображении.
Изображение плоских фигур.
1.Треугольник
Теорема: Данный треугольник можно изобразить произвольным треугольником.
Док-во.
Пусть ΔАВС – оригинал, и пусть ΔА1В1С1- совершенно произвольный треугольник. Надо показать, что .
В плоскости П1 возьмем точку С’ так, чтобы ~.
Выберем направление проектирования П на П1 параллельное
СС’=р.Тогда ~ (А’=А1, В’=В1). #
Теорема. Если на плоскости изображений П указаны изображения каких-либо трех точек общего положения плоскости , полученные при помощи параллельного проектирования, причем направление проектирования не параллельно плоскости , то изображение любой точки плоскости может быть построено.
Док-во.
(рис.1 )
Пусть точки А0,В0,С0П являются параллельными
проекциями точек общего положения ,, (рис.1).
Т.к. направление проектирования не параллельно плоскости , то точки А0,В0,С0 не лежат на одной прямой. Возьмем произвольную точку .Пусть .
Точки и будут
проектироваться в такие точки N0,M0П, для которых
, .
рис.1.
Пусть служит изображением
(и значит,~). Подобие р, переводящее в , переведет точки N0 и М0 в такие точки N и М, что , и, значит, , . В последних двух равенствах правые части известны (определяются по оригиналу в плоскости ). Пользуясь этими равенствами, мы сперва строим точку N(ВС), а затем точку М(AN). Точка М и является изображением точки .
2.Четырехугольник
Пусть на плоскости дан четырехугольник . В силу доказанной выше теоремы его изображением на плоскости П служит четырехугольник ABCD, такой, что , (1)
, (2)
где Е’- точка пересечения диагоналей четырехугольника-оригинала. Если взаимное положение плоскостей и П и направление проектирования не заданы, то можно плоскость П и направление проектирования выбрать так, что на плоскости П точки А,В,С (изображения точек ,,) будут вершинами любого наперед заданного треугольника. При этом изображение D четвертой вершины четырехугольника определяется однозначно в силу равенств (1),(2).
Рассмотрим проекции частных видов четырехугольников.
а) Трапеция. Из сказанного выше следует, что трапеция-оригинал изображается трапецией, причем для точек пересечения диагоналей оригинала и изображения выполняется соотношение (1) (для трапеции с основаниями [] и [] =).
б) Параллелограмм (включая ромб, прямоугольник и квадрат) изображается в виде некоторого параллелограмма. Заметим, что в общем случае при проектировании величина угла не сохраняется.
3. n-угольник.
Из последней доказанной теоремы заключаем, что при изображении на бумаге данного в пространстве n-угольника нам достаточно знать изображения каких-либо трех его вершин. Изображения остальных n-3 вершин находятся построением.
4. Окружность
Пусть на плоскости дана окружность с центром .
Спроектируем ее по направлению l на плоскость П. Когда точка
опишет окружность , проектирующая прямая ()
опишет эллиптический цилиндр, который пересекается с плоскостью
П по эллипсу Q. Значит, параллельной проекцией окружности на
Плоскость П служит эллипс Q (рис.2). Точка - середина
всякой проходящей через эту точку хорды окружности.
Следовательно, точка О (проекция точки ) – делит пополам
любую проходящую через нее хорду эллипса Q. Т.о., центр
окружности проектируется в центр О эллипса Q.
Возьмем два взаимно перпендикулярных диаметра ()
и () окружности и проведем хорды окружности,
параллельные диаметру (). Середины этих хорд лежат на рис.2.
диаметре (). Диаметры (), () окружности спроектируются в диаметры (АВ), (CD) эллипса Q, причем середины хорд эллипса, параллельных диаметру (CD), принадлежат диаметру (АВ). А это значит, что диаметры (АВ) и (CD) – сопряженные диаметры.
Итак, взаимно перпендикулярные диаметры окружности проектируются в сопряженные диаметры эллипса Q.
Касательная к окружности в точке параллельна диаметру (). Прямая спроектируется в прямую t, которая проходит через точку АQ параллельно диаметру (CD), сопряженному диаметру (АВ). Следовательно, t – касательная к эллипсу Q в точке А.
Т.к. подобие плоскости П переводит эллипс в эллипс и сохраняет отношение трех точек, то изображением окружности является эллипс, причем перпендикулярные диаметры окружности изображаются сопряженными диаметрами этого эллипса.
Укажем способы построения точек эллипса. Пусть заданы отрезки [AB] и [CD], лежащие на сопряженных диаметрах эллипса Q (в частности, на его осях), причем А,В,С,DQ. Т.к. касательная t к эллипсу Q в точке А параллельна диаметру (CD), то ее можно построить. Задача построения эллипса Q сводится теперь к построению точек овальной кривой второго порядка, заданной четырьмя ее точками и касательной в одной из них.
Эллипс Q можно построить и другим способом. На отрезке [AB]
как на диаметре построим окружность Q0 и ее диаметр [C0D0] [AB]
(рис.). В родственном преобразовании f (косом сжатии), заданном
осью s=(AB) и парой точек С0 и С=f(С0), эллипс Q является образом
окружности Q0. Построение точки М=f(М0) эллипса Q указано на
рисунке.
Если воспользоваться сохранением параллельности в
родственном преобразовании, то построение точки эллипса можно
выполнить следующим образом. Возьмем точку N0Q0 и проведем прямую
(N0N1)║(ОС0), где N1=(N0N1)s, О=[AB][CD]. Тогда точка N=f(N0) лежит на прямой (N1N)║f(OC0)=(OC). Проведя прямую (N0N)║( С0С), найдем: N= (N1N) (N0N) (рис.).
Для каждой построенной нами точки эллипса Q симметричная ей точка относительно центра О эллипса Q также принадлежит эллипсу Q.
Используя указанное родство, нетрудно построить точки пересечения данной прямой с эллипсом Q, еще одну пару его сопряженных диаметров, его оси и т.п., не вычерчивая самого эллипса.
Различают два вида параллельного проектирования:
а) косоугольное, когда направление проектирования не перпендикулярно плоскости проекций П;
б) ортогональное, когда направление проектирования перпендикулярно плоскости П.