Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 1
ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ВВЕДЕНИЕ
Человек в процессе своей жизнедеятельности сталкивается со случайными явлениями. Под случайным будем подразумевать явление, которое при неоднократном повторении опыта может протекать по-разному. Например: а) при подбрасывании монеты может выпасть как «герб», так и «решка б) при стрельбе из артиллерийского орудия траектории снаряда отличаются друг от друга. Это может быть связано с неточностями изготовления снаряда, с ошибками установки ствола в заданное положение, с метеорологическими условиями и т.д. Поэтому при, казал бы, одинаковых условиях стрельбы получают пучок траекторий, образующий т.н. рассеивание снарядов; в) при взвешивании одного и того же тела на точных весах результаты повторных взвешиваний несколько отличаются друг от друга. Это может быть связано с положением тела на весах, вибрацией весов, с ошибками показаний и т.д. Вообще говоря, в окружающей действительности практически нет явлений, в которых бы в или иной мере не присутствовали элементы случайности.
Изучение массовых процессов, при которых некоторая совокупность опытов воспроизводится много раз при одинаковых условиях, и составляет предмет теории вероятностей и основанной на ней математической статистики.
Тема 1. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО
1.1 Стохастический эксперимент, случайные события и операции над ними
Стохастическим называют эксперимент, результат которого нельзя предугадать заранее. Например, монету подбрасывают один раз. Результатом подбрасывания может быть либо «герб», либо «решка». Однако, на вопрос о том, какая из сторон монеты выпадет, ответить нельзя. Поэтому данный эксперимент — стохастический.
Пусть рассматриваемому эксперименту можно поставить в соответствие некоторое множество , элементы которого несут наиболее полную информацию о предполагаемых результатах эксперимента. Множество называют пространством элементарных событий (или исходов), а элементы этого множества — элементарными событиями (исходами) и обозначают через .
Пример 1.
1) Монета бросается один раз.
Пространство элементарных исходов = { = Г, = Р}, где Г -герб, Р —решка.
2) Монета бросается дважды. Тогда = {ГГ, ГР, РГ, РР}
З) Игральная кость брошена один раз. Пространством элементарных исходов данного эксперимента является = (1,2,3,4,5,6)
Введем теперь понятие случайного событии. Случайное событие — это подмножество в пространстве элементарных исходов.
В дальнейшем события будем обозначать большими латинскими буквами А,В,С,….
Пример 2/ Игральная кость брошена один раз. Введем случайные события: А = {1,3,5}- выпала нечетная цифра; В = {3,6} - выпала цифра, кратная трем; С = {4 }- выпала цифра «четыре».
Событие, которое наверняка наступит в результате данного эксперимента, называют достоверным и обозначают . Событие, которое не может наступить в данном эксперименте, называют невозможным и обозначают . В примере 2 невозможным является событие — выпала цифра «семь»
Суммой событий А и В называют событие, состоящее в том, что произойдет событие А или событие В.
Сумму событий принято обозначать или А+В. Используя события примера 2, можно утверждать. что, А+В ={1,3,5,6} А+C ={1,3,4,5}, В+С = {З.4,6}.
Произведением событий А и В называют событие, состоящее в том. что произойдет и событие А, и событие В.
Произведение событий обозначают В или АВ. Например, А В = {3}; А С =
Разностью событий А\В (или А - В) называют событие, состоящее из элементарных исходов, входящих в событие А, но не входящих в событие В. Используя события примера 2, можно утверждать, что А - В = {I,5}; В - А = {6}; А - С = {1,3,5}.
Событие называют противоположным событием к событию А. Операцию взятия противоположного события называют операцией дополнения. Например, = (2,4,6) - выпала четная цифра.
Заметим, что для противоположных событий выполняются свойства: А + =; А = .
События А и В называют несовместными, если они не могут наступить одновременно, т.е. А В = . Используя события примера 2, можно утверждать, что А С = , а значит А и С — несовместные события.
Пример 3. Эксперимент: бросают монету (правильную) три раза и наблюдают последовательность появившихся гербов (Г) и решек (Р).
В данном случае множество элементарных исходов
= { ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, РГР, ГРР, РРР),
при этом = { ГГГ}, = { ГГР } ...,= { РРР}. Пусть А — событие, соответствующее последовательному появлению двух и более гербов, а событие В — последовательное появление трех гербов или решек. Тогда А = {ГГР,РГГ,ГГГ}, В=(ГГГ,РРР},B = {ГГГ}, = {ГГР, РГГ,ГГГ,РРР}.
Пример 4. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Пусть события Н1 и Н2 означают, что при аварии сработал, соответственно, первый или второй сигнализатор. Описать следующие события: а) при аварии не сработал ни один сигнализатор, б) при аварии сработал хотя бы один сигнализатор; в) при аварии сработал только один сигнализатор; г) при аварии сработали оба сигнализатора.
Решение. а) Пусть событие А {при аварии не сработал ни один сигнализатор). для этого необходимо, чтобы не сработал ни первый, ни второй сигнализатор. Тогда .
б) Пусть событие В (при аварии сработал хотя бы один сигнализатор). Для этого необходимо, чтобы сработал или только один сигнализатор или оба. Тогда
в) Пусть событие С { при аварии сработал только один сигнализатор }. В этом случае при аварии может сработать либо первый сигнализатор, тогда второй не должен сработать, либо сработал второй сигнализатор, тогда первый не должен сработать. В этом случае событие С можно представить следующим образом: .
г) Пусть событие D = { при аварии сработали оба сигнализатора). Это может произойти в том и только в том случае, когда сработал и первый и второй сигнализаторы. Тогда .
1.2 Элементы комбинаторики
Для дальнейшего изложения курса необходимо ознакомиться с некоторыми понятиями комбинаторики. Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики.
Основной принцип комбинаторики (теорема умножения)
Если для выполнения некоторой процедуры необходимо выполнить последовательно k шагов, причем первый шаг можно осуществить n1 различными способами, второй – n2 различными способами и т. д., k-й шаг - nk различными способами, то общее число N различных вариантов выполнения данной процедуры можно найти по формуле .
Пример 4. Из Макеевки в Донецк можно добраться автобусом (А), маршрутным такси (М), троллейбусом (Т), электричкой (Э). Из Донецка в Киев можно добраться поездом (П), самолетом (С), автобусом. Сколько имеется различных способов добраться из Макеевки в Киев че, нецк?
Решение. Данная процедура выполняется за 2 шага (1-й - Макеевка-Докецк, 2- Донецк-Киев). Первый шаг выполняется четырьмя способами (А, М, Т, Э), второй — тремя (П,С,А). Поэтому N=4·З=12.
Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до n, где n - число элементов множества, так, что различным элементам соответствуют различные числа. Очевидно, каждое множество, содержащее более одного элемента, можно упорядочить не единственным способом.
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Pn = n! , n! =1.2.....n, и, по определению, 0!=1.
Пример 3. Сколько имеется перестановок из трех объектов а, b, с?
Решение. Из предыдущей общей формулы для числа перестановок из трех элементов следует, что имеется Рз =3! = б перестановок, а именно: (а,b,с); (а,с,b); (b,а,с); (b,с,а); ( (с,b,а); (c,a,b).
Пример 4. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?
Решение. Искомое число четырехзначных чисел Р4 =4!=24.
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются бы одним элементом. Число сочетаний
Основное свойство сочетаний:
Пример 5. Сколькими способами можно выбрать двух студентов из пяти?
Решение. Число способов:
Пример б. Сочетания из четырех букв a, b, c, d по три буквы есть: (a, b, c), (а, b, d), (а, с, d), (b, с, d). Число сочетаний из четырех по три, по определению, равно
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений
Пример 7. Сколько можно составить сигналов из 4 флажков различного цвета, взятых по 2?
Решение. Число сигналов
Пример 8. Рассмотрим множество букв {а,b,с,d). Тогда (b,с,d), (с,b,d), (а,b,c),(c,d,a), .. являются размещениями из четырех элементов исходного множества по три элемента. Общее число таких размещений
1.3 Классическое определение вероятности
Рассмотрим некоторый стохастический эксперимент и событие А наблюдаемое в этом эксперименте. Например, эксперимент состоит в подбрасывании монеты, а событие А - выпадение герба. Повторим эксперимент n раз. Пусть k – число экспериментов, в которых произошло событие А.
Число k называют частотой наступления события А в n испытаниях. Отношение
называется частостью (или относительной частотой) события А в проведенной серии экспериментов.
Частота может быть определена лишь после проведения серии экспериментов. Вообще говоря, частота изменяется, если мы проведем другую серию из n экспериментов, или если изменим n. Однако, как позывает опыт, при достаточно больших n для большинства экспериментов частота сохраняет почти постоянную величину, причем большие отклонения наблюдаются тем реже, чем больше n.
Например, пусть много раз бросают монету. Многочисленные эксперименты показывают, что частота появления герба в длинных сериях мало отличается от ½ (табл. 1).
Табл. 1. Данные экспериментов с подбрасыванием монеты
|
Экспериментатор Число бросаний Число выпадений герба Частость |
|
Бюффон Ж. 4040 2048 0,5069 |
|
Пирсон К. 12000 6019 0,5016 |
|
Пирсон К. 24000 12012 0,5005 |
Если при больших n относительная частота w(A) события А мaло отличается от некоторого фиксированного значения р, то говорят, что событие А статистически устойчиво, а число p является статистической вероятностью события А.
Дадим другое определение вероятности, которое называют классическим.
Рассмотрим стохастический эксперимент, имеющий конечное число n равновозможных элементарных исходов. Предположим, что событию A благоприятствует k элементарных исходов. Тогда вероятность события A определяется формулой
где - число элементов, содержащихся в Ώ; - число исходов, благоприятствующих событию А. Из определения следует, что вероятность бытия может принимать значения в интервале [0,1], причем вероятность достоверного события равна 1, а невозможного нулю.
Пример 1 Брошена игральная кость, Какова вероятность того, что выпадет число оч кратное З?
Решение. Всего элементарных исходов в эксперименте n = 6. Из них благоприятных событию А = {3;6} исходов k = 2. Значит
Пример 2 Найти вероятность того, что при двух подбрасываниях монеты герб выпадет хотя бы один раз.
Решение. Множество элементарных исходов имеет вид ‚ = (ГГ,ГР,РГ, РР), поэтому n = 4. Событие А = {ГГ, ГР, РГ) , т.е. k = 3. Откуда
Р(А)=
Пример З Игральная кость брошена дважды. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5?
Решение. Итак, Ώ = {(1;1), (1;2), (1;3), … ,(6;4), (6;5), (6;6)}. Согласно основному принципу комбинаторики общее число исходов эксперимента n =66 = 36. Так как А = {(1;4), (2;3), (3;2), (4;1)}, то = 4. Поэтому
Пример 4 В группе 25 студентов: 10 юношей и 15 девушек. Наугад выбирают З-х студентов. Найти вероятность того, что среди них окажутся: а) только юноши; б) только девушки; в) юноша и 2 девушки.
Решение. а) Эксперимент состоит в выборе наугад З-х студентов из 25, поэтому n будет одинаковым для а), б) и в):
Событие А = {среди выбранных З-х студентов только юноши} следовательно получим
В итоге имеем
б) Событие В={среди выбранных З-х студентов только девушки}. Значит
Следовательно, вероятность равна
в) Событие С={среди выбранных З-х студентов 1 юноша и 2 девушки}. Согласно основному принципу комбинаторики
Следовательно, имеем
1.4 Аксиомы теории вероятностей
Предположим, что каждому случайному событию А F поставлено в соответствие Р(А), называемое вероятностью события А и удовлетворяющее аксиомам:
. Сформулируем свойства вероятности
Вероятность противоположного события равна
Доказательство. Используя 2-ю и 3-ю аксиомы, имеем
2) Вероятность невозможного события равна
Доказательство. Учитывая свойство 1), получим
З) Если АВ, то Р(В\А)=Р(В)-Р(А).
Доказательство. Так как
Здесь использовалась 3-я аксиома
4)
Доказательство. По свойству 3 имеем, если то
5)
Доказательство. По свойству 4) имеем