Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: исследование динамики затухающего колебательного движения на примере крутильного маятника, определение основных характеристик диссипативной системы.
ЭСКИЗ УСТАНОВКИ:
Приборы и принадлежности: крутильный маятник, секундомер.
Применяемый в работе крутильный маятник (рис. 1) представляет собой диск 1, закрепленный на упругой стальной проволоке 2, свободный конец которой зажат в неподвижном кронштейне 3. На кронштейне расположено кольцо 4, масса которого известна. Кольцо 4 можно положить сверху на диск 1, изменив тем самым момент инерции маятника. На диске 1 установлен флажок, располагающийся под подставкой макета в ванночке с жидкостью. Поворачивая флажок, можно изменять момент сил сопротивления, действующих на маятник. Для отсчета значений угла поворота маятника служит градуированная шкала 5, помещенная на ободе диска 1.
ОСНОВНЫЕ РАССЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ:
Крутильный маятник. При повороте тела, закрепленного на упругом подвесе, в результате деформации сдвига при закручивании подвеса возникает возвращающий момент упругих сил M = k, где k - коэффициент кручения, зависящий от упругих свойств материала подвеса, его размеров и формы, - угол поворота. При малых углах поворота, без учета сил трения в подвесе, крутильные колебания маятника являются гармоническими, а уравнение движения тела имеет вид и является уравнением движения осциллятора с затуханием. Колебания такого осциллятора уже не будут гармоническими. Коэффициент = R/2I называют коэффициентом затухания. Если , движение крутильного маятника описывается уравнением затухающих колебаний
,
где - начальная амплитуда колебаний маятника, = 1/ - время затухания, определяющее скорость убывания амплитуды A(t) маятника, численно равное времени, за которое амплитуда убывает в e раз (рис. 2), т.е.
,
где частота собственных колебаний гармонического осциллятора
,
I – момент инерции диска крутильного маятника.
Сопротивление движению маятника (трение) создает тормозящий момент, пропорциональный скорости движения маятника,
,
где R - коэффициент сопротивления. С учетом сил сопротивления уравнение движения маятника принимает вид
|
при t = , - частота колебаний осциллятора с затуханием, связанная с собственной частотой соотношением . Время затухания также выражается через момент инерции I и коэффициент сопротивления R выражением . |
Крутильный маятник как диссипативная система
Полная энергия колебаний маятника убывает со временем по закону
,
где - начальная энергия колебаний.
Убывание энергии происходит за счет совершения работы против сил трения. Энергия при этом превращается в тепло, идет процесс диссипации энергии. Скорость диссипации энергии (мощность потерь)
.
Помимо коэффициента затухания (или времени затухания ) и мощности потерь Pd колебательная диссипативная система характеризуется также добротностью Q , позволяющей судить о способности системы сохранять энергию. Добротность определяется отношением запасенной системой энергии к потерям энергии за время T/2p = 1/w. Легко видеть, что добротность
,
т.е. численно равна числу колебаний за время t = . За это время амплитуда колебаний уменьшается в e23 раза, а энергия колебаний в e2535 раз, иными словами, за это время колебания практически затухают.
В технике для характеристики колебательных систем с затуханием вводят декремент затухания (), или его логарифм – логарифмический декремент затухания ( = ln), определяя эти параметры через отношение амплитуд колебаний, соответствующих соседним периодам
или = T.
ВЫВОД ФОРМУЛ ПОГРЕШНОСТЕЙ:
1. Расчет погрешностей для периодов колебаний маятников с кольцом и без кольца производится по следующей методике:
1.1 Расположим полученные значения в порядке их возрастания.
1.2 Найдем среднее значение периода по формуле:
1.3 Найдем отклонение каждого значения от .
1.4 Вычисляем среднеквадратическое отклонение для среднего значения измеряемой величины по формуле:
1.5 Вычисляем случайную погрешность измерений:
,где для 5 измерений =2,8
1.6 Рассчитываем полную погрешность полученных результатов для : ,
где = 0,0005
2. Формула переноса погрешностей для частоты колебаний маятника имеет следующий вид:
3. Методика расчета погрешности для времени t, за которое амплитуда колебаний уменьшится в 2 раза такая же как, для периодов колебаний маятника.
Полную погрешность полученных результатов для t, рассчитываем по формуле: ,
где 0,005
4. Формула переноса погрешностей для времени затухания колебаний маятника τ, имеет следующий вид:
5. Полную погрешность для собственной частоты колебаний маятника вычисляем, воспользовавшись формулой переноса:
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Рассчитаем периоды колебаний и частоты колебаний и соответствующие погрешности.
1.1 Вычислим период колебаний маятника с кольцом по формуле , где - время, за которое совершается n колебаний. В нашем случае n=10.
|
Измеряемая величина |
Номер наблюдения |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
,с |
13,36 |
13,39 |
13,38 |
13,34 |
13,33 |
|
,с |
1,336 |
1,339 |
1,338 |
1,334 |
1,333 |
1.2 Расположим полученные значения в порядке их возрастания.
|
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
,с |
1,333 |
1,334 |
1,336 |
1,338 |
1,339 |
1.3 Найдем среднее значение периода по формуле:
=1,336 с
1.4 Найдем отклонение каждого значения от .
|
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
0,003 |
0,002 |
0 |
-0,002 |
-0,003 |
1.5 Вычисляем среднеквадратическое отклонение для среднего значения измеряемой величины по формуле:
= 0,00114018
1.6 Вычисляем случайную погрешность измерений:
,где для 5 измерений =2,8
=0,003192504
1.7 Рассчитываем полную погрешность полученных результатов для : ,
где = 0,0005
=0,003231421
1.8 Запишем окончательный результат для .
=1,336±0,003 с
1.9 Вычислим период колебаний маятника с кольцом по формуле , где - время, за которое совершается n колебаний. В нашем случае n=10.
|
Измеряемая величина |
Номер наблюдения |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
,с |
9,57 |
9,72 |
9,62 |
9,40 |
9,53 |
|
,с |
0,957 |
0,972 |
0,962 |
0,94 |
0,953 |
1.10 Расположим полученные значения в порядке их возрастания.
|
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
,с |
0,94 |
0,953 |
0,957 |
0,962 |
0,972 |
1.11 Найдем среднее значение периода по формуле:
=0,9568 с
1.12 Найдем отклонение каждого значения от .
|
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
0,0168 |
0,0038 |
-0,0002 |
-0,0052 |
-0,0152 |
1.13 Вычисляем среднеквадратическое отклонение для среднего значения измеряемой величины по формуле:
= 0,0052668776
1.14 Вычисляем случайную погрешность измерений:
,где для 5 измерений =2,8
=0,01474725728
1.15 Рассчитываем полную погрешность полученных результатов для : ,
где = 0,0005
=0,01475573
1.16 Запишем окончательный результат для . Меня така
=0,957±0,015 с
1.17 Вычислим частоту колебаний для маятника с кольцом по формуле:
1.18 Вычислим значение погрешности , воспользовавшись формулой переноса:
=0,0105552
1.19 Вычислим частоту колебаний для маятника с кольцом по формуле:
1.20 Вычислим значение погрешности , воспользовавшись формулой переноса:
=0,10285538
1.21 Запишем окончательный результат для и :
=4,701±0,011
=6,56±0,10
2. Вычислим значения и для маятника с кольцом и без кольца.
2.1 Сначала вычислим среднее значение времени t для маятника с кольцом, за которое амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза, а также погрешность полученного результата .
|
Измеряемая величина |
Номер наблюдения |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
t, с |
45,53 |
49,65 |
49,75 |
52,32 |
50,88 |
2.2 Расположим значения t в порядке их возрастания.
|
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
t ,с |
45,53 |
49,65 |
49,75 |
50,88 |
52,32 |
2.3 Найдем среднее значение времени t по формуле:
= 49,626 с
2.4 Найдем отклонение каждого значения от .
|
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
4,096 |
-0,024 |
-0,124 |
-1,254 |
-2,694 |
2.5 Вычисляем среднеквадратическое отклонение для среднего значения измеряемой величины по формуле:
=1,131886
2.6 Вычисляем случайную погрешность измерений:
,где для 5 измерений =2,8
3,1692808
2.7 Рассчитываем полную погрешность полученных результатов для t: ,
где 0,005
3,16928474
2.8 Запишем окончательный результат времени затухания t для маятника с кольцом.
=50 ± 3 с
2.9 Вычислим время затухания для маятника с кольцом по формуле:
2.10 Вычислим погрешность полученного результата, воспользовавшись формулой переноса:
2.11 Запишем окончательный результат:
=69±2 с
2.12 Вычислим среднее значение времени t для маятника без кольца, за которое амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза, а также погрешность полученного результата .
|
Измеряемая величина |
Номер наблюдения |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
t, с |
36,34 |
37,72 |
35,81 |
38,16 |
40,53 |
2.13 Расположим значения t в порядке их возрастания.
|
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
t ,с |
35,81 |
36,34 |
37,72 |
38,16 |
40,53 |
2.14 Найдем среднее значение времени t по формуле:
= 37,712 с
2.15 Найдем отклонение каждого значения от .
|
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1,902 |
1,372 |
-0,008 |
-0,448 |
-2,818 |
2.16 Вычисляем среднеквадратическое отклонение для среднего значения измеряемой величины по формуле:
=0,8258898
2.17 Вычисляем случайную погрешность измерений:
,где для 5 измерений =2,8
2,31249144
2.18 Рассчитываем полную погрешность полученных результатов для t: ,
где 0,005
2,3124968
2.19 Запишем окончательный результат времени затухания t для маятника с кольцом.
=38 ± 2 с
2.20 Вычислим время затухания для маятника с кольцом по формуле:
2.21 Вычислим погрешность полученного результата, воспользовавшись формулой переноса:
2.22 Запишем окончательный результат:
=53±3 с
3. Определим собственные частоты колебаний маятника для диска с кольцом и без кольца и .
3.1 Вычислим собственную частоту для диска с кольцом, воспользовавшись формулой:
, где
4,70102234
3.2 Рассчитаем доверительную погрешность , воспользовавшись формулой переноса погрешностей:
0,0109999478
3.3 Вычислим собственную частоту для диска без кольца, воспользовавшись формулой:
, где
6,560027133
3.4 Рассчитаем доверительную погрешность , воспользовавшись формулой переноса погрешностей:
0,099999586
3.5 Запишем окончательный результат для и .
=4,701±0,011
=6,56±0,10
4. Вычислим декремент затухания и логарифмический декремент затухания δ для маятника с кольцом и без кольца.
4.1 Для диска с кольцом декремент затухания определяется формулой:
1,019551
Логарифмический декремент затухания
=0,019362
4.1 Для диска без кольца декремент затухания определяется формулой:
1,018221
Логарифмический декремент затухания
=0,018057
5. Определим добротность, полную энергию и мощность потерь маятников с кольцом и без кольца.
5.1 Добротность
= 162,18
=173,84
5.2 Вычислим полную энергию колебаний маятника по формуле ,
где , ,
1,39021 кг
0,45623858
В начальный момент времени t = 0
17,465383Дж
5.3 Мощность потерь маятников с кольцом и без кольца определяется формулами:
Вт
Вт
|
Рассчитанная величина |
Маятник с кольцом |
Маятник без кольца |
|
T, c |
1,336±0,003 |
0,957±0,015 |
|
4,701±0,011 |
6,56±0,10 |
|
|
4,701±0,011 |
6,56±0,10 |
|
|
,c |
69±2 |
53±3 |
|
Δ |
1,019551 |
1,018221 |
|
δ |
0,019362 |
0,018057 |
|
Q |
162,18 |
173,84 |
|
W, Дж |
17,465383 |
17,465383 |
|
, Вт |
0,506243 |
0,659071 |
6. Построим графики функций угла сдвига и амплитуды колебаний от времени для маятника без кольца, воспользовавшись формулами:
и
ВЫВОД
В ходе проведения лабораторной работы мы изучили динамику затухающего колебательного движения крутильного маятника, а также определили основные характеристики диссипативной системы. Во время этого исследования экспериментальным путем был получен ряд данных, на основании которых мы рассчитали период колебаний маятника без кольца и с кольцом, время затухания колебаний маятника, собственную частоту его колебаний, полную энергию колебаний, мощность потерь, а также добротность системы.