Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1. Исследовать функцию и построить её график:
у=cos(x)*cos(2*x).
1) точек разрыва нет.
>> syms x
>> ezplot('y=cos(x)*cos(2*x)')
2) нахождение вертикальных асимптот:
>> y=cos(x)*cos(2*x);
>> limit(y,x,inf,'left')
ans =
-1 .. 1
>> plot([-1 -1],[-10 10],'red')
3) нахождение наклонных асимптот:
>> syms k x b
>> y1=k*x+b;
>> y=cos(x)*cos(2*x);
>> k=limit(y/x,x,inf)
k =
0
>> b=limit(y-k*x,x,inf)
b =
-1 .. 1
y=1 наклонная асимптота функции (горизонтальная);
у=-1 наклонная асимптота функции (горизонтальная);
>> plot([-6 6],[1 1],'g')
>> plot([-6 6],[-1 -1],'g')
4) нахождение интервалов монотонности, экстремумов функции:
>> syms x
>> y=cos(x)*cos(2*x);
>> f=diff(y,x)
f =
-sin(x)*cos(2*x)-2*cos(x)*sin(2*x)
>> solve('-sin(x)*cos(2*x)-2*cos(x)*sin(2*x)=0')
ans =
atan(1/6*30^(1/2)*6^(1/2))
-atan(1/6*30^(1/2)*6^(1/2))+pi
-atan(1/6*30^(1/2)*6^(1/2))
atan(1/6*30^(1/2)*6^(1/2))-pi
0
pi
функция возрастает на промежутке (-inf;-1.15), (1.15;inf);
убывает на промежутке (-1.15;0), (0;1.15).
>> x= -atan(1/6*30^(1/2)*6^(1/2));
>> y=cos(x)*cos(2*x)
y =
-0.2722
точка (-1,15; -0.2722) - точка max;
>> x= atan(1/6*30^(1/2)*6^(1/2));
>> y=cos(x)*cos(2*x)
y =
-0.2722
точка (1,15;-0.2722) - точка min.
5) нахождение интервалов выпуклости и вогнутости; точек перегиба функции:
>> syms x
>> y=cos(x)*cos(2*x);
>> f=diff(y,x,2)
f =
-5*cos(x)*cos(2*x)+4*sin(x)*sin(2*x)
>> solve('-5*cos(x)*cos(2*x)+4*sin(x)*sin(2*x)=0')
ans =
1/2*pi
-1/2*pi
atan(1/26*10^(1/2)*26^(1/2))
-atan(1/26*10^(1/2)*26^(1/2))+pi
-atan(1/26*10^(1/2)*26^(1/2))
atan(1/26*10^(1/2)*26^(1/2))-pi
функция выпуклая на промежутке (-inf;-0.6), (0.6)
функции вогнутая на промежутке (-0.6;0.6);
>> x=-0.551;
>> y=cos(x)*cos(2*x)
y =
0.3849
>> x=0.551;
>> y=cos(x)*cos(2*x)
y =
0.3849
точки (-0.6;0.3849), (0.6;0.3849) - точки перегиба функции.
2. Вычислить пределы, используя правило Лапиталя:
1) Limit(cot(x)^(1/log(x)),x,0)
2) Limit((1-x)/(1-sin(pi*x/2)),x,1)
>> %1
>> syms x
>> a=diff(log(cot(x)))
a =
(-1-cot(x)^2)/cot(x)
>> b=diff(log(x))
b =
1/x
>> limit(a/b,x,0)
ans =
-1
>> exp(-1)
ans =
0.3679
>> %2
>> syms x
>> a=diff(1-x)
a =
-1
>> b=diff(1-sin(pi*x/2))
b =
-1/2*cos(1/2*pi*x)*pi
>> limit(a/b,x,1)
ans =
NaN
3. Решить задачу:
Отрытый жестяной бак с квадратным основанием должен вмещать V литров. При каких размерах на его изготовление потребуется наименьшее количество жести?
Решение:
Пусь по условию в основании бака квадрат, а боковая грань - прямоугольник. Тогда площадь бака будет равна:
>> S=2*S(ocn)+S(bok);
Пусть сторона квадрата = а, тогда стороны прямоугольника = а и b. Тогда:
>> S(ocn)=a^2;
>> S(bok)=a*b;
По условию бак вмещает V литров.
>> V=(a^2)*b;
Отсюда:
>> a=sqrt(V/b);
>> syms a b V S
>> a=sqrt(V/b);
>> S=2*(a^2)+a*b
S =
2*V/b+(V/b)^(1/2)*b
>> f=diff(S,b)
f =
-2*V/b^2-1/2/(V/b)^(1/2)/b*V+(V/b)^(1/2)
>> solve('-2*V/b^2-1/2/(V/b)^(1/2)/b*V+(V/b)^(1/2)=0')
ans =
2*2^(1/3)*V^(1/3)
-2^(1/3)*V^(1/3)+i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3)
-2^(1/3)*V^(1/3)-i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3)
>> b=2*2^(1/3)*V^(1/3);
>> a=sqrt(V/b)
a =
33554432/5674179970822795*11348359941645590^(1/2)*V^(1/3)
При а=33554432/5674179970822795*11348359941645590^(1/2)*V^(1/3)
b=(высота бака или грань)=2*2^(1/3)*V^(1/3) потребуется минимальное количество жести для изготовления бака.
4.Найти все корни уравнения. Изобразить их на комплексной плоскости:
>> syms z
>> solve('z^5+(1/2)*(1-i)=0')
ans =
(-1/2+1/2*i)^(1/5)
(1/4*5^(1/2)-1/4+1/4*i*2^(1/2)*(5+5^(1/2))^(1/2))*(-1/2+1/2*i)^(1/5)
(-1/4*5^(1/2)-1/4+1/4*i*2^(1/2)*(5-5^(1/2))^(1/2))*(-1/2+1/2*i)^(1/5)
(-1/4*5^(1/2)-1/4-1/4*i*2^(1/2)*(5-5^(1/2))^(1/2))*(-1/2+1/2*i)^(1/5)
(1/4*5^(1/2)-1/4-1/4*i*2^(1/2)*(5+5^(1/2))^(1/2))*(-1/2+1/2*i)^(1/5)
>> z1=(-1/2+1/2*i)^(1/5);
>> z2=(1/4*5^(1/2)-1/4+1/4*i*2^(1/2)*(5+5^(1/2))^(1/2))*(-1/2+1/2*i)^(1/5);
>> z3=(-1/4*5^(1/2)-1/4+1/4*i*2^(1/2)*(5-5^(1/2))^(1/2))*(-1/2+1/2*i)^(1/5);
>> z4=(-1/4*5^(1/2)-1/4-1/4*i*2^(1/2)*(5-5^(1/2))^(1/2))*(-1/2+1/2*i)^(1/5);
>> z5=(1/4*5^(1/2)-1/4-1/4*i*2^(1/2)*(5+5^(1/2))^(1/2))*(-1/2+1/2*i)^(1/5);
>> compass(z1)
compass(z2)
compass(z3)
>> compass(z4)
>> compass(z5)