У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Вариант 22 1 Найти область определения функции -

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-06-09

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 1.7.2025

Вариант № 22

1.  Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется двумя неравенствами  и  или .  Умножим первое неравенство на 5 и освободимся от знака модуля:  . Из левого неравенства находим  или . Из правого неравенства . Объединяя результаты, получим: . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки . Преобразуем функцию: . График симметричен относительно прямой . Построим график функции для  . Сначала строим график функции , затем сдвигаем его по оси OX на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх по оси OY. Отобразим вторую половину графика зеркально относительно прямой , затем части графика, расположенные ниже оси OX, перевернём зеркально в верхнюю полуплоскость. Получим график заданной функции.    

Ответ: Последовательность построения показана на рисунках.

3. Построить график функции: .

Область определения функции: . Преобразуем функцию: . Получили уравнение прямой. Кроме того, обнаружилось, что точка  является точкой устранимого разрыва. Точки пересечения с осями координат (-2, 0) и (0, 2/7).

Ответ: График представлен на рисунке.

4. Построить график функции: .

Исключим параметр t: . Складывая эти два равенства, получим:  . Это уравнение эллипса   с полуосями в 2 и в 5 единиц.

Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Поскольку , то функция существует для тех значений φ, для которых . Это наблюдается при всех значениях φ. Функция убывает от 2 при  до 1 при ), далее до 0 (при ).Левая половина графика представляет зеркальное отражение правой половины относительно вертикальной оси. Полярная ось пересекается графиком в точках (0, 1) и (π, 1). Можно перейти к декартовым координатам. Тогда получим уравнение  . Ответ: график представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Возведём обе скобки в степени и приведём подобные:

. Ответ: .

7. Вычислить предел:  (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

. Ответ: .

8. Вычислить предел:  (неопределённость вида (0/0)).

Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое по отношению к чис-

лителю: .

Ответ: .

9. Вычислить предел:  (неопределённость вида (0/0)).

Сделаем замену переменной и воспользуемся первым замечательным пределом: :          . Тогда

 

. Ответ: .

10. Вычислить предел:  (неопределённость вида (1)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: : . Предел в квадратных скобках равен числу e. Предел показателя степени равен . Следовательно, . Ответ: .

11. Вычислить предел:  (неопределённость вида (0/0)).

Сделаем замену переменной: . Тогда

|.

Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения: . В области определения функция является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в граничных точках области определения:   . Таким образом, в точках x=1 функция имеет разрыв второго рода. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности:  .

Ответ: В точках x=1 функция имеет разрыв второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на два интервала, на каждом из которых функция f(x) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точкой разрыва может быть только точка, разделяющая интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке x=1 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке x=1 равна -2.

Ответ: В точке x=1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим Δx на x-x0:

. Но , поэтому . В данном случае , так как  всегда. Ответ: .

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда y: .

Ответ:   .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой  имеют вид:

и , где  и   - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные  и :   

.Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или  и .

Ответ:

17. Функция y(x), заданная неявно уравнением , принимает в точке  значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по x, предполагая, что y= y(x):

. Из этого равенства находим:

. Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке :  . Ответ: ,

, .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала:  .

По определению дифференциала  или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ: 

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя:  .

Это неопределённость вида (1). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени:

. Следовательно,

. Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (0∙∞):  

. Ответ: .

21. Многочлен по степеням x представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию  в окрестности точки x0 с точностью до :  .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

 

.

Ответ: .

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значения функции и её первых трёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (1, 1) функция ведёт себя как степенная функция третьей степени. Точка (1, 1) является точкой перегиба: слева – интервал вогнутости, справа – интервал выпуклости графика функции.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 

По формуле Тейлора . Далее, . Подставим это в предел:  

.  Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничной точке области определения: . Отсюда следует, что прямая  является вертикальной асимптотой. Исследуем функцию при :  . Ищем наклонные асимптоты в виде :  . Следовательно, прямая   является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график:  .

1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют.  3. Функция не имеет разрывов. Вертикальных асимптот нет.

4. . Ищем наклонные асимптоты в виде : . Следовательно, наклонных асимптот нет.

5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точке .  В точке  производная не существует.  Имеем три интервала: при  производная отрицательна – функция монотонно убывает; при   производная положительна - функция монотонно возрастает, при  производная отрицательна - функция монотонно убывает. Следовательно, точка  является точкой минимума, причём , точка  является точкой максимума, причём .

6. Вторая производная: . Вторая производная обращается в нуль в точке  и не существует в точке . Имеем три интервала:  в интервале   производная  - график функции вогнутый;  в интервале   производная  - график функции выпуклый; в интервале   производная  - график функции выпуклый. Следовательно, точка   является точкой перегиба. 7. График функции пересекает ось OX в точке (1, 0).

Ответ: График функции представлен на рисунке, максимум функции – в точке ,

минимум функции – в точке , точка перегиба – (-1/5, максимум функции – в точке .




1. Праца з тэкстам лiтаратурнага твора Грунтуючыся на літаратуразнаўчых заканамернасцях пабудовы мастац
2. H very funny Eunice wnts some building work done nd guess who hs to orgnise it NNIE Builder Brbie Hey Not for you for the prty
3. Лабораторная работа 5Планирование работ средствами Microsoft Excel Цель
4.  двух целых X и Y и одного вещественного Z и квадрат среднего арифметического
5. . Гравиметрия. Область применения
6. Тема 15 Внешняя среда организации 1
7. Методы социологии Информатизация общества
8. Задание заключается в том что обследуемым демонстрируется в течение 20 с таблица с 12 двузначными числами кот
9. ПО ТЕМЕ ldquo;ФУНКЦИИ И ЦИКЛЫrdquo; Условия выбора варианта подгруппа
10. В начальный момент времени ключ К замкнут