Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вариант № 19
1. Найти область определения функции :.
Область определения данной функции определяется следующим неравенством: , т.е. . Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или . Объединяя результаты, получим: . Ответ: .
2. Построить график функции: .
Область определения функции: . Преобразуем функцию: . Строим по точкам график функции в интервале , затем «растягиваем» его по оси ОУ в два раза. Полученный график повторяем в интервалах для всех . Ответ: График представлен на рисунке.
3. Построить график функции: .
Область определения функции: – вся числовая ось: . Преобразуем функцию: . Сначала построим график функции , затем сдвинем полученный график на 2 единицы вправо по оси ОХ. Получим график функции . Затем ординаты всех точек графика увеличим в 2 раза. Ответ: Последовательность получения графика представлена на рисунке.
4. Построить график функции: .
Исключим параметр t: . Заметим, чо всегда , так как . Кроме того, область определения функции определяется неравенством , т.е. . Построим сначала график функции , затем отразим этот график зеркально относительно оси OX.. Ответ: График представлен на рисунке (сплошная линия).
5. Построить график функции: .
Преобразуем функцию: . Это уравнение окружности радиуса . Можно перейти к декартовым координатам . Тогда . Или: - окружность радиуса с центром в точке (1, 1).
Ответ: график представлен на рисунке.
6. Вычислить предел: .
Возведём все скобки в степени и приведём подобные:
.
Ответ: .
7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:
. Ответ: .
8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение: . Ответ: .
9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Сделаем замену переменной:
. Здесь воспользовались первым замечательным пределом: . Ответ: .
10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).
Приведём предел ко второму замечательному пределу: :
. Предел в квадратных скобках равен числу e. Рассмотрим предел знаменателя:
Следовательно,
Ответ: .
11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Преобразуем предел и воспользуемся эквивалентными величинами: .. Ответ: .
12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .
Область определения: . В области определения функция является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в граничной точке области определения: . Таким образом, в точке x=4 функция имеет разрыв второго рода. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: , .
Ответ: В точке и x=4 функция имеет разрыв второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.
13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .
Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на два интервала, на каждом из которых функция f(x) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точкой разрыва может быть только точка, разделяющая интервалы. Вычислим односторонние пределы:
. Таким образом, в точке x=0 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке x=0 равна -2.
Ответ: В точке x=0 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.
14. Исходя из определения производной, найти :
.
По определению . Заменим Δx на x-x0:
. Но , поэтому . В данном случае , следовательно производной не существует. Ответ: не существует.
15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: .
Берём производную, как производную неявной функции:
. Подставляем сюда y:
. Ответ: .
16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :
.
Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:
. Найдём производные и : .Тогда . Далее,
, следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и . Ответ:
17. Функция y(x), заданная неявно уравнением , принимает в точке значение . Найти .
Дифференцируем уравнение по x, предполагая, что y= y(x): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке : . Ответ: , , .
18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .
По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:
19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .
Это неопределённость вида (∞0). Преобразуем предел:
. Найдём предел в показателе степени:
. Следовательно, .
Ответ: .
20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .
Это неопределённость вида (0∙∞):
. Ответ: .
21. Многочлен по степеням x представить в виде многочлена по степеням : .
Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .
Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .
Ответ: .
22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки x0 с точностью до : .
Применяем формулу Тейлора:
.
Вычисляем последовательно:
. Ответ: .
23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .
Найдём значения функции и её первых трёх производных в заданной точке:
. По формуле Тейлора .
Ответ: В окрестности точки (1, -1) функция ведёт себя как степенная функция третьей степени. Точка (1, -1) является точкой перегиба: слева - интервал выпуклости, справа - интервал вогнутости.
24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .
Сделаем замену: . Тогда . По формуле Тейлора . Подставим это в предел: .
Ответ: .
25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .
Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения: ,. Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при :. Ищем наклонные асимптоты в виде : . Следовательно, прямая является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.
26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .
1. Область определения: .
2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют, функция положительна в области определения 3. Функция имеет разрыв в точке . Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Таким образом, прямая явля-
ется вертикальной асимптотой.
4. (по правилу Лопиталя). Следовательно, прямая является левосторонней горизонтальной асимптотой. Очевидно, что других асимптот нет.
5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точке . Слева от точки производная отрицательна, справа положительна. Следовательно, в точке имеет место минимум функции, причём . В интервале функция монотонно возрастает, в интервале функция монотонно убывает, в интервале функция монотонно возрастает.
6. Вторая производная: . Вторая производная во всех точках положительна, следовательно, график функции вогнутый на всех интервалах. Точек перегиба нет. 7. График функции не пересекает осей координат, во всех точках . Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум – минимум – в точке . Вертикальная асимптота , горизонтальная асимптота .
2
4
6
8
2
4
6
8
-π
-π/2
π/2
π
0
-π
-π/2
π/2
π
2
1
0
1
4
2
2
4
2