Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.Айырымдық сұлбамен, жылуөткізгіштік теңдеуімен таныстыру және оны шешу.
Берілген бастапқы және шекаралық шарттарда жылуөткізудің теңдеулерін шешуге арналған айырымдық сұлбасының түрлері:
-қарастырылып отырған үзіктің ұштарында температураның бөлінуі[0,1] кез келген сәтте бастапқы және шекаралық шарттар келісілуі тиіс, яғни . Тікбұрышты торды енгіземіз:
-қадамдар. -функцияның тор түйініндегі мәні. Осылайша,
Ішкі түйіндерде торлық функцияларды анықтау үшін алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз. Шекаралық шарттардан
(4)
кезінде түйіндер жиынтығы қабат деп атаймыз. (2) –ден қабатында келесі мәнін сәйкес мәні арқылы сол қабатын табамыз. кезінде есепті бастау үшін бастапқы шартпен анықталатын бастапқы қабаттағы шешім қажет, оның түрлері:
(5)
бар. Шекаралық шарттарды тексеру әдісі арқылы шешіледі.
Анық сұлбаларға қарағанда әрбір айырымдық сұлба (3) әрбір жаңа қабатта үш нүктеде белгісіздік мәні болады, сондықтан осы мәндерді алдыңғы қабаттағы белгілі шешім арқылы табуға болмайды. Олар айқындалмаған сұлба деп аталады. Айырымдық сұлба (3) сызықтық үшнүктелі теңдеулерден тұрады, яғни әрбір теңдеу берілген қабаттың үш нүктесінде белгісіздік функциясы болады. Прогонка әдісі бойынша шешіледі.
Берілген бастапқы және шекаралық шарттарБерілген мысалда қосқабатты сұлбаны қарастырдық, яғни әрбір айырымдық теңдеуге қос қабаттан тұратын функцияның мәні кіреді, ол-шешімі табылған - астыңғы, және түйнектерінде шешімі ізделініп жатқан- жоғарғы.
2.Айырымдылық операторларының қасиеттері.
Айырымдық операторлардың қасиеттерінің теңдеуімен таныстыру және оны шешу.
Алғашқы және шекаралық шарттары берілген дифференциалдық есеп дербес туынды теңдеулермен операторлық түрде құрастырылып жазылады.
(6)
Операторлық теңдеу негізгі дербес туынды теңдеу және қосымша алғашқы және шекаралық шарттарынан тұратын теңдеуден құралады. теңдеудің алғашқы және шекаралық шарттарының оң жағын бейнелейді, есептеу облысынан да, шекарадан да тұрады. (6) дифференциалдық есепті айырымдылық есебімен алмастырамыз , мұндағы , мұндағы .
(7)
сеткалар байламдарында торлар функциясының мәнін ізделінетін функцияның мәндерін жуықтап сол байламдағы қателіктермен алмастырады.
. (8)
енгіземіз.
Егер (9) байламдар торлары қоюланса, яғни бұл қателіктер мәндері нөлге ұмтылады,олай болса айырымдылық схема (7) қосылатын деп аталады.
Егер мұндағы , онда айырымдылық схемасы k-шы дәлдік ретті немесе жылдамдығымен қосылады деп те айтады. Тордағы қателікті есептеу үшін (7) теңдеуін жазайық. (7)-ге қойып, (10) аламыз.
Айырымдылық схеманың өлшемі байланыспау деп аталады (аппроксимация қателігі) .Өлшемдік сипаттамасын енгізейік.
(11)
болғанда аппроксимация һ-пен салыстырғанда k-ші ретті болады. (7) айырымдылық схема (6) негізгі дифференциалдық есепті аппроксимациялайды ,егер
(12)
яғни, торды ұсақтаса онда байланыспау нөлге ұмтылады.
3.Нормаланған кеңістікті аппроксимациялау.
Нормаланған кеңістікті аппроксимациялау арқылы теңдеуге арналған аралас есептің шешуінің блок-сұлбасын жасау.
Абсолютті (сөзсіз) аппроксимация кез-келген заң бойынша ешбір шартсыз байланыспаудың болғанда нөлге ұмтылатын аппроксимация түрін айтады.Шартты аппроксимацияда кеңістік және уақыт бойынша қадамдар өлшемдеріне кейбір шарттар қойылады. (7) айырымдылық схемасы орнықтылықтанған деп аталады,егер оның шешімі кіретін мәліметтермен үзіліссіз байланыста болса, яғни кіретін мәліметтер шамалы аз өзгерсе соған сай шешімнің мәндері де аздап өзгереді. Орнықтылық айырымдылық схемасының түрлі қателіктерге сезімталдығын сипаттайды.
Теорема: Егер (6) негізгі дифференциалдық есептің шешімі бар болса, ал (7) айырымдылық схемасы берілген (6) шешімді орнықтылайды және аппроксициялайды, сонда айырымдылық шешімі дәлдікке қосылады.
[1] - [5], кіріспе, 5 - тарау
Шекаралық шарттың бірінші ретті аппроксимациясы жоғарыда көрсетілгендей қасиетке ие болады. Т.с.с. ішкі байланысуының аппроксимациясы шекаралық байланысуы тәртібі аппроксимациясы орындалады. Аппроксимациялық ретінің сетканы түгел байламын глобальді аппроксимациялық реті деп аламыз.
Аппроксимация ретті жоғарлауының шекаралық шартының белгілі бір әдісі екінші ретін дифференциалдық есеп болып табылады:
Егерде, белгілі сұлбаның алгоритімі есептің шешілуі жаңа уақыттың қабаты мен аппроксимациялық шекараның шартын қабылдамайды, бірақ принципиалдығы өзгермейді. САТЖ өзінің үш-диагональдығын жоғалтады егерде, белгісіз сұлба қолданылғанда(бірінші және екінші теңдікте үшеуі белгісіз болады). Үшінші теңдікті оңай алып тастау жолын қарастырамыз, яғни екінші және үшінші теңдіктерді комбинацияның сызықтық жолымен алуға болады. Бұл жағдайда диагональды матрицаның бұзылуы, сонымен қатар прагон әдісі де бұзылады.
Оны оңай жолымен қарастырайық, аппроксимациялық ретті шартын күшейтпелігінсіз аппроксимациялық қтынастың бйланыс саны. Иллюстрациялық подходты мынандай түрде көреміз.
Мысалы 2.1.
Үшінші алғашқы-шектік есептің параболалық теңдеуінде, құрамында конвекцияланған мүшелерінің құрамдамасы,(туындының пропорционалы ), іздеу функциясының шығу көздері, мүшелерін құрайды
(2.21)-(2.24) Шешімі.
Шекті-әртүрлігі сұлбасының теңдеуі, сетканың Шекті-әртүрлігінің белгісіз ішкі байланыста көреміз, (2.21):
(2.25)
Егер, бірінші тәртіптегі шекарлық шарттың туындысын (2.22) және (2.23) аппроксимациялық сұлба бойынша аламыз (оң және сол Шекті-әртүрлігін қою-арқылы)
Онда шекаралық шарттар бірінші тәртіп бойынша аппроксимацияланады және глобальді тәртібі, бірінші тәртіпке тең , барлық қалған байланыс аппроксимациялық тәртіп кеңістігі орын ауысуы екіге бөлінеді. Аппроксимациялық тәртіпті сақтауға және екіге теңдігін біз шекаралық байланысуда дәл есептелінген теңдеуіне қоямыз сонда аумақ нүктесінде x=0 болғанда Тейлор қатарына ауыспалы x үшінші туындыға шейін ,- аналогтық қатарының нүктелік ауданының x=l деп аламыз(функциясының жазылуы бойынша u(x,t) шекаралық байлаудан бірінші туынды алынады және екіншіні х бойымен аламыз):
(2.26)
. (2.27)
Әрі қарай екінші мәннің туындысын шекаралық байлануына қоямыз, дифференциалдық теңдеуін аламыз (2.21):
Алынған өрнектен шығады (2.26), бірінші туындының мәнін шекаралық ретімен, аламыз(2.27)
Қою аркылы яғни (2.22), және (2.23) аппроксимациялық кезінде сәйкес қосылуы алынғанда шекаралык байлануын қараймыз(осыдан алгебралык теңдеудің шекаралық байланысуын аламыз, осының әрқайсысындаекеуі белгісіз болады:
(2.28)
(2.29)
Осылайша,(2.28) - Шекті-әртүрлігінің аппроксимациясының шекаралық теңдеуінің үш түрі белгілі (2.22) сол жақ шекарада x=0 болады, яағни (2.29) - Шекті-әртүрлігінің аппроксимациялық үшінші-текті теңдеудің он жақ шекарада (2.23) x=l аппроксимацияның сол жақ ретін сақтайды, осылайша Шекті-әртүрлігінің аппроксимациясы (2.25) және дифференциалдық теңдеуінде де (2.21).
Жаза отырып шекаралық шекті-әртүрлігінің теңдеуінде (2.28), (2.29) сетканың функцияснда екінші мәнді ұстанады, алгебралық теңдеу (2.25),
(2.30)
4.Параболалық типті теңдеулерге арналған айырымдық сұлбалар
Мақсаты: Параболалық теңдеу үшін үшінші бастапқы-шеттік есепті қарастыру, және оның шешімінің блок сұлбасын құрастыру.
Мысал 2.1.
Конвективті мүшелері ( туындысына пропорционалды), сондай-ақ ізделетін функциясы бар көздік мүшелер де құрамында бар параболалық теңдеу үшін үшінші бастапқы-шеткі есепті шешу.
(2.1)-(2.4)
Шешім.
Ақырлы-айырымды тордың ішкі түйіндерінде (2.1) теңдеуі үшін айқын емес ақырла-айырымдық сұлбаның түрі:
(2.5)
Егер (2.2) және (2.3) шекаралық шарттарындағы бірінші қатардың туындысын келесі сызба бойынша жуықтатса (оң және сол айырымдарының ұштарының қатысының көмегімен),
онда шекаралық шарттар бірінші тәртіп бойынша жуықтасады, және жаһанды тәртіп басқа қалған түйіндерде жуықтасу тәртібі ауыспалы кеңістік бойынша екіге тең екендігіне қарамастан, бірінші тәртіпке тең болады. Екіге тең жуықтасу тәртібін сақтау үшін шекаралық түйіндерде x=0 нүктесінің маңайында Тейлор қатарына х үшінші туындысына дейін ауыспалы бойынша мәнінің нақты шешімін, x=l нүктесінің маңайына ұқсас қатарына қоямыз, шығатыны ( шамамен u(x,t) функциясы шекаралық түйіндерде уақыт бойынша бірінші туындылары болады және екіншілері –х бойынша):
(2.6)
. (2.7)
Ары қарай, (2.21) дифферернциалды теңдеуден алынған шекаралық түйінділердегі екінші туындының мәнін қоямыз:
және алынған (2.6), (2.7) өрнектерден бірінші туындының мәнін табамыз
шекаралық түйіндерде тәртіппен
(2.2) , ал (2.3) қоя отырып, тиісті шекаралық түйіндерде аланған арақатынастарды жуықтастырып,
әрқайсысында екі белгісіздері бар шекаралық түйіндерге арналған алгебралық теңдеулерді аламыз:
(2.8)
(2.9)
Осылайша, (2.8) - x=0 сол жақ шекарасындағы (2.2) 3-нші тегінің шекаралық шарттың ақырлы-айырымдық жуықтату, ал (2.9) - x=l оң жақ шекарасындағы (2.3) 3-нші тегінің шекаралық шарттың ақырлы-айырымдық жуықтату, бұлар (2.1) дифференциалды теңдеудің (2.5) ақырлы-айырымдық жуықтатуындағы тәртіпті сақтайды.
Әрқайсысында торлық функцияның екі мәні бар (2.8), (2.9) шекаралық ақырлы-айырымдық теңдеулерге жатқыза отырып, төмендегідей түрде жазылған (2.25) алгебралық функциялар
(2.10)
Шекаралық шарттарды тексеру әдісі бойынша шешілетін үшдиагоналды САТЖ-ін аламыз
(2.11)
(j = N, N-1, ... , 0.) (2.12)
Кеңістіктік айнымал бойынша туындылары бар шеттік шарттарды жуықтатудың айтылған әдісі, жуықтату тәртібін жоғарылатып қоймай, ақырлы-айырымдық сызбасының консервативтілігін сақтайды, яғни ақырлы-айырымдық жуықтатуда сақтау заңдары сақталады, олардың негізінде (2.1)-(2.4) есептерінің дифференциалды арақатынасы шығарылған.
Ұқсас амалды кез келген типтің дифференциалды теңдеулер үшін шеткі есептерде жүзеге асыруға болады.
Лаппас теңдеуі үшін Дирихле есебін шығару
Есеп: Лаппас теңдеуін тікбұрышты аймақтың ішінде қанағаттандыратын, және аймағының шекарасында беірілген мәнін қабылдайтын, яғни , u(x,y) үздіксіз функциясын табу, мұнда - берілген функциялар.
u(x,y) - аймақтың шекарасындағы үздіксіз функция болсын, яғни
һ қадамдарын таңдап, 1-ден х, у сәйкес, , где торын құрастырамыз.
Белгілеу: . және дербес туындыны 2-нші реттің
орталық-айырымдық туындылармен тордың әрбір ішкі түйінінде жуықтатамыз
Лаппас теңдеуін ақырлы-айырымдық теңдеумен ауыстырамыз
.
(14)
Тікбұрышты аймақта Лаппас теңдеуі үшін Дирихле есебінің сандық шешімі тордың ішкі түйіндерінде ізделетін функцияның жуықтатылған мәнін табудан тұрады. анықтау үшін (14) сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу керек. Жүйені құрамында түрдің итерациясының тізбегінен тұратын, тізбегі (14) нақты шешімге тырысатын Гаусс-Зейдел итерациялық әдісімен шешеміз. Итерационды үрдісті аяқтаудың шарты: .
Осылайша, тор әдісі бойынша алынған жуықтатылған шешімнің шекаралық қабаты екі шекаралық қабаттан жасалынады: айырымдық теңдеулермен дифференциалды теңдеулерді жуықтату шекаралық қабаты және айырымдық теңдеулер жүйесін (14) жуық шешу арқылы туындайтын шекаралық қабат. Сызбаның орнықтылығы, бастапқы берілгендеріндеігі кішкентай өзгерістер есептің айырымдық шешімінің кішкентай өзгерісіне әкелетінін білдіреді. Сызбаның жинақтылығы, тордың қадамының нөлге тырысуы кезінде есептің айырымын шешу алғашқы есепиі шешуге тырысатынын білдіреді. Осылайша, жеткілікті кішкене қадамды таңдап, алғашқы есепті дәл шешуге болады.
5: Бастапқы-шекаралық есептер.
Мақсаты: Математикалық физика есептерінде бастапқы шекаралық есептерді дұрыс қоюға уйрету.
Математикалық физика есептерінде және жылуөткізгіштік есептердің дербес жағдайында, яғни шекараның есептелінетін облысының байламында шекаралық шарттың бірінші реті аппроксимацияланады. Екінші және үшінші ретті шекаралық шарттардың айырмашылығы, олардың айнымалы кеңістік бойынша ізделінетін функцияның бірінші ретті туындысы қатысады. Сондықтан, түрлі-шекті сұлбаның түйілісіне аппроксимация қажет. Бірінші ретті аппроксимация туындысының бағыты қарапайым нұсқа ретінде алынады:
Онда шекаралық жалпы жағдайының үшінші ретінің (2.7), (2.8) теңдеуі, түрлі сұлбаның екі шектік байламда ізделінетін функция мәні байланысады, сонда келесі өрнек түрінде беріледі:
Шекті-әр түрлілігінің аппроксимациялық ішкі байламда белгілі теңдеуді аламыз, үшінші алғашқы-шектік есеп үшін белгілі әр түрлі сұлбаны аламыз (2.1), (2.4), (2.7), (2.8).
Жаңа уақыттық қабатқа алгоритмдік өтуін белгілі сұлбаның көмегімен аламыз:
Яғни, алғашқы ізделінетін функцияның барлық ішкі жаңа уақыттық қабаты есептелінеді, содан соң шекарадағы мәндер анықталады.
Белгісіз соңғы-түрлі сұлбаны қолданып, дифференциалдық есепті аламыз:
Нәтижесінде жаңа уақыттық қабаттың шешімін табу үшін сызықтық алгебра теңдеуінің үш-диагональді матрицалар жүйесін қолданамыз. Белгілі және белгісіз сұлбаны қолданған кезде осыған ұқсас болады.
Шекаралық шарттың бірінші ретті аппроксимациясы жоғарыда көрсетілгендей қасиетке ие болады. Т.с.с. ішкі байланысуының аппроксимациясы шекаралық байланысуы тәртібі аппроксимациясы орындалады. Аппроксимациялық ретінің сетканы түгел байламын глобальді аппроксимациялық реті деп аламыз.
Аппроксимация ретті жоғарлауының шекаралық шартының белгілі бір әдісі екінші ретін дифференциалдық есеп болып табылады:
Егерде, белгілі сұлбаның алгоритімі есептің шешілуі жаңа уақыттың қабаты мен аппроксимациялық шекараның шартын қабылдамайды, бірақ принципиалдығы өзгермейді. САТЖ өзінің үш-диагональдығын жоғалтады егерде, белгісіз сұлба қолданылғанда(бірінші және екінші теңдікте үшеуі белгісіз болады). Үшінші теңдікті оңай алып тастау жолын қарастырамыз, яғни екінші және үшінші теңдіктерді комбинацияның сызықтық жолымен алуға болады. Бұл жағдайда диагональды матрицаның бұзылуы, сонымен қатар прагон әдісі де бұзылады.
Оны оңай жолымен қарастырайық, аппроксимациялық ретті шартын күшейтпелігінсіз аппроксимациялық қтынастың бйланыс саны. Иллюстрациялық подходты мынандай түрде көреміз.
Мысалы 2.1.
Үшінші алғашқы-шектік есептің параболалық теңдеуінде, құрамында конвекцияланған мүшелерінің құрамдамасы,(туындының пропорционалы ), іздеу функциясының шығу көздері, мүшелерін құрайды
(2.21)-(2.24) Шешімі.
Шекті-әртүрлігі сұлбасының теңдеуі, сетканың Шекті-әртүрлігінің белгісіз ішкі байланыста көреміз, (2.21):
(2.25)
Егер,бірінші тәртіптегі шекарлық шарттың туындысын (2.22) және (2.23) аппроксимациялық сұлба бойынша аламыз (оң және сол Шекті-әртүрлігін қою-арқылы)
Онда шекаралық шарттар бірінші тәртіп бойынша аппроксимацияланады және глобальді тәртібі, бірінші тәртіпке тең , барлық қалған байланыс аппроксимациялық тәртіп кеңістігі орын ауысуы екіге бөлінеді. Аппроксимациялық тәртіпті сақтауға және екіге теңдігін біз шекаралық байланысуда дәл есептелінген теңдеуіне қоямыз сонда аумақ нүктесінде x=0 болғанда Тейлор қатарына ауыспалы x үшінші туындыға шейін ,- аналогтық қатарының нүктелік ауданының x=l деп аламыз(функциясының жазылуы бойынша u(x,t) шекаралық байлаудан бірінші туынды алынады және екіншіні х бойымен аламыз):
(2.26)
. (2.27)
Әрі қарай екінші мәннің туындысын шекаралық байлануына қоямыз, дифференциалдық теңдеуін аламыз (2.21):
Алынған өрнектен шығады (2.26), бірінші туындының мәнін шекаралық ретімен, аламыз(2.27)
Қою аркылы яғни (2.22), және (2.23) аппроксимациялық кезінде сәйкес қосылуы алынғанда шекаралык байлануын қараймыз(осыдан алгебралык теңдеудің шекаралық байланысуын аламыз, осының әрқайсысында екеуі белгісіз болады:
(2.28)
(2.29)
Осылайша,(2.28) - Шекті-әртүрлігінің аппроксимациясының шекаралық теңдеуінің үш түрі белгілі (2.22) сол жақ шекарада x=0 болады, яағни (2.29) - Шекті-әртүрлігінің аппроксимациялық үшінші-текті теңдеудің он жақ шекарада (2.23) x=l аппроксимацияның сол жақ ретін сақтайды, осылайша Шекті-әртүрлігінің аппроксимациясы (2.25) және дифференциалдық теңдеуінде де (2.21).
6.Жылу өткізгіштер теңдеуінің үш қабатты схемалары.
Мақсаты: Жылу өткізгіштер теңдеуінің үш қабатты схемаларын құрастыру
Параболалық типті теңдеудің классикалық мысалы жылу өткізгіштің теңдеуі болып табылады (диффузия).Біртекті кеңістікте біртекті (энергия көзінсіз) жылу өткізгіштіктің теңдеуі мынандай түрде болады
. (2.1)
Егер де шекараларда х=0 және х=l функцияның ізделінетін мәні мына u(x,t) түрде берілсе
(2.2)
Яғни бірінші тектің шекаралык шарттары және одан баска, алғашқы шарттары берілген
u(x,0)=ψ(x), 0≤x≤l, t=0, (2.4)
онда (2.1)-(2.4) есепті жылу өткізгіштіктің теңдеуінің бірінші алғашқы-шектік есебі деп атайды (2.1).
Жылу алмасу теориясының терминінде u(x,t) – температураның кеңістіктік-уақыттық ауданында бөлінуі температураөткізгіштік коэфициенті, ал (2.2), (2.3) ϕ0(t), ϕl(t) функцияның көмегімен шекарада мынадай температура береді x=0 и x=l.
Егер де шекарада х=0 және х=1 туындылардың ізделінетін кеңістіктік мәні берілсе
(2.5) (2.6)
Яғни, екінші тектің шекаралық шарттары, онда (25.1), (2.5), (2.6), (2.4) есептерді (2.1) жылу өткізгіштік теңдеудің екінші алғашқы-шектік шарты дейді.Жылу алмасу теориясының терминінде шекаралық жылу ағындары берілген.
Егер кеңістіктік айнымалы бойынша шекарада сызықтық комбинациялы іздестірілетін функция берілсе
(2.7)
(2.8)
Яғни, үшінші тектің шекаралық шартында, онда (2.1), (2.7), (2.8), (2.4) жылу өткізгіштің үшінші алғашқы-шектік теңдеуі деп атайды (2.1).Жылу алмасу теориясының терминінде (2.7), (2.8) шекаралық шарттарды газ тәрізді және сұйықтық ортада жылу алмасу арасында және шекаралық саналы ауданда белгісіз температуралармен беріледі u (0,t), u(l,t).
Кеңістіктік жылу өткізгіштік аудандарында бірінші алғашқы-шектік шарт мынандай түрде болады
Сол сияқты (2.9) – (2.11) кеңістіктік теңдеулердің шарттары екінші және үшінші алғашқы-шектік шарттарға қойылады.
Практикада әрқашан жылу өткізгіштіктің алғашқы-шектік шарттар аралас шектік шарттармен қойылғанда, шекарада шекаралық шарттардың әр түрлі тектері беріледі.
2.1.2.Соңғы әр түрлі әдіс түсініктері.Параболойдтық типті теңдеуде соңғы әдісте қолдану.Негізгі анықтамалар, соңғы әр түрлі әдістермен байланысқан, (2.1)-(2.4) жылу өткізгіштік теңдеуін соңғы-әр түлі шешімдердің бірінші алғашқы-шектік шарттарды мысал ретінде қарастырамыз. Кеңістіктік-уақыттық ауданға қоямыз 0≤x≤l, 0≤t≤T соңғы-әр түрлі сетканы ω hτ
(2.12)
Кеңістіктік қадаммен h=l/N және уакыт бойынша қадаммен τ=T/K (рис 2.1).
Екі қабатты уақытты енгіземіз:
tk=kτ -дың астындағы, u(xj,tk) іздестірілген функциясы, ( k=0 бөлінуі (2.4) (xj,t0)=ψ(xj)) белгілі бастапқы шартпен анықталады және tk+1=(k+1)τ үстіңгі қабатты уақыт, u(xjj,tk+1), j=0,1,…,N іздестірілген функциясы анықталуға жарайды.
2.1(сурет). Соңғы әр түрлі тор
(2.1.)-(2.4) (анықтамасы) есептерінің торлық функциясын j, k бүтін аргументтердің бірмәнділік көрсетулері функциясының мәні.
(2.12) берілген функцияға бірінші белгілі тордың функциясы, ал екіншісі – анықталуға жарайтын торлық функциясын енгіземіз.Оның анықталуы үшін
(2.1.)-(2.4) есептерінде (аппроксимациялаймыз) дифференциалдық операторлардың орнына ауыстырамыз.(«Сандық дифференциалдау» тақырыбын қараймыз),
(2.13)
(2.14)
(2.13) формуланы аламыз. (2.1.)-(2.4)-не (2.13),(2.14) қойсақ,соңғы әр түрлі жүйені аламыз.Мұндай есепке форма
(2.15)
j -барлық теңдеулеріне торлық функция белгілі, ескерту есептемей (2.15) байланысында анықталады. (2.15) байланысында (j=0, j=N) шектік шарттары j=1 және j=N-1 мәндеріне кіретін ,ал алғашқы шарты – k=0.
Егер (2.14) кеңістіктік айнымалыда дифференциалдық операторды үстіңгі уақыттық қабаттың соңғы әр түрлі байланысымен аппроксимацияласақ,
(2.16)
онда (2.13), (2.16)-ны (2.1)-(2.4) есептеріне қойсақ,бұл есептің соңғы әр түрлі түйенің белгісіз екенін көреміз.
(2.17)
Енді торлық функцияның үстіңгі уақыттың қабатын САТЖ (2.17) үшдиагональды матрицаның шешімін табуға болады.Бұл САТЖ формасы, жарамды өткізу әдісімен қолданылады да,осындай түрге келеді.
7.Айқын схемасы.
Жылуөткізгіштік теңдеулерді шешуде айқын схемасын қолдану.
Айқын схемасы алғашқы және шекаралық шарттар жылу өткішгіштік теңдеулерін шешу үшін келесі түрде беріледі:
Кез-келген мезетте қарастырылып жатқан [0,1] кесіндісінің аяғында ψ1(t) және ψ2(t) - температураларының бөлінуі алғашқы және шекаралық шарттарымен келісілген, яғни болуы керек. Тік бұрышты торды енгізейік : мұндағы һ,τ-қадамдар.-сетканың байламдарындағы функцияның мәндері.Сондықтан,
Торлы функцияның ішкі байламдарындағы мәндерін табу үшін алгебралық теңдеулер жүйесін табамыз.Шекаралық шарттан
(4)
болғанда байламдар жиынтығы қабат деп аталады. (2)-ден тізбекті мәндерді -нің қабатына лайықты мәндер арқылы -ді -қабатында табамыз. Мұндай схемалар айқындалған деп аталады.болғанда есеп басында бастапқы қабаттағы алғашқы шартпен анықталатын келесі түрдегі шешім қажет :
(5)
Әрбір айырымдылық теңдеу (3) айқын схемаға қарағанда әрбір үш белгісіз нүктеде жаңа мағына қабатының мәндерін құрайды,сондықтан алдындағы қабаттың белгілі шешімдері арқылы бұл мәндерді лезде табуға болмайды.Олар айқынсыз схемалар деген атқа ие.Сонда (3) айырымдық схема сызықтық үш нүктелік теңдеулерден құралады, бірақ әрбір теңдеу тап осы қабаттың үш нүктесіндегі белгісіз функциядан тұрады.Ол айдап шығу әдісімен шешіледі.
Тап осы мысалда екі қабатты схеманы қарастырдық,яғни әрбір айырымдылық теңдеуге екі қабатты функция мәндері –төменгі,қайсыда шешімі табылған және жоғарғы,байламдағы шешімдері ізделуде кіреді.
8.Гиперболалық типті теңдеу үшін айырымдық сұлбалар
Мақсаты: Сымның тербелісінің теңдеуіне арналған айырымдық сұлбаларды меңгеру.
Үшінші алғашқы-шеткі есепке арналған айқындалған ақырлы-айырымдқы сұлбаны көшіріп жазу.
Шешімі.
(3.1 б) шаблонынындағы дифференциалды теңдеуді жуықтату түрі:
мұнда .
Шекаралық шарттарды бірінші рет бойынша жуықтатамыз:
. Нәтижесінде жаңа уақыттық қабатқа ауысу келесі алгоритм бойынша ұсынылады:
Осылайша, алдымен жаңа уақыттық қабаттағы ішкі түйіндердегі u ізделетін функцияның мәні есептеледі, одан кейін шекаралық шарттардың жуықтатуынан шеткі түйіндердегі функцияның мәнін табады. Есептеу үрдісін біржолата аяқтау үшін бастапқы шартқа сүйене отырып анықтаймыз, ізделінетін функцияның мәні екі алғашқы уақытша қабаттарда
Уақыттың бастапқы сәтінде мәні дәл анықталады:
Егер уақыт бойынша алғашқы реттің жуақтатуын пайдалансақ, онда жоғарыда көрсетілгендей,
аламыз. Жуықтатудың ретін жоғарылату үшін Тейлор ретіне t=0 аймағына уақыт бойынша дәл шешімінде жіктейміз:
мұнда, алғашқа теңдеуге сәйкес
Біржолата шығатыны
.
9.Салмағы бар схемалар жиыны.
Мақсаты: Салмағы бар схемалар жиынын құрастыру;
Салмағы бар схемалар жиыны. Энергетикалық тепе-теңдік. Бір өлшемді жылу өткізгіш теңдеуін дискреттеу. Шаблондары. Айырымдылық аппроксимация реті. Орнықтылықты Фурье әдісімен зерттеу. Бастапқы-шекаралық есептері. Алты нүктелік схемалар жиыны. Айқындалған және айқындалмаған схемалары. Кранк-Николсон схемасы. Аппроксимация реті, орнықтылығы. Жылу өткізгіштер теңдеуінің үш қабатты схемалары. Дюфонт және Франкель схемалары. Аппроксимация реті,орнықтылығы. Салмағы бар схемалары. Аппроксимация қателігі және орнықтылығы. Симметриялы және симметриялы емес схемалары. Бастапқы берілген бойынша орнықтылығы. Оң жағы бойынша орнықтылығы.
Салмағы бар схемалар жиыны бір типті теңдеудің классикалық мысалы жылу өткізгіштің теңдеуі болып табылады. Біртекті кеңістікте біртекті (энергия көзінсіз) жылу өткізгіштіктің теңдеуі мынандай түрде болады
. (2.1)
Егер де шекараларда х=0 және х=l функцияның ізделінетін мәні мына u(x,t) түрде берілсе
(2.2)
Яғни бірінші тектің шекаралык шарттары және одан баска, алғашқы шарттары берілген
u(x,0)=ψ(x), 0≤x≤l, t=0, (2.4)
онда (2.1)-(2.4) есепті жылу өткізгіштіктің теңдеуінің бірінші алғашқы-шектік есебі деп атайды (2.1).
Жылу алмасу теориясының терминінде u(x,t) – температураның кеңістіктік-уақыттық ауданында бөлінуі температураөткізгіштік коэфициенті, ал (2.2), (2.3) ϕ0(t), ϕl(t) функцияның көмегімен шекарада мынадай температура береді x=0 и x=l.
Егер де шекарада х=0 және х=1 туындылардың ізделінетін кеңістіктік мәні берілсе
(2.5) (2.6)
Яғни, екінші тектің шекаралық шарттары, онда (25.1), (2.5), (2.6), (2.4) есептерді (2.1) жылу өткізгіштік теңдеудің екінші алғашқы-шектік шарты дейді.Жылу алмасу теориясының терминінде шекаралық жылу ағындары берілген.
Егер кеңістіктік айнымалы бойынша шекарада сызықтық комбинациялы іздестірілетін функция берілсе
(2.7)
(2.8)
Яғни, үшінші тектің шекаралық шартында, онда (2.1), (2.7), (2.8), (2.4) жылу өткізгіштің үшінші алғашқы-шектік теңдеуі деп атайды (2.1).Жылу алмасу теориясының терминінде (2.7), (2.8) шекаралық шарттарды газ тәрізді және сұйықтық ортада жылу алмасу арасында және шекаралық саналы ауданда белгісіз температуралармен беріледі u (0,t), u(l,t).
Кеңістіктік жылу өткізгіштік аудандарында бірінші алғашқы-шектік шарт мынандай түрде болады
Сол сияқты (2.9) – (2.11) кеңістіктік теңдеулердің шарттары екінші және үшінші алғашқы-шектік шарттарға қойылады.
Практикада әрқашан жылу өткізгіштіктің алғашқы-шектік шарттар аралас шектік шарттармен қойылғанда, шекарада шекаралық шарттардың әр түрлі тектері беріледі.
2.1.2.Соңғы әр түрлі әдіс түсініктері. Параболойдтық типті теңдеуде соңғы әдісте қолдану. Негізгі анықтамалар, соңғы әр түрлі әдістермен байланысқан, (2.1)-(2.4) жылу өткізгіштік теңдеуін соңғы-әр түлі шешімдердің бірінші алғашқы-шектік шарттарды мысал ретінде қарастырамыз. Кеңістіктік-уақыттық ауданға қоямыз 0≤x≤l, 0≤t≤T соңғы-әр түрлі сетканы ω hτ
(2.12)
Кеңістіктік қадаммен h=l/N және уакыт бойынша қадаммен τ=T/K (рис 2.1).
Екі қабатты уақытты енгіземіз:
tk=kτ -дың астындағы, u(xj,tk) іздестірілген функциясы, ( k=0 бөлінуі (2.4) (xj,t0)=ψ(xj)) белгілі бастапқы шартпен анықталады және tk+1=(k+1)τ үстіңгі қабатты уақыт, u(xjj,tk+1), j=0,1,…,N іздестірілген функциясы анықталуға жарайды.
10Эллиптикалық типті теңдеулері айырымдылық схемалары
Квадраттағы Пауссон теңдеуіне арналған Дирихле есебін шешу.
Мысал 4.1.
Теңдеуді шешу
Алдындағыдай тікбұрышында торын қараймыз.
Осы торда жоғарыда қарастырылған
орталық-айырымдылық сұлба бойынша ішкі түйіндерде дифференциалды есепті жуықтатамыз.
Шекаралық шарттарды бағытталған айырымдылықтар арқылы бірінші рет көмегімен жуықтатамыз:
Нәтижесінде САТЖ алынды, N1+1)(N2+1)-4 теңдеуі бар
(i=0,1,…,N1 , j=0,1,…,N2 ) белгісіздерге қатысты, (i,j) координаттары бұрыштық түйіндері тең, есептеуге қатыспайды. Алғашқы тектің шекаралық шарттарының жағдайы сияқты, оның бесдиагоналды түрі бар және ол, мысалы, Лимбанның итерационды әдісі арқылы шешіле алады.
Ескерту. Пауссон (Лаппас) теңдеуін жуықтатуда пайда болатын САТЖ-ін шешуге арналған қарапайым итерация әдісі өте баяу жинақтылығымен ерекшеленеді. Бұл кемшілік жүйедегі теңдеу саны үлкейген кезде ұсақ торларды пайдаланғанда елеулі бола алады.
11.Вариациялық және айырымдылық-вариациялық әдістері.
Ритц әдісі. Шредингердің бірөлшемді теңдеуін шешу.
12: Интегралдық теңдеулерді шешудің сандық әдістері.
Мақсаты: Монте-Карло әдісі арқылы шешіп үйрену.
Монте-Карло әдісі.
Есепті белгісіздік жағдайында қарастыру.Белгісіздік стахостикалық болды. Математикалық моделді құрамыз. Бұл математикалық модель аналитикалық болып табылады. Қарастырылып жатқан есептерде қарастырылатын процестердің марковский болуы талап етілді. Тәжірибе жүзінде бұл үнемі орындала бермейді.
Аналитикалық моделдер қоланыла алынбайтын жағдайда статистикалық моделдерді жасайды. Статистикалық моделдеу әдісін қарастырады.
Статистикалық моделдерді имитационды деп атауға болады. Олар кездейсоқ процесті ДК арқылы моделдейді.
Монте-Карло әдісі статистикалық моделдеу әдісі болып табылады.
Монте-Карло әдісі- бұл кездейсоқ шамаларды моделдеу арқылы сандық есептерді шешу әдісі.
Монте-Карло әдісінің шығуы
Монте-карло әдісінің туылған күні болып 1948 жыл есептеледі, оны шағарушылары деп Дж. Нейман және С. Улам математиктерді есептейді.
Әдістің теориялық негізі ертеден белгілі. Бірақ-та ЭЕМ пайда болғанға дейін бұл әдіс кең пайдаланған жоқ.
Әдістің атауы өзінің ойын үйлерімен атақты Монако княждығындағы Монте-Карло қаласының атауынан шыққан. Кездейсоқ шамаларды алудың қарапайым механикалық аспаптарының бірі рулетка болып табылады. «Монте-Карло әдісі рулетка ойынында жеңіске жетуге көмектесе ме?» деген сұрақ туындайды. Жоқ, көмектеспейді. Және онымен айналыспайды да.
Әдістің идеясы
Әдістің идеясы өте қарапайым және келесіден тұрады.
Процесті аналитикалық аппарат арқылы суреттеудің орнына өзінің құрамы кездейсоқтық пен кездейсоқ нәтижеден тұратын арнайы ұйымдастырылған процедура көмегімен кездейсоқ құбылыстың ұтысы өткізіледі. Кездейсоқ процесті жүзеге асыру әр кезде әртүрлі болады, яғни қарастырылып отырған процестің әртүрлі нәтижелерін аламыз. Бұл көптеген жүзеге асыруларды математикалық статистиканың қарапайым әдістерімен өңделіне алатын жасанды түрде алынған статистикалық материал ретінде пайдалануға болады. Мұндай өңдеуден кейін жағдайдың ықтималдығын, математикалық күту, т.б. алуға болады.
Монте-Карло әдісі кез келген ықтималды есеп шығарыла алады, бірақ ол аналитикалық есептен қиын болмай, процедура қарапайым түрде ойнатылған кезде ғана ақталынған болып есептелінеді..
Мысалы
Нысана бойынша 3 белгісіз оқ атылады, олардың 1/2 ықтималмен нысанаға тиеді. Тым болмағанда бір оқ тиюдің ықтималдығын табу қажет.
Р(k >= 1) = P(1)+P(2)+P(3) = 1-P(k < 1)
P(0) = 1/2*1/2*1/2 = 1/8
P(k >= 1) = 1-1/8 = 7/8
Бұл есепті ойын арқылы – статистикалық моделдеу арқылы шешуге болады. Үш атудың орнына 3 тиын лақтырамыз, герб – нысанаға тию деп, решка – нысанаға тимеу деп есептейміз. Тәжірибе егер тиынның біреуі гербке түссе, сәтті деп саналады. Көптеген тәжірибе жасап, сәтті жағдайдың ортақ санын есептеп, N (өткізілген тәжірибе саны)- санына бөлеміз. Осылайша, олар жағдайдың жиілігін алды, ал ол тәжірибенің көп санында ықтималдыққа жақын.
Монте-Карле әдісі көптеген кездейсоқ факторлар болатын кездейсоқ процестерді моделдеу кезінде пайдаланылады.
Кездейсоқ шамаларды алу
Кездейсоқ сандардың кестесі
Келесі заң бойынша бөлінген кездейсоқ шама таңдалынады:
Диск (рулетка) орнатылады. Диск айналады және кенеттен тоқтайды және қозғалмайтын тіл көрсеткенсан таңдалынады.
Сандар реті 20389320...
Кездейсоқ сандардың кестесі жасалынады, олардың белгілі сандары таңдалынады (400).Кездейсоқ сандардың жақсы кестесін құру оңай емес: кез келген шынайы физикалық аспап шынайы бөлуден біршама өзегешеленетін бөлінуі бар кездейсоқ шамаларды жасап шығарады.
Кездейсоқ сандардың генераторы
Кез келегн механикалық аспап ЭЕМ үшін тым ақырын болады. Сондықтан кездейсоқ сандардың генераторы ретінде электронды шамдардағы (сур. 8) шу жиі қолданылады: егер кейбір уақыт аралығында шу деңгейі жұп санының берілген босағасынан асып кетсе, онда бірлік жазылады*).
Бір қарағанда бұл өте қолайлы тәсіл. Мұндай генераторлардың m параллелді жұмыс жасасын, үнемі жұмыс жасап, кездейсоқ нөлдер мен бірліктерді арнайы ұяшықтардың барлық екілік разрядтарына жіберіп отырсын. Әрбір такт – бір m разрядты сан. Есептеудің кез келген сәтінде осы ұяшыққа жүгініп, интервалға бірқалыпты бөлінген кездейсоқ шаманың мәнін алуға болады (0,1) . Әрине, бұл мән m- разрядт екілік бөлшек түрінде жазылған жуықтатылған мән.
0,а1,а2,...аm, мұнда шаманың әрқайсысы ai
бөлінген кездейсоқ шаманы жасайды.
Әйтсе де, бұл әдіс те жетіспеушіліктен бос емес. Біріншіден, шығарылатын сандардың «сапасын» тексеру қиын. Тексерулерді мерзімді жүргізіп тұру қажет, өйткені қандай да болмасын ақаулардан бөліну дрейфі пайда болуы мүмкін ( яғни, нөлдер мен бірліктер қандай да болмасын разрядтарда бірдей жиі пайда бола бермейді). Екіншіден, әдетте ЭЕМ есептеулер кездейсоқ жаңылысуды болдырмау үшін екі рет өткізіледі. Бірақ егер сол кездейсоқ сандарды есептеу барысында сақтап отырмаса, қалпына келтіруге болмайды. Ал оларды сақтап отырсақ, біз кестелер жағдайына қайта келеміз.
Осындай типті бергіш, сөзсіз, Монте-Карло әдісімен есептерді шешуге арналған арнайы ЭЕМ шығарылған кезде пайдалы болады. Ал кездейсоқ сандар көмегіменесептеулер сирек жүргізілетін әмбебап ЭЕМ үшін арнайы құрылғыны ұстау және пайдалану экономды емес. Псевдокездейсоқ сандарды пайдаланған жақсы.
i-1,j
h
i,j
i+1,j
i,j+1
i-1,j+1 i,j+1 i+1,j+1
i,j
φ(x))-t = 0 болғандағы U-ді бастапқы температураның бөлінуі
i-1,j
h
i,j
i+1,j
i,j+1
i-1,j+1 i,j+1 i+1,j+1
i,j