Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
15. Условие устойчивости дискретных систем. Пример оценки устойчивости типовой импульсной САУ.
(a0+а1z-1+…+anz-n)Y(z)= (b0+b1z-1+…+bnz-n)V(z)
y(k)=yсв(k)+yв(k)
a0+а1z-1+…+anz-n=0 характеристическое уравнение замкнутой САУ.
Это же выражение можно получить и по передаточной функции замкнутой системы, приравняв к нулю его знаменатель.
Решение замкнутой ИСАУ:
yсв(k)=, где z- корни характеристического уравнения, С- постоянные коэфициенты.
1+k(z)=0
Условие устойчивости:
=0, это возможно если |zi|<1
Графически это модно интерпретировать, преобразовав S плоскость в z-плоскость
Im
0 Re
z=eST
S=jω
z=e jω T=cosωT+j sinωT
1
Если S=jω число соответствует мнимой оси S плоскости, то при преобразовании ее в z плоскость получим окружность единичного радио.
Если S=C+ jω
Z= e(C+ jω)T=eCT *e jωT
При С→-∞ то z=0
Это означает, что левая полуплоскость S плоскости отображается внутри круга единичного радиуса z плоскости, а правая полуплоскость S плоскости отображается вне круга z- плоскости.
Пусть корням характеристического уравнения будет вещественный корень, который лежит на отрицательной вещественной оси
16. Билинейное преобразование. Отображение устойчивости на w-плоскости.
Для того чтобы получить возможность использования критериев устойчивости непрерывных систем необходимо отобразить круг единичного радиуса в плоскости z на левую полуплоскость некоторой новой переменной W. Эта переменная связана с переменной z по формуле:
Z= , W=
Z= = = = = = j tg
Билинейное преобразование (или преим. в зап. литературе преобразование Тастина (Tustin's method transformation)) — конформное отображение, используемое для того, чтобы преобразовать передаточную функцию линейной стационарной системы (корректирующие звенья систем управления, электронные фильтры и т. п.) из непрерывной формы в передаточную функцию линейной системы в дискретной форме. Оно отображает точки -оси, , на s-плоскости в окружность единичного радиуса, , на z-плоскости.
Это преобразование сохраняет устойчивость исходной непрерывной системы и существует для всех точек её передаточной функции. То есть для каждой точки передаточной функции или АФЧХ исходной системы существует подобная точка с идентичной фазой и амплитудой дискретной системы. Однако эта точка может быть расположена на другой частоте. Эффект сдвига частот практически незаметен при небольших частотах, однако существенен на частотах, близких к частоте Найквиста.
Билинейное преобразование представляет собой функцию, аппроксимирующую натуральный логарифм, который является точным отображением z-плоскости на s-плоскость. При взятии преобразования Лапласа над дискретным сигналом (представляющего последовательность отсчётов), результатом является Z-преобразование с точностью до замены переменных:
где — период квантования (обратная к частоте дискретизации величина). Аппроксимация, приведённая выше и является билинейным преобразованием.
Существует, однако, простое конформное отображение -плоскости в z-плоскость, свободное от этих недостатков и в то же время сохраняющее удобную алгебраическую форму преобразования. Оно называется билинейным преобразованием, использующим следующую замену:
(4.59)
Характер этого преобразования проще всего понять, если обратиться к фиг. 4.10, где показано, каким образом s-плоскость отображается в z-плоскость. Видно, что вся ось из -плоскости отображается в единичную окружность на z-плоскости; левая полуплоскость отображается в единичный круг, а правая полуплоскость — в область, расположенную вне единичного круга на -плоскости. Эти свойства легко проиллюстрировать, если из формулы (4.59) найти выражение для :
(4.60)
При
. (4.61)
Отсюда видно, что . При имеем и при , в промежутке монотонно меняется от 0 до . Подставив в формулу (4.60) , получим:
(4.62)
Фиг. 4.10. Отображение -плоскости в -плоскость при билинейном преобразовании.
При (для левой полуплоскости ) , т. е. точки располагаются внутри единичной окружности.
При билинейном преобразовании передаточная функция цифрового фильтра рассчитывается с помощью алгебраической подстановки (4.59), т. е.
. (4.63)
Из этого соотношения видно, что порядки знаменателей функций и совпадают, но порядки числителей могут отличаться. Действительно, передаточная функция
имеет числитель нулевого порядка, а знаменатель — первого порядка. В то же время получаемая методом билинейного преобразования функция равна
где и числитель, и знаменатель первого порядка. Причиной этого является то, что функция имеет нуль на бесконечности , который при билинейном преобразовании отображается в точку .
Фиг. 4.11. Соотношение между частотными шкалами аналогового и цифрового фильтров при билинейном преобразовании.
Так как в единичную окружность на -плоскости отображается вся ось из -плоскости, то эффекты, связанные с наложениями в частотной характеристике цифрового фильтра, характерные для метода инвариантного преобразования импульсной характеристики, в данном случае будут отсутствовать. Однако соотношение между частотами аналогового фильтра и цифрового фильтра оказывается существенно нелинейным. Рассмотрим характер этой нелинейности, положив в (4.59) и , что дает
, (4.64)
или
,
откуда
,
. (4.65)
Это соотношение представлено на фиг. 4.11 для случая . При небольших отображение почти линейно, однако для основной части частотной шкалы оно существенно нелинейно и сильно ограничивает область применения билинейного преобразования. Действительно, амплитудная характеристика преобразуемого аналогового фильтра должна быть ступенчатообразной функцией частоты, так как в противном случае частотная характеристика цифрового фильтра будет представлять собой деформированную характеристику аналогового фильтра. По этой причине, например, билинейное преобразование нельзя использовать для преобразования аналогового дифференцирующего фильтра в цифровой дифференциатор. Существует, правда, довольно большой класс фильтров, для которых частотная деформация, описываемая соотношением (4.65), может быть скомпенсирована. К ним относятся фильтры нижних и верхних частот, полосовые и режекторные. Метод компенсации деформации достаточно прост (фиг. 4.12). Совокупность характерных частот среза цифрового фильтра известна. Пусть в данном случае их будет четыре: (они показаны на фиг. 4.12 справа внизу). Используя нелинейное соотношение (4.65) между частотными шкалами цифрового и аналогового фильтров, пересчитаем все частоты среза цифрового фильтра в частоты среза аналогового фильтра, которые будут равны (cm. на фиг. 4.12 вверху). Теперь рассчитаем аналоговый фильтр, все характерные частоты которого совпадали бы с этими пересчитанными частотами среза цифрового фильтра. Амплитудная характеристика такого аналогового фильтра изображена на фиг. 4.12 слева вверху. Выполнив билинейное преобразование зтого аналогового фильтра, получим цифровой фильтр, все частоты среза которого будут совпадать с заданными. Ниже в настоящей главе будут даны примеры расчета фильтров нижних и верхних частот методом билинейного преобразования.
Фиг. 4.12. Методика учета нелинейного искажения частотной шкалы при билинейном преобразовании.
Итак, билинейное преобразование обеспечивает простое отображение между аналоговыми и цифровыми фильтрами и является алгебраическим преобразованием, при котором ось полностью отображается в единичную окружность на -плоскости. Кроме того, ему присуще свойство отображать физически реализуемый устойчивый аналоговый фильтр также в физически реализуемый и устойчивый цифровой фильтр. Более того, аналоговые широкополосные фильтры с резкими скатами могут быть отображены в широкополосные цифровые фильтры с резкими скатами без искажений частотной характеристики, связанных с наложениями, которые характерны для метода инвариантного преобразования импульсной характеристики. Недостаток метода билинейного преобразования заключается в том, что эффекты нелинейности соотношения между частотными шкалами аналогового и цифрового фильтров удается учесть лишь в том случае, когда частотная характеристика аналогового фильтра имеет вид ступенчатообразной функции. Кроме того, при билинейном преобразовании ни импульсная, ни фазовая характеристики аналогового и цифрового фильтров не будут совпадать.