Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 8. Функция двух переменных
Если указано правило, согласно которому с каждой точкой М плоскости (или какой-нибудь части плоскости) сопоставляется некоторое число и, то говорят, что на плоскости (или на части плоскости) «задана функция точки»; задание функции символически выражают равенством вида u=f(M). Число и, сопоставляемое с точкой М, называется значением данной функции в точке М. Например, если А — фиксированная точка плоскости, М — про извольная точка, то расстояние от А до М есть функция точки М. В дан ном случае f(M) = AM.
Пусть дана некоторая функция u=f(M) и вместе с тем введена си стема координат. Тогда произвольная точка М определяется координатами х, у. Соответственно этому и значение данной функции в точке М опреде ляется координатами х, у, или, как ещё говорят, u=f(M) есть функция двух переменных х к у. Функция двух переменных х, у обозначается символом f (х, у); если f(M)=f(x, у), то формула u=f(x, у) называется выраже нием данной функции в выбранной системе координат. Так, в предыдущем примере f(M) = AM; если ввести декартову прямоугольную систему коор динат с началом в точке А, то получим выражение этой функции:
u = .
146. Даны две точки Р и Q, расстояние между которыми равно а, и функция f(M) = , где d1 = МР и d2 = MQ. Определить выражение этой функции, если в качестве начала координат принята точка Р, а ось Ох направлена по отрезку PQ.
147. При условиях задачи 146 определить выражение функции f(M) (непосредственно и при помощи преобразования координат, используя результат задачи 146), если:
1) начало координат выбрано в середине отрезка PQ, ось Ох направлена по отрезку PQ;
2) начало координат выбрано в точке Р, а ось Ох направлена по отрезку QP.
148. Даны: квадрат ABCD со стороной а и функция f(M) = , где d1 = MA, d2 = MB, d3 = MC и d4 = MD. Определить выражение этой функции, если за оси координат при няты диагонали квадрата (причём ось Ох направлена по отрезку АС, ось Оу — по отрезку BD).
149. При условиях задачи 148 определить выражение для f(M) (непосредствен-но и при помощи преобразования координат, исполь зуя результат задачи 148), если начало координат выбрано в точке А, а оси координат направлены по его сторонам (ось Ох — по отрезку АВ, ось Оу — по отрезку AD).
150. Дана функция f(x, у) = х2+у2—6х+8у. Определить выражение этой функции в новой координатной системе, если на чало координат перенесено (без изменения направления осей) в точку О'(3; -4).
151. Дана функция f(x, у) = х2—у2—16. Определить выра жение этой функции в новой координатной системе, если оси коор динат повёрнуты на угол — 45°.
152. Дана функция f(x, у) = х2+у2. Определить выражение этой функции в новой координатной системе, если оси координат повёрнуты на некоторый угол .
153. Найти такую точку, чтобы при переносе в неё начала коор динат выражение функции f(x, у) = х2—2xy + у2— 6х + 3 после преобразования не содержало членов первой степени относительно новых переменных.
154. Найти такую точку, чтобы при переносе в неё начала коор динат выражение функции f(x, y) = х2—4ху+4у2+2х+y—7 не содержало членов первой степени относительно новых пере менных.
155. На какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы выражение функции f(x, у) = х2— 2ху +у2— 6x + 3 после пре образования не содержало члена с произведением новых переменных?
156. На какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы вы ражение функции f(x, у) = Зх2+2ху+у2 после преобразо вания не содержало члена с произведением новых переменных.