Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Невозможное событие – это событие, которое не может произойти. При этом событии сумма цифр равна 1.
Достоверное событие – это событие, которое обязательно произойдет. При таком событии сумма цифр меньше единицы
Случайное событие – это событие, которое может произойти, а может не произойти. Сумма цифр может быть любой, например, больше 5, меньше 7.
Совместные события – два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Несовместные события – это события, в которых появление одного события исключает появление другого в одном и том же испытании.
Равновозможные события – это события, при которых при большем числе испытаний вероятность их появления одинакова.
Полная группа событий – несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.
Противоположные события – это два несовместных события, которые образуют полную группу событий. P(A) + P(Ȃ) = 1. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
Пространство элементарных событий – это множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытаниях. Все элементарные события попарно несовместны.
Аксиомы теории вероятностей – 1. каждому событию А поставлено в соответствие некоторое число P (A)≥0, которое называется вероятностью этого события. 2. Вероятность достоверного события равна 1. 3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Перестановки – это комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок: Pn = n!. Например, задачка про пин-код.
Размещения – это комбинации, составленные из n различных элементов по m различных элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений: Amn = n (n-1) (n-2)…(n–m+1). Задачка про домино.
Сочетания – это комбинации, составленные из n различных элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний: Cmn = n!/(m!(n-m)!). например, сколькими способами можно выбрать две детали из ящика , который содержит 10 деталей
Выбор с возвращением – это комбинации m элементов из n различных элементов, отличающихся составом или порядком следования, причем выбранный элемент возвращается на место (может снова участвовать в соревновании). Число возможных вариантов выбора с возвращением m элементов из n n=nm.. Например, в группе 20 студентов, выбираем 5ых, каждый из них сдает экзамен и по его оценке ставят оценку всей группе.
Геометрическая вероятность – это вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).
Сумма событий – суммой А+В двух событий называют событие, состоящее в появлении одного или обоих этих событий.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий – вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B)=P(A)+P(B).
Теорема суммы вероятностей противоположных событий – сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е. P(A)+P(Ȃ)=1, т.к. противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.
Произведение событий –
Понятие условной вероятности – условной вероятностью Pа(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что А уже наступило. Например, вероятность вытянуть вторую карту трефовой масти при условии, что первая карта – трефовой масти.
Умножение вероятностей - произведением АВ двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении обоих этих событий. Например: из 36 карт вынули 3, какова вероятность, что все 3 – красные.
Теорема:
Вероятность появления совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступила: P(AB)=P(A)*Pa(B).
Теорема умножения вероятностей для независимых событий (наступление события А не влияет на наступление события В) – вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей каждого из них: P(AB)=P(A)*P(B). Например, чередование орла и решки.
Теорема о вероятности появления хотя бы одного из независимых в совокупности событий - вероятность появления хотя бы одного события из независимых в совокупности событий равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий: P(A1+A2+…+An)=1-P(Ȃ1+Ȃ2+…+Ȃn).
Теорема сложения вероятностей совместных событий – вероятность появления хотя бы одного из совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). Например, на экзамене 2 задачи. Для сдачи экзамена необходимо решить 1 из них. Вероятность решить 1ую – 0,3, а вторую – 0,8.
Формула полной вероятности –пусть В1, В2 … Вn - полная группа несовместных событий. Тогда, если известны условные вероятности PB1(A), PB2(A)…PBn(A), безусловная вероятность наступления события А может быть рассчитана по формуле:
P(A)=Ʃnj=1P(Bj)*PBj(A)=P(B1)*PB1(A)+P(B2)*PB2(A)+P(Bn)*PBn(A)
Дискретная случайная величина (прерывная) – это случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Возможные значения дискретной величины можно перенумеровать.
Примеры дискретной случайной величины - число появлений решки при 3 подбрасываниях монеты (возможные значений 0, 1, 2, 3); число выстрелов до первого попадания в цель (возможные значений – 1, 2, …, N, где N – число имеющихся в наличии патронов).
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности. M(X)=x1p1+x2p2+xnpn
Свойство математического ожидания: математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной M(C )=C
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX)=CM(X)
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий M(XY)=M(X)*M(Y)
Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых M(X+Y)=M(X)+M(Y)
Дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. D(X)=M(X2)-(M(X ))2
Теорема:
Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания D(X)=M(X2)-(M(X ))2
Непрерывная случайная величина – может принимать все значения из некоторого конечного промежутка. Например: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.
Формула Бернулли – формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Основана на теории умножении вероятностей. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.
Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью p и не появиться с вероятностью q = 1 - p. Обычно первый из двух возможных исходов называют удачей, а второй — неудачей (разумеется, такое деление условно, и, возможно, кому-то захочется назвать два возможных исхода удачей и неудачей противоположным образом). Поставим задачу выяснить вероятность того, что за n испытаний произошло ровно k удач, неважно, в какой последовательности (естественно, что всегда ).При заданной последовательности удач и неудач вероятность равна (испытания независимы). Число различных способов, какими могут быть расположены k удач из n испытаний всего по формулам комбинаторики равно . По формуле для вероятности суммы несовместных событий для вероятности ровно k удач из n испытаний всего, получаем (формула Бернулли):.
.
Рассмотрим несколько предельных случаев:
1) ,
2) ,
3) .
Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа — одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Если при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события Е равна р (0<р<1) и m — число испытаний, в которых Е фактически наступает, то вероятность неравенства близка (при больших n) к значению интеграла Лапласа.
Если вероятность удачи p в одном из n независимых испытаний с двумя исходами постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность появления ровно k удач приближенно равна (тем точнее, чем больше n):
Формула Байеса:
Пусть A может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Допустим, что произведено испытание, в результате которого произошло событие A. Тогда вероятность того, что реализовалась гипотеза Bi, если известно, что событие A произошло, может быть вычислена по формулам: