Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
32
Переходные процессы в цепи RLC
Если RLC-цепь (рис. 1.24) , не имеющая начального запаса энергии электрического и магнитного полей, подключается к источнику внешнего напряжения в момент времени t = 0, то для t > 0 справедливо уравнение
имеющее решение для тока
Рис. 1.24
Свободная составляющая
где и - корни характеристического уравнения
,
Обозначив получим
и - постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями в цепи; - принужденная составляющая тока, определяемая видом ЭДС e(t) и величинами R, L, C.
Включение в RLC-цепь постоянного напряжения
При подключении источника постоянного напряжения = 0, так как постоянный ток через конденсатор не течет:
Для t = 0
(т. к. ).
Таким образом,
откуда
следовательно,
В зависимости от соотношения и (- резонансная частота) возможны три случая:
а) ,
(апериодический процесс).
В плоскости комплексного переменного корни характеристического уравнения лежат на вещественной оси (рис. 1.25). Ток в цепи представляет собой сумму двух экспонент (рис. 1.26) .
Рис. 1.25 Рис. 1.26
Напряжения на элементах:
Рис. 1.27
Графики зависимостей от времени приведены на рис. 1.27.
Если в момент коммутации емкость была заряжена до напряжения U, то для t = 0
откуда и
следовательно,
Рис. 1.28
Кривые зависимостей напряжений на элементах цепи при ненулевых начальных условиях показаны на рис. 1.28 .
б) , R = 2r, Q = 0,5 (критический режим).
= - d в этом случае выражение для тока приводит к неопределенности вида 0/0, раскрывая которую по правилу Лопиталя, получим
,
при ненулевых начальных условиях
(действительно, дифференцированием числителя и знаменателя по , получаем
.
Форма кривых зависимостей тока и напряжений на R, L, C от времени аналогична апериодическому режиму, условие Q = 0,5 является предельным условием существования в цепи апериодических процессов.
в) , R < 2 r, Q > 0,5, = - d + j (колебательный процесс).
Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные (рис. 1.29).
- угловая частота свободных (собственных) колебаний.
Рис. 1.29 Рис. 1.30
При
.
Таким образом, ток в цепи представляет собой затухающую гармоническую функцию, амплитуда которой экспоненциально уменьшается во времени (рис. 1.30).
Напряжение на элементах цепи:
,
,
,
где .
Графики зависимостей от времени приведены на рис. 1.31.
Рис. 1.31
Очевидно, что чем меньше d, тем медленнее затухают колебания в цепи.
Скорость затухания колебаний оценивают величиной - декрементом затухания, где - период свободных колебаний, а также логарифмическим декрементом затухания .
,
при высокой добротности и логарифмический декремент затухания
.
Время практического существования переходного процесса определяется временем затухания экспоненты , которое составляет
где - постоянная времени контура. За время переходного процесса укладывается N периодов свободной составляющей, причем
Таким образом, колебания затухают тем быстрее, чем меньше добротность контура.
Рассмотрим отклик цепи на прямоугольный импульс на входе. Представив прямоугольный импульс в виде разности двух одинаковых скачков напряжений, смещенных во времени на величину длительности импульса, найдем напряжение на элементах R, L, C как алгебраическую сумму откликов на каждый из скачков в отдельности.
Зависимости напряжений на элементах от времени в этом случае приведены для апериодического процесса на рис. 1.32, для колебательного на рис. 1.33.
Рис. 1.32 Рис. 1.33
В общем же случае форма тока в цепи определяется расположением корней характеристического уравнения на комплексной плоскости (рис. 1.34).
Рис. 1.34
Рис. 1.35
На рис. 1.35 показано изменение переходного процесса при изменении сопротивления потерь в контуре (индуктивность и емкость не меняются). Очевидно, что чем меньше сопротивление R, тем выше частота свободных колебаний в контуре и в пределе при стремлении R к нулю частота свободных колебаний стремится к резонансной частоте контура.
Включение в цепь RLC гармонического напряжения
Рассмотрим переходные процессы, возникающие в контуре при включении источника гармонического напряжения.
Пусть при t > 0 внешняя ЭДС имеет вид тогда принужденный ток
где
Полное решение для тока
При нулевых начальных условиях , для t = 0
имеем
Отсюда
Подставив постоянные интегрирования и в выражение для полного тока, получим
Кривые зависимости тока от времени представляют собой сумму кривых и . В зависимости от вида свободных составляющих (расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости) и частоты внешней ЭДС возможны различные случаи. На рис. 1.36, а, б приведены формы тока в цепи при R > 2r (апериодический процесс), когда период принужденного тока меньше (рис. 1.36, а) и (рис. 1.36, б) больше длительности свободной составляющей тока.
При R < 2r форма переходного тока зависит от соотношения частоты внешней ЭДС и частоты свободных колебаний (на рис. 1.36, в приведена форма тока для , на рис. 1.36, г для ).
Наибольшее применение на практике имеют колебательные контуры с малыми потерями (R<<r). В этом случае
и ,
,
а б
в г
Рис. 1.36
Следовательно,
Таким образом, характер переходных процессов в контуре определяется соотношением между резонансной частотой контура, частотой колебаний внешней ЭДС, а также частотой свободных колебаний.
Чаще всего колебательный контур с малыми потерями () работает на резонансной частоте, совпадающей с частотой внешней ЭДС. Если y = p/2, т. е. напряжение источника ЭДС в момент включения проходит через нуль, то , |Z| = R, = 0, ,
Рис. 1.37
Из последнего выражения следует, что амплитуда колебаний в контуре с течением времени растет по экспоненциальному закону, приближаясь к принужденной составляющей (рис. 1.37).
Скорость нарастания амплитуды тока определяется производной
где
Таким образом, скорость нарастания тока тем больше, чем шире полоса пропускания контура, меньше добротность (рис. 1.38).
.
а б
Рис. 1.38
Если же частота внешней ЭДС не совпадает с резонансной частотой контура, то при малых расстройках ()
Если потери в контуре отсутствуют (d =0), то
т.е. в результате сложения двух гармонических колебаний с близкими частотами в контуре
возникают колебания с частотой и медленно изменяющейся амплитудой , так называемые биения (рис. 1.39).
Очевидно, что период огибающей тем больше, чем ближе частоты внешней ЭДС и резонанса контура.
В реальном контуре наличие потерь приводит к затуханию свободной составляющей тока, поэтому огибающая переходного процесса с течением времени будет стремиться к установившемуся значению (рис. 1.40).
Рис. 1.39
Рис. 1.40
Отклик контура на радиоимпульс с прямоугольной огибающей в интервале времени от 0 до можно найти как отклик на гармоническую ЭДС, включенную в момент t = 0. Начиная с момента t = , после прекращения действия внешней ЭДС, остается только свободная составляющая тока
где определяется значениями напряжения на конденсаторе и тока в контуре в момент времени t =. Таким образом, полный отклик колебательного контура на радиоимпульс на входе имеет вид представленный на рис. 1.41 для случая , и (рис. 1.42) для случая .
Если частота внешней ЭДС значительно отличается от резонансной частоты контура с малыми потерями, то характер переходных процессов отличается от рассмотренных выше.
Рис. 1.41
Рис. 1.42
Предположим, что . В этом случае
, ,
т. к. .
Ранее было получено выражение для тока в контуре
При и ток
Проведя несложные преобразования, получим
.
При и y = 0 (напряжение источника ЭДС в момент включения проходит через максимум равный ) получим
.
Если dt << 1, то максимальное значение тока в начальный период превышает амплитуду принужденного тока почти в >> 1 раз. Это явление носит название сверхтока. В этом случае напряжение на конденсаторе
.
.
При << и
.
Начальные максимумы примерно в два раза больше амплитуды принужденной составляющей (рис. 1.43).
Рис. 1.43
Если же >> , то в контуре с малыми потерями | Z | @ L, j @ p/2 и ток в контуре будет
.
При y = p/2, т. е. напряжение в момент включения проходит через нуль, имеем
.
Напряжение на емкости
Отсюда следует, что в начальный период времени, когда dt << 1, максимальное значение тока в контуре примерно в два раза больше принужденной составляющей (аналогично кривым на рис. 1.43). Максимумы напряжения на емкости оказываются много больше амплитуды принужденной составляющей, т. к.
Таким образом, при включении гармонической ЭДС в контуре может появиться напряжение очень большой величины (явление перенапряжения). В результате явлений сверхтока и перенапряжения в цепи возникает опасность электрического пробоя конденсатора или пробоя изоляции катушки.