Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
7. ОПР 1. Ур-я вида (1) наз-ся линейными уравнениями, где -числа из некоторого числового поля. -символы называемые неизвестными.
ОПР2. Частным решением (1) наз-ся такой n-мерный вектор () при подстановке которых в ур-е вместо неизвестных получается истинное числовое равенство.
ОПР3. Общим решением (1) наз-ся множество всех частных решений этого уравнения.
ОПР4. Пусть даны m ур-й с n неизв-ми. Тогда
……………………………… (*)
тогда (*) наз. СЛУ (сист. лин-х ур-й).
ОПР4.Частным решением (*) является такой n-мерный вектор, который при подстановке в каждое из уравнений сист. (*) дает истинное числовое равенство.
ОПР5. Общим решением (*) наз-ся множество всех частных решений.
Пусть вместе со (*) рассматривается еще одна система к ур-й с n неизвестными
(2)
Сист (2) наз. следствием сист(*), если каждое решение (*) является реш (2).
Сист. (*) и (2) наз. равносильными, если совпадают их общие решения или каждая из них является следствием другой.
Опр. Линейной комбинацией ур-я сист.(*) наз. уравнение полученное из (*) след. образом: каждое уравнение (*) умножается на некоторое число, а полученные уравнения почленно складываются.
ОПР. Элем-ми преобр-ми СЛУ называют след. преобр-я:
() умножение обеих частей какого-нибудь ур-я системы на отличный от нуля скаляр;
() прибавление(вычитание) к обеим частям какого-либо ур-я системы соотв-щих частей другого уравнения системы, умноженных на скаляр);
() исключение их системы или присоединение линейного уравнения с нулевыми коэффициентами и нулевым свободным членом.
Теорема(об элементарных преобраз-х) Если одна СЛУ получена из другой при помощи конечного числа элем-х преобр-й, то эти СЛУ равносильны.
ОПР. СЛУ наз-ся совместной , если она имеет х. б. одно частное решение, в противном случае несовместной, когда общее реш. Ø
ОПР. Ур-е вида наз. линейным однородным ур-ем.
Теорема. Всякая однородная линейная сист. совместна.
Теорема. Однор. СЛУ, в которой число ур-й меньше числа неиз-х имеет не нулевое решение.
Теорема(критерий совместности) СЛУ совместна т. и т. т., когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
Пусть дана произвольная СЛУ:
……………………………… (1)
А=, =-расширенная матрица(получена из А добавлением столбца свободных членов)
А-основная матрица(матрица составленная из коэффициентов сист.)
Пусть (1’) -векторная форма заданной системы.
Док-во: необх. Пусть (1) совместна, т. е. имеет решение. вектор с() являющийся решением (1) и векторного произведения (1’)
2.
Док-ем, что рангА=ранг. Будем считать ранг А и -столбцовый ранг. Будем находить ранг . Заметим, что рав-во (2), что вектор В является линейной комбинацией векторов . Заметим, что если над векторными столбцами выполнять элем. преобр-я, то ранг этой системы векторов, а значит и ранг не изменится. С учетом равенства (2) прибавим к последнему столбцу матр. первый столбец, умнож. на (-), второй на (-),…,(-)
S= рангS=ранг=рангА.
т. к. выбросив нулевой столбец, мы не изменим ранг, то от сюда следует, что ранг =рангА.
дост: Пусть рангА=ранг. Док-ем, что система (1) совместна, что существует хотя бы одно решение. рангА=ранг=r. Пусть первый r вектор из столбцов матр. А (3) образуют базис системы векторов {} так как . рангА=ранг=r, то векторы системы (3) являются базисом А для векторов столбцов матрицы (4) {В}. Всякий вектор из системы (4), а значит и вектор В через базис (3 линейно выражается. Существует (5) В=. Рав-во (5) не изменится, если прибавить к нему несколько нулевых векторов В= с=(,0,…,0)-является решением системы. чтд.
Опр. Совместная СЛУ наз. определенной, если она имеет единственное решение, неопр-й в противном случае.
Теорема(критерий определенности) Для того, чтобы СЛУ была определенной необх. и дост. , чтобы ранг матрицы этой системы был равен количеству неизвестных этой системы.
Метод Гаусса:
Решить систему:
х1=х2=х3=х4=1
Эта система однородных уравнений, причем число уравнений меньше числа неизвестных, поэтому она должна быть неопределенной. Подвергаем преобразованию расширенную матрицу этой системы: ( от 1 строки отнимем 2 стр., затем от 1 отнимем 3)
Мы пришли к системе уравнений:
В качестве свободного неизвестного можно принять любое из неизвестных х и х. Пусть х= Тогда из второго ур-ия следует х, после чего из 3-го ур-я получаем х, и из 1-го х. Таким образом , , -1, будет общий вид решения заданной системы уравнений.