Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
УРОК 37
Тема уроку: Комбінації. Трикутник Паскаля.
Мета уроку: Познайомити учнів з комбінаціями без повторень, виведення формули для числа комбінацій з n еле ментів по m елементів без повторень. Вивчення вла стивостей чисел , познайомити учнів з трикут ником Паскаля.
І. Перевірка домашнього завдання.
Фронтальна бесіда за запитаннями .№№ 11—13, 15—16 із «За питання і завдання для повторення» до розділу XII та перевірка правильності виконання домашніх вправ.
№ 17. Число n фотокарток, які були роздані,— це число розміщень з 35 по 2:
n = = 35 · 34 = 1190.
№ 22. а) ;
б)
.
II. Сприймання і усвідомлення поняття комбінації без по вторень, формули числа комбінацій з n елементів по т.
Нехай дано множину {а, b, с}. З елементів цієї множини мож на утворити 6 двохелементних розміщень. ab, ас, bс, bа, са, сb.
Це впорядковані підмножини даної множини. А скільки не-впорядкованих двохелементних підмножин можна скласти з тих самих елементів? Тільки три: {ab}, {ас}, {be}.
Будь-яка підмножина з т елементів даної множини, яка містить n елементів, називається комбінацією з n елементів по т еле ментів.
Число комбінацій з n елементів по т позначають символом . Наприклад: = 3.
З чотирьох елементів множини {a, b, c, d} можна утворити 6 комбінацій по 2 елементи: {а, b}, {а, с}, {а, d}, {b, с}, {с, а}, {b. d}; 3 комбінації по 3 елементи: {а, b, с}, {а, b, d}, {b, с, d}.
Таким чином, = 6, = 3.
Домовилися вважати, що
= 1, = n , = 1.
Виведемо формулу для знаходження значень , для цього порівняємо числа і при одних і тих же значеннях т і п.
Кожну m-елементну комбінацію можна впорядкувати Рm спо собами. У результаті з однієї комбінації утворюється розмі щень (упорядкованих підмножин) з тих самих елементів. Отже, число m-елементних комбінацій у Рm разів менше за число роз міщень з тих самих елементів. Тобто = • , звідси
Число комбінацій з n елементів по т дорівнює дробу, чисель ник якого е добуток т послідовних натуральних чисел, найбіль ше з яких n, а знаменник дробу — добуток т послідовних нату ральних чисел.
Враховуючи, що можна одержати . Отже,
Приклад. Обчислити a) ; б) .
a) ; б)
Задача. Скількома способами з 25 учнів можна вибрати 3 черго вих.
Вибір 3 чергових із 25 учнів — це комбінація 3 учнів із 25 учнів. Отже,
п = = 2300.
Відповідь: 2300 способами.
Виконання вправ______________________________
1. Випишіть комбінації трьох елементів з множини {a, b, c, d, h}.
Відповідь: {а, b, c}, {Ь, c, d}, {c, d, h}, {а, b, d}, {b, c, h], {а, b, h}, {b, d, h},
{а, c, d}, {а, d, h}, {а, c, h}.
2. Обчисліть:
а) ; б) ; в) +; г) +.
Відповіді: а) 28; б) 28; в) 6; г) 101.
3. Із 20 робітників треба виділити 6 для роботи на елеваторі. Скількома способами це можна зробити?
Відповідь: = 38 760.
4. На полиці є 35 книжок. Скількома способами можна вибра ти дві із них?
Відповідь: = 595.
5. Скількома способами можна закреслити 6 номерів із 49 в картці «Спортлото».
Відповідь: =13 983 816.
6. Скільки існує відрізків, кінцями яких є n даних точок?
Відповідь: .
7. Скільки різних площин можна провести через n точок просто ру, із яких жодні чотири не лежать в одній площині, якщо кожна площина проходить через три із даних точок.
Відповідь: .
8. У скількох точках перетинаються діагоналі опуклого n-кутника, якщо жодні три з них не перетинаються в одній точці?
Відповідь: .
9. У турнірі брало участь n шахістів, і кожні два шахісти зуст рілись один раз. Скільки матчів було зіграно в турнірі?
Відповідь: ·
10. Скільки чоловік приймало участь у шаховому турнірі, якщо відомо, що кожний учасник зіграв з кожним із останніх по одній партії, а всього було зіграно 210 партій?
Відповідь: 21 чоловік.
11. Розв'язати рівняння:
а) =21; б) 5= ; в) + = 15 (x -1); г) + = 15 (у - 2).
Відповіді: а) 7; б) 14; в) 9; г) 10.
III. Сприймання і усвідомлення деяких властивостей числа комбінацій та поняття трикутника Паскаля.
= .
Цей же результат можна одержати безпосередньо із формули числа комбінацій, якщо записати її за допомогою факторіалів:
= = .
Ця властивість дає змогу спростити обчислення числа комбі націй.
Приклад. Обчислити .
.
2. Розглянемо множину, яка містить п елементів. Виділимо т-елементні підмножини, і поділимо їх на дві групи: підмножини, до складу яких входить деякий елемент а даної множи ни, і підмножини, до складу яких а не входить. Число підмножин у першій групі дорівнює , бо кожну таку підмножину дістають приєднанням до а деякої (т-1)-елементної підмножини. Число підмножин у другій групі дорівнює . От же, = + . Цю рівність можна довести і по-іншому:
+=
.
3. Справедлива рівність
+++…++= 2n.
Оскільки — число m-елементних підмножин деякої мно жини, що містить n елементів, то +++…++ — число всіх підмножин множини із n елементів. Доведемо, що число всіх підмножин множини, що містить n елементів, дорівнює 2n.
Пронумеруємо елементи множини і для кожної підмножини даної множини побудуємо послідовність довжини n з нулів та одиниць за таким правилом: на m-му місці пишемо 1, якщо елемент з номером т входить до підмножини, і 0, якщо еле мент з номером т не входить до підмножини. Отже, кожній підмножині відповідає своя послідовність нулів та одиниць. Наприклад, порожній множині відповідає послідовність з одних нулів, всій множині — послідовність з одних одиниць. Число всіх підмножин дорівнює числу всіх можливих по слідовностей довжини п, складених з нулів та одиниць, і до рівнює 2 · 2 ·... · 2 = 2n.
Виконання вправ______________________________
1. Обчисліть
а) ; б) ; в) ; г) .
Відповіді: а) 100; б) 1000; в) 161 700; г) 499 500.
2. Випишіть всі підмножини множини {а, b, с}.
Відповідь: , {a}, {b}, {с}, {а, b}, {а, с}, {b, с}, {а, b, с}.
3. Скільки підмножин має множина, яка містить:
а) 6 елементів; б) 10 елементів; в) не містить елементів; г) п елементів. Відповіді: а) 26 = 64; б) 210 = 1024; в) 2° = 1; г) 2n.
4. Покажіть, що істинна рівність:
++++++= 26.
5. Доведіть справедливість рівностей:
а) ++=++; б) ++=++.
6. Обчисліть:
а) +++; б) +++.
Відповіді: а) 64; б) 64.
7. Учень має по одній монеті в 1 коп., 2 коп., 5 коп., 10 коп., 25 коп. Скількома способами він може ці монети розкласти в дві кишені?
Відповідь: 25 =32.
8. У деякому царстві немає двох людей, які б мали однаковий набір зубів. Скільки людей мешкає там, якщо кількість зубів у мешканців утворює всю множину можливих варіантів?
Відповідь: ++…++ = 232 = 4 294 967 296.
Запишемо всі можливі значення (п = 0, 1, 2, ..., т = 0, 1, 2, ... п) у вигляді трикутної таблиці.
Враховуючи властивості числа комбінацій , а саме:
1) ===…=== 1.
2) = +, тоді цю таблицю легко записати у числово му вигляді:
Ця таблиця побудована так: у першому рядку записано 1, у другому — з боків від неї по одиниці. У кожному наступному рядку перші та останні числа — одиниці, а кожне інше дорівнює сумі двох найближчих від нього чисел зверху (властивість 2).
Слід зазначити, що числа ряду розміщені на однаковій відстані від його кінців, рівні між собою. Це випливає з рівності:
= . Сума чисел т-го рядка дорівнює 2m.
Цю трикутну таблицю називають трикутником Паскаля за ім'ям французького математика Б. Паскаля (1623—1662), який займався дослідженням властивостей цієї таблиці й застосуван ням їх до розв'язування задач та вправ.
IV. Підведення підсумків уроку.
V. Домашнє завдання.
Розділ XII § 2; Запитання і завдання для повторення розділу XII №№ 18—21. Вправи №№ 18, 24, 29.
PAGE 1
Роганін Алгебра 11 клас, урок 37