Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
На правах рукопису
АНАШКІН Олег Васильович
УДК 517.9
РОЗВИТОК ДРУГОГО МЕТОДУ ЛЯПУНОВА В ТЕОРІЇ СТІЙКОСТІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ І ФУНКЦІОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
01.01.02 –диференціальні рівняння
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук
Київ —
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Таврійському національному університеті
імені В. І. Вернадського
Офіційні опоненти: член.-кор. НАН України, доктор фізико-математичних наук,
професор,
Мартинюк Анатолій Андрійович,
Інститут механіки НАН України, завідувач відділу стійкості процесів, м. Київ;
доктор фізико-математичних наук,
МАЗКО Олексій Григорович,
Інститут математики НАН України,
провідний науковий співробітник відділу динаміки стійкості багатовимірних систем;
доктор фізико-математичних наук, професор
ХУСАІНОВ Денис Яхьєвич,
Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики
Провідна установа:
Інститут прикладної математики та механіки НАН України, відділ технічної механіки (м. Донецьк).
Захист відбудеться 1 червня 2004 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою:
, м. Київ–, проспект академіка Глушкова, 6, корпус 7, Київський університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка (Київ, вул. Володимирська, 58).
Автореферат розісланий “_27___” ____04_____ 2004 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради М. П. Моклячук
Актуальність теми. Проблема стійкості є однією з ключових у всіх галузях науки і техніки. Фундамент сучасної математичної теорії стійкості закладено Олександром Михайловичем Ляпуновим у його знаменитому мемуарі "Загальна задача про стійкість руху", опублікованому в Харкові в 1892 році. У цій роботі не тільки вперше подано строге означення стійкості, але також глибоко розроблено необхідний математичний апарат дослідження стійкості: перший і другий методи Ляпунова. Використовуючи свої методи, О. М. Ляпунов розв’язав ряд важливих проблем теорії, зокрема, дав строге обґрунтування критерію стійкості за першим наближенням і досліджував багато критичних випадків.
Другий (або прямий) метод Ляпунова дозволяє одержати висновок про характер стійкості шляхом побудови допоміжної функції —функції Ляпунова, що відповідає визначеним вимогам. Другий метод є в даний час одним із найефективніших універсальних методів дослідження стійкості динамічних процесів.
Розроблений спочатку для звичайних диференціальних рівнянь, другий метод Ляпунова тепер успішно використовується в теорії функціонально-диференціальних, різницевих, стохастичних рівнянь, у теорії рівнянь з частинними похідними. У цьому заслуга декількох поколінь дослідників. Різні напрямки теорії стійкості та другого метода Ляпунова розробляли К. А. Абгарян, Л. Ю. Анапольський, О. С. Андреєв, Є. А. Барбашин, К. Г. Валєєв, С. М. Васильєв, В. І. Воротников, І. В. Гайшун, Ю. Ф. Долгий, В. І. Зубов, О. О. Ігнатьєв, В. Д. Іртегов, Г. В. Каменков, А. В. Кім, Л. Б. Княжище, Б. В. Колмановський, М. М. Красовський, В. М. Кунцевич, А. М. Лєтов, А. І. Лур’є, М. М. Личак, І. Г. Малкін, А. А. Мартинюк, В. М. Матросов, Д. Р. Меркін, В. Р. Носов, О. С. Озиранер, М. О. Перестюк, К. П. Персидський, С. К. Персидський, В. П. Прокоп’єв, Б. С. Разуміхін, В. В. Румянцев, О. Я. Савченко, А. М. Самойленко, Т. К. Сиразетдінов, В. Д. Фурасов, М. М. Хапаєв, Д. Я. Хусаїнов, Є. Ф. Царьков, М. Г. Четаєв, Л. Е. Шайхет, О. А. Шестаков, С. Н. Шиманов, Л. Е. Ельсгольц, R. Bellman, T. A. Burton, C. Corduneanu, J. Hale, W. Hahn, T. Hara, L. Hatvani, J. Kato, T. Krisztin, J. Kurzweil, V. Lakshmikantham, J. La Salle, S. Leela, S. Lefschetz, G. Makay, J. L. Massera, K. Peiffer, N. Rouhe, L. Salvadori, J. Terjeki, T. Yoneyama, T. Yoshizawa, B. Zhang та ін.
Теорема про нестійкість М. Г. Четаєва стоїть в одному ряді з фундаментальними теоремами О. М. Ляпунова. Принципове значення для другого методу мають теореми існування функції Ляпунова, отримані в роботах К. П. Персидського, М. М. Красовського, Є. А. Барбашина, J. L. Massera, J. Kurzweil, В. І. Зубова й інших авторів. Ці результати показали універсальний характер методу, розкрили його потенційні можливості і сприяли найширшому розповсюдженню. Дослідження критичних випадків стійкості, почате О. М. Ляпуновим, продовжили Г. В. Каменков, І. Г. Малкін, О. Я. Савченко, L. Salvadori та інші. В. М. Матросов і R. Bellman ввели в арсенал дослідників апарат векторних функцій Ляпунова, істотно розширивши клас припустимих функцій. Метод порівняння розвивали також C. Corduneanu, V. Lakshmikantham, S. Leela, А. А. Мартинюк, С. М. Васильєв, В. Д. Іртегов, Л. Ю. Анапольський та ін. Важливе значення для застосувань мають критерії стійкості по частині змінних, отримані в роботах В. В. Румянцева, О. С. Озиранера, В. І. Воротникова, L. Hatvani. Прямий метод Ляпунова розповсюджений на системи з розподіленими параметрами (Т. К. Сиразетдінов, О. А. Шестаков), функціонально-диференціальні рівняння (Л. Е. Ельсгольц, М. М. Красовський, Б. С. Разуміхін, С. Н. Шиманов, J. Hale, T. A. Burton, Б. В. Колмановський, В. Р. Носов, А. В. Кім, Д. Я. Хусаїнов, І. В. Гайшун, Л. Б. Княжище), стохастические рівняння (Б. В. Колмановський, Є. Ф. Царков, Л. Е. Шайхет), різницеві рівняння (В. Д. Фурасов, В. М. Кунцевич, W. Hahn), динамічні системи загального вигляду (В. І. Зубов, В. М. Матросов, C. М. Васильєв, Л. Ю. Анапольський, О. А. Шестаков). За допомогою функції і функціоналів Ляпунова вдається одержати ефективні критерії стійкості в цілому, у середньому, при постійно діючих збуреннях, практичній стійкості, стійкості на скінченому проміжку часу, а також інших типів стійкості (К. А. Абгарян, Є. А. Барбашин, М. М. Красовський, М. М. Хапаєв, А. А. Мартинюк, J. La Salle, S. Lefschetz, V. Lakshmikantham). В останні роки активно розробляється метод граничних рівнянь (О. С. Андреєв, А. А. Мартинюк). Ефективні алгоритми побудови функцій Ляпунова запропоновані К. Г. Валєєвим. Другий метод Ляпунова застосовується для дослідження питань існування й обмеженості розв’язків (T. Yoshizawa, J. La Salle, W. Hahn), у теорії автоматичного регулювання й у теорії керування (М. М. Красовський, А. М. Лєтов, Є. А. Барбашин, Б. В. Колмановський, В. Р. Носов, В. Д. Фурасов, В. М. Кунцевич, Д. Я. Хусаїнов, І. В. Гайшун). А. М. Самойленко і М. О. Перестюк запропонували умови стійкості в термінах функцій Ляпунова, що враховують специфічні властивості диференціальних рівнянь з імпульсною дією. Орієнтуючись на задачі теорії нелінійних коливань і небесної механіки, М. М. Хапаєв запропонував підхід, що сполучить ляпуновську ідею використання допоміжних функцій і асимптотичний метод усереднення. Теореми про стійкість, одержані на основі цього підходу, припускають використання знакозмінних функцій Ляпунова зі знакозмінними похідними.
В універсальності другого методу Ляпунова, що випливає з оборотності основних теорем, полягає сила методу, але в цьому ж причина принципової відсутності загального способу побудови функцій Ляпунова. Успіх пошуку придатної функції Ляпунова найчастіше забезпечується інтуїцією і досвідом дослідника, чим відомими рекомендаціями теорії. Тому, не зважаючи на значний прогрес, досягнутий в останні десятиріччя, проблема узагальнення та модифікації теорем другого методу Ляпунова з метою розширення множини придатних функцій залишається актуальною.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Частина результатів дисертації отримана в ході розробки наступних конкурсних тим, що фінансуються Міністерством освіти і науки України: “Розробка нових методів дослідження якісної поведінки розв’язків систем диференціальних і функціонально-диференціальних рівнянь” (номер державної реєстрації 0197U000441, 1997 –роки); “Дослідження якісної поведінки розв’язків диференціальних, різницевих і функціонально-диференціальних рівнянь” (номер державної реєстрації 0100U001358, 2000 –роки).
Мета і задачі дослідження. Основною метою дисертаційної роботи є одержання нових достатніх умов стійкості, асимптотичної стійкості і нестійкості для диференціальних і функціонально-диференціальних рівнянь на основі ідей другого методу Ляпунова. Для досягнення поставленої мети враховується ряд задач теорії диференціальних рівнянь, у тому числі, проведений порівняльний аналіз поняття стійкості за Ляпуновим і стійкості сімейства диференціальних рівнянь, що залежать від параметра (-стійкості); вивчаються властивості траєкторій функціонально-диференціальних рівнянь запізнюючого типу у нескінченновимірному просторі станів; вивчається характер залежності розв’язків диференціальних і функціонально-диференціальних рівнянь від параметрів і правих частин.
Об’єктом дослідження є нелінійні звичайні диференціальні рівняння, функціонально-диференціальні рівняння запізнюючого типу, а також різницеві рівняння із запізненням.
Предметом дослідження є питання стійкості та асимптотичної поведінки розв’язків указаних типів рівнянь.
Методи дослідження. У роботі використано методи якісної теорії диференціальних рівнянь, у тому числі, методи функції й функціоналів Ляпунова, апріорні оцінки зростання норми розв’язків диференціальних рівнянь, метод порівняння, асимптотичний метод усереднення.
Наукова новизна отриманих результатів. Усі результати роботи є новими чи істотно розвивають і узагальнюють відомі результати інших дослідників. Основні результати, представлені в дисертації, полягають у наступному:
для звичайних диференціальних і функціонально-диференціальних рівнянь, що містять малий параметр, введені поняття -притягання й асимптотичної -стійкості. Отримано достатні умови стійкості звичайного диференціального рівняння, права частина якого інтегрально неперервна по параметру;
отримані достатні умови -стійкості по частині змінних звичайного диференціального рівняння, права частина якого інтегрально неперервна по параметру;
доведені теореми про достатні умови -стійкості на основі методу порівняння з використанням векторних функцій Ляпунова;
отримано нові достатні умови рівномірної асимптотичної стійкості й експоненціальної стійкості, що допускають функції Ляпунова із знакозмінними похідними;
запропоновано новий підхід у дослідженні стійкості за Ляпуновим для диференціальних рівнянь із запізненням, що використовує визначені властивості траєкторій у нескінченновимірному просторі відрізків траєкторій. На основі цього підходу, отримані теореми про достатні умови рівномірної асимптотичної стійкості і нестійкості нульового розв’язку функціонально-диференціального рівняння запізнюючого типу, що допускають використання знакозмінних і немонотонних уздовж розв’язків рівняння функціоналів Ляпунова;
на основі нового підходу отримані достатні умови асимптотичної стійкості і -нестійкості диференціального рівняння із запізненням, права частина якого інтегрально неперервна по параметру;
новий метод побудови функціоналів Ляпунова використовується для дослідження параметричного резонансу в системі лінійних рівнянь із запізненням. Показано, що шляхом зміни величини запізнення можна знищити зони динамічної нестійкості і стабілізувати систему;
отримано нові достатні умови асимптотичної стійкості і нестійкості нульового розв’язку різницевого рівняння із запізненням, запропонована нова схема обґрунтування принципу усереднення для різницевих рівнянь.
Практичне значення отриманих результатів. Дисертаційна робота має теоретичний характер. Отримані результати можуть використовуватися для дослідження стійкості розв’язків лінійних і нелінійних систем звичайних диференціальних, функціонально-диференціальних і різницевих рівнянь, застосованих у математичних моделях фізичних, хімічних, біологічних та інших динамічних процесів.
Особистий внесок здобувача. Усі дослідження, викладені в дисертації, виконані автором самостійно і строго обґрунтовані. Співавтори спільних публікацій [1 –, 7] брали участь в обговоренні постановок задач і отриманих результатів. Співавтор статей [15, 20] проводив контроль правильності громіздких викладень у доведеннях. Остаточні формулювання і доведення тверджень належать автору дисертації.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися й обговорювалися на багатьох наукових семінарах, школах, нарадах, конференціях і конгресах, у тому числі, на Всесоюзній науковій конференції “Метод функций Ляпунова в современной математике” (Харків, 1986); Всесоюзній школі молодих вчених “Функциональные методы в прикладной математике и математической физике” (Ташкент, 1988); 33-му Міжнародному колоквіумі з теорії керування (Ільменау, НДР, 1988); IV конференції з диференціальних рівнянь (Русе, Болгарія, 1989); Всесоюзній конференції “Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики” (Тернопіль, 1989); Міжнародній науковій школі “Метод функций Ляпунова и его применение” (Іркутськ, 1989); Міжнародній конференції “Dynamical Systems and Related Topics” (Нагоя, Японія, 1990); Всеукраїнській конференції “Моделювання і стійкість процесів” (Київ, 1992); Міжнародній конференції “Dynamic Days” (Монреаль, Канада, 1993); Міжнародних Кримських математичних школах “Метод функций Ляпунова и его приложения” (Алушта, 1993, 1995, 1996, 1998, 2000); Міжнародній конференції “Dynamic Systems and Chaos” (Токіо, Японія, 1994); Міжнародному семінарі “Устойчивость и колебания нелинейных систем управления” (Самара, Росія, 1994); Міжнародному семінарі “Дифференцмальные уравнения и их приложения” (Самара, Росія, 1995); Міжнародному конгресі з прикладної математики ICIAM-95 (Гамбург, Німеччина, 1995); V-му Колоквіумі з якісної теорії диференціальних рівнянь (Сегед, Угорщина, 1996); Міжнародних конференціях “Моделювання і дослідження стійкості систем” (Київ, 1997, 1999, 2001); Міжнародної конференції “Треті Боголюбовські читання” (Київ, 1997); Міжнародній конференції EQUADIFF 9 (Брно, Чехія, 1997); Міжнародному семінарі “Singularly Perturbed Systems and Applications” (Берлін, Німеччина, 1997); Міжнародній конференції з функціонально-диференціальних рівнянь FDE–(Ариель, Ізраїль, 1998); Міжнародній конференції з функціонально-диференціальних і різницевих рівнянь FDDE 99 (Лісабон, Португалія, 1999); VI-му Колоквіумі з якісної теорії диференціальних рівнянь (Сегед, Угорщина, 1999); Українському математичному конгресі (Київ, 2001); Міжнародній конференції “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання” (Чернівці, 2001); науковому семінарі кафедри загальної математики Московського державного університету ім. М. В. Ломоносова (керівник —професор М. М. Хапаєв); на науковому семінарі відділу звичайних диференціальних рівнянь Інституту математики НАН України (керівник —академік А. М. Самойленко); на науковому семінарі кафедри диференціальних рівнянь і оптимального керування Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна (керівник —професор В. І. Коробов); на науковому семінарі кафедри оптимального керування й економічної кібернетики Інституту математики, економіки та механіки Одеського державного університету ім. М. І. Мечникова (керівник —професор В. О. Плотніков); на науковому семінарі відділу технічної механіки Інституту прикладної математики та механіки НАН України (керівник —чл.-кор. О. М. Ковалєв); на наукових семінарах кафедри диференціальних та інтегральних рівнянь і щорічних наукових конференціях Таврійського національного університету ім. В. І. Вернадського.
Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 25 статтях [1 –] і в працях міжнародних конференцій [26 –].
Структура й обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, шести розділів, висновків і переліку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації 307 сторінок, список використаних джерел складається з 211 найменувань і займає 24 сторінки.
У вступі коротко проаналізовано сучасний стан досліджень з теорії другого методу Ляпунова, обґрунтовано актуальність розглянутих у дисертаційній роботі задач.
Перший розділ містить огляд відомих результатів, що безпосередньо стосуються теми дослідження, і постановку проблем, розв’язанню яких присвячена дисертація.
Другий розділ присвячений задачі про -стійкість системи звичайних диференціальних рівнянь з малим невід’ємним параметром
. (1)
Тут і далі точка над символом означає диференціювання по незалежній змінній . Нехай, , —деякий окіл початку в, —норма в. Передбачається, що при будь-якому фіксованому права частина задовольняє умови Каратеодорі, тобто вимірна по при всякому, неперервна по при майже всіх і норма має локально інтегровану мажоранту.
Поряд з основною або збуреною системою (1) розглянемо незбурену систему
. (2)
Передбачається, що задача Коші для системи (2) розв'язна в області однозначно. Характер залежності від у точці повинний забезпечувати рівномірну збіжність будь-якого розв’язку збуреної системи (1) до відповідного розв’язку незбуреної системи на довільному скінченому відрізку існування розв’язків. Наприклад, досить вимагати, щоб функція була інтегрально неперервна по в точці.
Позначимо кулю радіуса з центром в початку координат. Введемо типову систему означень поняття -стійкості щодо стану.
Означення 2.1. Система (1) називається -стійкою, якщо для будь-яких і знайдуться і такі, що для всіх; рівномірно -стійкою, якщо вона -стійка і величини, не залежать від .
Означення 2.2. Система (1) називається -притягуючою, якщо для будь-якого знайдеться таке, що для будь-яких і існує таке, що для будь-якого знайдеться таке, що для всіх; рівномірно -притягуючою, якщо у означенні -притягання величина не залежить від, а величини і —від і.
Означення 2.3. Система (1) називається асимптотично -стійкою, якщо вона -стійка і -притягуюча; рівномірно асимптотично -стійкою, якщо вона рівномірно -стійка і рівномірно -притягуюча.
Система (1), яка не задовольняє означенню 2.1, називається -нестійкою.
Очевидна подібність даних означень з відомою системою понять теорії стійкості за Ляпуновим. Зауважимо, що система рівнянь (1) може не мати нульового розв’язку. На відміну від стійкості за Ляпуновим, що характеризує конкретний розв’язок конкретної системи диференціальних рівнянь, стійкість характеризує локальну поведінку всієї сім’ї залежних від параметра систем (1).
Усі траєкторії -стійкої системи залишаються в малому околі початку координат, якщо початкові значення фазових змінних досить близькі до нього. Характер стійкості нульового розв’язку (якщо він існує) ніяк не пов'язаний з характером -стійкості системи щодо стану. У той же час існує природний зв'язок між -стійкістю збуреної системи (1) і поведінкою розв’язків незбуреної системи (2).
Теорема 2.1 ([5]). Якщо система (1) є -стійкою (рівномірно -стійкою) стосовно стану, то незбурена система (2) має нульовий розв’язок, що є стійким (рівномірно стійким) за Ляпуновим.
Наслідок. Якщо незбурена система (2) має нерівномірно стійкий (нестійкий) нульовий розв’язок, то збурена система (1) не є рівномірно -стійкою (-стійкою) стосовно стану.
Беручи до уваги відому теорему про стійкість при постійно діючих збуреннях, отримаємо наступне твердження.
Теорема 2.2 ([5]). Якщо права частина незбуреної системи задовольняє умові Ліпшица по x рівномірно відносно і її нульовий розв’язок рівномірно асимптотично стійкий, то система (1) рівномірно асимптотично -стійка.
У дисертації надається приклад, який показує, що вимога рівномірності асимптотичної стійкості нульового розв’язку незбуреної системи (2) у теоремі 2.2 істотна.
Так само як і у випадку стійкості за Ляпуновим можна показати, що -притягання не спричиняє в загальному випадку не тільки асимптотичної, але і простої -стійкості.
Нехай —множина всіх строго зростаючих неперервних функцій, що знищуються в нулі: (клас Хана).
Означення 2.4. Функція називається рівномірно інтегрально неперервною по параметру в точці, якщо для кожного існує функція така, що для будь-яких, , і.
Функцію назвемо рівномірно локально сумовною на, якщо існує константа така, що для будь-якого кінцевого відрізка. Множину всіх таких функцій позначимо через.
Нехай є функція Ляпунова для незбуреної системи (2) і —її повна похідна в силу рівнянь системи (2). Функцію виду, де для якоїсь функції, будемо називати збуреною функцією Ляпунова.
Теорема 2.3 ([5]). Нехай в області виконані вимоги: 1) існує диференційовна додатно визначена функція Ляпунова, , повна похідна якої в силу рівнянь незбуреної системи (2) недодатна; 2) існують функції m, і функція такі, що для майже всіх, для всіх і кожного справедливі нерівності:,; 3) збурена функція Ляпунова неперервна по сукупності змінних і її повна похідна в силу рівнянь системи (1) припускає представлення, де,; 4) функції і є рівномірно інтегрально неперервними по в точці; 5) для будь-якого і довільно малого існують і такі, що для будь-яких і справедлива оцінка:. Тоді система (1) є асимптотично -стійкою.
Додаткова умова рівномірної обмеженості функції Ляпунова для незбуреної системи забезпечує рівномірну -стійкість.
Теорема 2.4 ([5]). Нехай виконані всі умови теореми 2.3 і, крім того, функція допускає нескінченно малу вищу границю по. Тоді система (1) рівномірно асимптотично -стійка.
З теореми 2.3 випливає, що асимптотично -стійкі системи виду (1) зберігають стійкість під дією періодичних збурень не малої амплітуди, але досить великої частоти. Аналогічна властивість асимптотичної стійкості за Ляпуновим була відзначена М. М. Красовським.
У підрозділі 2.2 розглядається задача про -стійкість складної системи
, , (3)
де, , , функції, , задовольняють умовам існування єдиного неперервного розв’язку задачі Коші в області.
Позначимо,. Передбачається, що незбурена система має нульовий розв’язок і розпадається на незалежних підсистем:
, (Sj)
. Спеціальний характер складної системи дозволяє отримати висновок про -стійкість у таких ситуаціях, коли умови сформульованих вище теорем не виконуються. Введемо позначення:;
; ;
.
Теорема 2.5 ([1]). Нехай для всіх виконуються вимоги: 1) існують функції і функції, , , такі, що: a) , b) функції неперервні і недодатні; 2) існують функції, , і такі, що, , , ,; 3) існує стала така, що для і будь-яких, і: виконується одна з наступних умов:
a) ,
b) при,
де, , —деякі числа, що залежать тільки від . Тоді система (3) асимптотично -стійка.
Теорема 2.6 ([1]). Нехай для всіх виконуються вимоги: 1) для деякого, , існує функція, , така, що для будь-якого досить малого, , і як завгодно великого -околі знайдеться область, у якій функція обмежена і похідна функції в силу рівняння невід’ємна; 2) для всякого і такого, що виконується одна з наступних умов:
a) ,
b) , при,
де—деякі числа, що залежать тільки від; 3) функції і задовольняють умові 2) теореми 2.5; 4) існують функції, , , що задовольняють вимогам 1) –3) теореми 2.5. Тоді система (3) -нестійка.
У підрозділі 2.3 представлені теореми про -стійкість, отримані на основі методу порівняння. Нехай система рівнянь (1) має вигляд
. (4)
Припустимо, що незбурена система
, , (5)
має неасимптотично стійкий нульовий розв’язок. Нехай є деякий окіл нуля в . Введемо в розгляд систему порівняння
, , (6)
де і є двічі диференційовною по квазімонотонно зростаючою функцією в наступному розумінні: для кожного для будь-яких, , таких, що
Введемо в наступне відношення часткової упорядкованості: для довільних u, нерівність означає, що,. Аналогічно визначається нерівність.
Нехай —вектор з, усі компоненти якого рівні 1. Позначимо через розв’язок системи порівняння (6) з початковою умовою. Назвемо нульовий розв’язок рівняння (6) напівстійким, якщо
і рівномірно напівстійким, якщо
Умова стійкості з вектор-функцією Ляпунова дає наступна теорема, що належить В. М. Матросову. У даному контексті ми сформулюємо цей результат так.
Теорема (В. М. Матросов). Припустимо, що існує диференційовна вектор-функція Ляпунова v:, що є локально ліпшицевою по і такою, що для деякої функції й усіх виконані умови: 1) ,; 2) . Тоді напівстійкість нульового розв’язку системи порівняння (6) спричиняє стійкість нульового розв’язку системи (5).
Якщо, крім того, справедлива умова: 3) для деякої функції й усіх, то рівномірна напівстійкість нульового розв’язку системи порівняння (6) спричиняє рівномірну стійкість нульового розв’язку системи (5).
Позначимо, ,. Нехай —матрицант системи рівнянь у варіаціях
. (7)
Теорема 2.8 ([3]). Нехай в області виконані наступні вимоги: 1) існує неперервно диференційовна вектор-функція, що задовольняє умовам 1) –3) теореми Матросова; 2) система порівняння (6) має рівномірно напівстійкий нульовий розв’язок; 3) існують функції , і функція такі, що,; 4) для будь-якого досить малого існують і такі, що при будь-яких і
,
де —розв’язок незбуреної системи (5).
Тоді збурена система (4) рівномірно асимптотично -стійка.
Додатність інтеграла при певних припущеннях відносно є достатньою умовою нестійкості системи (4). Спочатку припустимо, що система порівняння (6) лінійна:
. (8)
Тоді система рівнянь у варіаціях (7) збігається із самою системою порівняння і, отже, її матрицант не залежить від і.
Будемо говорити, що область додатності
вектор-функції примикає до початку координат, якщо при і для всякого і як завгодно малого знайдеться точка, така, що і.
Теорема 2.9 ([3]). Нехай в області виконані наступні вимоги: 1) існує неперервно диференційовна вектор-функція, область додатності якої примикає до початку координат; 2) розв’язок системи, порівняння має наступну властивість: для будь-якого і при усіх; 3) в області; 4) існує функція така, що хоча б для одної компоненти вектор-функції v вірна оцінка: в області; 5) для довільного малого існують і такі, що з випливає оцінка
,
де —розв’язок незбуреної системи (5), а —матрицант лінійної системи порівняння (8); 6) виконані умови припущення 3) теореми 2.8.
Тоді існує таке, що для будь-яких і існують і, , такі, що.
У загальному випадку нелінійної системи порівняння отриманий наступний результат.
Теорема 2.10 ([3]). Нехай в області 1) виконані умови 1), 3) –6) теореми 2.9; 2) розв’язок системи порівняння (6) має наступну властивість: для будь-яких і при всіх. При цьому функція така, що для будь-якого малого для якогось.
Тоді існує таке, що для будь-яких і існують і, , , такі, що.
Одне з ускладнень, що виникають при практичному застосуванні сформульованих вище теорем про -стійкість, зв'язане з тим, що для перевірки основної умови стійкості необхідно знати загальний розв’язок незбуреної системи. У деяких ситуаціях ця проблема може бути вирішена шляхом чисельного інтегрування. Інший підхід полягає в заміні точного розв’язку придатною аналітичною апроксимацією. У підрозділі 2.4 пропонується один з варіантів реалізації цієї ідеї.
Нехай динамічна система моделюється нормальною системою звичайних диференціальних рівнянь
, (9)
де функції і задовольняють умовам, що забезпечують існування єдиного розв’язку задачі Коші в області для якогось. Передбачається, що незбурена система
, (10)
має рівномірно стійкий за Ляпуновим нульовий розв’язок
Нехай —n-параметричне сім’я вектор-функцій, , , неперервних по сукупності змінних , , , в області. Нехай –деяка функція з класу Хана .
Означення 2.5. Будемо говорити, що сім’я апроксимує загальний розв’язок системи (10) з точністю при, якщо для будь-якого і, де достатньо мале, знайдеться вектор параметрів такий, що функція задовольняє наступним умовам: 1) , 2) на будь-якому скінченому інтервалі має місце нерівність, де константа залежить тільки від T.
Позначимо.
Теорема 2.11 ([4]). Нехай в області G виконані вимоги: 1) існує додатно визначена функція,що допускає нескінченно малу вищу границю і має недодатну похідну в силу незбуреної системи (10); 2) функції, і задовольняють умові Ліпшица по x з константою; 3) для як завгодно малого існує константа і функція такі, що
для кожного і: 4) сім’я апроксимує загальний розв’язок незбуреної системи (10) з точністю при, причому функція задовольняє умові:.
Тоді система (9) асимптотично -стійка.
Припускаючи більш високу гладкість функції, можна послабити обмеження на швидкість спадання при.
Теорема 2.12 ([4]). Нехай функція диференційовна по x і для деякої функції з класу Хана K. Нехай виконуються всі умови теореми 2.11, але функція з умови 4) підкоряється іншій вимозі:. Тоді система (9) асимптотично -стійка.
У підрозділі 2.5 отримані достатні умови -стійкості системи (1) по частині змінних, а саме, по змінних, , ,. Введемо позначення:, , , , , , , ,. Крім того, введемо звичайну для задач про стійкість по частині змінних умову z-подовжуваності розв’язків системи (1), тобто будемо припускати, що будь-який розв’язок є визначеним при всіх, для яких.
Означення часткової -стійкості (щодо стану) введемо за аналогією з означенням часткової стійкості, запропонованим О. М. Ляпуновим.
Означення 2.6. Систему (1) назвемо -стійкою, якщо для кожного й існують і такі, що для будь-яких і при; рівномірно , - стійкою, якщо вона y, -стійка і величини не залежать від; притягуючою, якщо для кожного знайдеться таке, що для будь-яких і існує таке, що для будь-якого знайдеться таке, що при; рівномірно , -притягуючою, якщо в означенні притягання величина не залежить від, а величини і –від і; асимптотично стійкою, якщо вона , -стійка і притягуюча; рівномірно асимптотично стійкою, якщо вона рівномірно стійка і рівномірно притягуюча.
Нехай нульовий розв’язок незбуреної системи (2) -стійкий за Ляпуновим і v : —відповідна функція Ляпунова, що задовольняє одній з теорем про часткову стійкість. Позначимо через повну похідну функції силу рівнянь системи (1) і припустимо, що вона допускає представлення
, (11)
де –деяка функція з класу Хана , а функція рівномірно інтегрально неперервна по в точці.
Теорема 2.15 ([7]). Якщо існує додатно визначена по y функція :, що допускає нескінченно малу вищу границю по змінних для деякого , , повна похідна якої в силу рівнянь (2) недодатна, і для кожного існують і такі, що для всіх і, що задовольняє умові, справедлива нерівність:, то система (1) рівномірно асимптотично стійка.
Введемо в розгляд лінійну систему рівнянь першого наближення для незбуреної системи (2)
, (12)
і позначимо через розв’язок цієї системи, що задовольняє початковій умові. Будемо припускати, що, де –функція з класу.
Теорема 2.18 ([7]). Нехай виконані вимоги: 1) існує додатно визначена по y функція, що допускає нескінченно малу вищу границю відносно для деякого , , повна похідна якої в силу рівнянь системи (2) недодатна, а повна похідна в силу рівнянь збуреної системи (1) допускає представлення (11); 2) існують функції і такі, що для всіх; 3) існують функція і стала такі, що для всіх справедлива нерівність:, де задовольняє співвідношенню (11) і нерівності Ліпшица, –розв’язок лінійної системи (12); 4) для довільної константи.
Тоді система (1) рівномірно асимптотично стійка.
В останньому підрозділі другого розділу розглядається сингулярно збурена система
, ,
для якої отримана теорема про граничний перехід [27] у ситуації, коли основна умова відомої теореми А. М. Тихонова порушена. Тихонівська вимога рівномірної асимптотичної стійкості стану рівноваги приєднаної системи заміщається вимогою неасимптотичної стійкості, що доповнено умовою рівномірної асимптотичної -стійкості (щодо стану) розширеної приєднаної системи. Показано, що відмовлення від тихонівської вимоги спричиняє асимптотичне розширення примежового шару.
У третьому розділі з позицій методу узагальнених функцій Ляпунова розглядається задача про стійкість у змісті класичного означення Ляпунова. Нехай диференціальне рівняння збуреного руху має вигляд
функція задовольняє в області умовам Каратеодорі існування абсолютно неперервного розв’язку початкової задачі й існують матриця, функції, і стала такі, що для всіх справедливі нерівності
,. (14)
Позначимо і розв’язок рівняння (13) і лінійного рівняння
, (15)
відповідно, що проходять через точку. Нерівності (14) гарантують для фіксованого справедливу при і рівномірну по оцінку
, (16)
де при.
Теорема 3.2 ([26]). Припустимо, що для деякого h, в області існують функції v, такі, що: (i) для деяких a, (ii) функція v диференційовна і; (iii) існують стала і функція такі, що, для, при будь-якому; (iv) існують сталі і такі, що для всіх і при справедлива оцінка:, де –розв’язок рівняння (15).
Тоді нульовий розв’язок рівняння (13) рівномірно асимптотично стійкий.
Достатні умови нестійкості нульового розв’язку рівняння (13) дає наступна теорема.
Теорема 3.3. Нехай існують стала і функції , , такі, що: (i) і для будь-якого і знайдеться точка така, що (ii) в області; (iii) і функція задовольняє умові (iii) теореми 3.2; (iv) існують сталі і такі, що для всіх з області додатності при справедлива нерівність
Тоді нульовий розв’язок рівняння (13) нестійкий.
У підрозділі 3.2 як приклад розглянута задача про оптимальну стабілізацію і на основі теореми 3.2 отриманий аналог відомої теореми Красовського [26].
У підрозділі 3.3 описано алгоритм [8] побудови збуреної функції Ляпунова при наявності траєкторій незбуреного рівняння, які наближаютьсядо нуля, коли . Розглядається критичний випадок автономного лінійного наближення, матриця якого має власні значення як у лівій половині комплексної площини, так і на уявній осі.
У підрозділі 3.4 отримано достатні умови експоненціальної стійкості для системи диференціальних рівнянь вигляду
, (17)
де функція визначена в області, неперервна по малому параметрі в точці і при кожному фіксованому задовольняє умовам Каратеодорі в області . Передбачається, що функції і задовольняють умові Ліпшица по x з функцією Ліпшица. Нехай, де –-матриця, а функція задовольняє в області нерівність для деякої константи і функції.
Теорема 3.7 ([19]). Нехай існують функції v, такі, що для всіх виконані вимоги: 1) повна похідна функції v у силу рівнянь незбуреної системи недодатна і для деяких сталих, справедливі нерівності; 2) існує функція, така, що, для, для будь-яких x, , ,; 3) існують сталі, і такі, що для всіх, при має місце оцінка:, де є розв’язок рівняння.
Тоді існує таке, що при всіх нульовий розв’язок системи (17) експоненціально стійкий.
У четвертому розділі викладені результати розвитку прямого методу Ляпунова для функціонально-диференціальних рівнянь (ФДР) запізнюючого типу. У підрозділі 4.1 формулюється теорема про асимптотичну стійкість, що є безпосереднім поширенням підходу, розвинутого в третьому розділі на функціонально-диференціальні рівняння вигляду
, (18)
де функція визначена в області, –відкрита куля радіуса H у банаховому просторі неперервних на відрізку вектор-функцій з нормою, —деяка норма в, —максимальна величина запізнення. Для даної неперервної функції є елемент простору, означений як,.
Для рівнянь виду (18) одержані достатні умови стійкості і нестійкості, які природним чином переходять в умови стійкості і нестійкості для звичайного диференціального рівняння, до якого зводиться досліджуване функціонально-диференціальних рівнянь при прямуванні максимального значення запізнення до нуля.
Нехай в області для деяких сталих і має місце нерівність:, а функція неперервна і задовольняє умові Ліпшица по x в області. Припустимо, що нульовий розв’язок системи
неасимптотично стійкий і : —відповідна функція Ляпунова, тоді, де.
Теорема 4.1 ([9]). Нехай: 1) існують функції a, і константа такі, що для усіх, причому обернені функції, зв'язані співвідношенням: при; 2) існують сталі і такі, що для всіх для і,; 3) існують і такі, що для і при, де —розв’язок лінеаризації з початковою умовою.
Тоді нульовий розв’язок системи (18) рівномірно асимптотично стійкий.
У підрозділі 4.2 дається постановка основної задачі, досліджуваної в даному розділі, і виводяться допоміжні оцінки. Розглянемо рівняння
, (19)
де —дійсна -матриця, , , в області для деяких і L,.
Нехай, ,. Позначимо, , розв’язок рівняння (19) з початковою функцією , , , —розв’язок лінійного рівняння
(20)
з початковим значенням .
Зауважимо, що початкова функція з простору може розглядатися також і як елемент простору, де, якщо означити так, що при. При цьому норма залишається незмінною.
Умови стійкості нульового розв’язку функціонально-диференціального рівняння (19) формулюються у вигляді властивостей неперервного функціонала v :. Базові ідеї методу функціоналів Ляпунова в теорії стійкості рівнянь із запізненням належать, як добре відомо, М. М. Красовському. У нашій роботі основні обмеження накладаються не у всьому просторі, як це робиться в основних роботах Красовського і більшості робіт його послідовників, а лише в підмножині
, ,.
Неважко показати, що ця множина є неопуклим конусом і володіє наступними важливими властивостями: при; границя множини складається з елементів, що задовольняють умові:; множина не має внутрішніх точок і для кожного .
Властивості розглянуті в підрозділі 4.3. Дане означення конуса вперше введено в статті автора [10]. Окремі властивості розглядалися в статтях [12, 21]. Особлива роль конуса в контексті задачі про стійкість нульового розв’язку рівняння із запізненням полягає в тому, що траєкторія розв’язку в нескінченновимірному просторі
може йти від початку лише в межах конуса. За межами конуса з норма експоненціально спадає.
Далі передбачається, що для існує "праве похідне число"
.
Наступні дві теореми про стійкість є основними результатами розділу.
Теорема 4.2 ([12]). Нехай система (19) така, що для деяких сталих, , і виконані вимоги:1) для довільних початкових даних розв’язок лінеаризації (20) задовольняє нерівності:; 2) існують функціонали v, і функції , такі, що: a) b) для, c) для і; 3) існує стала і функція, такі, що: для, для всіх і, ,; 4) існують сталі, і такі, що для всіх і при, де —розв’язок лінеаризації (20).
Тоді нульовий розв’язок системи (19) рівномірно асимптотично стійкий.
Теорема 4.3 ([12]). Нехай для деяких, , , і виконується умова 1) теореми 4.2 і існують функціонали v, , що задовольняють умовам: 1) для; 2) для будь-якого і як завгодно малого, , знайдеться така, що; 3) існує функція така, що для; 4) функціонал задовольняє умові 3) теореми 4.2 для; 5) існують сталі і такі, що для всіх і при, де —розв’язок лінеаризації (20).
Тоді нульовий розв’язок системи (19) нестійкий.
Приклади дослідження стійкості рівнянь з постійним і змінним, зосередженим і розподіленим запізненням приведені в підрозділах 4.6 і 4.7. У підрозділі 4.8 теореми 4.2 і 4.3 застосовуються для дослідження впливу запізнення на умови виникнення параметричного резонансу в лінійному рівнянні другого порядку
. (21)
При дане рівняння перетворюється в добре відоме в теорії коливань рівняння Матьє (Mathieu). При значеннях параметра, близьких до величин, , амплітуда коливань у рівнянні Матьє починає різко зростати. Це явище називається параметричним резонансом. Показано, що в рівнянні (21) головний резонанс виникає при будь-якому скінченому запізненні . При характер стійкості (21) вже істотно залежить від величини запізнення . Підбираючи запізнення, можна знищити демультиплікативні резонанси і зробити систему рівномірно асимптотично стійкою.
У підрозділі 4.9 за аналогією з підрозділом 2.2 дається означення -стійкості функціонально-диференціального рівняння, що залежить від параметра,
, (22)
і приведені теореми про достатні умови -стійкості. Передбачається, що функція при кожному фіксованому задовольняє умовам Каратеодорі існування розв’язку початкової задачі, інтегрально неперервна по в точці, а незбурене рівняння, одержуване з (22) при, є звичайним диференціальним рівнянням, тобто має вигляд
. (23)
Достатні умови -стійкості формулюються в такий спосіб.
Теорема 4.5 ([14]). Нехай граничне рівняння (23) таке, що для деяких сталих, і має місце нерівність і, крім того, виконуються наступні умови: 1) існують функціонали, і функції a, такі, що: a) , b) для, c) при рівномірно по й і при,; 2) функціонал допускає представлення:, для деякої функції2, функціонали і рівномірно інтегрально неперервні по в точці і, при для деякої функції; 3) для кожного існують сталі і такі, що для, і.
Тоді рівняння (22) рівномірно асимптотично -стійке.
Теорема 4.6 ([14]). Нехай для деяких і виконані вимоги: 1) для кожного можна знайти сталі , такі, що розв’язок граничного рівняння (23) при задовольняє нерівності: рівномірно по і; 2) існує неперервна функція, що володіє областю додатності, у якій функція не зростає уздовж траєкторій граничного рівняння і для деякої функції; 3) для деяких і існують функціонали , , де, такі, що і при рівномірно по; 4) функціонал задовольняє умові 2) теореми 4.5 для при досить малих значеннях; 5) для кожного існують сталі і такі, що при, якщо.
Тоді рівняння (22) -нестійке.
Розглянуто приклади, формулюється теорема про граничний перехід у сингулярно збуренній системі з малим запізненням [18], що розповсюджує на рівняння із запізненням результат [27], викладений у п.2.6. А саме, розглядується система функціонально-диференціальних рівнянь вигляду
,
де —малий параметр, , , , , функції, и задовольняють умові Ліпшица по , у відповідних областях, неперервні по малому параметру в нулі і.
У підрозділі 4.10 розглядається задача про стійкість нульового розв’язку функціонально-диференціального рівняння загального вигляду
. (24)
При цьому вже не передбачається, що це рівняння в тому чи іншому змісті близьке до звичайного диференціального рівняння. Формулюється і доводиться ряд теорем про стійкість і асимптотичну стійкість, що істотно використовують поняття конуса.
Нехай рівняння (24) має нульовий розв’язок і функція задовольняє в області деяким умовам (наприклад, умовам Каратеодорі), що забезпечують існування неперервного розв’язку для будь-яких початкових даних з області .
Траєкторія розв’язку звичайного диференціального рівняння може йти від початку фазового простору будь-яким напрямком. Траєкторія розв’язку рівняння із запізненням (24) у "природному" фазовому просторі також може йти від початку будь-яким напрямком. Траєкторія розв’язку в просторі вже може йти від початку не в будь-якому напрямку, а лише через конус, що не має внутрішніх точок у метриці простору.
Беручи до уваги цю властивість траєкторій розв’язків рівняння із запізненням, можна зробити висновок про характер стійкості нульового розв’язку рівняння (24) за допомогою допоміжного функціонала, що задовольняє більш слабким обмеженням, ніж пред'являють більшість відомих теорем прямого методу Ляпунова.
Позначимо
Теорема 4.8 ([21]). Нехай існують додатні числа, , функція і неперервний функціонал, , такі, що: 1) при,; 2) при,. Тоді нульовий розв’язок рівняння (24) стійкий.
Якщо додатково існує функція така, що: 3) при, , то нульовий розв’язок рівняння (24) рівномірно стійкий.
Далі будемо припускати, що права частина рівняння (24) обмежена рівномірно сумовною функцією. Це припущення забезпечує рівномірну обмеженість швидкості зміни .
Теорема 4.9 ([21]). Нехай існують сталі, і, функції і неперервний функціонал, , такі, що виконуються умови: 1) для і; 2) для,; 3) для і. Тоді нульовий розв’язок рівняння (24) рівномірно асимптотично стійкий.
Якщо зовсім відмовитися від будь-яких обмежень на знак за межами конуса, то доводиться вводити спеціальну умову обмеженості функціонала зверху.
Теорема 4.11 ([21]). Нехай існують сталі, , , функція і функціонал, , такі, що для всіх виконані умови: 1) ; 2) . Тоді нульовий розв’язок рівняння (24) рівномірно стійкий.
Теорема 4.12 ([21]). Нехай існують сталі, , , , функції і неперервний функціонал, , такі, що для усіх виконуються умови: 1) ; 2) . Тоді нульовий розв’язок рівняння (24) рівномірно стійкий.
У п’ятому розділі отримані результати застосовуються для вивчення впливу запізнення на умови виникнення параметричного резонансу в лінійній системі рівнянь другого порядку
, (25)
де, , , , , , —постійне запізнення, —симетрична -матриця, елементами якої є рівномірно сумовні на півосі дійсні функції.
Відомо, що при відсутності запізнення () у випадку -періодичної матриці рівняння (25) має тільки обмежені розв’язки при досить малому, якщо, , , а параметричний резонанс неодмінно буде відбуватися при частотах, , для визначених матриць збудження .
Запізнення приводить до принципової зміни поведінки розв’язків системи (25), зокрема, порушуються зазначені вище умови виникнення резонансу при періодичному збудженні. У роботі показано, що система (25) може бути рівномірно асимптотично стійкою чи нестійкою у залежності від значень і. Запізнення істотно впливає на комбінаційні резонанси, , , знищує одні критичні частоти і приводить до появи додаткових значень, при яких виникає параметричний резонанс. Наприклад, при різницевому резонансі, , , система (25) без запізнення (при) має тільки обмежені розв’язки, але нестійкою при майже всіх додатних значеннях запізнення. З іншого боку, при будь-якому запізненні в системі (25) спостерігається основний резонанс поблизу критичних значень, ,.
Отримані[24] конкретні умови стійкості системи (25) у припущенні, що, де, , —скінченна чи нескінченна множина дійсних чисел. Якщо множина нескінченна, то ряд збігається абсолютно.
Для формулювання умов нестійкості системи (25) її зручно привести до стандартної форми
, (26)
де, , риска над символом означає комплексне спряження. Матриця має блочний вигляд
, (27)
де, ,.
Матриці вигляду (27) створюють асоціативне кільце з одиницею, врахування цієї властивості спрощує обчислення.
Припустимо, що існує середнє.
Теорема 5.1 ([24]). Якщо при даному значенні параметра та запізнення знайдеться хоча б одне власне значення матриці з додатною дійсною частиною, то при достатньо малому система (25) нестійка.
Більш складна ситуація виникає, якщо є нульова матриця. Припустимо, що існує обмежена первісна функція матриці. Тоді можна побудувати збурений функціонал
,
де, –стала ермітова матриця такої ж структури, що и матриця (27). Обчислимо похідну функціоналу вздовж розв’язку рівняння (26), отримуємо. Безпосереднім наслідком теорем 4.2 и 4.3 є наступне твердження.
Теорема 5.2 ([24]). При достатньо малому рівняння (25)є асимптотично стійким, якщо знайдеться додатньо визначена ермітова форма така, що має від’мно визначене середнє и нестійка, якщо має знаковизначене середнє, в той час, як форма може приймати значення того ж знаку.
Останній розділ дисертації присвячений питанню про стійкість розв’язків різницевих рівнянь із запізненням, що тісно примикає до теми дослідження. Такі рівняння привертають останнім часом зростаючу увагу фахівців, які займаються моделюванням виробничих процесів. Хоча формально різницеве рівняння із запізненням завжди можна представити як звичайне різницеве рівняння високого порядку, необхідно розвивати спеціальні методи дослідження властивостей розв’язків таких рівнянь. Різницеве рівняння із запізненням записується у формі, яка застосовується в теорії функціонально-диференціальних рівнянь. Це дозволяє охопити всі можливі типи різницевих рівнянь із запізненням.
Нехай —множина цілих чисел на сегменті. Позначимо множину відображень в. Введемо в просторі норму. Для даної послідовності, , позначимо елемент простору, означений як,.
Розглянемо нелінійне різницеве рівняння вигляду
,
де, функція для кожного визначена в області й існують сталі і такі, що при,.
Введемо множину
, .
Ця множина —скінченновимірний аналог конуса в просторі неперервних функцій, властивості якого докладно вивчені у четвертому розділі.
Для рівняння отримані наступні умови асимптотичної стійкості і нестійкості, що є аналогами відповідних теорем третього розділу.
Теорема 6.3 ([25]). Припустимо, що для деяких, і існують функції, що задовольняють умовам: 1) існують функції такі, що a) , b) для і; 2) існують сталі і такі, що і для,; 3) існують сталі і такі, що для будь-яких, і.
Тоді нульовий розв’язок рівняння рівномірно асимптотично стійкий.
Теорема 6.4 ([25]). Припустимо, що для деяких, , і існують функції і такі, що для і виконані умови: 1) ; 2) для кожного й існує така, що; 3) існує функція така, що; 4) функція задовольняє умові 2) теореми 6.3; 5) існують сталі і такі, що для будь-яких, і.
Тоді нульовий розв’язок рівняння (26-1) нестійкий.
У заключному підрозділі дане обґрунтування принципу усереднення для різницевих рівнянь із запізненням на основі безпосереднього порівняння траєкторій повного й усередненого рівняння [15, 20], що є більш природним і простим в порівнянні з іншими відомими підходами.
У дисертації розглянута задача про стійкість динамічного процесу, що описується звичайними диференціальними, функціонально-диференціальними рівняннями або різницевими рівняннями із запізненням. Другий метод Ляпунова є основним універсальним засобом дослідження стійкості в таких задачах. Однак практична побудова придатної функції чи функціонала Ляпунова для конкретного рівняння може виявитися дуже складною. У даній роботі на основі нових підходів запропоновані достатні умови стійкості і нестійкості, що допускають більш широкий клас придатних функцій і функціоналів Ляпунова в порівнянні з відомими теоремами другого методу. У такий спосіб удається полегшити дослідження стійкості конкретних динамічних процесів.
Основні результати дисертації полягають у наступному. Для звичайних диференціальних і функціонально-диференціальних рівнянь, що містять малий параметр, введені поняття -притягання й асимптотичної -стійкості. Отримано достатні умови -стійкості для рівнянь з інтегрально неперервною по параметру правою частиною. Для звичайних диференціальних рівнянь знайдені достатні умови -стійкості з використанням скалярних і векторних функцій Ляпунова. Отримано достатні умови -стійкості по частині змінних для рівнянь з інтегрально неперервною по параметру правою частиною.
Отримано нові достатні умови рівномірної асимптотичної стійкості й експоненціальної стійкості, що допускають функції Ляпунова із знакозмінними похідними.
Запропоновано новий підхід у дослідженні стійкості за Ляпуновим для функціонально-диференціальних рівнянь запізнюючого типу, що використовує особливості поведінки траєкторій рівняння в нескінченновимірному просторі станів. На основі цого підходу отримані теореми про достатні умови рівномірної асимптотичної стійкості і нестійкості нульового розв’язку диференціального рівняння із запізненням, що допускають використання знакозмінних і немонотонних уздовж розв’язків рівняння функціоналів Ляпунова. Ці результати використовуються для дослідження залежності від запізнення умов виникнення параметричного резонансу в системі лінійних рівнянь. Показано, що шляхом зміни величини запізнення можна знищити зони динамічної нестійкості і стабілізувати систему. На основі нового підходу отримані достатні умови асимптотичної -стійкості і -нестійкості диференціального рівняння із запізненням, права частина якого інтегрально неперервна по параметру.
Отримано нові достатні умови асимптотичної стійкості і нестійкості нульового розв’язку різницевого рівняння із запізненням, запропонована нова схема обґрунтування принципу усереднення для різницевих рівнянь.
Анашкин О. В., Фалин А. И. Об устойчивости сложных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Динамические системы. –К.: Вища школа, 1983. –Вып. 2. –C. 3 –.
Анашкин О. В., Хапаев М. М. Метод сравнения и исследование на устойчивость систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих возмущения // Дифференциальные уравнения. –. –Т. 22, № 9. –C. 1604 –.
Анашкин О. В., Хапаев М. М. Метод сравнения в исследовании на устойчивость систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих возмущения. II // Дифференциальные уравнения. –. –Т. 25, № 2. –C. 167 –.
Анашкин О. В., Хапаев М. М. Метод функций Ляпунова для систем с возмущениями //Дифференциальные уравнения. –. –Т. 28, № 12. –C. 2027 –.
Анашкин О. В., Хапаев М. М. Об устойчивости нелинейных систем с малым параметром //Дифференциальные уравнения. –. –Т. 29, № 8. –C. 1301 –.
Анашкин О. В. О частичной устойчивости динамической системы, интегрально непрерывной по малому параметру // Динамические системы. –К.: Либідь, 1994. –Вып. 13. –C. 29 –.
Анашкин О. В., Хапаев М. М. О частичной устойчивости нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром // Дифференциальные уравнения. –. –Т. 31, № 3. –C. 371 –.
Anashkin O. Generalized Lyapunov Functions and Stability Analysis in Critical Cases // Z. angew. Math. Mech. (ZAMM). –. –Vol. 76, Suppl. 2. –P. 465 –.
Анашкин О. В. Метод усреднения в теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. –. –Т. 33, № 4. –C. 448 –.
Анашкин О. В. Параметрический резонанс в линейной системе с запаздыванием // Известия РАЕН, серия МММИУ. –. –Т. 1, № 1. –C. 3 –.
Анашкин О. В. Об устойчивости систем функционально-дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр // Динамические системы. –Симферополь: Таврия, 1998. –Вып. 14. –C. 3 – 9.
Анашкин О. В. Достаточные условия устойчивости и неустойчивости для одного класса нелинейных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. –. –Т. 34, № 7. – C. 867 –.
Анашкин О. В. Об одном методе исследования на устойчивость в теории функционально-дифференцильных уравнений // Ученые записки СГУ. –. –№ 7(46). –C. 54 –. Анашкин О. В. Об устойчивости систем функционально-дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр // Известия РАЕН, серия МММИУ. –. –Т. 2, № 1. –C. 54 –.
Анашкин О. В., Евстигнеева Е. Г. О методе усреднения для одного класса разностных уравнений // Ученые записки СГУ. –. –№ 5 (44). –C. 45 –.
Anashkin O. Stability Theorems for Nonlinear Functional Differential Equations // Mathematical and Computer Modelling. –. –Vol. 28, No. 2. –P. 25 –.
Anashkin O.V. On Stability of Functional Differential Equations, Containing a Small Parameter // Functional Differential Equations. –. –Vol. 6, No. 1-2. –P. 5–.
Анашкин О. В. О предельном переходе в сингулярно-возмущенной системе функционально-дифференциальных уравнений // Динамические системы. –Симферополь: Таврия, 2000. –Вып. 16. –C. 3–.
Анашкин О. В. Функции Ляпунова в задаче об экспоненциальной устойчивости // Ученые записки ТНУ. –. –№ 13 (52). –С. 63–.
Anashkin O. V. and Evstigneeva E. G. Some Remarks on Averaging for Difference Equations // Functional Differential Equations. –. –V. 7, No. 1-2. –P. 29–.
Анашкин О. В. Функционалы Ляпунова-Красовского в теории устойчивости дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием // Ученые записки ТНУ, сер. матем., мех., информат. и кибернет. –. –Т. 14, № 1. –С. 5–.
Анашкин О. В. Про метод функцiоналiв Ляпунова-Красовського // Вiсник Киiвського унiверситету. Серiя: Фiзико-математичнi науки. –. –№ 2 –С. 208–.
Анашкин О. В. Достаточные условия устойчивости для одного класса разностных уравнений // Динамические системы. –Симферополь: Таврия, 2001. –Вып. 17. –C. 46–.
Anashkin O. V. Lyapunov's Direct Method and Parametric Resonance in Linear Systems with Delay // Fields Institute Communications. –. –Vol. 29. –P. 11–.
Анашкин О. В. Функции Ляпунова в теории устойчивости нелинейных разностных уравнений с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. –. –Т. 38, №7. –C. 976–.
Анашкин О. В. О проблеме оптимальной стабилизации // 33 Inter. Wissenschaft. Kolloquium. –Heft 4, Vortragsreihen c1/c2. –Ilmenau: TH Ilmenau. Ilmenau (24–.10.1988, GDR). –. –P. 3–.
Anashkin O. V. On Stability in Singularly Perturbed Nonlinear Systems // Proc. of Inter. Conf. "Dynamical systems and related topics" (3–September 1990, Nagoya, Japan), Adv. Ser. Dyn. Syst. –Vol. 9. –Singapore: World Scientific. –. –P. 1–.
Anashkin O. Stability and Bifurcation Analysis by Generalized Lyapunov Functions // Proc. Inter. Conf. on Dynamical Systems and Chaos (23–May 1994, Tokyo, Japan) / Eds. N. Aoki, K. .Shiraiwa and Y.Takahashi. –Vol. 1. – Singapore: World Scientific. –. –P. 7 –.
Анашкін О. В. Розвиток другого методу Ляпунова в теорії стійкості диференціальних і функціонально-диференціальних рівнянь. —Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 -- диференціальні рівняння. –Київський національний університет імені Тараса Шевченка. –К., 2004.
У дисертації з позицій другого методу Ляпунова розглядаються наступні основні задачі: задача про -стійкість для звичайних диференціальних і функціонально-диференціальних рівнянь з інтегрально неперервною по малому параметру правою частиною і задача про стійкість за Ляпуновим для диференціальних і функціонально-диференціальних рівнянь, а також для різницевих рівнянь із запізненням. Для рівнянь зазначених типів отримані нові достатні умови стійкості, асимптотичної стійкості і нестійкості, що допускають немонотонні уздовж розв’язків функції Ляпунова. У такий спосіб істотно розширюється клас придатних функцій і функціоналів Ляпунова. Це спрощує їхню побудову для конкретних рівнянь. Отримані результати застосовуються для вивчення впливу запізнення на умови виникнення параметричного резонансу в лінійній системі.
Ключові слова: диференціальне рівняння, стійкість за Ляпуновим, функція Ляпунова, функціонал Ляпунова, функціонально-диференціальне рівняння запізнюючого типу, малий параметр, -стійкість, різницеве рівняння із запізненням, параметричний резонанс.
Анашкин О. В. Развитие второго метода Ляпунова в теории устойчивости дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений. —Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.02 –дифференциальные уравнения. —Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2004.
В диссертации рассмотрена задача об устойчивости динамического процесса, моделируемого обыкновенными дифференциальными, функционально-дифференциальными уравнениями или разностными уравнениями с запаздыванием. Второй метод Ляпунова является основным универсальным средством исследования устойчивости в таких задачах. Однако задача практического построения подходящей функции или функционала Ляпунова для конкретной системы может оказаться очень сложной.
В настоящей работе предложены новые подходы, на основе которых получены теоремы о достаточные условия устойчивости и неустойчивости, допускающие использование существенно более широкого класса подходящих функций или функционалов, чем известные в литературе теоремы второго метода Ляпунова. В результате для определенных типов систем дифференциальных уравнений удается упростить задачу исследования устойчивости.
Основные результаты диссертации состоят в следующем. Для обыкновенных дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, введены понятия -притяжения и асимптотической -устойчивости. Получены достаточные условия -устойчивости для уравнений с интегрально непрерывной по параметру правой частью. Для обыкновенных дифференциальных уравнений найдены достаточные условия -устойчивости с использованием скалярных и векторных функций Ляпунова. Получены условия -устойчивости по части переменных для уравнений с интегрально непрерывной по параметру правой частью.
Получены новые достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости и экспоненциальной устойчивости, допускающие функции Ляпунова со знакопеременными производными.
Предложен новый подход в исследовании устойчивости по Ляпунову для функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа, использующий особенности поведения траекторий уравнения в бесконечномерном пространстве состояний. На основе этого подхода, получены теоремы о достаточных условиях равномерной асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения дифференциального уравнения с запаздыванием, допускающие использование знакопеременных и немонотонных вдоль решений уравнения функционалов Ляпунова. Эти результаты используются для исследования зависимости от запаздывания условий возникновения параметрического резонанса в системе линейных уравнений. Показано, что путем изменения величины запаздывания можно подавлять зоны динамической неустойчивости и стабилизировать систему. Получены достаточные условия асимптотической -устойчивости и -неустойчивости дифференциального уравнения с запаздыванием, правая часть которого интегрально непрерывна по параметру .
Получены новые достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения разностного уравнения с запаздыванием, предложена новая схема обоснования принципа усреднения для разностных уравнений.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, устойчивость по Ляпунову, функция Ляпунова, функционал Ляпунова, функционально-дифференциальное уравнение запаздывающего типа, малый параметр, -устойчивость, разностное уравнение с запаздыванием, параметрический резонанс.
Anashkin O.V. Development of Lyapunov’s second method in the theory of stability for differential and functional differential equations. –Manuscript.
The thesis presented for a Doctor Degree in Physics and Mathematics on speciality 01.01.02 –differential equations. –Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2004.
In the framework of Lyapunov second method the following main problems are studied: the problem on -stability for ordinary differential equations and functional differential equations with integrally continuous right hand part with respect to parameter , the problem on Lyapunov stability for ordinary differential equations, functional differential equations and delay difference equations. New sufficient conditions on stability, asymptotic stability and instability are obtained. These conditions admit the usage of non-decresent Lyapunov functions and fuctionals. This new approach essencially enlarges a class of appropriate Lyapunov functions. It gives an opportunity to simplify a procedure of the Lyapunov function construction for some concrete equations. New results are applied for investigation of conditions of the parametric resonance appearance in some linear systems with delay.
Keywords: differential equation, Lyapunov stability, Lyapunov function, Lyapunov functional, retarded functional differential equation, small parameter, -stability, delay difference equation, parametric resonance.
2 Якщо тотожно, то.