Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
ТУШНИЦЬКИЙ Ігор Ярославович
КІЛЬЦЯ І ГРАТКИ
З ЛОКАЛЬНО ВИЗНАЧЕНИМИ СКРУТАМИ
01.01.06 - алгебра і теорія чисел
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ -- 1999
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана у Львівському державному університеті імені Івана Франка на кафедрі алгебри і топології.
Науковий керівник
Доктор фізико-математичних наук
Комарницький Микола Ярославович
Професор кафедри алгебри і топології
Львівського державного університету імені Івана Франка
Офіційні опоненти:
Доктор фізико-математичних наук
професор Кириченко Володимир Васильович
завідувач кафедри геометрії
Київського університету імені Тараса Шевченка
Доктор фізико-математичних наук
професор Кашу Олексій Іванович
провідний науковий співробітник сектору
алгебри і математичної логіки Інституту
Математики і Інформатики Академії Наук
Молдови
Провідна установа
Ужгородський державний університет
Захист відбудеться 20 грудня 1999 року о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001.18 Київського університету імені Тараса Шевченка за адресою: 252127, м.Київ - 127, проспект академіка Глушкова, 6, Київський університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).
Автореферат розіслано 18 листопада 1999 року.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради ______________ А.П. Петравчук
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальнiсть теми. До початку п'ятидесятих років нашого століття розвиток структурної теорії кілець і алгебр привів до появи великої кількості радикалів кілець і алгебр. Початок загальній теорії радикалів кілець і алгебр був покладений в 1953 році А.Г.Курошем. Одним з дуже важливих розділів загальної теорії радикалів є теорія скрутів. Більшість відомих радикалів і радикалів, що найбільш часто застосовуються в структурній теорії є скрутами. Початки теорії радикалів і скрутів в категоріях модулів були закладені П.Габріелем (1962). Її основні ідеї знайшли подальший розвиток в роботах Діксона (1966), Маранди (1964), Джанса (1965), Ю.М.Рябухіна (1964), Голдмана (1969), Моріти (1970-1972) і багатьох інших алгебраїстів.
В.Брендал і Е.Барбу (1983) досліджували, коли скрути однозначно визначаються своїми локалізаціями відносно максимальних ідеалів в категорії модулів. Вони показали, що скрути однозначно визначаються своїми локалізаціями відносно максимальних ідеалів в категорії R-модулів, тоді, коли кільце R є h-локальною областю і поставили задачу про знаходження критерію кілець з локально визначеними скрутами. В даній дисертації ця задача розв'язана, тобто знайдено необхідні і достатні умови того, щоб скрути однозначно визначались своїми локалізаціями відносно максимальних ідеалів. Також знайдено необхідні і достатні умови того, щоб напередскрути однозначно визначались своїми локалізаціями відносно максимальних ідеалів. Причому клас кілець, над якими розглядаються модулі значно ширший за клас комутативних областей цілісності, який розглядали В.Брендал і Е.Барбу, і включає дуо-кільця, які задовільняють деяку додаткову умову.
Поняття радикального фільтру, яке спочатку було введене для кілець, перенесено Ж.Жеоржеску (1985) на обмежені дистрибутивні гратки і там воно отримало назву топології гратки. Для граток було також введено поняття гратки дробів. Воно було введено А.Брезулеану і Р.Діаконеску в 1969 році. Використовуючи ці поняття, в дисертації знайдено необхідні і достатні умови, яким понинна задовільняти гратка щоб топології в ній однозначно визначались своїми локалізаціями відносно максимальних ідеалів гратки.
Висловлені вище міркування говорять про актуальність теми дисертації.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертацiї знаходиться в руслі основних дослiджень кафедри алгебри i топологiї Львiвського державного унiверситету.
Мета i задачi дослiдження. Метою дисертації є:
- встановлення критерію кілець, в яких скрути і напередскрути однозначно визначаються своїми локалізаціями відносно всіх максимальних ідеалів кільця;
- встановлення критерію кілець, в яких ідеали однозначно визначаються своїми локалізаціями відносно всіх максимальних ідеалів кільця;
- встановлення структури регулярних за Нейманом дуо-кілець із скінченною кількістю максимальних ідеалів;
встановлення критерію обмежених дистрибутивних граток, в яких топології і напередтопології однозначно визначаються своїми локалізаціями відносно всіх максимальних ідеалів гратки.
Наукова новизна одержаних результатiв. Усі одержані наукові результати є новими. В дисертації
- показано, що кільце є кільцем з локально визначеними скрутами тоді і тільки тоді, коли воно h-квазілокальне;
- показано, що кільце є кільцем з локально визначеними напередскрутами тоді і тільки тоді, коли воно h-локальне;
- знайдено умови, яким повинно задовільняти кільце, щоб воно було кільцем з локально визначеними ідеалами;
- для обмежених дистрибутивних граток доведено, що гратка є граткою з локально визначеними скрутами, якщо вона h-квазілокальна;
- доведено інші важливі результати.
Ці результати є подальшим розвитком досліджень таких авторів, як В.Брендала, Е.Барбу, Ж.Жеоржеску, А.Брезулеану та інших.
Практичне значення одержаних результатiв. Результати дисертації мають теоретичне значення. Вони можуть бути використані в теорії кілець і модулів, зокрема при вивченні скрутів в категорії модулів.
Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати, включені в дисертацію, одержано здобувачем особисто.
Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертації доповідались на міжнародних конференціях з алгебри, присвячених пам'яті А.І.Мальцева (1989), А.І.Ширшова (1991), Н.Чеботарьова (1994), на семінарі "Алгебра і логіка" Інституту Математики Сибірського відділення Академії Наук СРСР (1990), на загальноміських алгебраїчних семінарах м.Львова (1994–), семінарах кафедри алгебри і топології Львівського державного університету (1990–), на алгебраїчному семінарі Київського державного університету ім. Т.Шевченка (1999), на другій міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Київ-Вінниця) (1999).
Публiкацiї. Основні результати дисертації опубліковані в дев'яти роботах, з яких чотири надруковані у виданнях з переліку N1, затвердженого ВАК України. Всі результати опубліковані без співавторства.
Структура i об'єм роботи.
Дисертація складається із вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел і двох додатків. Перші два розділи містять по два параграфи. Обсяг дисертації -- 145 сторінок. Обсяг додатків -- 22 сторінки. Список використаних джерел включає 65 найменувань.
Автор виражає щиру подяку науковому керівникові - доктору фіз.-мат. наук, професору М.Я.Комарницькому за керівництво і поради при виконанні даної дисертаційної роботи.
ОСНОВНИЙ ЗМIСТ
Дисертаційна робота присвячена в основному дослідженню кілець і граток з локально визначеними скрутами.
У вступі обгрунтована актуальність дисертаційного дослідження автора, визначена мета і об'єкти дослідження.
В параграфі 1 розділу 1 доводиться, що дуо-кільце, яке задовільняє деяку додаткову умову є кільцем з локально визначеними скрутами тоді і тільки тоді, коли воно h-квазілокальне. Також показано, що кільце є кільцем з локально визначеними напередскрутами тоді і тільки тоді, коли воно є h-локальним.
Перейдемо до детальнішого викладу даних результатів. Сім'ю всіх максимальних ідеалів кільця R позначатимемо через mspec(R). В параграфі 1 будемо розглядати тільки ті дуо-кільця R з 10, що задовільняють умову:
M mspec(R)r RdR\M cR d' R\M: rd'=drc. ()
Наступна лема показує, що умова () може бути записана в дещо іншому вигляді.
Лема 1. Дуо-кільце R задовільняє умову () тоді і тільки тоді, коли воно задовільняє умову:
Mmspec(R) I - ідеал кільця R iI
dR\M i'Í d'R\M: id'=di' .
Таким чином, умова () еквівалентна умові Оре для кожного ідеалу I кільця R.
Для дуо-кілець, які задовільняють умову () існує кільце дробів відносно мультиплікативно замкненої множини R\M для будь-якого максимального ідеалу M кільця R. Це кільце дробів позначатимемо (RM,fM), або коротко RM, і називатимемо локалізацією кільця R відносно максимального ідеалу M.
Якщо I - ідеал кільця R, то через IM позначатимемо множину
{fM(i)fM(d)-1 / iI, dR\M}. Зауважимо, що для дуо-кільця R, що задовільняє умову (), множина IM є ідеалом в кільці RM.
Якщо F - радикальний (напередрадикальний) фільтр кільця R, то визначимо локалізацію FM радикального (напередрадикального) фільтру F відносно максимального ідеалу M наступним чином:
FM={IM / IF}.
Виникає питання: чи буде сім'я FM радикальним (напередрадикальним) фільтром кільця RM. Відповідь на це питання дає наступна лема.
Лема 2. Нехай R - дуо-кільце і M - довільний максимальний ідеал кільця R. Тоді в кільці R наступні умови еквівалентні:
1) З того, що F є радикальним (напередрадикальним) фільтром кільця R випливає, що FM є радикальним (напередрадикальним) фільтром кільця RM.
2) Кільце R задовільняє умову ().
Таким чином обмеження () на кільце R є цілком природнім і його не можна послабити. Причому зауважимо, що умова () не є наслідком того, що R є дуо-кільцем.
Сім'ю всіх ненульових ідеалів кільця R і їх всеможливих попарних добутків позначатимемо через R(R). Радикальний (напередрадикальний) фільтр F кільця R назвемо ненульовим, якщо виконується включення: FR(R).
Позначимо через G(R) сім'ю всіх ненульових радикальних фільтрів кільця R, а через G'(R) сім'ю всіх ненульових напередрадикальних фільтрів кільця R.
Розглянемо відображення
R : G(R)