Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
II. Функції
2.1 Поняття функції. Способи задання функцій
При розв’язуванні багатьох задач прикладного характеру або чисто математичних доводиться мати справу із співвідношеннями між різними величинами. Може трапитись так, що при певних умовах дві величини зв’язані так, що кожному значенню першої із них відповідає точно визначене значення другої. В такому випадку говорять, що друга величина є функцією першої.
Означення. Якщо кожному числу із даної множини за деяким правилом або законом ставиться у відповідність одне число , то говорять, що на множині задана функція (однозначна), яку записують
.
Дане означення було запропоновано М.І.Лобачевським і Діріхле1. Множина називається при цьому областю визначення або областю існування функції; змінна величина , що набуває всі значення з множини , називається незалежною змінною або аргументом. Згідно зі згаданим законом кожному ставиться у відповідність значення змінної , яку називають функцією або залежною змінною. Множина значень функції , називається областю її значень або областю зміни функції. Якщо ж кожному значенню змінної відповідає не одне, а декілька значень функції , то функція називається багатозначною.
Наприклад, .
Для позначення функцій можуть використовуватись інші символи: так само, як замість незалежної змінної можна писати . Іноді пишуть і т.д., тобто букви і т.д. означають і залежну змінну, і символ функціональної залежності від аргумента .
Якщо – задане дійсне число, то символ означає число . Говорять, що функція визначена в точці , а її значення є дійсним значенням.
Розглянемо способи, за якими може бути задана функція.
Аналітичний спосіб задання полягає в тому, що задається формула, в якій вказуються ті математичні дії над незалежною змінною, з допомогою яких ми знаходимо відповідне значення залежної змінної . Наприклад,
Відомо, що площа круга визначена для всіх додатних значень радіуса , але якщо розглядати функціональну залежність між величинами і за допомогою формули , то остання визначена на всій дійсній осі . Так само, якщо розглянути довжину стовпчика термометра , де довжина його при , – коефіцієнт лінійного розширення, значення температури. Така функція визначена для всіх значень температур в межах шкали термометра, але якщо розглянути , як функцію, що задається формулою , де незалежною
змінною є , то множиною визначення буде . В загальному випадку, якщо функція дійсної змінної задана деяким аналітичним виразом, то її областю визначення вважається множина її допустимих значень , для яких аналітичний вираз дає для дійсне значення.
Іноді буває, що відповідність між змінними і задається за допомогою кількох формул.
Приклад 1. Відома вже раніше в 1.3 функція
Приклад 2. Поїзд на перегоні між двома станціями рухається за таким режимом: за перші 3 хвилини рух з прискоренням 0,1 , досягнувши швидкості 64,8 км/год, далі рівномірно протягом години з цією швидкістю, і рівносповільнено протягом 3 хвилин до повної зупинки. Швидкість руху буде такою
Графічний спосіб задання функції полягає в тому, що залежність між і часто задається у вигляді графіка в прямокутній системі координат. Це множина точок з координатами . Іноді графіки функцій можуть бути накреслені за допомогою спеціальних записуючих приладів.
Завдання. Побудувати графіки функцій, наведених у прикладах 1 і 2.
Табличний спосіб задання функції полягає в тому, що функціональна залежність подається у вигляді таблиці значень. Наприклад, для функції використовують таблицю її значень. В науково-технічних дослідженнях експерементальні дані часто отримують у вигляді таблиць.
Описовий спосіб задання функції. Наприклад, так звана функція Діріхле, заданa на відрізку :
Область її значень складається із двох значень: 0 і 1.
Алгоритмічний спосіб, це коли функція задається у вигляді алгоритма, з наступною реалізацією для роботи на ЕОМ.
Якщо f(-1)=-8, f(0)=1, f(1)=2, f(2)=7.
8. Відомо, що . Знайти , .
9. Дано . Знайти .
10. Дана функція . Знайти: , , , , .
11. Дано . Знайти .
12. Дана функція . Знайти , , , , .
Визначити область існування таких функцій:
13. . 14. .
15. . 16. .
17. . 18. .
19. . 20. .
21. .
22. .
23. .
Відповіді:
Побудувати графік (по точках) таких функцій:
27.
2.2 Монотонні функції
Означення. Функцію , визначену на інтервалі , називають:
зростаючою, якщо із нерівності випливає нерівність ;
спадною, якщо із нерівності випливає нерівність ;
неспадною, якщо із ;
незростаючою, якщо із .
Кожну із таких функцій називають монотонною, а функції зростаючі і спадні називають строго монотонними.
Часто функція, задана на деякому інтервалі, не є монотонною, але цей весь інтервал можна розбити на такі окремі інтервали, що на кожному з них функція буде монотонною (див. рис. 5).
Y
Рис.5
На кожному з інтервалів , , – функція монотонна.
Зауважимо, що існують функції, які немонотонні ні на якому інтервалі, наприклад, функція Діріхле.
Приклади. Знайти проміжки зростання та спадання функцій, а також найбільше й найменше значення (якщо вони існують):
1. .
Розв’язання. Функція існує для всіх . Нехай , тоді , тобто функція - зростає (скорочено ).
2. .
Розв’язання. Дана функція не існує у точці , ії область існування складається з проміжків і .
На проміжку - спадає (скорочено ). Дійсно, нехай і , тоді віднявши від обох частин нерівності число 3, отримаємо, а для обернених величин знак нерівності змінюється на протилежний, тобто , а це означає , функція – спадає
Аналогічно для і маємо спадає
3.
Розв’язання. Виділимо у заданому виразі повний квадрат
тоді
Нехай і тоді Оскільки то із нерівності
тобто функція – зростає.
Аналогічно для і
функція спадає.
При , – найбільше значення функції.
Для поданих нижче функцій знайти проміжки зростання і спадання, а також найбільше і найменше значення (якщо вони існують):
1. 2.
3. 4. 5. 6.
Відповіді: 1. Спадає на , зростає на , – мінімум при х=2, f(2)=5 – min.
2. Зростає на , спадає на , f(-6)=4 – максимальне значення. 3. Зростає на і на . 4. Зростає на . 5. Спадає на . 6.Зростає на , Спадає на ,
При – максимум;
при – мінімум.
2.3 Складна функція
Якщо функція визначена на множині , з областю значень , а функція визначена на множині з областю значень , то функція
називається функцією від функції, або складною функцією, або суперпозицією функцій і , незалежна змінна, проміжна змінна. Областю визначення функції є область , а область зміни — множина . Можлива суперпозиція більшого числа функцій, наприклад
або .
Так можна розглядати як .
Приклади. Подати y як складну функцію від змінної х
1. у= 2z3 , z=tgu , u=.
Розв’язання. Поступово будемо виключати проміжні змінні, підставляючи u= у вираз для z , отримаємо z= tg. Вираз для z підставимо в у= 2z3. В результаті запишемо у=2 (tg)3 =2tg3.
2. , u= v3 , v=sinw, w=2x+3.
Розв’язання . Із v=sinw і w=2x+3 v=sin(2х+3). Підставимо останній вираз в u= v3 отримаємо
u= (sin(2x+3))3= sin3(2x+3) і, на кінець, =.
Подані нижче складні функції записати за допомогою проміжних аргументів
3. .
Розв’язання. Позначимо u=15х+7, тоді у=u3, або ж, змінивши порядок, у=u3, u=15х+7.
4. .
Розв’язання. y=arcsinu, u=5v , v=tgw, w=.
Подати змінну у як складну функцію від незалежної змінної х
Відповіді. 1. у=2. . 3. .
4. . 5.
6. у=, u=4-3x. 7. y=u4, u=tgw, w=. 8. y=lgv, v=tgx. 9. y=7u, u=v3, v=arcsinx. 10. y=, u=lgv, v=tgw, w=3x+9.
2.4 Обернена функція
Розглянемо монотонну функцію визначену на відрізку з областю значень , тобто . Припустимо спочатку, що зростаюча функція:
(див.рис.6)
Рис.6.
Найменше значення функція набуває тільки в одній точці, тобто при найменшому значенні аргумента , а найбільше
значення – теж тільки в одній точці, при найбільшому значенні . Всяке інше проміжне значення — в одній і тільки одній точці , що міститься між і . Отже, ми маємо взаємно однозначну відповідність між відрізком осі та відрізком осі . Правило, за яким кожному ставиться у відповідність єдине значення (причому таке, що ) є фукнкцією, визначеною для всіх . Отримана нова функція називається оберненою для функції . Позначимо її буквою , тоді . Таким чином, для всіх . Аналогічно для всіх ,
так що є функцією оберненою для . Очевидно, що теж зростаюча функція, її часто знаходять шляхом розв’язання рівняння відносно . Зауважимо, що графіками функцій і є одна і та ж крива. Функцією називають ще взаємно оберненою для функції .
Позначимо тепер аргумент оберненої функції через , а функцію через , тоді отримаємо в тій же системі координат новий графік .
Графіки функцій та оберненої до неї функції симетричні відносно бісектриси першого–третього координатних кутів. Для цього досить переконатись, що точка графіка і точка графіка , які відрізняються тільки порядком координат, симетричні відносно бісектриси .
Справді, знайдемо спочатку середину відрізка М1М2 (див.рис.7):
Рис. 7.
, точка належить бісектрисі . Крім того, трикутник - рівнобедрений (), а, значить, ОМ0 – є серединним перпендикуляром до відрізка М1М2. Отже, точки М1 і М2 симетричні відносно бісектриси у=х.
Цю властивість симетріі графіків функції та її оберненої використовують при побудові одного з графіків за відомим іншим.
Зауваження. Всі викладені міркування для монотонно зростаючої функції залишаються вірними для монотонно спадної функції.
Зауважимо ще, що, крім умови монотонності, для існування оберненої функції, потрібна ще умова її неперервності. Це важливе поняття математичного аналізу буде розглядатись пізніше. В даному випадку сприймаємо його інтуїтивною, як суцільність графіка функції, тобто коли ми рисуємо графік на заданому інтервалі, то ручку (олівець) не відриваємо від паперу, на якому зображена частина площини .
Сформулюємо без доведення теорему.
Теорема (про обернену функцію). Нехай – неперервна, строго монотонна (зростаюча або спадна) функція, визначена на відрізку . Нехай , далі, Тоді:
Приклад 1. Розглянемо функцію , яка зростає на
інтервалі . Вона має взаємно обернену функцію . Графіки обох функцій збігаються. При позначенні в останньому співвідношенні аргументу через , а функції через , отримаємо обернену функцію , графік якої симетричний з графіком відносно бісектриси (див. рис. 8).
Приклад 2. Функція визначена на інтервалі не є ні зростаючою, ні спадною на цьому інтервалі. Отже, згідно означень вона оберненої функції не має. Але якщо розглянемо проміжок , на якому зростає, то оберненою для неї буде функція . На проміжку функція – спадна оберненою для неї — функція (див. рис. 9).
Рис. 9
Сукупність двох однозначних функцій (рис. 9, б)
і можна розглядати, як двозначну функцію:
кожному відповідають два різні значення кореня квадратного і , квадрати яких дорівнюють , тобто і .
Приклади багатозначних функцій зустрічаються в тригонометрії.
Приклад 3. Функція зростає на відрізку шляхом симетричного відображення її графіка відносно бісектриси отримаємо графік функції . (див. рис. 10).
Рис.10
Областю визначення функції є відрізок , а область її значень відрізок , крім того, .
Можна знаходити обернені функції для на інших відрізках, спадання і зростання , в загальному випадку .Кожна з таких обернених функцій визначена на відрізку з областями значень відповідно,.
Сукупність цих обернених функцій дає багатозначну функцію, яка позначається , і, як відомо з тригонометрії, виражається через головне значення за формулою:
Рекомендуємо шляхом симетрії відносно бисектриси побудувати графіки функцій .
Отже , із загальних викладок і розглянутих прикладів 1-3 можна зробити такий висновок : для того щоб знайти обернену функцію для заданої функції , яка задовольняє умовам теореми про обернену функцію необхідно:
1) розв’язати рівняння відносно змінної х , отримаємо взаємно обернену функцію .
2) у співвідношенні позначити через у функцію, а аргумент через х , отримаємо обернену функцію .
3) графіки функції і оберненої до неї функції - симетричні відносно бісектриси у=х.
Для поданих нижче функцій знайти обернені і побудувати відповідні графіки:
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. .
Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. .
5. . 6. .
2.5 Основні елементарні функції
Розглянемо функції, які називаються основними (простими) елементарними.
І. Степенева функція: .
1. Якщо - натуральне число, то визначена для . В окремих випадках графіки на рис.11.
Рис.12.
визначена для
При –цілому парному графік симетричний відносно вісі , при – цілому непарному графік симетричний відносно
центра .
3. Якщо раціональне число, то визначена для Якщо раціональне, то На рис.13 наведені графіки для
Рис. 13
В загальному випадку функція при довільному дійсному визначена для
ІІ. Показникова функція: (рис. 14)
С
Рис.14
При – зростає, при – спадає.
ІІІ. Логарифмічна функція: є оберненою для функції . При –зростає, при – спадає. Графік логарифмічної функції симетричний відносно бісектриси з графіком відповідної оберненої функції (див. рис. 15).
ІV. Тригонометричні функції:
, (див. рис. 16)
Рис.16
(див. рис.17)
Рис. 17
V. Обернені тригонометричні функції:
(див. рис. 18, 19).
Рис. 18
Рис. 19
(Рис. 20)
Рис. 20
2.6 Елементарні функції
Функції, які утворені із основних елементарних функцій за допомогою застосування скінченного числа раз операцій додавання, віднімання, множення, діленя і функції від функції, називаються елементарними функціями.
Наприклад, функції
елементарними функціями.
Але функція
неелементарна.
До елементарних функцій відносяться, наприклад, многочлени або ще цілі раціональні функції, або поліноми
де сталі числа, що називаються коефіцієнтами,
змінна величина, ціле невід’ємне число – порядок многочлена.
Область визначення .
Дробово раціональні функції – це відношення двох многочленів
Раціональна функція визначена для всіх дійсних , крім тих, які перетворюють знаменник в нуль.
Нагадаємо деякі способи побудування графіків функції, які розглядались при вивченні елементарної математики:
побудова по точках;
дій над графіками (додавання, віднімання, множення і ділення графіків);
перетворення графіків, яке включає паралельне перенесення, ростягнення або стиснення в заданих напрямках, дзеркальне відображення.
Розглянемо правила простих перетвореннь графіків.
Графік функції можна отримати із графіка функції шляхом паралельного зміщення в напрямку осі на одиниць вверх якщо і вниз, якщо .
Графік функції можна отримати із графіка функції шляхом паралельного зміщення в напрямку осі на одиниць вправо при і вліво при .
Із графіка функції можна отримати графік функції шляхом ростягнення першого у раз в напрямку осі при і стисненням при , де .
Графік функції () можна отримати із графіка стисненням у раз вздовж осі при і ростягненням при .
Графік функції можна отримати із графіка із графіка функції дзеркальним (симетричним) відображенням відносно осі .
Графік функції можна побудувати за допомогою дзеркального (симетричного) відображенням графіка відносно осі .
Графік функції можна отримати із графіка функції так: та частина графіка функції , яка лежить вище осі , залишається без зміни, а та частина графіка, яка лежить нижче , відображається відносно симетрично вверх (див. параграф 1.3).
Графік функції можна отримати із графіка функції так: для частина графіка залишається без зміни, а тоді симетрично відображається відносно осі .
Приклади для самостійного розв’язання.
Користуючись правилами перетворення графіків побудувати графіки таких функцій:
|
1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) . |
|
|
2. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
|
|
|
3. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
|
|
|
4. а) ; б) ; в) ; г) . |
1 М.І.Лобачевський (1792 – 1856) – російський математик, творець неевклідової геометрії.
Дирихле (Діріхле) (1805 – 1859) – німецький математик.
PAGE 42