Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Московский Авиационный Институт
(национальный исследовательский университет)
Курсовая работа
по математическому анализу
Выполнил: Морозов Н.О. ГО-103Б
Проверил(а): Короткова Т.И.
Оглавление:
I. Решение:
1. Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса. (стр. 3-6)
2. Применение определенного интеграла для решения экономических задач.(стр. 7)
3. Применение систем дифференциальных уравнений для описания процесса ценообразования. (стр. 8-10)
4. Определение оптимального объема выпуска продукции (стр. 11-12)
5. Применение дифференциальных уравнений в модели формирования равновесной цены. (стр. 13-15)
6. Применение двойного интеграла для расчета ресурсов территории.(16-17)
II.Выводы (стр. 18)
1. Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса
Постановка задачи
Пусть в производстве товаров участвуют три отрасли. Конечный спрос на продукцию i-й отрасли равен fi условным единицам. Коэффициенты прямых затрат aij равны объему продукции i-й отрасли, необходимой для производства единицы продукции j-й отрасли. Значения коэффициентов прямых затрат aij и конечный спрос fi на продукцию каждой отрасли приведены в соответствующей таблице:
|
A |
F |
||
|
0,8 |
0,1 |
0,1 |
0 |
|
0,2 |
0,2 |
0,2 |
2 |
|
0,5 |
0,1 |
0,4 |
7 |
Требуется:
1) определить, в каком объеме нужно выпускать продукцию для удовлетворения спроса, решив систему линейных уравнений методом Гаусса;
2) исследовать, как изменится выпуск продукции, решая уравнение как матричное, если спрос на вторую продукцию увеличился на 73%;
3) исследовать, как изменится выпуск продукции, решая уравнение как матричное, если спрос на вторую продукцию уменьшится на 25%.
Алгоритм решения
1. Записать модель межотраслевого баланса Леонтьева в виде , или .
2. Решить систему методом Гаусса.
2.1. Привести расширенную матрицу к ступенчатому виду методом элементарных преобразований.
2.2. Проверить совместность и определенность системы.
2.3. Если система совместна и определенна, определить решение.
3. Найти матричный мультипликатор Леонтьева .
4.1. Рассчитать измененные элементы вектора F, получить вектор F1.
4.2. Найти объемы выпускаемой продукции по формуле
5.1 Рассчитать измененные элементы вектора F, получить вектор F2.
5.2. Найти объемы выпускаемой продукции по формуле
Решение
1. Запишем модель межотраслевого баланса Леонтьева в виде , или .
2. Решим систему методом Гаусса. Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду методом элементарных преобразований:
Определим ранги матриц: . Следовательно, по теореме Кронекера-Капелли система совместна и имеет единственное решение. Запишем это решение. Для этого выпишем третье уравнение: 0,4x3=16. Отсюда х3=40. Выпишем второе уравнение: 0,1х2-0,1х3=-2, подставим вычисленное значение х3 и найдем х2=20. Выпишем первое уравнение: 0,1х1-0,05х2-0,05х3=0 и найдем х1=30.
Отсюда получим решение системы: .
3. Найдем матричный мультипликатор Леонтьева :
Алгебраические дополнения
= 0,8 • 0,6-(-0,2 • (-0,1)) = 0,46
= -(-0,1 • 0,6-(-0,1 • (-0,1))) = 0,07
= -0,1 • (-0,2)-(-0,1 • 0,8) = 0,1
= -(-0,2 • 0,6-(-0,2 • (-0,5))) = 0,22
= 0,2 • 0,6-(-0,1 • (-0,5)) = 0,07
= -(0,2 • (-0,2)-(-0,1 • (-0,2))) = 0,06
= -0,2 • (-0,1)-0,8 • (-0,5) = 0,42
= -(0,2 • (-0,1)-(-0,1 • (-0,5))) = 0,07
= 0,2 • 0,8-(-0,1 • (-0,2)) = 0,14
Присоединенная матрица:
4. Предположим, что спрос на продукцию 2-й отрасли увеличился на 73%. Тогда второй элемент столбца конечного спроса F станет равным 2+2*0,73=12,11. Решим задачу нахождения объема продукции при увеличении конечного спроса на продукцию второй отрасли. Вектор конечного спроса будет иметь вид . Найдем объемы выпускаемой продукции по формуле :
Вывод: увеличение спроса на продукцию второй отрасли на 73% повлекло за собой увеличение объема выпуска продукции первой отрасли на и третьей отрасли на .
5. Предположим, что спрос на продукцию 2-й второй отрасли уменьшился на 25%. Тогда второй элемент столбца конечного спроса F станет равным 2-2*0,25=1,5. Решим задачу нахождения объема продукции при увеличении конечного спроса на продукцию второй отрасли. Вектор конечного спроса будет иметь вид . Найдем объемы выпускаемой продукции по формуле :
Вывод: уменьшение спроса на продукцию второй отрасли на 25% повлекло за собой уменьшение объема выпуска продукции первой отрасли на и третьей отрасли на .
2. Применение определенного интеграла для решения экономических задач
Постановка задачи
Найти объем продукции, произведенной за период [0;23], если функция Кобба-Дугласа имеет вид .
Алгоритм решения
1. Составить определенный интеграл, который при заданной функции Кобба-Дугласа описывает объем продукции, выпущенный за T=23 года.
2. Вычислить интеграл методом интегрирования по частям.
Решение
1. Составим определенный интеграл , который при заданной функции Кобба-Дугласа описывает объем продукции, выпущенный за T=23 года.
2. Для вычисления интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям:
Тогда:
3. Итак, объем продукции, произведенный за 23 года, составит 15870 единиц.
3. Применение систем дифференциальных уравнений для описания процесса ценообразования
Постановка задачи
Пусть процесс ценообразования описывается следующими уравнениями:
,
где x1, x2 – цены на товары.
В начальный момент времени цены на товары составляют:
x1(0)=23 условные единицы; х2(0)=25 условных единиц.
Определить зависимость цен на товары от времени в будущем.
Алгоритм решения
1. Найти общее решение соответствующей однородной системы.
1.1. Составить характеристическое уравнение и найти его корни.
1.2. Найти собственные векторы матрицы, соответствующие найденным собственным значениям.
2. Найти частное решение неоднородной системы.
2.1. Представить частное решение в виде х1=A1, x2=A2.
2.2. Подставить эти значения в исходную систему и найти частное решение неоднородной системы.
3. Записать общее решение неоднородной системы.
4. С учетом начальных условий получить решение задачи Коши.
Решение
1. Найдем общее решение соответствующей однородной системы.
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни.
Найдем соответствующие собственные вектора матрицы.
Общее решение однородной системы:
2. Найдем частное решение неоднородной системы:
х1=A1, x2=A2
3. Запишем общее решение неоднородной системы:
4. Запишем решение задачи Коши.
Итак, зависимость цен от времени на товары в будущем выражается следующим образом:
4. Определение оптимального объема выпуска продукции
Постановка задачи
Фирма имеет два филиала, затраты на производство в которых описываются функциями:
соответственно, где х и y – объемы производимой продукции.
Общий спрос на товар фирмы определяется ценой p за единицу продукции, зависящей от объема выпускаемой продукции z=x+y, и определяется функцией z=3800-15p.
Тогда прибыль фирмы задается функцией
.
Требуется найти:
1) оптимальный объем выпуска продукции для производителя;
2) оптимальную цену;
3) распределение производимой продукции по филиалам.
Алгоритм решения
1.1. Выразить цену как функцию от объемов выпускаемой продукции.
1.2. Подставить это выражение в функцию прибыли.
1.3. Найти экстремум функции прибыли.
2. Найти оптимальную цену p.
3. Найти оптимальный общий объем продукции.
Решение
1. Решим систему уравнений
и найдем цену товара как функцию от объемов выпускаемой продукции:
Подставим это выражение в функцию прибыли:
Найдем экстремум функции . Для этого:
Так как , то в точке с координатами функция имеет экстремум. Поскольку , то - точка максимума.
Итак, фирма в первом филиале должна производить 530,37 единиц продукции, а во втором 268,97 единиц.
2. Найдем оптимальную цену p:
(ден.ед.)
3. Найдем оптимальный общий объем:
(ед.)
5 Применение дифференциальных уравнений в модели формирования равновесной цены
Постановка задачи
Функция спроса:
Функция предложения:
Начальное значение функции цены: p0=5.
Требуется:
1) составить дифференциальное уравнение относительно равновесной цены p;
2) найти решение задачи Коши, если ;
3) найти , указать тенденцию изменения равновесной цены при ;
4) построить график зависимости равновесной цены от времени.
Алгоритм решения
1. Составить дифференциальное уравнение относительно равновесной цены p.
2. Решить полученное уравнение (найти общее решение и решение задачи Коши).
3. Найти .
4. Построить график интегральной кривой.
Решение
1. Для того чтобы спрос соответствовал предложению, необходимо выполнение равенства:
Отсюда получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно равновесной цены p:
2. Решим дифференциальное уравнение, разделяя переменные:
,
и найдем p(t) – общее решение дифференциального уравнения:
Пусть в начальный момент времени цена составляла 5 ден.ед., тогда, решая задачу Коши с начальным условием p(0)=5, находим :
Получим частное решение, характеризующее зависимость цены p от времени t:
.
Таким образом, если требовать, чтобы между спросом и предложением все время сохранялось равновесие, необходимо, чтобы цена изменялась в соответствии с формулой:
3. Найдем . Таким образом, равновесная цена растет и имеет место инфляция.
4. Построим график интегральной кривой и оценим тенденцию цены при . График начинается в точке на вертикальной оси, определяемой начальным значением , и возрастает.
Рис.1. Зависимость равновесной цены от времени
6. Применение двойного интеграла для расчета ресурсов территории
Постановка задачи
Известно, что средняя урожайность пшеницы в мире равна 22,5 ц/га. На Земле есть территории с урожайностью как меньшей 10ц/га, так и превышающие 70 ц/га.
Плотность распределения урожайности по засеянной площади в некотором районе Российской Федерации в 2009 году задается эмпирической формулой ц/га (центнеров на гектар), а засеянная зерновыми территория имеет форму прямоугольника, в котором 0≤x≤15 км, 0≤y≤38 км.
Требуется найти:
1) урожай пшеницы, собранный в этом районе РФ в 2009 году;
2) среднюю урожайность пшеницы в этом районе;
3) процентные доли средней урожайности района относительно каждой средней урожайности, приведенной в условиях задания.
Алгоритм решения
1. Перейти к единым единицам измерения.
2. Выразить урожай с помощью двойного интеграла.
3. Вычислить значение интеграла, перейдя к повторному.
4. Найти площадь участка.
5. Найти среднюю урожайность пшеницы в этом районе.
6. Вычислить процентные доли средней урожайности района относительно каждой средней урожайности, приведенной в условиях задания.
Решение
1. Изменим пределы изменения х и y, перейдя к сотням метров: 0≤x≤150 сотен метров, 0≤y≤380 сотен метров.
2. Собранный урожай составит:
3. Перейдем от двойного интеграла к повторному:
4. Площадь засеянной территории: S=150*380=57000 (га)
5. Средняя урожайность: 5668650/57000=99.45 ц/га
6. Относительно средней урожайности в мире: 99.45/22.5*100%=442%. Относительно низкой урожайности: 99.45/10*100%=994.5%. Относительно высокой урожайности: 99.45/70*100%=142.07%.
Таким образом, в данном районе очень высокая урожайность.
Выводы
При выполнении курсовой работы по математическому анализу я научился применять системы алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса, применять определенный интеграл для решения экономических задач (в частности, для определения объема выпуска за период), применять системы дифференциальных уравнений для описания процесса ценообразования, определять оптимальный объем выпуска продукции, применять дифференциальные уравнения в модели формирования равновесной цены, а также применять двойной интеграл для расчета ресурсов территории.