Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Введение
Процессы, происходящие в движущейся жидкости, имеют очень важное значение для самых различных областей техники и представляют большой практический и теоретический интерес. В течение многих десятилетий они являются предметом настойчивого и систематического изучения. Развитие энергетики, повышение уровня безопасности (самозащищенности) энергетических установок предполагает все более широкое использование систем, основанных на естественной циркуляции рабочего тела в каналах. Указанный режим работы интересен и как штатный режим функционирования установки, и как способ обеспечения расхолаживания в случае отказа циркуляционного оборудования. Сложность процессов теплоотвода, нестационарный характер этих процессов при естественной циркуляции требует проведения более точных гидравлических расчетов. Кроме того точный учёт потерь энергии позволит найти экономически целесообразное инженерное решение, обладающее достаточной степенью совершенства. Для этого необходимо иметь ясное представление о механизме движения жидкости.
Потери энергии (уменьшение гидравлического напора) можно наблюдать в движущейся жидкости не только на сравнительно длинных участках, но и на коротких. В одних случаях потери напора распределяются (иногда равномерно) по длине трубопровода - это линейные потери; в других - они сосредоточены на очень коротких участках, длиной которых можно пренебречь, - на так называемых местных гидравлических сопротивлениях: вентили, всевозможные закругления, сужения, расширения и т.е. на участках канала где поток претерпевает деформацию. Источником потерь во всех случаях является вязкость жидкости.
Следует заметить, что потери напора и по длине и в местных гидравлических сопротивлениях существенным образом зависят от так называемого режима движения жидкости.
Постановка задачи
На сегодняшний день считается, что определение гидравлического сопротивления возможно лишь в установившемся движении. Для неустановившегося движения не существует способов его определения, и поэтому в гидравлике принято результаты исследований сопротивлений установившегося движения переносить на неустановившееся движение.
Режимы движения жидкости
При наблюдении за движением жидкости в трубах и каналах, можно заметить, что в одном случае жидкость сохраняет определенный строй своих частиц, а в других - перемещаются бессистемно. Исчерпывающие опыты по этому вопросу были проведены Рейнольдсом в 1883 г. На рисунке 1 изображена установка, аналогичная той, на которой Рейнольдс производил свои опыты.
Рисунок 1 - Схема установки Рейнольдса
Установка состоит из резервуара А с водой, от которого отходит стеклянная труба В с краном С на конце, и сосуда D с водным раствором краски, которая может по трубке вводиться тонкой струйкой внутрь стеклянной трубы В.
Первый случай движения жидкости. Если немного приоткрыть кран С и дать возможность воде протекать в трубе с небольшой скоростью, а затем с помощью крана Е впустить краску в поток воды, то увидим, что введенная в трубу краска не будет перемешиваться с потоком воды. Струйка краски будет отчетливо видимой вдоль всей стеклянной трубы, что указывает на слоистый характер течения жидкости и на отсутствие перемешивания. Если при этом к трубе подсоединить пьезометр или трубку Пито, то они покажут неизменность давления и скорости по времени. Такой режим движения называется ламинарный.
Второй случай движения жидкости. При постепенном увеличении скорости течения воды в трубе путем открытия крана С картина течения вначале не меняется, но затем при определенной скорости течения наступает быстрое ее изменение. Струйка краски по выходе из трубки начинает колебаться, затем размывается и перемешивается с потоком воды, причем становятся заметными вихреобразования и вращательное движение жидкости. Пьезометр и трубка Пито при этом покажут непрерывные пульсации давления и скорости в потоке воды. Такое течение называется турбулентным.
Если уменьшить скорость потока, то восстановится ламинарное течение.
Итак, ламинарным называется слоистое течение без перемешивания частиц жидкости и без пульсации скорости и давления. При ламинарном течении жидкости в прямой трубе постоянного сечения все линии тока направлены параллельно оси трубы, при этом отсутствуют поперечные перемещения частиц жидкости.
Турбулентным называется течение, сопровождающееся интенсивным перемешиванием жидкости с пульсациями скоростей и давлений. Наряду с основным продольным перемещением жидкости наблюдаются поперечные перемещения и вращательные движения отдельных объемов жидкости. Переход от ламинарного режима к турбулентному наблюдается при определенной скорости движения жидкости. Эта скорость называется критической υ кр.
Значение этой скорости прямо пропорционально кинематической вязкости жидкости и обратно пропорционально диаметру трубы.
где ν - кинематическая вязкость;
k - безразмерный коэффициент;
d - внутренний диаметр трубы.
Входящий в эту формулу безразмерный коэффициент k, одинаков для всех жидкостей и газов, а также для любых диаметров труб. Этот коэффициент называется критическим числом Рейнольдса Reкр и определяется следующим образом:
Критерий Рейнольдса представляет собой меру отношения инерционной силы к силе внутреннего трения. Его, несомненно, надо считать важнейшей характеристикой исследуемого процесса, так как от соотношения между инерционной силой и силой внутреннего трения зависят самые основные, наиболее глубокие свойства потока жидкости.
Движущаяся жидкость находиться под воздействием возмущений, которые проникают в поток из вне и мешают развитию упорядоченных покойных форм течения жидкости. Эти возмущения исходят от стенок, ограничивающих систему. Вносятся они и самим потоком, если он испытывал возмущающие воздействия предварительно, перед вступлением в систему. Данные возмущения должны рассматриваться как явления случайного происхождения, полностью внешние по отношению к потоку и никак не связанные с механизмом процесса. Однако эффекты, возникающие в жидкости под влиянием возмущений, развиваются вполне закономерно и в конечном счете обусловлены именно механизмом процесса.
Силы внутреннего трения оказывают на течение упорядоченное действие, стремясь привести его в возможно более полное соответствие с руслом потока. Они противодействуют всяким проявлениям возмущений, которые нарушают простые формы течения, подчиненные геометрии русла. Их, следовательно, надо рассматривать как фактор, парализующий влияние возмущений. Противоположную роль играют инерционные силы. Любые нарушения упорядоченной формы течения способствуют возникновению инерционных сил, которые, в свою очередь, действуют на поток возмущающим образом, поддерживая и усиливая неупорядоченность движения. Следовательно, инерционные силы воспринимаемые потоком как фактор, усиливающий влияние возмущений.
Таким образом, возмущения, проникающие в поток, попадают под воздействие двух противоположно направленных влияний, из которых одно стремиться их подавить, а другое усилить. Дальнейшее развитие процесса зависит от интенсивности этих влияний. Если преобладают силы трения, то возмущения не получают развития, локализуются, затухают, и их надо расценивать как не очень существенные местные эффекты, которые не могут оказать влияние на течение в целом. Если преобладают инерционные силы, то возмущения нарастают, распространяются и охватывают всю жидкость, вызывая коренное изменение характера течения. Мы приходим, следовательно, к заключению, что в одних и тех же внешних условиях (под действием одних и тех же внешних возмущений) течение может реализоваться в двух глубоко различных формах.
Первая из них отличается упорядоченностью и большой простотой свойств. Движение жидкости в целом и перемещение любых ее сколь угодно малых частей находятся в полном соотношении друг с другом. Если поток стационарен, то условия в каждой его точке остаются строго неизменными. Конфигурация стенок определяет направление течения в любой точке потока в любой момент времени.
В противоположность этому для второй формы течения характерна высокая степень неупорядоченности, связанная с большой сложностью свойств. Соответственно картина движения жидкости в целом далеко не определяет характера перемещения ее отдельных элементов. Видимая стационарность потока (которая проявляется, например, в форме постоянства расхода) не исключает непрерывного изменения условий в каждой его точке, и это обнаруживается в том, что величины, определяющие состояние движущей жидкости, непрерывно пульсируют у своих средних значений. Течение в целом ориентируется вдоль стенок. Но вместе с тем в различных точках потока в данный момент времени и в данной точке в разные моменты могут иметь место движения самого различного направления.
Это разнообразие свойств, на первый взгляд взаимно противоречивых и несовместимых друг с другом, создает большие трудности при рассмотрении процесса и приводит к сложным физическим представлениям. Современные исследования основаны на понимании реального течения как результата синтеза двух течений – главного стационарного и пульсационного, которое накладывается на основное течение и сообщает всему процессу столь характерную двойственность свойств. Главное течение характеризуется полями средних значений всех величин. Актуальное (истенное мгновенное) значение любой величины рассматривается как сумма такого рода средней и пульсационной составляющей. Что касается физической природы пульсационного течения, то мы не располагаем его законченной моделью [2]. Во всяком случае возникновение пульсаций связывается с движением конечных масс жидкости (в виде индивидуальных жидких комков, называемых молями или, реже, глобулами), которые перемещаются поперек основного потока (т.е. между областями, характеризующимися различными значениями параметров жидкости). Законы движения жидких комков (условия их возникновения и разрушения, формы взаимодействия с основным потоком, их собственные размеры, длина проходимого пути) во многих отношениях еще не ясны.
Таким образом, различия, присущие двум возможным формам течения, очень существенны и касаются самых глубоких свойств процесса. Эти свойства течения противопоставляются друг другу как режимы ламинарный (латинское lamina – полоса) и турбулентный (turbulentus – возмущенный). Вопрос о том, какой именно режим – ламинарный или турбулентный – должен установиться в данных конкретных условиях, решается, очевидно, в зависимости от относительной интенсивности действия инерционных сил и сил внутреннего трения.
Итак, особая роль отношения инерционной силы к силе внутреннего трения в достаточной степени выяснена. Мы распологаем мерой этого отношения в идее критерия подобия Re. Следовательно, ( по крайней мере в принципе) возможно связать задачу о режиме течения с определением численного значения этого значения.
Характеризуя критерий Рейнольдса как меру отношения инерционной силы к силе внутреннего трения не говорит о том, что численное значение Re определяет собой это отношение, являясь величиной, строго ему пропорциональной. Такое понимание роли Re как количественной характеристики процесса было бы не только не правильным, но и физически бессмысленным, так как в различных точках потока отношение сил может быть существенно различным. Мы должны быть готовы к тому, что в известных условиях, когда течение развивается под влиянием сильных внешних воздействий, искажающих его естественные черты, обусловленные внутренним механизмом процесса, или когда, наоборот, эти воздействия искусственно ослаблены, вообще теряется возможность каких либо заключений о свойствах течения на основании значений Re.
Итак, имеет место следующая зависимость свойств потока от критерия Re. Чем меньше значение Re, тем отчетливее выражено преобладающее влияние сил трения. Весь мА малым значениям Re отвечает область высокой степени устойчивости ламинарного режима, так как любое возмущение, проникающее в поток, локализуется и уничтожается. С возрастанием Re условия в этом смысле становятся менее благоприятными. При некотором значении Re, которое принято называть критическим, ламинарный режим теряет устойчивость – создаются условия, благоприятствующие переходу к турбулентной форме течения. Большим значениям Re отвечает область развитого турбулентного течения.
Разумеется, понятие «большое» соответственно «малое» значение числа Re являются полностью условными и зависят от множества геометрических, физических и др свойств жидкости. Найти какие-либо основания для определения критического значения критерия Рейнольдса Re= Reкр непосредственно в том факте, что этот критерий является мерой отношения инерционной силы к силе трения, невозможно. Критические значения Reкр для различных конкретных случаев определяется из опыта. (Определить критическое значение Reкр на основании чисто теоретических соображений пока не удалось ни для одного случая, хотя в принципе такая возможность и не исключена.) так, например, для простейшего случая движения по прямой круглой трубе на основании многочисленных опытов получено весьма надежное значение Reкр=2300 (причем в качестве характерного размера в критерий вводиться диаметр трубы, а в качестве параметрического значения скорости – средняя расходная скорость). Это значит, что в рассматриваемом случае (течение по прямой круглой трубе) при значениях Re меньше, чем 2300, ламинарный режим является устойчивым.
Из всего изложенного следует, что критерий Рейнольдса служит количественным признаком, по которому можно судить о режиме течения. Вся важность этого заключается станет понятна, если примем во внимание, что при изменении режима течения существенным образом изменяются все количественные закономерности процесса, причем корни этой глубокой перестройки надо искать в изменении всего физического механизма развивающихся в потоке явлений. В конечном счете эти явления обусловлены перемещением элементов жидкости в направлении, перпендикулярном стенке. Именно такое перемещение приводит к взаимодействию потока с твердым телом, так как элементы жидкости, перемещающиеся к стенке или от стенки, служат носителями свойств, существенных для процесса.
При ламинарном течении, которое строго согласуется с руслом потока, жидкость во всех своих частях движется вдоль стенок. Поэтому взаимодействие потока с твердым телом может осуществляться только через явления молекулярной природы (перемещение молекул в результате теплового движения, распространение колебаний молекулярной решетки). В отличии от этого в условиях турбулентного режима, для которого характерна неупорядоченность течения, происходит перемещение жидкости (именно конечных ее масс, а не отдельных молекул) по всем направлениям, в частности и в направлении, перпендикулярным стенкам. Следовательно, при турбулентном течении, взаимодействие между жидкостью и твердым телом существенным образом обусловлено самим процессом движения, так как возникают макроскопические, молярные формы переноса, несоизмеримые по своей интенсивности с молекулярными.
Таким образом, малым значениям критерия Re отвечает область молекулярного механизма взаимодействия потока с телом. При переходе через критическое значение Re включается несравненно более мощный молярный механизм и интенсивность всех явлений переноса в сильнейшей степени возрастает.
Режим движения жидкости напрямую влияет на степень гидравлического сопротивления трубопроводов.
Стационарное движение несжимаемой жидкости в трубе. Стабилизация течения. Законы распределения скорости и гидравлического сопротивления. Роль критерия Рейнольдса.
Задачу о движении жидкости по прямой круглой трубе естественно исследовать в цилиндрических координатах. Поэтому введем координаты: х - расстояние по оси трубы, отсчитываемое от входного сечения; r - расстояние от оси трубы в направлении, нормальном к ней; - угол поворота в плоскости, перпендикулярной к оси, отсчитываемый от заданного (например, вертикального) направления. В качестве характерного размера естественно принять радиус трубы R. Весьма часто течение можно считать практически осесимметричпым и, следовательно, угол выпадает из числа аргументов. В таком случае независимыми переменными обобщенных уравнений являются только относительные координаты x/R и r/R . Кроме того, в число аргументов этих уравнений надо ввести критерий подобия Re, который для внутренней задачи обычно применяется в форме Re =ω0d/ν, где d=2R и w0 = w - средняя по сечению скорость. Что касается параметрических критериев, то мы рассматриваем задачу в такой постановке, при которой для каждой из величин условием задачи определяется только одно характерное значение, существенное для процесса. Правда, всегда может быть составлен параметрический критерии геометрической природы в виде отношения L/R, где L - длина трубы. Однако это отношение не может являться аргументом обобщенных уравнений, так как длина трубы как таковая, конечно, не оказывает влияния на распределение скорости или давления в потоке. Ее следует учитывать только в том смысле, что всегда должно удовлетворяться очевидное требование x≤L. Это требование, ограничивающее развитие процесса по длине трубы, фактически существенно только в случае коротких труб. Будем считать, что длина трубы достаточна для полного развития процесса. Мы полагаем, следовательно, что критерий - принимает достаточно большие значения и нет надобности его учитывать в какой бы то ни было форме.
Таким образом, уравнение для поля скорости принимает вид
(3.29)
Характер распределения скорости в пространстве (и соответственно вид функции F) зависит от граничных условий (начальные условия, очевидно, отпадают, так как рассматривается стационарное течение). Границами системы, на которых кинематические условия известны по постановке задачи, являются входное сечение и внутренняя поверхность трубы. При этом условия на стенках трубы предопределены самой природой процесса, так как непосредственно у поверхности тела, омываемого жидкостью, скорость течения всегда равна нулю (это не имеет места только в случае движения газа при достаточно значительном разрежении, когда длина свободного пробега молекулы становится соизмеримой с диаметром трубы). Следовательно, одно из граничных условий записывается в виде
В отличие от этого, распределение скорости во входном сечении может быть задано совершенно произвольно. Рассмотрим простейший случай постоянной скорости на входе, которому соответствует второе граничное условие
Итак, во всех точках входного сечения скорость одинакова. По мере продвижения жидкости вглубь трубы (т. е. при возрастании x/R) характер распределения скорости по сечению трубы изменяется (рисунок 2). Элементы жидкости, находящиеся в непосредственной близости от стенок трубы, испытывают со стороны ее поверхности тормозящее действие. Это действие постепенно распространяется на все большую массу жидкости. Толщина пристенной области, в которой проявляется влияние поверхности, возрастает. Эта область носит название пограничного слоя.
Рисунок 2 – Характер изменения скорости по сечению трубы в зависимости от x/R
Уменьшение скорости течения в пристенной области должно сопровождаться компенсирующим ускорением движения массы жидкости вблизи оси трубы (так как расход жидкости, равно как и сечение трубы, по длине не изменяется). Процесс перестройки поля скорости, очевидным образом, должен закончиться смыканием пограничных слоев, после чего кинематическая картина полностью стабилизируется. В месте смыкания слоев устанавливается некоторое характерное для рассматриваемого течения распределение скорости. Это распределение - профиль скорости - в дальнейшем устойчиво сохраняется. Ход перестройки поля скорости (т. е. закон изменения толщины пограничного слоя δ/R в функции распределения от входного сечения x/R), длина стабилизирующего участка (т. е. того значения x/R, при котором происходит смыкание слоев), конфигурация скоростного профиля в области стабилизировавшегося течения (т. е. закон изменения скорости w/w0 в функции от координаты r/R) - все эти важные особенности кинематической картины процесса определяются значением критерия Re.
Фиксируем некоторое значение Re. Тем самым выделяется конкретный обобщенный случай. В этих условиях уравнением (3.29) определяется единственно возможное поле скорости (или, в абсолютном представлении, совокупность подобных между собой полей). Следовательно, все свойства в кинематическом отношении действительно определяются значением критерия Re. Придавая Re различные численные значения, получем кинематическую картину развития процесса в разных случаях, отвечающих различным численным вариантам условия рассматриваемой задачи.
Безразмерное давление, вообще говоря, определяется как функция той же совокупности аргументов. Надо принять во внимание, что в пределах каждого данного сечения трубы давление имеет одинаковое значение. Но в таком случае координата r/R должна выпасть из числа аргументов. Уравнение принимает вид
(3.30)
Таким образом, задача сводится к определению перепада давления между начальным сечением и заданным (т. е. сечением, отвечающим заданному значению x/R). Величина ∆р представляет собой сумму двух слагаемых, которыми определяются эффекты совершенно различной физической природы. Первое из них представляет собой то изменение давления, которое обусловлено (согласно закону Бернулли) изменением кинетической энергии движущейся массы жидкости. При увеличении кинетической энергии давление падает, при уменьшении - возрастает. Рассматриваемый эффект является, следовательно, обратимым. Поэтому будем называть отвечающее ему слагаемое обратимой частью перепада давления. В противоположность этому второе слагаемое, которым измеряется падение давления из-за диссипации энергии (т. е. из-за преобразования механической энергии в тепловую), существенно необратимо. Оно представляет собой необратимую часть перепада давления.
В условиях рассматриваемой задачи (движение несжимаемой жидкости по каналу постоянного сечения) обратимое преобразование давления может иметь место только в пределах участка стабилизации. Пока происходит формирование профиля скорости, причем средняя по сечению скорость остается неизменной w - w0, кинетическая энергия жидкости увеличивается, и это оказывает соответствующее влияние на распределение давления по длине трубы. Но в области стабилизировавшегося течения, когда поле скорости является совершенно установившимся, обратимая часть перепада давления обращается в нуль и величина ∆р целиком сводится к своей необратимой части.
Перепад давления, обусловленный диссипацией энергии, характеризует гидравлическое сопротивление трубы. Следовательно, в области стабилизировавшегося течения перепад давления непосредственно является мерой гидравлического сопротивления. Количественной характеристикой гидравлического качества трубы является особого рода величина - коэффициент гидравлического (гидродинамического) сопротивления.
При стабилизировавшемся течении условия процесса во всех отношениях остаются неизменными от сечения к сечению; происходит только падение абсолютного давления, которое вообще не оказывает никакого влияния на процесс. Отсюда следует, что за пределами участка стабилизации интенсивность диссипации остается постоянной по длине трубы. Соответственно постоянным является и продольный градиент давления (величина, существенно отрицательная), а само давление падает по линейному закону. В этих условиях целесообразно наряду с полным перепадом давления ввести его удельное (отнесенное к единице длины) значение. Соответствующее преобразование числа Эйлера сводится, очевидно, к умножению его на величину, обратную относительной длине. Именно это модифицированное число Эйлера и представляет собой коэффициент гидравлического сопротивления. Следует только принять во внимание, что в качестве масштаба отнесения для перепада давления принимается динамический напор (а не произведение pw02), а относительная длина вводится в виде L/d (где, как и ранее, d=2R – d диаметр трубы). Итак, обозначая коэффициент сопротивления через ζ имеем
(3.31)
или
(3.31’)
где теперь через ∆р обозначен перепад давления в области стабилизировавшегося течения на всей длине L. Ясно, что коэффициент сопротивления является функцией одного только критерия Рейкольдса,
(3.32)
Решая уравнение (3.31) относительно ∆р, получаем
(3.33)
Таким образом, перепад давления представлен в виде величины, пропорциональной квадрату скорости. Однако действительный закон связи между ∆р и w0 этим еще не установлен, так как коэффициент пропорциональности ζ сам зависит от скорости. Очевидно, закон изменения ∆р в функции от w0 тем более приближается к квадратичному, чем слабее зависимость ζ от Re. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Зная, что малым значениям Re вплоть до Re = ReKp отвечает область устойчивости ламинарного режима, т. е. область течений, для которых характерно доминирующее влияние сил внутреннего трения, этим обусловлена автомодельность процесса и, соответственно, независимость всех его свойств от численного значения критерия Re. Надо, следовательно, ожидать, что все количественные характеристики течения, представленные в относительной форме (закон нарастания пограничного слоя по длине трубы, распределение скорости по сечению), остаются неизменными во всем интервале значений Re, не превосходящих ReКр. Как опыт, так и аналитическое рассмотрение вопроса полностью подтверждают такого рода общность свойств всех ламинарных течений. В частности, в условиях ламинарного режима для стабилизировавшегося течения всегда «получается параболическое распределение скорости по сечению - это результат несложного аналитического решения, весьма надежно подтвержденный экспериментально.
Аналогичная общность свойств ламинарных течений обнаруживается при исследовании законов гидравлического сопротивления. В условиях ламинарного режима безразмерное давление не может быть представлено в форме числа Эйлера. Критерий (где ∆р0 - некоторое характерное значение перепада давления) представляет собой меру отношения силы давления (величины того же порядка, как и сила внутреннего трения) к инерционной силе (которая пренебрежимо мала по сравнению с силой трения). Следовательно, для ламинарных течений он принимает аномально большие значения, свидетельствующие о его вырождении, и, очевидно, теряет смысл обобщенного параметра, существенного для процесса. Таким образом, в рассматриваемой области невозможно сформировать выражение для безразмерного перепада давления в виде числа Еu. Однако, соединяя оба критерия πP1 и πIF в виде произведения πP1 πIF = πPF, мы приходим к критерию
(3.34)
который, очевидно, явлйется мерой отношения двух сил одинакового порядка, и, следовательно, комплекс служит подходящей формой представления безразмерного давления в интересующей нас области течения. Иногда этот комплекс называют числом Лагранжа (Lagrange).
Очевидно, являясь в общем случае функцией критерия Re, число La для всех ламинарных течений (как процессов, принадлежащих к одной автомодельной области) имеет одно и то же значение. Следовательно, ограничиваясь областью «малых» значений Re, мы должны положить
(3.35)
Отсюда следует, что в области ламинарных течений действует «закон первой степени»: перепал давления пропорционален скорости в первой степени. Сопоставим этот результат с уравнением (3.33), которое построено в соответствии с «квадратичным законом». Здесь нет никакого противоречия по существу. Существующие несоответствие обоих уравнений свидетельствует только о том, что в рассматриваемых условиях коэффициент сопротивления ζ сильно зависит от Re. Характер этой зависимости нетрудно определить. Условие La = const эквивалентно требованию EuRe = const, или ζRe=const.
Таким образом, для всей области ламинарных течений коэффициент сопротивления (равно как и число Еu) определяется как величина, обратно пропорциональная критерию Re (аналитическое решение дает , где в качестве характерного размера принят диаметр d). В рассматриваемых условиях число Еu (коэффициент ζ) не является величиной, характерной для свойств течения, и его нельзя применять в качестве обобщенной переменной. Только при сочетании его в виде произведения с критерием Re, который в отдельности также неприменим в рассматриваемых условиях, образуется комплекс La, который представляет собой обобщенную переменную, вполне характерную для исследуемых процессов. Этот комплекс в пределах области ламинарных течений сохраняет постоянное значение и, следовательно, совершенно независим по отношению к Re.
При дальнейшем возрастании критерия Re (когда его значения становятся больше, чем ReKp) ламинарныи режим теряет устойчивость. Начинается область, в которой обе конкурирующие силы становятся величинами одного и того же порядка и соответственно ни одна из тенденций - к вырождению внешних возмущений или к их развитию - не проявляется как господствующая. Эту область естественно назвать переходной. В переходной области свойства течения должны существенным образом зависеть от случайных внешних условий, которым не противостоят какие бы то ни было отчетливо выраженные внутренние влияния, обусловленные механизмом процесса. Процесс становится чрезвычайно чувствительным по отношению к внешним воздействиям и вследствие этого приводит к очень запутанной и неясной картине, в которой крайне трудно выделить какие-либо основные устойчивые черты. Поэтому характеризовать свойства течений в переходной области определенными количественными закономерностями является очень сложной задачей на данном этапе.
Как показывают новейшие исследования, для рассматриваемой области (т. е. для движений жидкости с рейнольдсовыми числами, незначительно превосходящими ReКр) характерны особого рода эффекты, которые сообщают всему процессу сильно выраженную специфику, чрезвычайно осложняющую задачу исследования. Очень важно, что в этих условиях обнаруживается глубоко своеобразная форма сосуществования ламинарного и турбулентного течения. Зоны турбулентности возникают в виде цилиндрических стержнеподобных образований, целиком заполняющих сечение трубы. Длина таких турбулентных «пробок» изменяется в широких пределах в зависимости от значения Re и может в несколько десятков раз превосходить диаметр. Не исключена возможность зарождения турбулентных пробок и при значениях Re, несколько меньших критического. Но в докритических потоках пробки неизбежно исчезают вследствие того, что при Re<ReКр их передние грани перемещаются вдоль трубы медленнее, чем задние. Наоборот, при Re>ReКр передние грани перемещаются быстрее задних, и это приводит не только к росту каждой отдельной пробки, но и к слиянию смежных пробок (так как передний край каждой данной пробки нагоняет задний край впереди идущей). Таким образом, в условиях закритического течения на некотором расстоянии от входного сечения должна установиться обычная форма сплошного турбулентного движения. Рассматриваемые эффекты развиваются тем быстрее, чем больше значение Re.
В любом сечении, расположенном выше места установления сплошной турбулентности, последовательное прохождение турбулентных пробок и разделяющих их зон ламинарного течения, проявляется как чередование периодов турбулентного и ламинарного течений. Такого рода смена режимов движения получила название перемежаемости. Эффект перемежаемости интересен не только под углом зрения качественного описания рассматриваемой формы течения. Он может быть использован для определения важных свойств процесса, если в качестве его (этого эффекта) количественной характеристики ввести относительную длительность существования турбулентного режима - так называемый коэффициент перемежаемости. Коэффициент перемежаемости, очевидно, может изменяться от нуля (ламинарное движение) до единицы (турбулентное движение). Он изменяется в зависимости от Re и от x/d. В области значений Re, близких к ReKp, происходит быстрое возрастание коэффициента перемежаемости. Соответствующий интервал Re расположен тем ближе к ReKр, чем больше x/d (т. е. чем дальше от входа находится сечение).
Даже такое весьма краткое, далеко не полное обсуждение особенностей, присущих течениям в переходной области, дает некоторое представление о тех трудностях, с которыми неизбежно придется столкнуться исследователю в поисках общих закономерностей, определяющих свойства этих течений.
Переходная область по самой своей природе не может иметь ясно выраженной верхней границы. Поэтому было бы неправильно связывать ее окончание с каким-то определенным значением критерия Re. Но можно утверждать, что с увеличением Re характер течения должен постепенно изменяться. С возрастанием значений Re растет отношение инерционных сил к силам внутреннего трения и соответственно все в большей степени начинает преобладать тенденция к усилению и распространению возмущений, проникающих в поток. При значениях Re порядка 1*104 этот процесс заходит уже настолько далеко, что в обычных для практики условиях течение в полной мере можно считать турбулентным. Это значит, что, начиная от значений Re=l*104 и выше, можно применять определенные количественные закономерности, которые достаточно надежно характеризуют свойства течений и, разумеется, существенно отличаются от закономерностей, справедливых для области ламинарных течений.
Характер дальнейшей эволюции свойств течения, связанной с возрастанием значений Re, будет аналогичен уже рассмотренному процессу. Очевидно, должно происходить постепенное и непрерывное уменьшение роли сил внутреннего трения в формировании потока с соответствующим ослаблением влияния критерия Re. В конечном счете (в условиях полного господства инерционных сил) это должно привести к его вырождению. Разумеется, процесс этот имеет асимптотический характер. Вовсе не следует представлять себе картину изменения свойств течения таким образом, что до некоторого определенного значения число Re служит обобщенным аргументом (и, следовательно, является критерием подобия в строгом смысле этого слова), а затем лишается этой роли. Эволюция свойств течения в действительности проявляется в том, что обобщенные характеристики постепенно становятся все более слабыми функциями критерия Re. При каких значениях Re его влиянием вообще можно пренебречь (иначе говоря, где начинается область автомодельности) - это вопрос соглашения, обусловленного соображениями о требуемой степени точности. Но было бы неверно (так же как при обсуждении вопроса о конце переходной области) ставить задачу об определении того значения Re, которым начинается область автомодельности. Эти особенности соотношений, характеризующих свойства турбулентных течений, легко проследить на конкретных зависимостях.
Уравнение (3.32) для коэффициента гидравлического сопротивления удобно аппроксимировать с помощью простейших степенных зависимостей вида
ζ=A Re-n (3.36)
где А и п - константы уравнения (положительные числа), изменяющиеся в функции от Re.
Эта форма представления может быть применена и к ламинарному течению, для этого подставим n = 1 и A = 64 для всей области (т. е. показатель и коэффициент уравнения будут являться постоянными числами, не зависящими от Re в точном соответствии с свойствами ламинарного режима как области автомодельных течений). В отличие от этого применительно к турбулентным течениям константы уравнения приходится рассматривать как переменные (зависящие от Re), для которых возможно принимать определенные значения только в ограниченных интервалах изменения Re. Так, при значениях Re порядка 1*104 надо положить n = 0,25. Но «закон 0.25 степени» не является универсальной закономерностью для всей области турбулентных течений. Его применимость ограничена интервалом изменения Re от 1* 104 до 1*105. В интервале значений Re от 1*105 до 1* 106 более точные результаты получаются, если принять для n значение 0,21. В интервале от 1*106 до 2*106 правильно положить п = 0,19 и в интервале 2-106 ÷ 5*107 n = 0,18. Таким образом, в полном соответствии с пониманием процесса вырождения критерия Re как процесса асимптотического обнаруживается непрерывное ослабление его влияния и вместе с тем постепенное замедление этого эффекта.
Рассматриваемые особенности соотношений, характеризующих свойства турбулентных течений, отчетливо проявляются также при исследовании распределения скорости по сечению в стабилизировавшемся потоке. Уравнение для профиля скорости, которое в условиях стабилизировавшегося движения имеет вид:
с успехом аппроксимируется степенной зависимостью
(3.37)
где wmax - скорость на оси трубы.
Показатель m есть функция критерия Re - именно в такой форме проявляется при степенной аппроксимации влияние этого критерия на распределение скорости. Для ранее введенных интервалов изменения Re – 1*104÷1*105; 1*105÷1*106; 1*106÷2-106; 2*106÷5*106 - m получает следующий ряд значений: 0,143; 0,118; 0,102; 0.1. Легко заметить, что темп изменения m постепенно замедляется.
Мы видим, что влияние критерия Re на величины ζ (или Еu) и т (и равным образом п) непрерывно ослабевает. Следовательно, всегда может быть указано такое значение Re, выше которого его влиянием (с заданной степенью точности) вообще можно пренебречь, и соответственно допустимо рассматривать коэффициент ζ (число Еu) и показатель m как постоянные числа. Это означает, что для всей области, которая начинается с отмеченного значения Re, можно принять вполне определенные, в дальнейшем уже не изменяющиеся законы распределения скорости по сечению и гидравлического сопротивления. Важное значение этого результата заключается в том, что рассматриваемым значением критерия Re открывается область течений, охватываемых одним обобщенным случаем (течений, подобных между собой), т. е. область автомодельности. Из предшествующего ясно, что определение нижней границы этой области принципиально невозможно связать с какими-либо строгими теоретическими соображениями, так как по существу дела выбор граничного значения Re всецело обусловлен требуемой степенью точности. Сверху область автомодельности не ограничена. Характерная особенность рассматриваемой области заключается в том, что на всем ее протяжении практически действует «квадратичный закон» сопротивления (как следствие приближенного постоянства коэффициента ζ. Другой ее особенностью является высокая степень заполненности профиля скорости (т. е. высокая степень приближения его к прямоугольной конфигурации), соответствующая весьма малым значениям показателя m, типичным для этой области. Количественно большая заполненность профиля, обусловленная высокой интенсивностью молярного взаимодействия, проявляется в том, что с достаточной точностью осуществляется условие wmax=w = w0.
Картина зависимости свойств течения от значения критерия Re представлена на рисунке 3. Малым значениям соответствуют ламинарные течения, образующие первую область автомодельности. Эта область ограничена сверху значением Re=2300. На всем ее протяжении удовлетворяется условие Eu*Re=const (или ζRe =const) и, следовательно, гидравлическое сопротивление определяется по закону первой степени. Для следующей затем переходной области невозможно установить какие-либо достаточно определенные количественные закономерности. Значения Re порядка 1*104 с определенной уверенностью можно рассматривать как начало той области достаточно развитой турбулентности, в которой для коэффициента гидравлического сопротивления ζ применим степенной закон, причем показатель является монотонно убывающей функцией Re. С возрастанием Re при достаточно больших его значениях эта область постепенно переходит во вторую область автомодельности, для которой характерно условие Eu=const (ζ=const) и соответственно справедлив квадратичный закон сопротивления.
Рисунок 3 – Зависимость свойств течения от значения критерия Re
Распределение всего множества течений по отдельным областям является в значительной мере условным. Границы между областями настолько размыты, что скорее надо говорить не о смене областей, а о непрерывном переходе одной области в другую. Некоторое исключение в этом смысле представляет собой критическое значение ReKp, которое фиксируется достаточно определенно. Однако надо подчеркнуть, что переход через критическое значение ReKp вовсе не обязательно связан с изменением формы течения. Как мы видели, значение Re = ReKр характерно в том отношении, что при нем ламинарная форма течения теряет устойчивость. Это значит, что турбулентный режим течения становится физически возможным. Но фактическая реализация этой возможности обусловлена уже не внутренними свойствами течения, а внешними причинами. Изменение свойств потока, связанное с переходом через критическое значение ReKp, проявляется лишь постольку, поскольку в поток извне проникают возмущения. Следовательно, относительно критического значения критерия Рейнольдса можно утверждать только, что при Re<ReKр устойчиво сохраняется ламинарная форма течения. Впрочем и это утверждение не лишено некоторой условности, так как при значениях Re, приближающихся к ReКp, ламинарное течение теряет ту чистую форму, для которой характерна строгая прямолинейность траектории любой частицы жидкости (и которая имеет место при достаточно малых Re). Траектории приобретают волнистый характер, причем эффект этот (доступный визуальному наблюдению) постепенно усиливается по мере приближения к ReKp.
В связи с изложенными соображениями о влиянии критерия Рейнольдса, с одной стороны, и роли внешних возмущений в процессе турбулизации потока, с другой - интересно обсудить следующий вопрос. Первопричину возникновения турбулентности мы видим в тех возмущениях, которые проникают в поток извне. С собственными свойствами потока мы связываем только создание условий, способствующих вырождению или развитию этих возмущений. Следовательно, для нас исходным является представление, что под действием внутреннего механизма процесса турбулентность возникнуть не может и, значит, проникновение внешних возмущений в поток является необходимой предпосылкой его турбулизации. Но в таком случае поток, огражденный от действия внешних возмущений, вообще не может стать турбулентным.
Приходим к несколько неожиданному заключению: если искусственно создаются такие условия, при которых исключена возможность проникновения внешних возмущений в поток, то ламинарная форма должна сохраниться при сколь угодно высоких значениях Re. Опыт подтверждает это заключение. Экспериментально получены ламинарные течения при значениях критерия Re, во много десятков раз превосходящих его критическое значение. Конечно, такие течения крайне неустойчивы, и любое случайное возмущение неизбежно вызывает мгновенную и бурную турбулизацию (т. е. переход к устойчивой форме течения). В этом смысле рассматриваемые течения аналогичны хорошо известным метастабильным состояниям вещества (переохлажденная или перегретая жидкость, переохлажденный пар), которые могут существовать лишь постольку, поскольку искусственно устранены необходимые предпосылки перехода вещества в состояния, более устойчивые в данных условиях (отсутствие центров кристаллизации, парообразования, конденсации).
Факт существования неустойчивых ламинарных течений представляет особый интерес в связи с вопросом о правильном понимании роли критериев подобия как меры отношения физических эффектов - в частности, понимания критерия Рейнольдса как меры отношения инерционной силы к силе внутреннего трения.
В условиях стабилизировавшегося ламинарного течения компоненты скорости, нормальные к оси трубы, обращаются в нуль. Поэтому выражение для инерционной силы принимает вид
.
Однако вдоль любой траектории скорость сохраняет неизменное значение и соответствен но дω/дx =0. В таком случае I = 0. Это значит, что для ламинарного стабилизировавшегося течения характерно отсутствие инерционных сил.
Итак, выясняется, что в искусственно созданной обстановке можно осуществить течения, совершенно свободные от действия инерционных сил (и, следовательно, с нулевым значением отношения инерционных сил к силам внутреннего трения), при таких значениях Re, которым в обычных условиях, несомненно, отвечают течения с явно выраженным преобладанием инерционных сил. Очевидно, применительно к неустойчивым искусственно поддерживаемым ламинарным течениям критерий Рейнольдса вообще нельзя рассматривать как характеристику каких-либо сторон процесса, так как исключается действие как раз тех эффектов, под влиянием которых проявляются свойства потока, характеризуемые критерием Re. Эти соображения являются очень полезной иллюстрацией мысли (ранее высказанной в общей форме), что суждения о свойствах процесса, оонованные на численных значениях критериев подобия, тем надежнее, чем полнее могут проявиться тенденции, органически присущие процессу и обусловленные его механизмом.
Потери напора при ламинарном течении жидкости
Как показывают исследования, при ламинарном течении жидкости в круглой трубе максимальная скорость находится на оси трубы. У стенок трубы скорость равна нулю, т.к. частицы жидкости покрывают внутреннюю поверхность трубопровода тонким неподвижным слоем. От стенок трубы к ее оси скорости нарастаю плавно. График распределения скоростей по поперечному сечению потока представляет собой параболоид вращения, а сечение параболоида осевой плоскостью - квадратичную параболу (рисунок 2).
Рисунок 2 - Схема для рассмотрения ламинарного потока
Уравнение, связывающее переменные υ и r, имеет следующий вид:
где P1 и P2 - давления соответственно в сечениях 1 и 2.
У стенок трубы величина r = R, , значит скорость υ = 0, а при r = 0 (на оси потока) скорость будет максимальной
Теперь определим расход жидкости при ламинарном течении в круглой трубе. Так как эпюра распределения скоростей в круглой трубе имеет вид параболоида вращения с максимальным значением скорости в центре трубы, то расход жидкости численно равен объему этого параболоида. Определим этот объем.
Максимальная скорость дает высоту параболоида
Как известно из геометрии, объем параболоида высотой h и площадью πR2 равен
а в нашем случае
Если вместо R подставить диаметр трубы d, то формула (4.4) приобретет вид
Расход в трубе можно выразить через среднюю скорость:
откуда
Для определения потерь напора при ламинарном течении жидкости в круглой трубе рассмотрим участок трубы длиной l, по которому поток течет в условиях ламинарного режима (рисунок 2).
Потеря давления в трубопроводе будет равна
Если в формуле динамический коэффициент вязкости μ заменить через кинематический коэффициент вязкости υ и плотность ρ ( μ = υ ρ ) и разделить обе части равенства на объемный вес жидкости γ = ρ g, то получим:
Так как левая часть полученного равенства равна потерям напора hпот в трубе постоянного диаметра, то окончательно это равенство примет вид:
Уравнение может быть преобразовано в универсальную формулу Вейсбаха-Дарси, которая окончательно записывается так:
где λ - коэффициент гидравлического трения, который для ламинарного потока вычисляется по выражению:
Однако при ламинарном режиме для определения коэффициента гидравлического трения λ Т.М. Башта рекомендует при Re < 2300 применять формулу
Потери напора при турбулентном течении жидкости
Как было указано в пункте режимы движения жидкости, для турбулентного течения характерно перемешивание жидкости, пульсации скоростей и давлений. Если с помощью особо чувствительного прибора-самописца измерять пульсации, например, скорости по времени в фиксированной точке потока, то получим картину, подобную показанной на рисунке 3. Скорость беспорядочно колеблется около некоторого осредненного по времени значения υоср, которое в данном случае остается постоянным.
Характер линий тока в трубе в данный момент времени отличается большим разнообразием (рисунок 4).
|
Рисунок 3 - Пульсация скорости в турбулентном потоке. |
Рисунок 4 - Характер линий тока в турбулентном потоке |
При турбулентном режиме движения жидкости в трубах эпюра распределения скоростей имеет вид, показанный на рисунке 5. В тонком пристенном слое толщиной δ жидкость течет в ламинарном режиме, а остальные слои текут в турбулентном режиме, и называются турбулентным ядром. Таким образом, строго говоря, турбулентного движения в чистом виде не существует. Оно сопровождается ламинарным движением у стенок, хотя слой δ с ламинарным режимом весьма мал по сравнению с турбулентным ядром.
Рисунок 5 - Модель турбулентного режима движения жидкости
Основной расчетной формулой для потерь напора при турбулентном течении жидкости в круглых трубах является уже приводившаяся выше эмпирическая формула, называемая формулой Вейсбаха-Дарси и имеющая следующий вид:
Различие заключается лишь в значениях коэффициента гидравлического трения λ. Этот коэффициент зависит от числа Рейнольдса Re и от безразмерного геометрического фактора - относительной шероховатости Δ/d (или Δ/r0, где r0 - радиус трубы).
Впервые наиболее исчерпывающей работы по определению были даны И.И. Никурадзе, который на основе опытных данных построил график зависимости lg(1000λ) от lg Re для ряда значений Δ/r 0. Опыты Никурадзе были проведены на трубах с искусственно заданной шероховатостью, полученной путем приклейки песчинок определенного размера на внутренние стенки трубопровода. Результаты этих исследований представлены на рисунке 6, где построены кривые зависимости lg (1000λ) от lg Re для ряда значений Δ/r0.
Прямая I соответствует ламинарному режиму движения жидкости.
Далее на графике можно рассматривать три области.
Первая область - область малых Re и Δ/r0, где коэффициент λ не зависит от шероховатости, а определяется лишь числом Re (отмечена на рисунке 6 прямой II ). Это область гидравлически гладких труб. Если число Рейнольдса лежит в диапазоне 4000 < Re < 10(d / Δ э) коэффициент λ определяется по полуэмпирической формуле Блазиуса
Для определения существует также эмпирическая формула П.К. Конакова, которая применима для гидравлически гладких труб
Рисунок 6 - График Никурадзе
Во второй области, расположенной между линий II и пунктирной линией справа, коэффициент λ зависит одновременно от двух параметров - числа Re и относительной шероховатости Δ/r0, которую можно заменить на Δэ. Для определения коэффициента λ в этой области может служить универсальная формула А.Д. Альтшуля:
где Δэ - эквивалентная абсолютная шероховатость.
Третья область - область больших Re и Δ/r0, где коэффициент λ не зависит от числа Re, а определяется лишь относительной шероховатостью (область расположена справа от пунктирной линии). Это область шероховатых труб, в которой все линии с различными шероховатостями параллельны между собой. Эту область называют областью автомодельности или режимом квадратичного сопротивления, т.к. здесь гидравлические потери пропорциональны квадрату скорости.
Определение λ для этой области производят по упрощенной формуле Альтшуля:
или по формуле Прандтля - Никурадзе:
Итак, потери напора, определяемые по формуле Вейсбаха-Дарси, можно определить, зная коэффициент гидравлического сопротивления, который определяется в зависимости от числа Рейнольдса Re и от эквивалентной абсолютной шероховатости Δэ.
Пользоваться приведенными выше формулами для определения коэффициента λ не всегда удобно. Для облегчения расчетов можно воспользоваться номограммой Колбрука-Уайта (рисунок 7), при помощи которой по известным Re и Δэ/ d весьма просто определяется λ.
Рисунок 7 - Номограмма Колбрука-Уайта для определения коэффициента гидравлического трения
Проблемы определения гидравлического сопротивления в ламинарном неизотермическом потоке.
Кроме непостоянства потока из-за геометрических характеристик трассы существует также проблема, связанная с неизотермичностью потока. В неизотермическом потоке температура может изменяться и по живому сечению потока и по длине. Существенной величиной, влияющей на распределение скоростей и давлений в ламинарном потоке, является коэффициент вязкости жидкости. Непостоянство коэффициента вязкости жидкости в неизотермическом потоке является причиной нарушения законов распределения скоростей и давлений, свойственных изотермическому потоку.
В качестве примера можно привести движение жидкости в круглой трубе, при условии изотермичности потока, профиль скоростей будет носить параболический характер, а в теплообменном аппарате, распределение скоростей подчиняется другому закону (рисунок 8). Важной особенностью неизотермического потока является и то, что вследствие неодинаковой температуры жидкости в потоке возникают конвекционные течения, как правило, также изменяющие распределение скоростей, соответствующее изотермическому потоку. Это особенно проявляется в трубопроводах, расположенных вертикально. В общем случае конвекционные течения могут являться причиной нарушения равномерности движения потока и даже его ламинарности.
Неизотермический ламинарный поток изучен недостаточно, из-за отсутствия средств измерения не изменяющих структуру потока. Ниже будет рассмотрен случай приближенного решения лишь одного частного случая, а именно определения потерь энергии в потоке неизотермическом только по длине. Так как полная потеря энергии по всей длине равна сумме потерь на элементарных участках, ее можно приближенно определить, рассматривая движение на каждом элементарном участке трубопровода как изотермическое, по формуле:
Для такого решения вопроса нужно знать закон распределения температуры вдоль трубопровода. Это позволит приближенно определить для каждого участка трубопровода коэффициент вязкости жидкости, объемный вес, число Рейнольдса и коэффициент λ.
Интеграл можно также вычислить, если изобразить зависимость от графически. В этом случае он будет равен площади под функцией f(). При этом следует обратить внимание, что при нахождении λ по диаграмме Никурадзе мы сталкиваемся с изменением вида диаграммы в зависимости от температуры потока (Рисунок 9) [3].
1. Гидравлические сопротивления.htm
2. Гухман А.А. Введение в теорию подобия. Москва, 2010;
3. Никулин В.А. Гидрогазодинамика течений с тепломассообменом. Ижевск. 1988