Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Занятие 1 по MathCAD
MathCAD является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Является универсальной системой для работы с формулами, числами, текстами и графиками. MathCAD позволяет записывать на экране компьютера формулы в их привычном виде. С их помощью можно решить почти любую математическую задачу символьно или численно. Документ MathCAD называется рабочим листом. Он содержит объекты: формулы и текстовые блоки. В ходе расчетов формулы обрабатываются последовательно, слева направо и сверху вниз, а текстовые блоки игнорируются.
Ввод формул
Ввод информации осуществляется в месте расположения курсора. Используются три вида курсоров. Если ни один объект не выбран, используется крестообразный курсор, определяющий место создания следующего объекта. При вводе формул используется уголковый курсор, указывающий текущий элемент выражения. При вводе данных в текстовый блок применяется текстовый курсор в виде вертикальной черты.
Формулы – основные объекты рабочего листа. Новый объект по умолчанию является формулой. Чтобы начать ввод формулы, надо установить курсор в нужное место и начать ввод букв, цифр, знаков операций. При этом создается область формулы, в которой появляется уголковый курсор, охватывающий текущий элемент формулы. При вводе бинарного оператора по другую сторону знака операции автоматически появляется заполнитель в виде черного прямоугольника. В это место вводят очередной операнд. Местозаполнитель символа — черный прямоугольник; местозаполнитель оператора — черная прямоугольная рамка.
Чтобы изменить формулу, щелкните на ней мышью, поместив таким образом в ее область линии ввода, и перейдите к месту, которое хотите исправить.
Элементы формул можно вводить с клавиатуры или с помощью специальных панелей управления. Панели управления открываются с помощью меню Просмотр Панели или кнопками панели управления Математика.
Для ввода элементов формул предназначены следующие панели:
Панель управления Калькулятор - для ввода чисел, знаков типичных математических операций и наиболее часто употребляемых стандартных функций.
Панели управления Вычисления и Булево - для ввода операторов вычисления и знаков логических операций.
Панель управления Графики - для построения различных видов графиков.
Панель управления Матрицы - для ввода векторов и матриц и задания матричных операций.
Панель управления Матанализ – для задания операций, относящихся к математическому анализу.
Панель управления Символы – для управления аналитическими преобразованиями.
Панель управления Программирование – для программирования средствами MathCAD.
Введенное выражение обычно вычисляют или присваивают переменной.
Для вывода результата выражения используют оператор численного вывода =, который по смыслу выдает значение всей формулы в виде числа.
Знак присваивания изображается как « := ». Слева от знака присваивания указывают имя переменной. Переменную, которой присвоено значение, можно использовать далее в документе в вычисляемых выражениях.
Пример 1. Простые вычисления.
Здесь знак равенства набирается непосредственно после последней введенной цифры или оператора.
Пример 2. Вычисление объема шара.
В последнем выражении нужно набрать «v=» и нажать клавишу Enter или щелкнуть мышью вне текста. Рядом появится результат вычислений.
Пример 3. Путь, пройденный телом при равноускоренном движении с ненулевой начальной скоростью.
Задание 1. Вычислить площадь круга с радиусом равным 10.
Задание 2. Вычислить площадь треугольника по формуле Герона , где - полупериметр, , , .
Повторяющиеся вычисления
Программа может выполнять повторяющиеся или итерационные вычисления. С этой целью используется специальный тип переменных – дискретные аргументы.
Переменная типа дискретный аргумент принимает диапазон значений. Если в выражении присутствует дискретный аргумент, выражение вычисляется столько раз, сколько значений содержит дискретный аргумент.
Для того чтобы вычислить выражение для диапазона значений сначала надо определить дискретный аргумент. Фактически он представляет собой арифметическую прогрессию. Поэтому надо задать первый, второй и последний члены прогрессии (либо число, до которого строится прогрессия; оно может не быть членом будущей прогрессии – тогда прогрессия заканчивается ближайшим к этому числу членом.). Если шаг прогрессии равен 1, то второй член прогрессии можно не задавать.
Пример 4. Пусть для задачи примера 3 нужно сосчитать путь, пройденный телом в промежутке от момента времени t=0,5c до момента времени t=9,5с с шагом t=0,9с.
Сначала надо отредактировать определение t, чтобы сделать ее дискретным аргументом. С этой целью после знака присваивания набрать число 0,5 (первый член арифметической прогрессии), затем после запятой – число 1,4 (второй член прогрессии), а затем – ;9,5 (последний член прогрессии). Символ точки с запятой изображается на экране как два символа точки подряд. После этого изменить формулу для определения пути на приведенную ниже. Так как t содержит 11 различных значений, то получается одиннадцать различных ответов. Они отображаются в таблице.
Размер таблицы можно менять. Для этого щелкнуть левой клавишей мыши по любой ячейке таблицы. Таблица выделится. После этого можно изменить ее размер, передвинув верхнюю или нижнюю границу за центральный черный квадрат. Справа у таблицы появится полоса прокрутки для перемещения по ней. После щелчка мышью по свободной части листа выделение пропадает и видна будет только часть таблицы.
Еще большее удобство вычислений можно достичь, используя определения функций. Рассмотрим определение функции на предыдущем примере. Для этого определим функцию s(t) как показано ниже. Определение функции завершено. Имя функции – s, аргумент функции – t. Можно использовать эту функцию, чтобы вычислить значение выражения (ее правой части) для произвольных значений t. Для этого нужно подставить вместо t соответствующее число.
Чтобы вычислить функцию для каждого значения t из диапазона, ввести выражение «s(t)=» и будет выведена таблица значений.
Форматирование результата
Можно устанавливать формат вывода чисел, т.е. изменять число выводимых десятичных знаков, менять экспоненциальный вид представления чисел на обычную запись с десятичной точкой и так далее.
Для этого щелкнуть мышью по тому результату, который надо отформатировать. После этого в меню Форматирование выбрать команду Результат. Появившееся окно позволяет установить число десятичных знаков в выводимых числах, границы использования экспоненциального представления чисел и систему счисления.
Задание. Объем конуса вычисляется по формуле: , где r – радиус основания, h – высота. Составить функцию от двух аргументов r и h. Вычислить объем конуса для диапазона значений радиуса основания от 1 до 10 и высоты, равной 5, 7, 9 и 11.
Матрицы и определители
Одиночное число называется скаляром. Столбец чисел называется вектором, а прямоугольная таблица чисел – матрицей. Вектор и матрица рассматриваются в программе как одномерный и двумерный массивы данных.
Создаются векторы и матрицы с помощью панели Матрица щелкая по кнопке . В диалоговом окне задается число строк и столбцов.
Появляется вектор или матрица с полями для заполнения. Заполнение полей производится последовательно от первого до последнего, перемещение курсора по вектору или матрице – с помощью клавиши Tab.
Можно изменять размер матрицы, вставляя и удаляя строки и столбцы. Для этого необходимо выполнить следующее:
- щелкнуть на одном из элементов матрицы, чтобы заключить его в выделяющую рамку. MathCAD будет начинать вставку или удаление с этого элемента.
- на панели Матрица щелкнуть по кнопке . Появится диалоговое окно, как при создании матрицы.
- набрать число строк и (или) столбцов, которые нужно вставить или удалить. Затем щелкнуть по кнопке Вставить или Удалить. Например, чтобы удалить столбец, который содержит выбранный элемент, набрать 1 в поле Столбцов, 0 в поле Строк и щелкнуть по кнопке Удалить.
Если вставляются строки, MathCAD создает строки пустых полей ниже выбранного элемента. Если вставляются столбцы, MathCAD создает столбцы пустых полей справа от выбранного элемента.
Если строки или столбцы удаляются, MathCAD начинает со строки или столбца, занятых выбранным элементом (т.е. строка или столбец, содержащии выделеный элемент обязательно удаляются). Если удаляются несколько строк и столбцов, строки удаляются вниз от этого элемента, а столбцы – вправо от этого элемента.
Можно обращаться к отдельным элементам массива (вектора или матрицы), используя нижние индексы у обозначения массива. Можно также обращаться к отдельному столбцу массива, используя верхний индекс. Для ввода нижнего индекса используется кнопка на панели Матрица, верхнего индекса – кнопка . Нумерация строк и столбцов массива начинается с 0 (т.е. первый столбец и первая строка имеют номер 0).
Действия с векторами и матрицами
Операции матричной алгебры реализованы в Mathcad в виде операторов. Написание операторов по смыслу максимально приближено к их математическому действию. Каждый оператор выражается соответствующим символом. Рассмотрим матричные и векторные операции. Векторы являются частным случаем матриц размерности N1, поэтому для них справедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения особо не оговорены (например некоторые операции применимы только к квадратным матрицам NN). Какие-то действия допустимы только для векторов (например скалярное произведение), а какие-то, несмотря на одинаковое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.
Транспортирование
Транспортированием называют операцию, переводящую матрицу размерности MN в матрицу размерности NM, делая столбцы исходной матрицы строками, а строки — столбцами. Ввод символа транспонирования осуществляется с помощью панели инструментов Матрица.
Сложение (вычитание)
В Mathcad можно как складывать матрицы, так и вычитать их друг из друга. Матрицы должны иметь одинаковую размерность, иначе будет выдано сообщение об ошибке. Каждый элемент суммы двух матриц равен сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых.
Кроме сложения матриц, Mathcad поддерживает операцию сложения матрицы со скаляром. Каждый элемент результирующей матрицы равен сумме соответствующего элемента исходной матрицы и скалярной величины.
Умножение
При умножении следует помнить, что матрицу размерности MN допустимо умножать только на матрицу размерности NP. В результате получается матрица размерности МР.
Чтобы ввести символ умножения, нужно нажать клавишу со звездочкой или воспользоваться панелью инструментов Матрица. Умножение матриц обозначается по умолчанию точкой.
Определитель квадратной матрицы
Определитель матрицы обозначается стандартным математическим символом. Чтобы ввести оператор нахождения определителя матрицы можно нажать кнопку на панели инструментов Матрица. В результате любого из этих действий появляется местозаполнитель, в который следует поместить матрицу. Чтобы вычислить определитель уже введенной матрицы нужно: переместить курсор в документе таким образом, чтобы поместить матрицу между линиями ввода, ввести оператор нахождения определителя матрицы и ввести знак равенства, чтобы вычислить определитель.
Решение уравнений
Решение одного уравнения
Для решения одного уравнения с одним неизвестным вида используется встроенная функция root, которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, работает несколько по-разному.
, где - границы интервала, внутри которого происходит поиск корня.
Первый тип функции root требует дополнительного задания начального значения переменной х. Для этого нужно просто предварительно присвоить х некоторое число. Поиск корня будет производиться вблизи этого числа. Таким образом, присвоение начального значения требует априорной информации о примерной локализации корня.
Пример. Найти решение уравнения , ближайшее к числу 3.
Иногда удобнее задавать не начальное приближение к корню, а интервал [а,b], внутри которого корень заведомо находится. В этом случае следует использовать функцию root с четырьмя аргументами, а присваивать начальное значение х не нужно.
Пример. Найти решение уравнения на промежутке .
Когда root имеет четыре аргумента, следует помнить о двух ее особенностях: внутри интервала [а,b] не должно находиться более одного корня, иначе будет найден один из них, заранее неизвестно, какой именно и значения f(а) и f(b) должны иметь разный знак, иначе будет выдано сообщение об ошибке.
Сразу все корни уравнения можно найти следующим образом. В качестве примера рассмотрим нахождение корней уравнения .
Сначала надо набрать левую часть уравнения. После этого установить курсор так, как показано ниже (выделить уголковым курсором неизвестное):
После этого выбрать команду Символика Переменные Разрешить. Появится вектор всех корней уравнения, включая комплексные.
Задание. Решить уравнения: и
Решение систем линейных уравнений
Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:
Ее можно записать в матричной форме , где - матрица коэффициентов левой части уравнений системы размерностью , - вектор неизвестных, - вектор правых частей уравнений системы.
Система имеет единственное решение, если матрица А является невырожденной, т. е. ее определитель не равен нулю.
Пример. Решить систему линейных алгебраических уравнений:
Систему можно решать двумя способами.
Для решения системы записанной в матричной форме следует использовать встроенную функцию lsolve.
Если система записана в стандартном виде, для ее решения следует использовать вычислительный блок Given/Find.
Задать начальные приближения для всех неизвестных, входящих в систему уравнений (на основе начального приближения строится последовательность, сходящаяся к искомому решению).
Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает, что далее следует система уравнений.
Ввести уравнения ниже ключевого слова. Между левыми и правыми частями уравнений должен стоять символ (жирный знак равенства). Его можно взять из панели Булевый или при нажатой клавише Ctrl нажать знак равенства.
Записать функцию Find (перечислив в скобках неизвестные, входящие в систему) и нажать на клавишу «Равно». После знака равенства появится вектор корней уравнения.
Эту систему можно решить также с помощью определителей.
Задание. Решить разными способами системы уравнений: и .
Решение систем нелинейных уравнений и неравенств
Для ее решения следует использовать вычислительный блок Given/Find. Действия аналогичны изложенным выше.
Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >, ≤ и ≥.
В качестве примера рассмотрим решение системы уравненй:
Пример решения системы уравнений и неравенств.
Задание. Решить системы уравнений: и
6