Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
109
Функциональные ряды
Лекции 12 – 14
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ряды
в лекциях 12 – 14 рассматриваются функциональные ряды и важнейшая их разновидность – степенные ряды. При достаточно широких предположениях относительно функции ее можно представить как сумму некоторого функционального ряда, причем математические операции над этим рядом (сложение, умножение, предельный переход, почленное дифференцирование и интегрирование) совершаются по тем же простым правилам, что и одноименные операции над конечными суммами. Подобная простота применения и легкость получения конкретных результатов обусловливает широкое применение функциональных рядов в математике и ее приложениях.
12.1. Функциональные ряды. Основные определения
12.2 Равномерная сходимость
12.3. Признак Вейерштрасса
13.1. Степенные ряды. Основные определения
13.2. Вычисление радиуса сходимости
13.3. Свойства степенных рядов
13.4. Разложение функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена
13.5. Разложение элементарных функций в ряды Маклорена
13.6. Применение степенных рядов
13.6.1. Вычисление значений функций
13.6.2. Вычисление интегралов, не берущихся в элементарных функциях
13.6.3. Решение дифференциальных уравнений
14.1. Ряды в комплексной области. Числовые ряды
14.2. Степенные ряды в комплексной области
Пусть функция определена в области
Выражение вида
(1)
называется функциональным рядом.
Например, .
При из функционального ряда (1) получается числовой ряд
(2)
Если для числовой ряд (2) сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда (1). Если в каждой точке числовые ряды сходятся, то функциональный ряд(1) называется сходящимся в области .
Совокупность всех точек сходимости образует область сходимости функционального ряда (1).
Рассмотрим частичные суммы функционального ряда (1):
.
Ряд (1) сходится к функции в области сходимости, если предел последовательности его частичных сумм .
|
Пример: |
|
|
Найдите область сходимости ряда . Если то ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда; если , ряд расходится; если - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сравнение со сходящимся рядом при дает область сходимости исследуемого ряда . |
Пусть . По определению предела это означает, что для любого из области сходимости, например, и , выполняются условия:
1) ;
2) .
Заметим, что числа и , вообще говоря, различны.
Функциональный ряд, сходящийся для всех из области сходимости, называется равномерно сходящимся в этой области, если существует не зависящий от номер , такой, что при выполняется неравенство для всех из области сходимости, где остаток ряда.
Геометрический смысл равномерной сходимости заключается в следующем:
Если окружить график функции
” - полоской”, определяемой соотношением то графики всех функций начиная с достаточно большого , целиком лежат в этой ” - полоске”, окружающей график предельной функции .
Покажем, что ряд сходится равномерно при всех .
По признаку Лейбница этот ряд сходится и его остаток можно оценить следующим образом:
, .
Возьмем тогда для для из области сходимости, значит ряд равномерно сходится.
Функциональный ряд называется мажорируемым в некоторой области изменения x, если существует такой сходящийся числовой ряд с положительными членами, что для всех x из этой области выполняются неравенства . Ряд называется мажорантой ряда .
Функциональный ряд сходится равномерно в области сходимости, если он является мажорируемым в этой области.
Например, для рядов в силу ограниченности функций выполняется
По признаку Вейерштрасса, если ряд сходится абсолютно, то ряды (1), (2) сходятся равномерно на промежутке.
Пусть ряд с непрерывно дифференцируемыми членами сходится для и ряд сходится равномерно на , тогда сходится равномерно, его сумма дифференцируема и т.е. ряд можно дифференцировать
почленно.
Пусть ряд равномерно сходится на , тогда:
1) этот ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке и
2) ряд сходится равномерно.
|
Пример: |
|
|
Найдите сумму ряда . Решение: Для нахождения суммы ряда воспользуемся известной формулой для суммы геометрической прогрессии . (1) Дифференцируя левую и правую части формулы (1), получим последовательно, , . (2) Заменим в формулах (2) индекс суммирования: Выделим в сумме, подлежащей вычислению, слагаемые, пропорциональные первой и второй производной: Вычислим производные: тогда |
Функциональный ряд вида
(1)
называется степенным по степеням .
В частности, при ряд
(2)
является степенным по степеням x.
Ряд (1) сводится к ряду (2) заменой , - коэффициенты ряда. Ряд (2) сходится по крайней мере в одной точке: при .
1) Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится для , причем на отрезке сходимость будет равномерной.
2) Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится и для всех x таких, что .
Доказательство:
1) Пусть сходится, тогда последовательность ограничена .
Рассмотрим ряд , запишем его в виде: и сравним с рядом , который представляет собой при геометрическую прогрессию , т.е. сходится, следовательно, ряд абсолютно сходится, т.к. .
При этом на отрезке сходимость равномерная, т.к. сходится мажорирующий числовой ряд .
2) Пусть ряд расходится. Докажем, что он расходится при .
От противного: пусть и ряд сходится, следовательно, по 1-ой части теоремы Абеля ряд бы сходился в точке , что противоречит условию.
1). Областью сходимости степенного ряда является симметричный интервал с центром в точке О.
2). Существует граница между точками сходимости и расходимости : .
Число такое, что при ряд сходится, а при - расходится, называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал - интервалом сходимости.
В граничных точках поведение ряда требует дополнительного исследования.
Для ряда интервал сходимости имеет вид:
с центром в точке
Степенные ряды в области сходимости сходятся абсолютно и можно использовать признаки сходимости рядов с положительными членами.
Ряд сходится, если .
Ряд сходится, если .
|
Пример: |
|
|
Найдите область сходимости рядов: 1) и 2) . Интервал сходимости . Исследуем граничные точки.
Область сходимости ряда . 2) , ряд сходится при всех . |
В силу теоремы Абеля степенной ряд сходится равномерно на , его можно почленно дифференцировать и интегрировать в интервале сходимости.
Ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.
|
Пример: |
|
- сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Этот ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать:
|
Формула Тейлора для
,
где - остаточный член в форме Лагранжа, где .
Функция , имеющая производные всех порядков в интервале , однозначно представима на этом интервале своим рядом Тейлора: , где , тогда и только тогда, когда .
Доказательство:
По формуле Тейлора ,
Так как , то .
- частичная сумма ряда Тейлора, ее предел равен сумме ряда , значит, разложение справедливо.
.
При ряд
называется рядом Маклорена.
Для того, чтобы функцию можно было разложить в степенной ряд на интервале достаточно, чтобы имела на производные всех порядков и чтобы существовала такая постоянная , что при и при всех .
По признаку Даламбера ряд сходится, значит для него выполняется необходимый признак сходимости и его общий член . Значит ,что и требовалось доказать.
Для разложения функции в ряд Тейлора (Маклорена) следует:
1) составить ряд по формуле;
2) найти его область сходимости;
3) доказать, что для всех x из области сходимости .
|
|
, на любом интервале оси , значит для всех . |
(1) |
|
|
(2) |
|
|
|
(3) |
|
|
|
,
|
(4) |
|
|
. Разложение функции получим дифференцированием ряда для |
(5) |
|
|
. Продифференцируем и разложим производную по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: Проинтегрируем это равенство почленно:
Здесь учтено, что разложение остается справедливым и при так как ряд сходится по признаку Лейбница. |
(6) |
|
|
Представим По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии Здесь учтено, что при полученный ряд сходится по признаку Лейбница. При получаем ряд Лейбница для вычисления числа : |
(7) |
|
|
m - произвольное постоянное число.
……………………………………………………………………
|
(8) |
|
|
Область сходимости этого ряда находится по признаку Даламбера:
Можно доказать, что для . Ряд называется биноминальным рядом. При различных постоянных m получим разложения следующих функций: 1) : 2) 3) |
|
|
|
, . Разложим подынтегральную функцию в биноминальный ряд (при и и проинтегрируем почленно: . |
(9) |
|
|
Полученные разложения можно использовать как известные для разложения сложных функций и разложений по степеням двучленов
|
Пример: |
|
|
1). Из разложения экспоненты (1), заменяя на , получим, что , 2). Заменяя на , из разложения для логарифмической функции (6) получим, что 3). Разложить функцию по степеням . Так как , искомое разложение получается из разложения (6) при замене на :
4). Разложить в ряд по степеням функцию (из примера 2) при , равном , следует) . Можно убедиться, что при ряд является условно сходящимся, а при он принимает вид гармонического ряда и расходится. Интервал сходимости 5). Разложить функцию по степеням . Введем новую переменную , тогда . Из разложения . Переходя к старой переменной, получим: |
1) Вычислить с точностью 0,001.
. Ряд сходится при . ,
Ряд знакочередующийся, остаток ряда можно оценить по признаку Лейбница. Найдем член ряда, меньший по модулю, чем 0,001. По признаку Лейбница погрешность от отбрасывания всех членов, начиная с n-го равна значит
.
. Вычислим . Воспользуемся рядами:
При каком значении
Сколько членов нужно оставить, чтобы вычислить с точностью 0,01?
,
.
.
.
Воспользуемся биноминальным рядом, полагая
=, .
Оценим погрешность приближенного равенства:
по формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии при
Для вычисления числа оценим при :
.
Рассмотрим определенный интеграл с конечными пределами вида
1). Для , получим так называемый интеграл Лапласа:
Определим, сколько членов ряда нужно учесть, чтобы получить результат с точностью 0,001. .
Ряд сходится по признаку Лейбница при этом отбросим члены для которых
2). Для , можно вычислить так называемый интегральный синус:
Ищем решение в виде:
По условию поставляя в дифференциальное уравнение получаем
Последовательным дифференцированием исходного дифференциального уравнения находим:
и т.д.
В итоге
при
Ищем решение в виде:
из
Подстановка в уравнение дает:
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:
Пусть - последовательность комплексных чисел.
Выражение называется числовым рядом в комплексной плоскости.
Ряд (1) сходится, если существует конечный предел
где A и B - пределы соответствующих частичных сумм рядов, составленных из действительных и мнимых частей чисел .
Необходимым и достаточным условием сходимости ряда (1) является одновременная сходимость числовых рядов и с действительными членами.
Если сходится положительный ряд , составленный из модулей членов ряда (1), то ряд (1) так же сходится.
Напомним, что
.
.
|
Пример: |
|
|
Исследуйте на сходимость ряды: 1). сходится условно. 2). сходится абсолютно, поскольку а) , ряд сходится абсолютно; б), ряды и сходятся 3). . Сравним полученный ряд со сходящимся рядом , который представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: , исследуемый ряд сходится абсолютно. 4). расходится, т.к. ряд сходится по признаку Даламбера , а ряд расходится по признаку сравнивания с гармоническим рядом 5). расходится, так как . 6). сходится абсолютно, так как . Ряд сходится по признаку Даламбера: . 7). сходится абсолютно, так как . Сравнивая этот ряд со сходящимся рядом , убеждаемся, что исследуемый ряд сходится абсолютно. |
Степенным рядом в комплексной области называется ряд вида
, (1)
где - фиксированные комплексные числа, - независимая комплексная переменная.
При ряд принимает вид (2)
Пусть - некоторое комплексное число. Ряд (1) сходится в точке , если при подстановке в него вместо z числа , получается сходящийся ряд с комплексными членами. В противном случае ряд (1) расходится.
Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится в точке , то он сходится, и притом абсолютно, в любой точке , которая лежит внутри окружности с центром , проходящей через , т.е. для всех z таких, что .
Множество точек z, в которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда.
Для степенных рядов (1) возможны случаи:
1) ряд сходится только при ;
На границе области сходимости ряд может как сходиться, так и расходиться.
Для ряда (2) областью сходимости ряда является круг радиуса R с центром в начале координат.
Радиус сходимости: по признаку Даламбера:
,
по признаку Коши:
.
|
Пример: |
|
|
Найдите области сходимости рядов 1) R=1 Ряд сходится внутри круга и расходится вне этого круга. В точках окружности ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю. 2) . Ряд сходится внутри круга и расходится вне этого круга. На граничной окружности в некоторых точках сходится, а в некоторых расходится. 3) Ряд сходится, притом абсолютно, при любом z.
Ряд сходится только в точке . |
|
В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях,
|