Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
5. Производная в шк курсе математики
Изучение производной функции в программе средней школы —достаточно сложный процесс, однако усвоение этого материала является очень важным. Ведь понятие производной является фундаментальным для более сложных разделов высшей математики —дифференциального исчисления, математического анализа и других. Поэтому без четкого понимания смысла этого математического термина невозможно дальнейшее освоение школьного курса математики.
Сложность подачи информации о производной заключается в том, что это одно из абстрактных понятий, физический смысл которых трудно представить наглядно. Если, например, численные величины, их сумму и произведение, возведение в степень несложно объяснить в понятиях окружающего мира (количество, площадь, объем и т.п.), то смысл производной зачастую ускользает от понимания школьников, поэтому они могут выполнять задачи на ее вычисление чисто механически по затверженным формулам. Это ведет к тому, что в процессе решения учащийся не сможет справиться с заданиями, хоть немного отличающимися от шаблонных, и с такими неравенствами и системами уравнений, где надо применить навыки математического мышления. Педагогам нужно обращать внимание на этот момент и стараться добиться от школьников полного понимания материала.
Производная, как известно, характеризует скорость изменения функции в конкретной точке. Определение этого понятия звучит достаточно сложно: «предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует». Трудность понимания этого определения с точки зрения школьника можно охарактеризовать как «все слова по отдельности понятны, а общий смысл уловить не получается». Разумеется, без подробного и наглядного объяснения ученику останется лишь затучить эту фразу, не понимая ее смысла.
Как же донести до учащихся понятие производной? Это можно сделать, например, простыми примерами из повседневной жизни, а также иллюстрациями физических явлений.
Допустим, два ученика одного класса —назовем их Иванов и Петров —получили за контрольную работу по теме «Системы уравнений и неравенств» по оценке «четыре». При этом Иванов весьма доволен, а Петров опечален. Такое их отношение к оценке станет понятным, если мы будем знать, что Петров —круглый отличник, а Иванов ни разу не получал по математике выше «тройки». То есть, если рассматривать их оценки в динамике, мы видим, что у Иванова наблюдается прирост успеваемости (функция растет, ее производная положительна), а у Петрова, напротив, падение (функция убывает, производная отрицательна). То есть конкретная оценка (точка на графике функции) отображает текущее положение дел, а производная (касательная к графику в этой функции) показывает нам тенденцию развития ситуации.
Аналогично в физике: движение тел характеризуется не только скоростью, но и ускорением, то есть тем, увеличивается или уменьшается ли его скорость. На этих или других подобных примерах можно пояснить, что производная —важнейшая характеристика именно динамики любых процессов, то есть она описывает закон, по которому изменяется мгновенное значение любой функции.
Актуальность темы “Производная в школьном курсе математики” следует из того, что человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач, которые могут быть полностью описаны с помощью функций на математическом языке, а между тем производная является мощным орудием исследования функций. Тема “Производная в школьном курсе математики” является одним из основных разделов начал математического анализа. В связи с недостаточной разработкой данной темы в методическом плане эта тема интересует многих методистов в настоящее время.
Весьма существенное место на занятиях по математике должно занимать решение задач, для наиболее полного усвоения учебного материала. Предполагается, что изучение любой темы сопровождается решением значительного их числа. Большое количество однотипных упражнений по всем узловым темам позволяет выработать у учащихся необходимые практические навыки. Поэтому в данной работе разработана система задач, для наиболее полного усвоения учебного материала.
Урок 1.
Тема: Понятие производной.
Цели:
-образовательная: рассмотреть понятие производной функции;
-развивающая: расширить кругозор учащихся;
-воспитательная: формирование математической грамотности.
Тип занятия: изучение нового материала.
Вид занятия: практикум.
Материал к занятию.
Пусть мы имеем функцию , определенную в некотором промежутке. При каждом значении аргумента из этого промежутка функция имеет определенное значение.
Пусть аргумент получил некоторое приращение . Тогда функция получит некоторое приращение . Таким образом:
при значении аргумента будем иметь ;
при значении аргумента будем иметь .
Найдем приращение функции :
.
Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
.
Найдем предел этого отношения при . Если этот предел существует, то его называют производной данной функции и обозначают . Таким образом, по определению,
или
Задача 1. Дана функция найти ее производную .
Решение. При значении аргумента, равном , имеем . При значении аргумента, равном , имеем . Находим приращение функции:
.
Составляем отношение :
.
Переходя к пределу, найдем производную от данной функции:
.
Итак, производная от функции в произвольной точке равна
.
Задача 2. Дана функция , найти ее производную .
Решение. Рассуждая так же, как и в предыдущем примере, получаем:
, ,
,
,
.
Задача 3. Дана функция , найти ее производную .
Решение. Дадим аргументу приращение , тогда
,
,
,
,
Учитывая, что есть непрерывная функция, окончательно получим:
.
Задача 4. Дана функция . Найти ее производную .
Решение. Дадим аргументу приращение , тогда
,
Но так как
,
то
.
Урок 2.
Тема: Производные основных элементарных функций. Основные правила дифференцирования.
Цели:
-образовательная: рассмотреть таблицу производных основных элементарных функций и правила дифференцирования;
-развивающая: углубить знания по теме;
-воспитательная: формирование математически грамотной речи.
Тип занятия: комбинированный.
Вид занятия: практикум.
Материал к занятию.
Укажем, вначале, производные основных элементарных функций:
Доказательство первой формулы выходит за рамки школьного курса математики. Следующие две формулы доказываются по правилу дифференцирования сложной функции. Производные синуса и косинуса были найдены нами ранее. Последние две формулы докажем ниже, после того как рассмотрим правила дифференцирования.
Основные правила дифференцирования:
;
;
Доказательство этих свойств приводить не будем, отметим лишь, что все они доказываются на основании определения производной функции.
Задача 1. Найти производную функции
Решение. На основании таблицы производных, а также правил дифференцирования находим, что .
Задача 2. Найти производную функции .
Решение. Как известно . Тогда по правилу дифференцирования частного, получим:
.
Задача 3. Вычислите значение производной функции при .
Решение. Найдем производную данной функции:
Теперь найдем значение производной при .
Задача 4. Решите неравенство , если .
Решение. Найдем производную данной функции:
Теперь решаем неравенство:
,
.
Ответ: .
Размещено на http://www.allbest.ru/