У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тематика Отчет по выполнению лабораторной работы N4

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-10

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 19.2.2025

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Кафедра МО ЭВМ

Вычислительная математика

Отчет

по выполнению лабораторной работы N4

                                                            Преподаватель:                Щеголева Н.Л.

         

                                              Студент группы 4351:                Усенко А.В.

Санкт-Петербург, 2006 


Постановка задачи

Необходимо исследовать обусловленность задачи нахождения корня уравнения   для нелинейной функции (Вариант 16). Значение корня х вычисляется  с помощью метода хорд. Функция вычисляется приближенно, с точностью Delta, варьируемой в пределах от 0.1 до 0.000001. Корень уравнения вычисляется с заданной точностью Eps, варьируемой от 0.1 до 0.000001. Вычисления провести для различных наборов параметров Delta, Eps. Теоретически и экспериментально исследовать скорость сходимости и обусловленность метода.

Общие сведения

Пусть найден отрезок [a, b], на котором функция меняет знак. Для определенности положим (a)>0, (b)<0. В методе хорд процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения  принимаются значения x0, x1, . . .  точек пересечения хорды с осью абсцисс, как это показано на рис.1.

  

Сначала находится уравнение хорды АВ:

Для точки пересечения ее с осью абсцисс (x=c0, y=0) получается уравнение

Далее сравниваются знаки величин (a) и (x0) и для рассматриваемого случая оказывается, что корень находится в интервале (a, x0), так как (a)(x0)<0. Отрезок [x0,b] отбрасывается. Следующая итерации состоит в определении нового приближения c1 как точки пересечения хорды АВ1 с осью абсцисс и т.д. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значение (xn) не станет по модулю меньше заданного числа .

Анализ задачи

По графику функции можно произвести отделение корня.

График функции:

Возьмем начальные границы интервала [0;1].

Теоретическое абсолютное число обусловленности . Погрешность вычисления корня определяется по формуле: . Если практическая погрешность вычисления корня больше или равна теоретический, то задача хорошо обусловлена, иначе – плохо обусловлена.

Функция: 

Производная: 


Исходный текст программы

/*

 Файл: Lr_4.cpp

 Автор: Усенко А.В.

 Ред. 1.0  06.10.06

*/

#include <iostream.h>

#include <math.h>

#include <conio.h>

#include <fstream.h>

#include "methods.h"

// Global variables

double F(double); // Function

double F1(double); // Derivative

ofstream f_out; // Output data file

char out_path[11]="output.txt"; // Output file name

double delta=0.1, // function calculating error

eps=0.1, // output data error

eps_theor=0; // Theoretical eps value

double a=0,b=1; // interval borders

void main()

{

clrscr();

double func_val, // value of function

x;  // value of root

int n;  // number of iterations

// file opening

f_out.open(out_path);

if (f_out.fail())

{

cout<<"Impossible to open output file!"<<endl;

exit(1);

}

f_out.setf(ios::fixed);

f_out.setf(ios::showpoint);

/* Calculating & table printing */

delta=0.1;

for (int j=1; j<=6; j++)

{                               

f_out.precision(j);

f_out<<"Delta = "<<delta<<endl;

eps=0.1;

f_out<<"Eps\t\t"<<"X\t\t"<<"F(x)\t\t"<<"N\t"<<"Eps_Theor\t"<<"Condit\n";

for (int i=1; i<=6; i++)

{

 f_out.precision(i);

 x=HORDA(a,b,eps,n);

 f_out<<eps<<"\t"; if (i<6) {f_out<<"\t";};

 f_out<<x<<"\t";   if (i<6) {f_out<<"\t";};

 f_out.precision(j);

 f_out<<F(x)<<"\t"; if ( (j<6) && !((j==5)&&(F(x)<0)) ) {f_out<<"\t";};

 f_out<<n<<"\t";

 eps_theor=delta/fabs(F1(x));

 f_out.precision(6);

 f_out<<eps_theor<<"\t";

 if (eps>=eps_theor) {f_out<<"good\n";}

 else {f_out<<"bad\n";}

 eps = eps/10;

}

f_out<<endl<<endl;

delta = delta/10;

}

f_out.close();

cout<<"Program finished. Press <Enter>...";

getch();

return;

}

// Function definition

double F(double x)

{

extern double delta;

double s;

s = asin(2*x/(1+x*x))-exp(-x*x);

return Round(s,delta);

}

// Derivative definition

double F1(double x)

{

double s;

s=(2-4*x*x)/((1+x*x)*sqrt(1-4*x*x/pow((1+x*x),2))) + 2*x*exp(-x*x);

 return s;

}

Результаты вычислений

В следующей таблице представлены результаты вычисления корня при различных комбинациях параметров Eps, Delta. Также представлены сравнения теоретических и экспериментальных значений абсолютного числа обусловленности.

Delta = 0.1

Eps  X  F(x)  F'(x)  N Eps_Theor Condit

0.1  0.5  0.0  2.2  1 0.045455 good

0.01  0.45  0.0  2.2  1 0.045455 bad

0.001  0.455  0.0  2.2  1 0.045455 bad

0.0001  0.4545  0.0  2.2  1 0.045455 bad

0.00001  0.45455  0.0  2.2  1 0.045455 bad

0.000001 0.454545 0.0  2.2  1 0.045455 bad

Delta = 0.01

Eps  X  F(x)  F'(x)  N Eps_Theor Condit

0.1  0.5  0.04  2.22  1 0.004505 good

0.01  0.44  0.00  2.25  2 0.004444 good

0.001  0.437  0.00  2.25  2 0.004444 bad

0.0001  0.4371  0.00  2.25  2 0.004444 bad

0.00001  0.43706  0.00  2.25  2 0.004444 bad

0.000001 0.437063 0.00  2.25  2 0.004444 bad

Delta = 0.001

Eps  X  F(x)  F'(x)  N Eps_Theor Condit

0.1  0.5  0.038  2.220  1 0.000450 good

0.01  0.44  -0.001  2.249  2 0.000445 good

0.001  0.438  0.000  2.249  3 0.000445 good

0.0001  0.4377  0.000  2.249  3 0.000445 bad

0.00001  0.43773  0.000  2.249  3 0.000445 bad

0.000001 0.437735 0.000  2.249  3 0.000445 bad

Delta = 0.0001

Eps  X  F(x)  F'(x)  N Eps_Theor Condit

0.1  0.5  0.0385  2.2197  1 0.000045 good

0.01  0.44  -0.0019  2.2498  2 0.000044 good

0.001  0.438  0.0000  2.2485  3 0.000044 good

0.0001  0.4379  0.0000  2.2485  3 0.000044 good

0.00001  0.43791  0.0000  2.2485  3 0.000044 bad

0.000001 0.437909 0.0000  2.2485  3 0.000044 bad

Delta = 0.00001

Eps  X  F(x)  F'(x)  N Eps_Theor Condit

0.1  0.5  0.03848  2.21972  1 0.000005 good

0.01  0.44  -0.00188 2.24977  2 0.000004 good

0.001  0.438  0.00000  2.24847  3 0.000004 good

0.0001  0.4379  0.00000  2.24847  3 0.000004 good

0.00001  0.43791  0.00000  2.24847  3 0.000004 good

0.000001 0.437906 0.00000  2.24847  3 0.000004 bad

Delta = 0.000001

Eps  X  F(x)  F'(x)  N Eps_Theor Condit

0.1  0.5  0.038477 2.219724 1 0.000000 good

0.01  0.44  -0.001878 2.249764 2 0.000000 good

0.001  0.438  0.000001 2.248467 3 0.000000 good

0.0001  0.4379  0.000001 2.248467 3 0.000000 good

0.00001  0.43791  0.000001 2.248467 3 0.000000 good

0.000001 0.437907 0.000000 2.248467 4 0.000000 good

Далее представлена таблица, иллюстрирующая сходимость метода хорд.

Delta 0.100000000

Eps 0.100000000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711

/------------------------------/

Delta 0.100000000

Eps 0.010000000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711

/------------------------------/

Delta 0.100000000

Eps 0.001000000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711

/------------------------------/

Delta 0.100000000

Eps 0.000100000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711

/------------------------------/

Delta 0.100000000

Eps 0.000010000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711

/------------------------------/

Delta 0.100000000

Eps 0.000001000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711

/------------------------------/

Delta 0.010000000

Eps 0.100000000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711

/------------------------------/

Delta 0.010000000

Eps 0.010000000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711

2 0.454545455 0.437062937 0.017482517 0.050699701

/------------------------------/

Delta 0.010000000

Eps 0.001000000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711

2 0.454545455 0.437062937 0.017482517 0.050699701

/------------------------------/

Delta 0.010000000

Eps 0.000100000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711

2 0.454545455 0.437062937 0.017482517 0.050699701

/------------------------------/

Delta 0.010000000

Eps 0.000010000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711

2 0.454545455 0.437062937 0.017482517 0.050699701

/------------------------------/

Delta 0.010000000

Eps 0.000001000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711

2 0.454545455 0.437062937 0.017482517 0.050699701

/------------------------------/

Delta 0.001000000

Eps 0.100000000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453926464 0.546073536 0.028500488

/------------------------------/

Delta 0.001000000

Eps 0.010000000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453926464 0.546073536 0.028500488

2 0.453926464 0.437308732 0.016617732 0.037315605

/------------------------------/

Delta 0.001000000

Eps 0.001000000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453926464 0.546073536 0.028500488

2 0.453926464 0.437308732 0.016617732 0.037315605

3 0.437308732 0.437734828 0.000426096 0.287219484

/------------------------------/

Delta 0.001000000

Eps 0.000100000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453926464 0.546073536 0.028500488

2 0.453926464 0.437308732 0.016617732 0.037315605

3 0.437308732 0.437734828 0.000426096 0.287219484

/------------------------------/

Delta 0.001000000

Eps 0.000010000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453926464 0.546073536 0.028500488

2 0.453926464 0.437308732 0.016617732 0.037315605

3 0.437308732 0.437734828 0.000426096 0.287219484

/------------------------------/

Delta 0.001000000

Eps 0.000001000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453926464 0.546073536 0.028500488

2 0.453926464 0.437308732 0.016617732 0.037315605

3 0.437308732 0.437734828 0.000426096 0.287219484

/------------------------------/

Delta 0.000100000

Eps 0.100000000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453947070 0.546052930 0.028537147

/------------------------------/

Delta 0.000100000

Eps 0.010000000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453947070 0.546052930 0.028537147

2 0.453947070 0.437118026 0.016829044 0.049156687

/------------------------------/

Delta 0.000100000

Eps 0.001000000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453947070 0.546052930 0.028537147

2 0.453947070 0.437118026 0.016829044 0.049156687

3 0.437118026 0.437909491 0.000791465 0.003760236

/------------------------------/

Delta 0.000100000

Eps 0.000100000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453947070 0.546052930 0.028537147

2 0.453947070 0.437118026 0.016829044 0.049156687

3 0.437118026 0.437909491 0.000791465 0.003760236

/------------------------------/

Delta 0.000100000

Eps 0.000010000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453947070 0.546052930 0.028537147

2 0.453947070 0.437118026 0.016829044 0.049156687

3 0.437118026 0.437909491 0.000791465 0.003760236

/------------------------------/

Delta 0.000100000

Eps 0.000001000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453947070 0.546052930 0.028537147

2 0.453947070 0.437118026 0.016829044 0.049156687

3 0.437118026 0.437909491 0.000791465 0.003760236

/------------------------------/

Delta 0.000010000

Eps 0.100000000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453942948 0.546057052 0.028529815

/------------------------------/

Delta 0.000010000

Eps 0.010000000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453942948 0.546057052 0.028529815

2 0.453942948 0.437122476 0.016820473 0.048891838

/------------------------------/

Delta 0.000010000

Eps 0.001000000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453942948 0.546057052 0.028529815

2 0.453942948 0.437122476 0.016820473 0.048891838

3 0.437122476 0.437905986 0.000783511 0.000688163

/------------------------------/

Delta 0.000010000

Eps 0.000100000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453942948 0.546057052 0.028529815

2 0.453942948 0.437122476 0.016820473 0.048891838

3 0.437122476 0.437905986 0.000783511 0.000688163

/------------------------------/

Delta 0.000010000

Eps 0.000010000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453942948 0.546057052 0.028529815

2 0.453942948 0.437122476 0.016820473 0.048891838

3 0.437122476 0.437905986 0.000783511 0.000688163

/------------------------------/

Delta 0.000010000

Eps 0.000001000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453942948 0.546057052 0.028529815

2 0.453942948 0.437122476 0.016820473 0.048891838

3 0.437122476 0.437905986 0.000783511 0.000688163

/------------------------------/

Delta 0.000001000

Eps 0.100000000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453943567 0.546056433 0.028530915

/------------------------------/

Delta 0.000001000

Eps 0.010000000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453943567 0.546056433 0.028530915

2 0.453943567 0.437124334 0.016819233 0.048774093

/------------------------------/

Delta 0.000001000

Eps 0.001000000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453943567 0.546056433 0.028530915

2 0.453943567 0.437124334 0.016819233 0.048774093

3 0.437124334 0.437907050 0.000782716 0.000670251

/------------------------------/

Delta 0.000001000

Eps 0.000100000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453943567 0.546056433 0.028530915

2 0.453943567 0.437124334 0.016819233 0.048774093

3 0.437124334 0.437907050 0.000782716 0.000670251

/------------------------------/

Delta 0.000001000

Eps 0.000010000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453943567 0.546056433 0.028530915

2 0.453943567 0.437124334 0.016819233 0.048774093

3 0.437124334 0.437907050 0.000782716 0.000670251

/------------------------------/

Delta 0.000001000

Eps 0.000001000

N X(i-1)  X(i)  |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|

1 1.000000000 0.453943567 0.546056433 0.028530915

2 0.453943567 0.437124334 0.016819233 0.048774093

3 0.437124334 0.437907050 0.000782716 0.000670251

4 0.437907050 0.437906633 0.000000417 0.205440400

/------------------------------/

Теоретически метод хорд сходится линейно, что и можно наблюдать в таблице.

, где c = const  , 0<c<1. В нашем случае c не превышает 0.3. В общем случае константа с зависит от вида функции (значения первой производной в σ-окрестности корня).

Вывод

Как видно из результатов вычислений, задача хорошо обусловлена в случаях, когда требуемая погрешность результата меньше или равна погрешности входных данных. Необходимое количество итераций повышается с увеличением точности входных данных. Для достижения тех же результатов методу хорд потребовалось намного меньше итераций, чем методу бисекции. При малых погрешностях число итераций по сравнению с методом бисекции сократилось в 5 раз. Экспериментальная сходимость метода хорд, как и теоретическая, имеет линейный характер.




1. Інформаційно-правові основи забезпечення безпеки мореплавства.html
2. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук
3. txt на html недостатньо.html
4. оперативное соединение обломков костей
5. тема військовофізичної підготовки на Запорізькій Січі
6. характеризуются общими наследственными физиологическими особенностями связанными с единством происхожде
7. Формула успеха современного eventагентства Авторский тренинг Технологии продаж eventуслуг с исполь
8. Лекция 1 Введение 4 часа ~ 2 занятия Туризм временные путешествия граждан России иностранных граж
9. Вариант 9 1 Типичным признаком острого аппендицита является- 1
10. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь.