тематика Отчет по выполнению лабораторной работы N4
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»
Кафедра МО ЭВМ
Вычислительная математика
Отчет
по выполнению лабораторной работы N4
Преподаватель: Щеголева Н.Л.
Студент группы 4351: Усенко А.В.
Санкт-Петербург, 2006
Постановка задачи
Необходимо исследовать обусловленность задачи нахождения корня уравнения для нелинейной функции (Вариант 16). Значение корня х вычисляется с помощью метода хорд. Функция вычисляется приближенно, с точностью Delta, варьируемой в пределах от 0.1 до 0.000001. Корень уравнения вычисляется с заданной точностью Eps, варьируемой от 0.1 до 0.000001. Вычисления провести для различных наборов параметров Delta, Eps. Теоретически и экспериментально исследовать скорость сходимости и обусловленность метода.
Общие сведения
Пусть найден отрезок [a, b], на котором функция меняет знак. Для определенности положим (a)>0, (b)<0. В методе хорд процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимаются значения x0, x1, . . . точек пересечения хорды с осью абсцисс, как это показано на рис.1.
Сначала находится уравнение хорды АВ:
Для точки пересечения ее с осью абсцисс (x=c0, y=0) получается уравнение
Далее сравниваются знаки величин (a) и (x0) и для рассматриваемого случая оказывается, что корень находится в интервале (a, x0), так как (a)(x0)<0. Отрезок [x0,b] отбрасывается. Следующая итерации состоит в определении нового приближения c1 как точки пересечения хорды АВ1 с осью абсцисс и т.д. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значение (xn) не станет по модулю меньше заданного числа .
Анализ задачи
По графику функции можно произвести отделение корня.
График функции:
Возьмем начальные границы интервала [0;1].
Теоретическое абсолютное число обусловленности . Погрешность вычисления корня определяется по формуле: . Если практическая погрешность вычисления корня больше или равна теоретический, то задача хорошо обусловлена, иначе – плохо обусловлена.
Функция:
Производная:
Исходный текст программы
/*
Файл: Lr_4.cpp
Автор: Усенко А.В.
Ред. 1.0 06.10.06
*/
#include <iostream.h>
#include <math.h>
#include <conio.h>
#include <fstream.h>
#include "methods.h"
// Global variables
double F(double); // Function
double F1(double); // Derivative
ofstream f_out; // Output data file
char out_path[11]="output.txt"; // Output file name
double delta=0.1, // function calculating error
eps=0.1, // output data error
eps_theor=0; // Theoretical eps value
double a=0,b=1; // interval borders
void main()
{
clrscr();
double func_val, // value of function
x; // value of root
int n; // number of iterations
// file opening
f_out.open(out_path);
if (f_out.fail())
{
cout<<"Impossible to open output file!"<<endl;
exit(1);
}
f_out.setf(ios::fixed);
f_out.setf(ios::showpoint);
/* Calculating & table printing */
delta=0.1;
for (int j=1; j<=6; j++)
{
f_out.precision(j);
f_out<<"Delta = "<<delta<<endl;
eps=0.1;
f_out<<"Eps\t\t"<<"X\t\t"<<"F(x)\t\t"<<"N\t"<<"Eps_Theor\t"<<"Condit\n";
for (int i=1; i<=6; i++)
{
f_out.precision(i);
x=HORDA(a,b,eps,n);
f_out<<eps<<"\t"; if (i<6) {f_out<<"\t";};
f_out<<x<<"\t"; if (i<6) {f_out<<"\t";};
f_out.precision(j);
f_out<<F(x)<<"\t"; if ( (j<6) && !((j==5)&&(F(x)<0)) ) {f_out<<"\t";};
f_out<<n<<"\t";
eps_theor=delta/fabs(F1(x));
f_out.precision(6);
f_out<<eps_theor<<"\t";
if (eps>=eps_theor) {f_out<<"good\n";}
else {f_out<<"bad\n";}
eps = eps/10;
}
f_out<<endl<<endl;
delta = delta/10;
}
f_out.close();
cout<<"Program finished. Press <Enter>...";
getch();
return;
}
// Function definition
double F(double x)
{
extern double delta;
double s;
s = asin(2*x/(1+x*x))-exp(-x*x);
return Round(s,delta);
}
// Derivative definition
double F1(double x)
{
double s;
s=(2-4*x*x)/((1+x*x)*sqrt(1-4*x*x/pow((1+x*x),2))) + 2*x*exp(-x*x);
return s;
}
Результаты вычислений
В следующей таблице представлены результаты вычисления корня при различных комбинациях параметров Eps, Delta. Также представлены сравнения теоретических и экспериментальных значений абсолютного числа обусловленности.
Delta = 0.1
Eps X F(x) F'(x) N Eps_Theor Condit
0.1 0.5 0.0 2.2 1 0.045455 good
0.01 0.45 0.0 2.2 1 0.045455 bad
0.001 0.455 0.0 2.2 1 0.045455 bad
0.0001 0.4545 0.0 2.2 1 0.045455 bad
0.00001 0.45455 0.0 2.2 1 0.045455 bad
0.000001 0.454545 0.0 2.2 1 0.045455 bad
Delta = 0.01
Eps X F(x) F'(x) N Eps_Theor Condit
0.1 0.5 0.04 2.22 1 0.004505 good
0.01 0.44 0.00 2.25 2 0.004444 good
0.001 0.437 0.00 2.25 2 0.004444 bad
0.0001 0.4371 0.00 2.25 2 0.004444 bad
0.00001 0.43706 0.00 2.25 2 0.004444 bad
0.000001 0.437063 0.00 2.25 2 0.004444 bad
Delta = 0.001
Eps X F(x) F'(x) N Eps_Theor Condit
0.1 0.5 0.038 2.220 1 0.000450 good
0.01 0.44 -0.001 2.249 2 0.000445 good
0.001 0.438 0.000 2.249 3 0.000445 good
0.0001 0.4377 0.000 2.249 3 0.000445 bad
0.00001 0.43773 0.000 2.249 3 0.000445 bad
0.000001 0.437735 0.000 2.249 3 0.000445 bad
Delta = 0.0001
Eps X F(x) F'(x) N Eps_Theor Condit
0.1 0.5 0.0385 2.2197 1 0.000045 good
0.01 0.44 -0.0019 2.2498 2 0.000044 good
0.001 0.438 0.0000 2.2485 3 0.000044 good
0.0001 0.4379 0.0000 2.2485 3 0.000044 good
0.00001 0.43791 0.0000 2.2485 3 0.000044 bad
0.000001 0.437909 0.0000 2.2485 3 0.000044 bad
Delta = 0.00001
Eps X F(x) F'(x) N Eps_Theor Condit
0.1 0.5 0.03848 2.21972 1 0.000005 good
0.01 0.44 -0.00188 2.24977 2 0.000004 good
0.001 0.438 0.00000 2.24847 3 0.000004 good
0.0001 0.4379 0.00000 2.24847 3 0.000004 good
0.00001 0.43791 0.00000 2.24847 3 0.000004 good
0.000001 0.437906 0.00000 2.24847 3 0.000004 bad
Delta = 0.000001
Eps X F(x) F'(x) N Eps_Theor Condit
0.1 0.5 0.038477 2.219724 1 0.000000 good
0.01 0.44 -0.001878 2.249764 2 0.000000 good
0.001 0.438 0.000001 2.248467 3 0.000000 good
0.0001 0.4379 0.000001 2.248467 3 0.000000 good
0.00001 0.43791 0.000001 2.248467 3 0.000000 good
0.000001 0.437907 0.000000 2.248467 4 0.000000 good
Далее представлена таблица, иллюстрирующая сходимость метода хорд.
Delta 0.100000000
Eps 0.100000000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711
/------------------------------/
Delta 0.100000000
Eps 0.010000000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711
/------------------------------/
Delta 0.100000000
Eps 0.001000000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711
/------------------------------/
Delta 0.100000000
Eps 0.000100000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711
/------------------------------/
Delta 0.100000000
Eps 0.000010000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711
/------------------------------/
Delta 0.100000000
Eps 0.000001000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711
/------------------------------/
Delta 0.010000000
Eps 0.100000000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711
/------------------------------/
Delta 0.010000000
Eps 0.010000000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711
2 0.454545455 0.437062937 0.017482517 0.050699701
/------------------------------/
Delta 0.010000000
Eps 0.001000000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711
2 0.454545455 0.437062937 0.017482517 0.050699701
/------------------------------/
Delta 0.010000000
Eps 0.000100000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711
2 0.454545455 0.437062937 0.017482517 0.050699701
/------------------------------/
Delta 0.010000000
Eps 0.000010000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711
2 0.454545455 0.437062937 0.017482517 0.050699701
/------------------------------/
Delta 0.010000000
Eps 0.000001000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.454545455 0.545454545 0.029601711
2 0.454545455 0.437062937 0.017482517 0.050699701
/------------------------------/
Delta 0.001000000
Eps 0.100000000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453926464 0.546073536 0.028500488
/------------------------------/
Delta 0.001000000
Eps 0.010000000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453926464 0.546073536 0.028500488
2 0.453926464 0.437308732 0.016617732 0.037315605
/------------------------------/
Delta 0.001000000
Eps 0.001000000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453926464 0.546073536 0.028500488
2 0.453926464 0.437308732 0.016617732 0.037315605
3 0.437308732 0.437734828 0.000426096 0.287219484
/------------------------------/
Delta 0.001000000
Eps 0.000100000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453926464 0.546073536 0.028500488
2 0.453926464 0.437308732 0.016617732 0.037315605
3 0.437308732 0.437734828 0.000426096 0.287219484
/------------------------------/
Delta 0.001000000
Eps 0.000010000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453926464 0.546073536 0.028500488
2 0.453926464 0.437308732 0.016617732 0.037315605
3 0.437308732 0.437734828 0.000426096 0.287219484
/------------------------------/
Delta 0.001000000
Eps 0.000001000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453926464 0.546073536 0.028500488
2 0.453926464 0.437308732 0.016617732 0.037315605
3 0.437308732 0.437734828 0.000426096 0.287219484
/------------------------------/
Delta 0.000100000
Eps 0.100000000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453947070 0.546052930 0.028537147
/------------------------------/
Delta 0.000100000
Eps 0.010000000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453947070 0.546052930 0.028537147
2 0.453947070 0.437118026 0.016829044 0.049156687
/------------------------------/
Delta 0.000100000
Eps 0.001000000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453947070 0.546052930 0.028537147
2 0.453947070 0.437118026 0.016829044 0.049156687
3 0.437118026 0.437909491 0.000791465 0.003760236
/------------------------------/
Delta 0.000100000
Eps 0.000100000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453947070 0.546052930 0.028537147
2 0.453947070 0.437118026 0.016829044 0.049156687
3 0.437118026 0.437909491 0.000791465 0.003760236
/------------------------------/
Delta 0.000100000
Eps 0.000010000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453947070 0.546052930 0.028537147
2 0.453947070 0.437118026 0.016829044 0.049156687
3 0.437118026 0.437909491 0.000791465 0.003760236
/------------------------------/
Delta 0.000100000
Eps 0.000001000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453947070 0.546052930 0.028537147
2 0.453947070 0.437118026 0.016829044 0.049156687
3 0.437118026 0.437909491 0.000791465 0.003760236
/------------------------------/
Delta 0.000010000
Eps 0.100000000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453942948 0.546057052 0.028529815
/------------------------------/
Delta 0.000010000
Eps 0.010000000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453942948 0.546057052 0.028529815
2 0.453942948 0.437122476 0.016820473 0.048891838
/------------------------------/
Delta 0.000010000
Eps 0.001000000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453942948 0.546057052 0.028529815
2 0.453942948 0.437122476 0.016820473 0.048891838
3 0.437122476 0.437905986 0.000783511 0.000688163
/------------------------------/
Delta 0.000010000
Eps 0.000100000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453942948 0.546057052 0.028529815
2 0.453942948 0.437122476 0.016820473 0.048891838
3 0.437122476 0.437905986 0.000783511 0.000688163
/------------------------------/
Delta 0.000010000
Eps 0.000010000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453942948 0.546057052 0.028529815
2 0.453942948 0.437122476 0.016820473 0.048891838
3 0.437122476 0.437905986 0.000783511 0.000688163
/------------------------------/
Delta 0.000010000
Eps 0.000001000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453942948 0.546057052 0.028529815
2 0.453942948 0.437122476 0.016820473 0.048891838
3 0.437122476 0.437905986 0.000783511 0.000688163
/------------------------------/
Delta 0.000001000
Eps 0.100000000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453943567 0.546056433 0.028530915
/------------------------------/
Delta 0.000001000
Eps 0.010000000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453943567 0.546056433 0.028530915
2 0.453943567 0.437124334 0.016819233 0.048774093
/------------------------------/
Delta 0.000001000
Eps 0.001000000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453943567 0.546056433 0.028530915
2 0.453943567 0.437124334 0.016819233 0.048774093
3 0.437124334 0.437907050 0.000782716 0.000670251
/------------------------------/
Delta 0.000001000
Eps 0.000100000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453943567 0.546056433 0.028530915
2 0.453943567 0.437124334 0.016819233 0.048774093
3 0.437124334 0.437907050 0.000782716 0.000670251
/------------------------------/
Delta 0.000001000
Eps 0.000010000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453943567 0.546056433 0.028530915
2 0.453943567 0.437124334 0.016819233 0.048774093
3 0.437124334 0.437907050 0.000782716 0.000670251
/------------------------------/
Delta 0.000001000
Eps 0.000001000
N X(i-1) X(i) |X(i)-X(i-1)| |(X(i)-X)/(X(i-1)-X)|
1 1.000000000 0.453943567 0.546056433 0.028530915
2 0.453943567 0.437124334 0.016819233 0.048774093
3 0.437124334 0.437907050 0.000782716 0.000670251
4 0.437907050 0.437906633 0.000000417 0.205440400
/------------------------------/
Теоретически метод хорд сходится линейно, что и можно наблюдать в таблице.
, где c = const ≈ , 0<c<1. В нашем случае c не превышает 0.3. В общем случае константа с зависит от вида функции (значения первой производной в σ-окрестности корня).
Вывод
Как видно из результатов вычислений, задача хорошо обусловлена в случаях, когда требуемая погрешность результата меньше или равна погрешности входных данных. Необходимое количество итераций повышается с увеличением точности входных данных. Для достижения тех же результатов методу хорд потребовалось намного меньше итераций, чем методу бисекции. При малых погрешностях число итераций по сравнению с методом бисекции сократилось в 5 раз. Экспериментальная сходимость метода хорд, как и теоретическая, имеет линейный характер.
2. Принятие проектных решений в задачах производственного и операционного менеджмента
3. Особенности обучения детей ходьбе на лыжах в старшем дошкольном возрасте
4. по теме 10 Дисциплина Местные финансы Подготовил Нарадько Алексей 1
5. Теогенезис - драматический путь человечества к воссоединению с Абсолютом
6. Административно-территориальное устройство субъектов Российской Федерации.html
7. тематики и физики ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИЧЕСКО
8. Знаменательные и памятные даты Омского Прииртышья обращает внимание читателей на наиболее значительные и
9. Вместе с высыханием образца в нем развиваются большие силы давления сжатия обусловливающие усадку цемент
10. аt Осн Дифференциальное уре тогда имеет вид Ld2q-dt2Rdq-dt1-Cqэпсилон0sinомегаt
11. Гжельский государственный художественнопромышленный институт Объединенный совет обучающихс
12. ТЕМА 1 ПРЕДМЕТ МЕТОД И ОСНОВНЫЕ КАТЕГОРИИ СТАТИСТИКИ КАК НАУКИ Слово ldquo;статистикаrdquo; имеет латинское
13. план Методические указания к лабораторной работе
14. Дидактика початкового навчання
15. В предшествующей главе мы начали наше исследование поведения фирмы нацеленного на максимизацию прибыли в к
16. тема это устройство денежного обращения в стране сложившееся исторически закрепленное национальным зако
17. тематизация полученных ранее знаний овладение навыков проведения научного исследования
18. педагогическая оценка
19. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата педагогічних наук2
20. Учет затрат исследование себестоимости и эффективности производства молока и готовой продукции.html