Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.Операции и отношения над множетсвами.
Множество относится к категории наиболее общих, основополагающих понятий математики, поэтому вместо строгого определения обычно принимается некоторое основное положение о множестве и его элементах. Синонимами слова "множество" являются слова "совокупность", "класс", "коллекция", "собрание", "список". Основоположником теории множеств, как математической теории, считается немецкий математик Георг Кантор (конец 19 века).
Определение множества, данное Кантором. Множество - это многое, мыслимое нами, как единое целое. В качестве рабочего определения примем следующее утверждение. Множество – совокупность определенных и различимых между собой объектов таких, что для любого объекта можно установить принадлежит он данной совокупности или нет. Для обозначения множеств и их элементов будем использовать латинские буквы, а именно: прописные буквы для обозначения множеств и строчные буквы для обозначения элементов. В случае необходимости при обозначении будем использовать индексы. Таким образом, будут использоваться следующие обозначения для множе и для элементов: .
Известные математические множества: N – множество натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; R – множество вещественных чисел; C – множество комплексных чисел. Тот факт, что множество A состоит из объектов и только из них условно записывается следующим образом:
.
Объекты называются элементами множества A. Утверждение "а является элементом множества А" записывается в виде аА (а принадлежит множеству А). Утверждение "а не является элементом множества А" записывается в виде аА (а не принадлежит множеству А).
Способы задания множеств
1) Перечисление элементов. А = {1,3,5,6,889,-10}
2) Задание определяющего свойства. X = { x | 1 > х > 5, x є N }; А = {a2 | a - четное число}.
Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, а множество, состоящее из бесконечного числа элементов — бесконечным.
Число элементов конечного множества – мощность, норма, кардинальное число: |А|.
Пустое множество – множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество обозначается или .
Универсальное множество – множество всех, всевозможных, рассматриваемых в данном классе задач элементов. Универсальное множество обозначается U.
Отношения на множествах
Множества А и В называются равными или тождественно равными, тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов(обозначается А = В или А ≡ В). Множества А и В называются равными или тождественно равными, тогда и только тогда, когда каждый элемент множества А есть элемент множества В и наоборот, иначе множества не равны (А ≠ В). Если каждый элемент множества А является также элементом множества В, то говорят, что А содержится или включается в В. В этом случае пишут А В. Множество A – подмножество множества B, если A B. В тех случаях, когда одновременно имеют место соотношения A B и A B(причем последнее особенно хотят подчеркнуть в явном виде), говорят, что A строго включается в B, и используют запись A B.
Строгое включение означает, что A B и во множестве В существует хотя бы один элемент, который не принадлежит А. Множества А и В называются равными, т. и т.т., когда A B и В А.
Свойства подмножеств:
1)Пустое множество является подмножеством любого множества: Ø А. 2)Само множество является своим подмножеством: А А. 3)Любое множество является подмножеством соответствующего универсального множества: A U. 4)Для любого множества А его подмножествами являются пустое множество и само множество А.
Эти подмножества принято называть несобственными, а все отличные от них подмножества — собственными.
Булеан
Рассмотрим конечное множество , |А|=n. Множество всех, всевозможных подмножеств конечного множества А называют множеством-степенью или булеаном и обозначают Ρ(А). Теорема: для любого множества А, состоящего из n элементов существует различных подмножеств, т.е. .
Для наглядного изображения соотношений между подмножествами некоторого универсума используют круги Эйлера (диаграмм Венна). Универсум изображается множеством точек плоскости, ограниченных прямоугольником, а его подмножества - в виде кругов (любых простых областей, ограниченных замкнутой линией) внутри этого прямоугольника. Множество-результат выделяют штриховкой.
Операции над множествами
Объединение множеств A и B (обозначается A B) – множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств, т.е.
A B = а а A или а B.
A B
U
Пересечение множеств A и B (обозначается А ∩ B) – множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, т.е.
A B
U
A B
А ∩ B = а а А и а B.
A B
Разность множеств А и B (обозначается А \ B) – множество, состоящее из всех элементов множества A, не принадлежащих множеству B, т.е.
A \ B
U
А \ B =а а А и а B.
A
U
Дополнение множества А в универсальном множестве U(обозначается , А)– множество, состоящее из всех элементов универсального множества U, не принадлежащих множеству А, т.е. А = U \ A.
Симметрическая разность множеств A и B (обозначается A B или A B) – множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих в точности одному из этих множеств, т.е.
A B
U
A B
AB а либо а A и а B, либо а A и а B
A B = (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B)