Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся
в математике и её приложениях
701. Составить уравнение геометрического места точек, произ ведение расстояний которых до двух данных точек F1 (— с; 0) и
Черт. 23. Черт. 24.
F2 (с; 0) есть постоянная величина а2. Такое геометрическое место точек называется о в а л о м К а с с и н и (черт. 23).
702. Составить уравнение геометрического места точек, про-. изведение расстояний которых до двух данных точек F1 (— а; 0) и F2 (а; 0) есть постоянная величина а2. Такое геометрическое место точек называется л е м н и с к а т о й (черт. 24). (Уравнение лемнискаты сначала найти непосредственно, потом — рассматривая её как частный вид овала Кассини.) Составить также уравнение лемнискаты в полярных координатах, совмещая полярную ось с поло жительной полуосью Ох и полюс с началом координат.
703. Составить уравнение геометрического места оснований пер пендикуляров, опущенных из начала координат на прямые, отсе кающие от координатного угла треугольники постоянной площади S.
У к а з а н и е. Составить уравнение сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох.
704. Доказать, что геометрическое место точек задачи 703 есть лемниската (см. задачу 702).
У к а з а н и е. Повернуть координатные оси на угол в 45°.
705. Луч а, в начальном положении совпадающий с полярной осью, вращается вокруг полюса О с постоянной угловой ско ростью ω. Составить в данной системе полярных координат уравне ние траектории точки М, которая, имея начальное положение в О, движется по лучу а равномерно со скоростью v (спираль Архи меда, черт. 25).
706. Дана прямая х=2r и окружность радиуса r, которая про ходит через начало координат О и касается данной прямой. Из точки О проведен луч, пересекающий данную окружность в точке В и данную прямую в точке С, на котором отложен отрезок
ОМ = ВС (черт. 26). При вра щении луча длина отрезка ОМ меняется и точка М описывает кривую, называемую ц и с с о и д о й. Составить уравнение циссоиды.
707. Дана прямая х = а (а > 0) и окружность диаметра а, прохо дящая через начало координат О, и касающаяся данной прямой. Из точки О проведён луч, пересекаю щий окружность в точке А и дан ную прямую в точке В. Из точек А и В проведены прямые, парал лельные соответственно осям Оу и Ох (черт. 27). Точка М пересе чения этих прямых при вращении луча описывает кривую, называемую в е р з ь е р о й. Составить её урав нение.
708. Из точки А (— а; 0), где a > 0, проведён луч АВ (черт. 28), на котором по обе стороны от
Черт. 25. точки В отложены отрезки ВМ и BN одинаковой длины b (b = const.). При вращении луча точки М к N описывают кривую, назы ваемую конхоидой. Составить её уравнение сначала в полярных координатах, помещая полюс в точку А и направляя полярную ось в положительном направлении оси Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.
709. Из точки А(—а; 0), где a > 0, проведён луч АВ (черт. 29), на котором по обе стороны от точки В отложены отрезки ВМ и BN, равные 0В. При вращении луча точки М и N описы вают кривую, называемую с т р о ф о и д о й. Составить её урав нение сначала в полярных координатах, помещая полюс в точке А и направляя полярную ось в положительном направлении оси Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.
710. Из начала координат проведён луч, пересекающий данную окружность x2 + y2 = 2ax (а > 0) в точке В (черт. 30); на луче
Черт. 26. Черт. 27.
по обе стороны от точки В отложены равные между собой отрезки ВМ и BN постоянной длины b, При вращении луча точки М и N
Черт. 28. Черт. 29.
описывают кривую, называемую у л и т к о й П а с к а л я (черт. 30). Составить её уравнение сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых
прямоугольных координат.
711. Отрезок длины 2а движется так, что его концы всё время находятся на координатных осях. Составить уравнение траектории основания М перпендикуляра, опущенного из начала коорди нат на отрезок (черт. 31), сна чала в полярных координатах, совмещая полюс с началом ко ординат и полярную ось с поло жительной полуосью Ох, а затем перейти к данной си стеме декартовых прямоуголь ных координат. Точка М описывает кривую, называемую четырёхлепестковой розой.
712. Отрезок длины а дви жется так, что его концы всё время находятся на коорди натных осях (черт. 32). Через концы отрезка проведены пря мые, параллельные координат ным осям, до их взаимного пересечения в точке Р. Соста вить уравнение траектории основания М перпендикуляра, опущенного из точки Р на от резок. Эта траектория назы вается а с т р о и д о й.
У к а з а н и е. Составить сна чала параметрические уравнения астроиды, выбирая параметр t, как указано на черт. 32 (затем исклю чить параметр t).
713. Из точки В пересече ния луча ОВ с окружностью х2+у2 = ах опущен перпен дикуляр ВС на ось Ох. Из точки С на луч ОВ опущен перпенди куляр СМ. Вывести уравнение траектории точки М сначала в по лярных координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.
714. Нить, намотанная на окружность х2 + у2 = а2, разматы вается так, что в точке В, где нить отделяется от окружности, она
остаётся касательной к ней (черт. 33). Найти параметрические уравнения линии, описываемой концом нити, если начальным положе нием конца является точка А (а; 0), где a > 0. Линия, о которой идёт речь, называется э в о л ь в е н т о й к р у г а.
Черт. 32. Черт. 33.
715. Круг радиуса а катится без скольжения по оси Ох. Траек тория некоторой точки М окружности этого круга называется циклоидой (черт. 34). Вывести параметрические уравнения циклоиды, принимая в качестве параметра t угол, на который по ворачивается катящаяся окружность вокруг своего центра; считать при этом, что в начальный момент (t = 0) точка М находится в начале коор динат. Исключить параметр t из полу ченных уравнений.
716. Круг радиуса а катится без скольжения по окружности х2 +у2=а2, оставаясь вне её. Траектория некоторой точки M окружности Черт. 34.
катяще гося круга называется к а р д и о и д о й (черт. 35). Вывести параме трические уравнения кардиоиды, выбирая в качестве параметра t угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной окружности, проведён ного в точку касания с подвижной. Считать при этом, что в на чальный момент (t = Q) точка М находится справа на оси Ох. Перейти к полярным координатам при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в точке А.
Доказать, что кардиоида есть частный вид улитки Паскаля (см. задачу 710).
717. Круг радиуса а катится без скольжения по окружности х2 + у2 = b2, оставаясь вне её. Траектория некоторой точки М окружности катящегося круга называется эпициклоидой
(черт. 36). Вывести параметрические уравнения эпициклоиды, выби рая в качестве параметра t угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной окружности, проведённого в точку касания с подвижной; счи тать при этом, что в начальный мо мент (t = 0) точка М находится справа на оси Ох. Доказать, что кардиоида (см. задачу 716) есть частный вид эпициклоиды.
718. Круг радиуса а катит ся без скольжения по окружно сти х2 + у2 = b2, оставаясь внутри неё. Траектория некоторой точ ки М окружности катящегося кру га называется гипоциклоидой (черт. 37). Вывести параметрические уравнения гипоциклоиды, выбирая в качестве параметра t угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной окружности, проведённого в точку касания с подвижной; считать при этом, что в начальный момент (t = 0) точка М находится справа на оси Ох, Доказать, что аст роида (см. задачу 712) есть частный вид гипоциклоиды.