Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный
инженерно-экономический университет»
ЗАОЧНОЕ ОБУЧЕНИЕ
МАТЕМАТИКА
Методические указания к изучению дисциплины
и выполнению контрольной работы №1
для студентов заочной формы обучения
специальностей 060400, 060500, 060800,
061100, 061500, 062200, 351400.
Санкт-Петербург
2005
Допущено
редакционно-издательским советом СПбГИЭУ
в качестве методического издания
Составители
канд. технических наук, доцент В.Н.Ассаул
канд. экономических наук, доцент С.Е.Игнатова
старший преподаватель Н.А.Полозенко
старший преподаватель Т.Н.Грузина
Рецензент канд. экономических наук доцент Малевич.Ю.В.
Подготовлено на кафедре высшей математики
Одобрено научно-методическим советом
специальностей 060400, 060500, 060800,
061100, 061500,062200,351400.
Отпечатано в авторской редакции с оригинал-макета,
представленного составителями
СПбГИЭУ, 2005
Содержание
Стр.
Общие положения
Методические указания к изучению дисциплины
Методические указания к выполнению контрольной работы
Выбор варианта 4
Контрольные задания:
Матрицы и определители (задача 1) 13
1.варианты заданий
2.указания к решению
3.примеры
Прямая на плоскости (задачи 2) 19
1.варианты заданий
2.указания к решению
3.примеры
Прямая в пространстве (задача 3) 23
1.варианты заданий
2.указания к решению
3.примеры
Собственные числа и собственные векторы (задача 4). 27
1.варианты заданий
2.указания к решению
3.примеры
Решение систем линейных уравнений (метод Жордана).
(задача 5). 31
1.варианты заданий
2.указания к решению
3.примеры
Требования к оформлению контрольной работы
Список литературы
Приложение 1 (содержание дисциплины)
Приложение 2 (оформление титульного листа)
1. Общие положения
1.1. Цель курса – дать необходимый математический аппарат и привить навыки его использования при решении инженерно-экономических задач.
Задачи дисциплины - освоение методов математического моделирования экономических ситуаций, математических методов их исследования и решения (аналитически и при помощи вычислительной техники), методов анализа полученных результатов. Это способствует также развитию логического и алгоритмического мышления.
Значительная часть материала выносится на самостоятельную проработку, что служит развитию навыков самостоятельного изучения литературы по математике и ее приложениям.
1.2. Программа математической подготовки специалистов в области экономики включает следующие принципы:
1. Изучение высшей математики для формирования фундаментальных знаний молодого специалиста;
2. Использование высшей математики как аппарата для экономических исследований;
3. Закладка фундамента для непрерывной математической подготовки, необходимой для проведения современных экономических исследований, изучения и внедрения новых технологий.
1.3.Высшая математика как учебная дисциплина в системе обучения бакалавров и дипломированных специалистов опирается на школьный курс математики,используя все его разделы.
Изученные в курсе математики методы и алгоритмы используются во всех параллельных с ним и последующих за ним курсах дисциплин.
1.4. При изучении дисциплины студент должен:
знать основные положения в области высшей математики;
уметь использовать основные понятия и теоремы в практической деятельности; научиться собирать и систематизировать материал практической деятельности, получить первоначальные навыки его обработки.
1.5.Формой контроля является экзамен.
2. Методические указания к изучению дисциплины
Желательно изучать методическое пособие в порядке изложения материала. Возможно изучение отдельной темы. В качестве дополнительной литературы рекомендуется использовать издания указанные в библиографическом списке.
В методических указаниях приведены краткие теоретические сведения по каждому типу задач с подробными пояснениями к их решению. Методические указания могут быть использованы студентами заочной формы обучения при выполнении контрольных работ, а также при подготовке к экзаменам.
Необходимость выпуска настоящего пособия вызвана особенностями заочной формы обучения.
3. Методические указания к выполнению контрольной работы
Приводятся варианты контрольных работ по следующим разделам курса:
Выбор варианта контрольной работы
Номер выполняемой работы определяется путем деления шифра (номера зачетной книжки) на 20 и равен остатку, получающемуся при делении. Например, для зачетной книжки №1773 это вариант №13.
Контрольные задания
1.1-1.20. Решить матричные уравнения и сделать проверку.
Указания к задаче 1: матрицы и определители.
Задача 1 связана с действиями над матрицами. Для решения этой задачи следует использовать следующие сведения:
1)Всякая система , расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов, называется матрицей размера и записывается в виде:
2) Матрица размера (количество строчек равно количеству столбиков) называется квадратной матрицей порядка m.
3) Диагональ квадратной матрицы, идущая от левого верхнего угла к правому нижнему, называется главной диагональю, а вторая диагональ называется побочной.
4) Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные цифры нули, называется единичной матрицей и обозначается следующим образом:
5) Две матрицы одной размерности равны друг другу, если равны все элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах, т.е. если
6) Произведением матрицы
на число называется матрица , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы
на число .
7) Суммой двух матриц одной размерности
называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и , т.е.
+= , где
8) Умножение матрицы на матрицу
Пусть даны две матрицы и , таких что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В . Тогда произведением матриц и называется матрица ,каждый элемент которой Cij равен сумме попарных произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В, т.е.
Сij = ai1 b1j + ai2 b2j +ai3 b3j +...+ain bnj для всех i = 1 до m и j = 1 до к. Заметим, что
9) Определители квадратных матриц
Рассмотрим определители для матриц первого, второго и третьего порядков:
а) Пусть А= (а11 ) , тогда (1)
Из формулы (1) следует, что определитель для матрицы первого порядка совпадает с элементом матрицы
б) Пусть ,тогда (2)
Из формулы (2) следует, что определитель для матрицы второго порядка равен разности произведений элементов матрицы, стоящих на главной и побочной диагоналях.
в.) Пусть , тогда (3)
Формулу (3) запомнить значительно труднее, чем (1) и (2) , но это и не требуется, так как существуют различные правила, позволяющие легко подсчитать те шесть слагаемых, из которых состоит определитель для матрицы третьего порядка.
Например, можно использовать «правило треугольников», которое условно показано на схемах 1 и 2 .
схема 1 схема 2
Первые три слагаемые, входящие в формулу (3) со своим знаком, подсчитываются в соответствии со схемой 1 , а следующие три слагаемые, входящие с противоположным знаком, подсчитываются по схеме 2 .
10) Алгебраическим дополнением элемента аij квадратной матрицы называется число Аij ,вычисляемое по формуле:
где Mij -определитель полученный из определителя матрицы удалением строки с номером i и столбца с номером j .
11)Обратная матрица
Матрица А-1 называется обратной к матрице А, если
,где Е - единичная матрица. Из определения следует, что матрицы А и А-1 - квадратные матрицы одного порядка. Квадратная матрица имеет обратную, если ее определитель отличен от нуля и , где Аij -алгебраические дополнения элемента аij матрицы .
12) Решение простейших алгебраических уравнений
а) , где А и В - заданные матрицы, причем А - квадратная матрица, определитель которой .Тогда.
б) , где А и В - заданные матрицы, причем А - квадратная матрица, определитель которой .Тогда
1) Выполнить действия: , где
Решение: ( по п. 6)
(по п.7)
(по п.8)
2) Найти А-1 ,если
Решение:
Проверим, верно ли нашли А-1 . Для этого умножим А на А-1 и убедимся, что получим единичную матрицу.
Задача 1.
Решить уравнение AX - B = C, где
Задача 2
2.1-2.20. Даны координаты точек А, В, С. Найти уравнения сторон треугольника АВС. Найти уравнение одной из медиан треугольника АВС. Найти уравнение одной из высот треугольника АВС. Найти уравнение одной из биссектрис треугольника АВС. Найти площадь треугольника АВС.
|
Вариант |
А |
В |
С |
Вариант |
А |
В |
С |
|
|
(1;2) |
(2;0) |
(-1;1) |
|
(1;3) |
(3;0) |
(-1;1) |
|
|
(2;1) |
(1;0) |
(-1;2) |
|
(3;1) |
(1;0) |
(-1;3) |
|
|
(2;0) |
(1;1) |
(-1;2) |
|
(3;0) |
(1;1) |
(-1;3) |
|
|
(2;1) |
(1;0) |
(1;-1) |
|
(3;-1) |
(1;0) |
(1;1) |
|
|
(-1;0) |
(2;1) |
(1;-1) |
|
(-1;0) |
(3;1) |
(1;-1) |
|
|
(1;-1) |
(-1;0) |
(2;1) |
|
(1;-1) |
(-1;0) |
(3;1) |
|
|
(1;-2) |
(0;1) |
(2;-1) |
|
(1;-3) |
(0;1) |
(3;-1) |
|
|
(2;-1) |
(1;-2) |
(0;1) |
|
(3;-1) |
(1;-3) |
(0;1) |
|
|
(-2;1) |
(-1;-2) |
(1;2) |
|
(-3;1) |
(-1;-3) |
(1;3) |
|
|
(2;2) |
(-2;1) |
(1;1) |
|
(-3;3) |
(3;1) |
(1;1) |
Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости.
Для решения задачи ( прямая линия на плоскости ) следует использовать следующие сведения:
1). Угол наклона прямой к оси OX - это угол, на который нужно повернуть ось OX, чтобы она совпала с данной прямой ( или оказалась параллельной ей). Как обычно, угол положителен, если поворачиваем против часовой стрелки, и отрицателен, если поворачиваем по часовой стрелке. Будем обозначать его буквой .
2). Угловой коэффициент прямой - это тангенс угла наклона прямой к оси OX. Будем обозначать его буквой k. Следовательно,
k = tg . (1)
3). Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Если прямая не параллельна оси OY (рис.1), то ее уравнение
y = kx + b , (2)
где b - ордината точки пересечения прямой с осью OY, k - угловой коэффициент прямой, (x,у) - координаты любой точки на прямой. Если прямая параллельна оси OY (рис.2), то ее уравнение
x = a , (3)
где a - абцисса точки пересечения прямой с осью OX.
4). Уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0 ,y0 ) и имеющей угловой коэффициент k,
y - y0 = k (x - x0 ) , (4)
где (x0 ,y0 ) - координаты заданной точки на прямой, k - угловой коэффициент прямой, (x,y) - координаты любой точки на прямой.
5). Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1 (x1 ,y1 ) и M2 (x2 ,y2 ),
(5)
где (x 1,y 1) - координаты одной точки на прямой, (x2 ,y2 ) - координаты другой точки на прямой, (x,y) - координаты любой точки на прямой.
6). Общее уравнение прямой
Ax + By + C = 0 , (6)
где A, B, C - заданные числа, причем A и B одновременно в нуль не обращаются, (x,y) - координаты любой точки на прямой.
Если B не обращается в нуль, то уравнение (6) можно преобразовать следующим образом :
y = - x - . (6')
Тогда, сопоставив формулы (6') и (2), имеем :
k = -
7). Условие параллельности двух прямых
k1 = k2, (7)
где k1 и k2 - угловые коэффициенты прямых.
8). Условие перпендикулярности двух прямых
k 1 k2 = -1 , (8)
где k 1 и k 2 - угловые коэффициенты прямых.
9). Нахождение координат точки пересечения двух прямых
Если две непараллельные прямые заданы своими уравнениями :
A1 X + B1Y + C1 = 0 и A2 X + B2Y + C 2 = 0,
то координаты точки пересечения этих прямых - есть решение системы уравнений :
(9)
10.) Нахождение угла между прямыми:
(10.a)
(10.б.)
если то формула понимается условно (),
- угол на который надо повернуть первую прямую, чтобы она стала параллельна второй.
11). Нахождение координат середины отрезка
Если точка A имеет координаты (xa ,ya ), а точка B - (xb ,yb ), то координаты середины O отрезка АB можно найти по формулам :
(11)
12). Нахождение длины отрезка
Если точка А имеет координаты (xa ,ya), а точка В - (x b,yb ), то длину отрезка АВ можно найти по формуле :
. (12)
13). Деление отрезка в данном отношении
Если точка A имеет координаты (xa ,ya ), а точка B - (xb ,yb ), то координаты точки С делящей отрезок АB в отношении m : n можно найти по формулам :
(13)
14.) Площадь треугольника. Пусть точки А1(x1,y1), A2(x2,y2), A3(x3,y3) – вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:
(14.)
Знак перед определителем выбирается так, чтобы площадь была положительной.
Рассмотрим несколько примеров применения приведенных формул.
Задача 2.Точки А (2,1), В (1,-2), С (-1,0) являются вершинами треугольника АВС.
2.а.) Найти уравнения сторон треугольника АВС
Решение. Первая прямая проходит через две точки А (2,1), В (1,-2), поэтому ее уравнение будем искать в виде (5 ) : .
Подставляя x1 = 2, x2 = 1, y1= 1, y2= -2, получим :
Вторая прямая проходит через две точки В (1,-2), С (-1,0) поэтому ее уравнение будем искать в виде (5 ) : .
Подставляя x1 = 1, x2 = -1, y1= -2, y2= 0, получим : , разделим на 2 получим x+y+1=0.
Третья прямая проходит через две точки А (2,1), С (-1,0) поэтому ее уравнение будем искать в виде (5 ) : .
Подставляя x1 = 2, x2 =-1, y1=1, y2= 0, получим :
2.б.) Найти уравнение одной из медиан треугольника АВС.
Решение. Обозначим середину стороны ВС буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
B (1;-2), C (-1;0)
Уравнение медианы АM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана АМ проходит через точки А (2;1) и М (0;-1), поэтому:
2.в.) Найти уравнение одной из высот треугольника АВС.
Решение. Найдем уравнение высоты CZ, проходящей через точку
С (-1;0) и точку Z , лежащую на стороне АВ: 3x-y-5=0 . Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой АВ. Для этого представим уравнение
3x-y -5 = 0 в виде (2): y = k 1 x + b.
, т.е. k1 = 3.
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых (8): k1 k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой ,получим :
.
Так как перпендикуляр проходит через точку С(-1;0) и имеет
k =-,то будем искать его уравнение в виде (4):
y-y0 =k(x-x0).
Подставляя
x 0 = -1 , k =-, y0=0 получим :
y - 0 =-(x –(-1)) x +3y + 1 = 0.
уравнение высоты CZ.
2.г.) Найти уравнение одной из биссектрис треугольника АВС.
Решение. Найдем биссектрису угла ВАС. Точку пересечения биссектрисы со стороной СВ обозначим М.
Воспользуемся формулой (10.б) AB: 3x-y-5=0, AC: x-3y-1=0
Углы вычисляем на калькуляторе, либо по таблицам. Биссектриса делит угол пополам, следовательно . Тангенс угла наклона АВ равен 3 (т.к. y=3x-5). Угол наклона равен 710. . .
Биссектриса проходит через точку А (2,1), используя формулу (4), имеем:
y - y0 = k (x - x0 ); y-1=1(x-2), уравнение биссектрисы y = x-1
2.д.) Найти площадь треугольника АВС.
Точки А (2,1), В (1,-2), С (-1,0) являются вершинами треугольника АВС. Воспользуемся формулой (14).
3.1-3.20 Даны координаты точек А1 ,A2 ,А3 ,A4
Найти длину ребра А1 А2. Составить уравнение ребра А1 А4 .и грани А1А2А3. Составить уравнение высоты опущенной из точки А 4 на плоскость А1А2А3. Найти площадь треугольника А1A2A3 . Найти объем треугольной пирамиды А1A2А3A4
|
N |
Координаты точек |
|||
|
Вар |
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
|
2.1 |
(1;0;2) |
(2;1;1) |
(-1;2;0) |
(-2;-1;-1) |
|
2.2 |
(-1;2;1) |
(1;0;2) |
(2;-1;3) |
(1;1;0) |
|
2.3 |
(2;1;1) |
(-1;2;-1) |
(1;0;-2) |
(3;-1;2) |
|
2.4 |
(-1;2;0) |
(1;0;-2) |
(3;1;1) |
(2;-1;-1) |
|
2.5 |
(2;0;1) |
(1;3;-1) |
(-1;2;0) |
(2;-2;1) |
|
2.6 |
(1;2;-3) |
(2;1;1) |
(3;0;2) |
(0;-1;3) |
|
2.7 |
(1;-2;3) |
(3;1;2) |
(-1;0;-3) |
(2;-1;1) |
|
2.8 |
(2;0;3) |
(-1;3;2) |
(3;2;0) |
(-2;1;1) |
|
2.9 |
(-2;1;-3) |
(3;-1;0) |
(2;3;1) |
(1;2;2) |
|
2.10 |
(2;2;1) |
(`1;1;3) |
(-2;0;-1) |
(0;-1;2) |
|
2.11 |
(1;2;5) |
(0;7;2) |
(0;2;7) |
(1;5;0) |
|
2.12 |
(4;4;10) |
(4;10;2) |
(2;8;4) |
(9;6;4) |
|
2.13 |
(4;6;5) |
(6;9;4) |
(2;10;10) |
(7;5;9) |
|
2.14 |
(3;5;4) |
(8;7;4) |
(5;10;4) |
(4;7;8) |
|
2.15 |
(10;6;6) |
(-2;8;2) |
(6;8;9) |
(7;10;3) |
|
2.16 |
(1;8;2) |
(5;2;6) |
(5;7;4) |
(4;10;9) |
|
2.17 |
(6;6;5) |
(4;9;5) |
(4;6;11) |
(6;9;3) |
|
2.18 |
(7;2;2) |
(5;7;7) |
(5;3;1) |
(2;3;7) |
|
2.19 |
(8;6;4) |
(10;5;5) |
(5;6;8) |
(8;10;7) |
|
2.20 |
(7;7;3) |
(6;5;8) |
(3;5;8) |
(8;4;1) |
1.) Каноническое уравнение прямой
L: (1)
M0 (x0;y0;z0) - любая точка на прямой L .
l, m, n – проекции направляющего вектора прямой L на оси Ox, Oy, Oz соответственно. Хотя бы одно из чисел l, m, n отлично от нуля.
2). Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1 (x1 ,y1 , z1 ) и M2 (x2 ,y2 , z2),
(2)
где (x 1,y 1 ,z 1) - координаты одной точки на прямой, (x2 ,y2 ,z 2) - координаты другой точки на прямой, (x,y,z) - координаты любой точки на прямой.
3.) Параметрическое уравнение прямой
(3)
M0 (x0;y0;z0) - любая точка на прямой, l, m, n – проекции направляющего вектора прямой, t – параметр, изменяя который можно получить все точки прямой.
4.) Условие параллельности прямых
L1:
L2 : , если прямая L1 параллельна L2 , то выполняется условие :
(4)
5.) Условие перпендикулярности прямых
l 1 l2 + m1 m 2 +n1 n2 =0 (5)
6). Общее уравнение плоскости
Ax + By + Cz+D = 0 , (6)
где A, B, C, D – координаты вектора нормали, причем хотя бы одно из чисел A, B, С отлично от нуля, (x;y;z) - координаты любой точки на плоскости. Геометрический смысл коэффициентов А, В, С в уравнении (1) – это проекции вектора, перпендикулярного плоскости.
7.) Уравнение плоскости, проходящей через три точки
M0 (x0,y0,z0), M1 (x1,y1,z1), M2 (x2,y2,z2)
(7) или
(x-x0) ((y1-y0)(z2-z0)-(y2-y0)(z1-z0)) – (y-y0) ((x1-x0)(z2-z0)-(x2-x0)(z1-z0))+
+(z-z0) ((x1-x0)(y2-y0)-(x2-x0)(y1-y0))=0
8). Условие параллельности плоскостей
Р1: A1 x+B1 y+C1 z+D1=0
Р2:A2x+B2y+C2z+D2=0, если плоскость Р1 параллельна Р2, то выполняется условие :
(8)
9.) Условие перпендикулярности плоскостей
A1 A2 + B1B 2 + C1 С2 =0 (9)
10.а) угол между плоскостями
A1 x+B1 y+C1 z+D1=0 и A2 x+B2 y+C2 z+D2=0
(10.а)
10.б) угол между векторами
и
(10.б)
10.в) угол между прямой и плоскостью
прямая L с направляющими коэффициентами (l, m, n) и плоскость Ax+By+Cz+D=0
(10.в)
11.) Расстояние между двумя точками
Даны точки А1 (x1,y1,z1) и А2 (x2,y2,z2), расстояние между ними:
(11)
12.) Расстояние от точки M0 (x0,y0,z0) до плоскости
A x+B y+C z+D=0 :
(12)
13.) Выражение векторного произведения через координаты сомножителей , если , , то
(13)
Первая строка определителя состоит из координатных ортов, вторая из проекций первого сомножителя, третья из проекций второго сомножителя.
14.) Объем параллелепипеда, построенного на векторах
, ,
(14)
знак выбирается таким образом, чтобы объем был положительный.
Рассмотрим несколько примеров применения приведенных формул.
Даны точки А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2), А 4 (0,1,1) .
3.а.) Найти длину ребра А1 А2.
Воспользуемся формулой (11). Расстояние между двумя точками.
Длина ребра А1 А2 равна 3 .
3.б.) Составить уравнение ребра А1 А4 .и грани А1А2А3.
Составим уравнение прямой проходящей через точки
А 1 (1,-1,-2) и А 4 (0,1,1), воспользуемся формулой (2)
;
Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки
А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2),
Воспользуемся формулой (7)
уравнение грани 6x-8y+5z-4=0, ребра
3.в) Составить уравнение высоты опущенной из точки
А 4 (0,1,1) на плоскость А1А2А3.
Высота проходит через точку А 4 (0,1,1) и перпендикулярна плоскости 6x-8y+5z-4=0, имеющей вектор нормали .
Направляющий вектор высоты совпадает с вектором нормали данной плоскости, следовательно т.к. (2) , то уравнение искомой высоты.
или в параметрической форме (3)
x=6t, y=1-8t, z=1+5t
3.г.) Найти площадь треугольника А1A2A3 с вершинами
А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2),
Площадь треугольника будет равна 1/2 площади параллелограмма, построенного на векторах и . Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения этих векторов. Воспользуемся формулой (13)
;
,
3.д) Найти объем треугольной пирамиды А1A2А3A4 с вершинами
А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2), А 4 (0,1,1) .
Искомый объем равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах А1A2, А1A3, А1A4. Воспользуемся формулой (14)
, ,
Задача 4.
4.1-4.20. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.
4.1. А =; 4.2. А =;
4. 3. А =; 4.4. А =;
4. 5. А =; 4.6. А =;
4.7. А =; 4.8. А =;
4.9. А =; 4.10. А =;
4. 11. А =; 4.12. А =;
4.13. А =; 4.14. А =;
4.15. А =; 4.16. А =;
4.17. А =; 4.18. А =;
4.19. А =; 4.20. А =.
Указания к задаче 4: собственные числа и собственные векторы
Число называется собственным числом квадратной матрицы А n-ого порядка, если существует такой ненулевой n-мерный вектор Х, что АХ=Х.
Этот ненулевой вектор Х называется собственным вектором матрицы А, соответствующим ее собственному числу .
Множество всех собственных чисел матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения , которое называется характеристическим уравнением матрицы А.
Множество всех собственных векторов матрицы А, соответствующих ее собственному числу , совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений
(А -Е) = 0.
Задача 4.
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.
А = .
Решение: Найдем характеристическое уравнение матрицы А – определитель матрицы А -Е, где Е – единичная матрица, –независимая переменная.
А –Е = – = .
При вычислении данного определителя использовалось его разложение по элементам третьего столбца.
Найдем теперь собственные числа матрицы А – корни характеристического уравнения . Получаем:
, , .
Далее найдем собственные векторы матрицы А, соответствующие каждому из собственных чисел.
Пусть
Х = – искомый собственный вектор.
Тогда система однородных уравнений (А -Е) = 0 выглядит так:
или
(1)
Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как ее определитель равен нулю.
При система (1) принимает вид:
Общее решение этой системы , где любое число.
В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное решение. Пусть, например, , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид
.
При система (1) принимает вид:
Общее решение этой системы , где любое число.
Пусть, например, , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид
.
Аналогично при получаем систему
,
общее решение которой , где любое число.
Пусть , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид
.
Ответ: , , ,
, , .