Тема 4 Матричные коэффициенты математической модели электрической цепи

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Тема 4.

Матричные коэффициенты математической модели электрической цепи.

1.  Подготовка данных по электрической модели для ввода в ЭВМ.

Электрическую модель анализируемой электронной схемы однозначно описывает следующий набор данных:

а) топологические данные (набор ветвей и способы их соединения друг с другом);

б) компонентные данные (типы элементов в ветвях и их номинальные значения);

в) положительные направления токов и напряжений в ветвях.

Чтобы получить топологические данные, каждую ветвь электрической модели представляют в виде линии, соединяющей соответствующие узлы. Компонентные данные при этом не учитываются. В результате получается так называемый граф цепи.

Узлом электрической модели считается всякое соединение двух и более элементов, т.е. каждый элемент имеет пару узлов, между которыми этот элемент включен.

Узлы на графе цепи нумеруются произвольно.

При нумерации ветвей графа необходимо придерживаться следующей последовательности:

- сначала нумеруются ветви с управляемыми источниками напряжения;

- затем идет нумерации ветвей, содержащих постоянные источники напряжения;

- далее нумеруются ветви с емкостными элементами;

- затем идет нумерация ветвей с резистивными элементами;

- далее нумеруются ветви с индуктивными элементами;

- после этого идет нумерация ветвей, содержащих постоянные источники тока;

- заканчивается нумерация ветвей с управляемыми источниками тока.

Нумерация ветвей сквозная, т.е. пронумеровав ветви одной группы, переходят к нумерации ветвей другой группы, продолжая счет, пока не будут пронумерованы все ветви электрической модели.

Положительные направления тока (напряжения) в элементах модели выбираются произвольно. Полагается, что выбранное положительное направление для тока одновременно является и положительным направлением для напряжения.

При подготовке компонентных данных может потребоваться масштабирование параметров элементов. Если этого не сделать, то при выполнении вычислений с помощью ЭВМ могут возникнуть такие большие значения, которые выйдут за пределы представимых в ЭВМ значений и приведут к переполнению разрядной сетки (большие значения, например, могут возникнуть при многократном умножении больших сопротивлений 106·106·106) либо могут появиться очень малые значения, рассматриваемые в ЭВМ как нуль (например, при умножении малых емкостей 10-12·10-12·10-12).

При масштабировании для напряжений, токов, сопротивлений, емкостей, индуктивностей, частот и времени задаются соответствующие масштабные коэффициенты Mu, Mi, Mr, Mc, ML, Mf, Mt.

Если, например, x – параметр какого-либо элемента (например, значение емкости), а Mx – выбранный для него масштабный коэффициент, то для ЭВМ этот параметр будет задан значением X:

При выводе этого параметра из ЭВМ выполняется обратное преобразование

x=Mx·X

Масштабные коэффициенты должны удовлетворять очевидным соотношениям

 Mu=Mr·Mi;

 Mt=Mr·Mc;

 Mt=ML/Mr;

 Mf=1/Mt.

Отсюда следует, что из семи масштабных коэффициентов независимо могут быть выбраны лишь три, четыре остальных находят с помощью приведенных выражений. Выбрать три независимых масштабных коэффициента также нужно правильно. Нельзя выбирать как независимые все те коэффициенты, которые входят в одно выражение, связывающие эти коэффициенты.

Обычно выбираются как независимые Mu, Mr и Mc.

Масштабные коэффициенты, значения которых задаются независимо, целесообразно выбирать такими, чтобы в результате масштабирования получить значения параметров Xi, наиболее близкие к единице. Кроме того, сами масштабные коэффициенты удобнее выражать числами, представляющими собой десять в какой-либо целой степени.

При выборе значения масштабного коэффициента можно ориентироваться на среднее геометрическое наибольшего и наименьшего значений параметров элементов данного типа. Так, например, при выборе Mc можно ориентироваться на Cср, где

Здесь Cmin и Cmax минимальная и максимальная емкости, содержащиеся в анализируемой схеме.

Вводимые в ЭВМ данные должны содержать следующие сведения о каждой ветви схемы:

- указание о типе элемента ветви (U, C, R, L, I);

- порядковый номер ветви;

- номера узлов, между которыми расположена данная ветвь;

- положительное направление ветви (оно отражается тем, что на первое место ставится узел, от которого ветвь отходит и на второе место – узел, к которому ветвь подходит);

- значение параметра элемента с учетом масштабирования.

Полный набор данных по электрической модели для ввода в ЭВМ может быть представлен таблицей 1

Таблица 1

Тип элемента	Номер ветви	Начальный узел	Конечный узел	Значение параметра

Пример

Дана электрическая схема (рис. 1). Она же является электрической моделью. Необходимо подготовить данные об этой схеме для ввода в ЭВМ.

Граф данной цепи изображен на рис. 2. На графе показаны узлы. Их нумерация произвольная (цифры в кружочках).

 

Пронумеруем ветви графа в соответствии с рекомендациями: постоянные источники напряжения (их два); емкостные элементы (их два); резистивные элементы (их три); индуктивные элементы (один); источник тока (один).

Произвольно указываем на графе положительное направление тока (напряжения).

Примем независимо выбираемыми масштабные коэффициенты Mu, Mr, Mc. Пусть Mu=1. Для задания Mr найдем среднее геометрическое наибольшего и наименьшего сопротивления резистивных элементов схемы и ближайшую степень десяти примем в качестве Mr:

Таким образом

Аналогично можно определить масштабный коэффициент Mс:

Берем

Остальные масштабные коэффициенты вычисляются по выражениям связывающим масштабные коэффициенты между собой

Mt=Mr·Mc=104·10-10=10-6;

Mf=1/Mt=106;

ML=Mt·Mr=10-6·104=10-2;

Mi=Mu/Mr=1/104=10-4.

На рис. 1 масштабированные значения элементов приведены в скобках.

Сведем полный набор данных о электрической модели для ввода в ЭВМ в таблицу

Тип элемента	Номер ветви	Начальный узел	Конечный узел	Значение параметра
U	1	1	6	1
U	2	5	6	1
C	3	1	3	1
C	4	1	2	5
R	5	2	5	0,1
R	6	3	6	0,2
R	7	3	4	3
L	8	2	4	2
I	9	6	4	1

1.  Матричные коэффициенты математической модели линейной электрической цепи.

Математическая модель линейной электрической цепи, как известно, состоит из трех уравнений.

1.  Матричные коэффициенты уравнения токов резистивных элементов.

Пользуясь правилом построения топологических уравнений с использованием матрицы главных сечений

           

                                            (1)

записываем топологические уравнения для токов резистивных ребер и напряжений резистивных хорд:

                                  

Топологические уравнения (2) и (3) дополним компонентными уравнениями для резистивных элементов, связывающими напряжения и токи этих элементов по закону Ома

                                                     (4)

Здесь  и  - матрицы сопротивлений резистивных ребер и резистивных хорд. В этих матрицах элементы, расположенные вдоль главной диагонали, - сопротивления соответствующих резистивных элементов, остальные элементы матриц имеют нулевое значение.

                   

Выразим в (3) напряжения на резистивных элементах через токи этих элементов, используя компонентные уравнения (4), после чего в (2) и (3) все члены, содержащие токи резистивных элементов, перенесем в левые части равенств.

Объединим эти уравнения в одно матричное уравнение

         (6)

- единичная матрица;

- нулевая матрица.

С учетом введенных обозначений уравнение примет вид

                                           (7)

или

                                       (8)

или

                                              (9)

где            

1.  Матричные коэффициенты уравнения состояния.

По матрице главных сечений для произвольной схемы

                                                              

запишем топологические уравнения для  и .

                                     (10)

                                       (11)

Компонентные уравнения для индуктивных и емкостных элементов имеют вид:

;                                           (12)

Запишем в (10) и (11) левые части равенств выражениями (12)

                             (13)

Далее выразим  через , используя (4)

                              (14)

Объединим оба уравнения в одно матричное. Получим:

(15)

Здесь  и  - матрицы емкостей и индуктивности

;        

Отсюда

                              (16)

Раньше было выведено:

Подставим его в матричное уравнение. Получим

              (17)

или

                                           (18)

1.  Матричные коэффициенты уравнения выхода.

Отклик Хвых на выходе схемы может стать, как уже отмечалось, напряжением Uвых или током івых. Если Хвых= Uвых, то его можно представить электрической суммой напряжений ветвей при обходе некоторого контура от одной (начальной) выходной клеммы схемы ко второй (конечной) клемме.

Если Хвых= івых, то он может быть определен алгебраическим суммированием токов ветвей, подходящих к выходной цепи.

1.  Матричные коэффициенты уравнений математической модели цепи с нелинейными резистивными элементами.

Рассмотрим алгоритм расчета матричных коэффициентов, входящих в уравнения математической модели цепи с нелинейными резисторами.

Как и для линейной схемы, эти коэффициенты должны выражаться через подматрицы матрицы главных сечений .

Особенность матрицы главных сечений для цепи с нелинейными резистивными элементами в том, что под  и  понимают линейные резистивные ребра и хорды, а нелинейные резисторы образуют строки  и столбцы .

                    

 

Для вывода выражений, определяющих матричные коэффициенты уравнения токов линейных резистивных элементов и уравнения состояния цепи с нелинейными резистивными элементами, требуются выкладки, аналогичные тем, которые проводились при выводе выражений коэффициентов аналогичных уравнений линейной цепи.

После таких выкладок получим

                       (19)

или

                                     (20)

где

 ;

;                                                                                                                          (21)

 .

 (22)

или

                                  (23)

где

  ;

 ;                                                                                                  (24)

  .

Коэффициенты , , ,  имеют тот же смысл и определяются теми же выражениями, что и аналогичные коэффициенты уравнений линейной цепи.

Приведем лишь величины, входящие в выражение коэффициентов  и .

;                                 (25)

Найдем коэффициенты в уравнении

                                 (26)

Можно показать, что

 ;

 ;

 .

При этом:

;               ;  

;         

С3

С4

R7

L8

R5

U1

U2

1 B

500(5)

100(1)

0к(3)

20мГн(2)

R6

2к(0,2)

1к(0,1)

1 В

і9

11

21

31

41

61

51

11

21

51

41

31

71

81

61

91

Рис. 1

Рис. 2

(28)

(5)

1. алкоголизм для обозначения совокупности патологических изменений в организме вследствие неумеренного по
2. Предмет общей теории права
3. Problems of city and country life
4. 23455
5. а солей в полученном растворе
6. Реферат- Автоматизована система комерційного обліку електроенергії
7. Контрольная работа- Конституционные основы коммерческой деятельности
8. Задание А1 Орфоэпический словарь А агент агрономия алиби алкоголь алфавит альков альтовый анатом
9. дней до 7 дней Все зависит от веса и сложности конструкции
10. российского проекта сотрудничества состоялся организованный Минфином РФ и Министерством финансов Швеции
11. это теория общественного порядка организации гармонии.
12. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук Київ2001
13. тема базовых и комплементарных матриц по которым люди живут
14. УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ2
15. 22 1086 ОСН 1196 60 1310 52 114
16. Загадка популярности любовной лирики Анны Ахматовой
17. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата історичних наук Чернівці
18. Причины выхода на внешний рынок Расширение рынка сбыта с целью увеличения прибыли
19. Форрестер Джей
20. Структура задачи права и обязанности налоговых органов

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе