Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Тема 4.
Матричные коэффициенты математической модели электрической цепи.
Электрическую модель анализируемой электронной схемы однозначно описывает следующий набор данных:
а) топологические данные (набор ветвей и способы их соединения друг с другом);
б) компонентные данные (типы элементов в ветвях и их номинальные значения);
в) положительные направления токов и напряжений в ветвях.
Чтобы получить топологические данные, каждую ветвь электрической модели представляют в виде линии, соединяющей соответствующие узлы. Компонентные данные при этом не учитываются. В результате получается так называемый граф цепи.
Узлом электрической модели считается всякое соединение двух и более элементов, т.е. каждый элемент имеет пару узлов, между которыми этот элемент включен.
Узлы на графе цепи нумеруются произвольно.
При нумерации ветвей графа необходимо придерживаться следующей последовательности:
- сначала нумеруются ветви с управляемыми источниками напряжения;
- затем идет нумерации ветвей, содержащих постоянные источники напряжения;
- далее нумеруются ветви с емкостными элементами;
- затем идет нумерация ветвей с резистивными элементами;
- далее нумеруются ветви с индуктивными элементами;
- после этого идет нумерация ветвей, содержащих постоянные источники тока;
- заканчивается нумерация ветвей с управляемыми источниками тока.
Нумерация ветвей сквозная, т.е. пронумеровав ветви одной группы, переходят к нумерации ветвей другой группы, продолжая счет, пока не будут пронумерованы все ветви электрической модели.
Положительные направления тока (напряжения) в элементах модели выбираются произвольно. Полагается, что выбранное положительное направление для тока одновременно является и положительным направлением для напряжения.
При подготовке компонентных данных может потребоваться масштабирование параметров элементов. Если этого не сделать, то при выполнении вычислений с помощью ЭВМ могут возникнуть такие большие значения, которые выйдут за пределы представимых в ЭВМ значений и приведут к переполнению разрядной сетки (большие значения, например, могут возникнуть при многократном умножении больших сопротивлений 106·106·106) либо могут появиться очень малые значения, рассматриваемые в ЭВМ как нуль (например, при умножении малых емкостей 10-12·10-12·10-12).
При масштабировании для напряжений, токов, сопротивлений, емкостей, индуктивностей, частот и времени задаются соответствующие масштабные коэффициенты Mu, Mi, Mr, Mc, ML, Mf, Mt.
Если, например, x – параметр какого-либо элемента (например, значение емкости), а Mx – выбранный для него масштабный коэффициент, то для ЭВМ этот параметр будет задан значением X:
При выводе этого параметра из ЭВМ выполняется обратное преобразование
x=Mx·X
Масштабные коэффициенты должны удовлетворять очевидным соотношениям
Mu=Mr·Mi;
Mt=Mr·Mc;
Mt=ML/Mr;
Mf=1/Mt.
Отсюда следует, что из семи масштабных коэффициентов независимо могут быть выбраны лишь три, четыре остальных находят с помощью приведенных выражений. Выбрать три независимых масштабных коэффициента также нужно правильно. Нельзя выбирать как независимые все те коэффициенты, которые входят в одно выражение, связывающие эти коэффициенты.
Обычно выбираются как независимые Mu, Mr и Mc.
Масштабные коэффициенты, значения которых задаются независимо, целесообразно выбирать такими, чтобы в результате масштабирования получить значения параметров Xi, наиболее близкие к единице. Кроме того, сами масштабные коэффициенты удобнее выражать числами, представляющими собой десять в какой-либо целой степени.
При выборе значения масштабного коэффициента можно ориентироваться на среднее геометрическое наибольшего и наименьшего значений параметров элементов данного типа. Так, например, при выборе Mc можно ориентироваться на Cср, где
Здесь Cmin и Cmax минимальная и максимальная емкости, содержащиеся в анализируемой схеме.
Вводимые в ЭВМ данные должны содержать следующие сведения о каждой ветви схемы:
- указание о типе элемента ветви (U, C, R, L, I);
- порядковый номер ветви;
- номера узлов, между которыми расположена данная ветвь;
- положительное направление ветви (оно отражается тем, что на первое место ставится узел, от которого ветвь отходит и на второе место – узел, к которому ветвь подходит);
- значение параметра элемента с учетом масштабирования.
Полный набор данных по электрической модели для ввода в ЭВМ может быть представлен таблицей 1
Таблица 1
|
Тип элемента |
Номер ветви |
Начальный узел |
Конечный узел |
Значение параметра |
Пример
Дана электрическая схема (рис. 1). Она же является электрической моделью. Необходимо подготовить данные об этой схеме для ввода в ЭВМ.
Граф данной цепи изображен на рис. 2. На графе показаны узлы. Их нумерация произвольная (цифры в кружочках).
Пронумеруем ветви графа в соответствии с рекомендациями: постоянные источники напряжения (их два); емкостные элементы (их два); резистивные элементы (их три); индуктивные элементы (один); источник тока (один).
Произвольно указываем на графе положительное направление тока (напряжения).
Примем независимо выбираемыми масштабные коэффициенты Mu, Mr, Mc. Пусть Mu=1. Для задания Mr найдем среднее геометрическое наибольшего и наименьшего сопротивления резистивных элементов схемы и ближайшую степень десяти примем в качестве Mr:
Таким образом
Аналогично можно определить масштабный коэффициент Mс:
Берем
Остальные масштабные коэффициенты вычисляются по выражениям связывающим масштабные коэффициенты между собой
Mt=Mr·Mc=104·10-10=10-6;
Mf=1/Mt=106;
ML=Mt·Mr=10-6·104=10-2;
Mi=Mu/Mr=1/104=10-4.
На рис. 1 масштабированные значения элементов приведены в скобках.
Сведем полный набор данных о электрической модели для ввода в ЭВМ в таблицу
|
Тип элемента |
Номер ветви |
Начальный узел |
Конечный узел |
Значение параметра |
|
U |
1 |
1 |
6 |
1 |
|
U |
2 |
5 |
6 |
1 |
|
C |
3 |
1 |
3 |
1 |
|
C |
4 |
1 |
2 |
5 |
|
R |
5 |
2 |
5 |
0,1 |
|
R |
6 |
3 |
6 |
0,2 |
|
R |
7 |
3 |
4 |
3 |
|
L |
8 |
2 |
4 |
2 |
|
I |
9 |
6 |
4 |
1 |
Математическая модель линейной электрической цепи, как известно, состоит из трех уравнений.
Пользуясь правилом построения топологических уравнений с использованием матрицы главных сечений
(1)
записываем топологические уравнения для токов резистивных ребер и напряжений резистивных хорд:
Топологические уравнения (2) и (3) дополним компонентными уравнениями для резистивных элементов, связывающими напряжения и токи этих элементов по закону Ома
(4)
Здесь и - матрицы сопротивлений резистивных ребер и резистивных хорд. В этих матрицах элементы, расположенные вдоль главной диагонали, - сопротивления соответствующих резистивных элементов, остальные элементы матриц имеют нулевое значение.
Выразим в (3) напряжения на резистивных элементах через токи этих элементов, используя компонентные уравнения (4), после чего в (2) и (3) все члены, содержащие токи резистивных элементов, перенесем в левые части равенств.
Объединим эти уравнения в одно матричное уравнение
(6)
- единичная матрица;
- нулевая матрица.
С учетом введенных обозначений уравнение примет вид
(7)
или
(8)
или
(9)
где
По матрице главных сечений для произвольной схемы
запишем топологические уравнения для и .
(10)
(11)
Компонентные уравнения для индуктивных и емкостных элементов имеют вид:
; (12)
Запишем в (10) и (11) левые части равенств выражениями (12)
(13)
Далее выразим через , используя (4)
(14)
Объединим оба уравнения в одно матричное. Получим:
(15)
Здесь и - матрицы емкостей и индуктивности
;
Отсюда
(16)
Раньше было выведено:
Подставим его в матричное уравнение. Получим
(17)
или
(18)
Отклик Хвых на выходе схемы может стать, как уже отмечалось, напряжением Uвых или током івых. Если Хвых= Uвых, то его можно представить электрической суммой напряжений ветвей при обходе некоторого контура от одной (начальной) выходной клеммы схемы ко второй (конечной) клемме.
Если Хвых= івых, то он может быть определен алгебраическим суммированием токов ветвей, подходящих к выходной цепи.
Рассмотрим алгоритм расчета матричных коэффициентов, входящих в уравнения математической модели цепи с нелинейными резисторами.
Как и для линейной схемы, эти коэффициенты должны выражаться через подматрицы матрицы главных сечений .
Особенность матрицы главных сечений для цепи с нелинейными резистивными элементами в том, что под и понимают линейные резистивные ребра и хорды, а нелинейные резисторы образуют строки и столбцы .
Для вывода выражений, определяющих матричные коэффициенты уравнения токов линейных резистивных элементов и уравнения состояния цепи с нелинейными резистивными элементами, требуются выкладки, аналогичные тем, которые проводились при выводе выражений коэффициентов аналогичных уравнений линейной цепи.
После таких выкладок получим
(19)
или
(20)
где
;
; (21)
.
(22)
или
(23)
где
;
; (24)
.
Коэффициенты , , , имеют тот же смысл и определяются теми же выражениями, что и аналогичные коэффициенты уравнений линейной цепи.
Приведем лишь величины, входящие в выражение коэффициентов и .
; (25)
Найдем коэффициенты в уравнении
(26)
Можно показать, что
;
;
.
При этом:
; ;
;
С3
С4
R7
L8
R5
U1
U2
1 B
500(5)
100(1)
0к(3)
20мГн(2)
R6
2к(0,2)
1к(0,1)
1 В
і9
11
21
31
41
61
51
11
21
51
41
31
71
81
61
91
Рис. 1
Рис. 2
(28)
(5)