Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
, |
|||
|
|
, |
||
|
|
, |
||
|
|
, |
Решение:
Введем замену , . Тогда уравнение примет вид , или .
Пусть . Тогда . Подставим найденное значение в уравнение . Получим: , то есть и , где постоянная интегрирования . Окончательное решение имеет вид , .
ЗАДАНИЕ N 2 отправить сообщение разработчикам
Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение является …
|
линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами |
|||
|
|
линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами |
||
|
|
уравнением Бернулли |
||
|
|
дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными |
Решение:
Уравнение можно представить в виде , где и – числа. Поэтому данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
ЗАДАНИЕ N 3 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Составим характеристическое уравнение и решим его: . Тогда общее решение исходного уравнения примет вид .
ЗАДАНИЕ N 4 отправить сообщение разработчикам
Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
После понижения порядка дифференциальное уравнение приводится к виду …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Так как уравнение не содержит в явном виде функцию , то применима замена . Тогда и данное дифференциальное уравнение примет вид . Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
ЗАДАНИЕ N 5 отправить сообщение разработчикам
Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Решение задачи Коши , имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Запишем уравнение в виде . Проинтегрировав обе части, получим: .
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид . Для вычисления значения подставим в найденное общее решение начальное условие .
Тогда и . Следовательно, частное решение имеет вид .
ЗАДАНИЕ N 6 отправить сообщение разработчикам
Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …
|
, |
|||
|
|
, |
||
|
|
, |
||
|
|
, |
Решение:
Разделим переменные в исходном уравнении и проинтегрируем обе части последнего равенства: . Вычисляя интегралы, получаем , или , где постоянная интегрирования .
ЗАДАНИЕ N 7 отправить сообщение разработчикам
Тема: Поверхности второго порядка
Уравнение сферы с центром в точке и радиусом имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Уравнение сферы с центром в точке и радиусом имеет вид То есть
ЗАДАНИЕ N 8 отправить сообщение разработчикам
Тема: Прямая и плоскость в пространстве
Прямая проходит через точку параллельно прямой . Тогда уравнение этой прямой имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором имеет вид . В качестве вектора возьмем направляющий вектор прямой , а именно . Тогда получим или .
ЗАДАНИЕ N 9 отправить сообщение разработчикам
Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
Расстояние между точками и равно …
|
5 |
|||
|
|
25 |
||
|
|
17 |
||
|
|
1 |
ЗАДАНИЕ N 10 отправить сообщение разработчикам
Тема: Кривые второго порядка
Эксцентриситет гиперболы равен …
|
2 |
|||
|
|
8 |
||
|
|
16 |
||
|
|
4 |
Решение:
Эксцентриситет гиперболы вычисляется по формуле , где . Тогда .
ЗАДАНИЕ N 11 отправить сообщение разработчикам
Тема: Прямая на плоскости
Угловой коэффициент прямой, заданной уравнением , равен …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Выразим из уравнения переменную , а именно . Тогда угловой коэффициент .
ЗАДАНИЕ N 12 отправить сообщение разработчикам
Тема: Полярные координаты на плоскости
Точка задана в прямоугольной системе координат. Тогда ее полярные координаты равны …
|
, |
|||
|
|
, |
||
|
|
, |
||
|
|
, |
Решение:
Полярные координаты точки , заданной прямоугольными координатами находятся по формулам , . То есть , , учитывая, что точка лежит во второй четверти.
ЗАДАНИЕ N 13 отправить сообщение разработчикам
Тема: Вычисление определителей
Корень уравнения равен …
|
– 1 |
|||
|
|
1 |
||
|
|
4 |
||
|
|
– 4 |
ЗАДАНИЕ N 14 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные операции над матрицами
Даны матрицы и Если то след матрицы равен …
|
11 |
|||
|
|
– 3 |
||
|
|
– 5 |
||
|
|
6 |
Решение:
При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на данное число. При сложении или вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются друг из друга. Матрица находится следующим образом:
След матрицы равен сумме элементов главной диагонали:
ЗАДАНИЕ N 15 отправить сообщение разработчикам
Тема: Обратная матрица
Обратная матрица существует для матрицы …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Всякая невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу, то есть матрица имеет обратную, если определитель матрицы не равен нулю. Тогда
1) , то есть обратная матрица не существует.
2) , то есть обратная матрица не существует.
3) , то есть обратная матрица не существует.
4) , следовательно, обратная матрица существует.
ЗАДАНИЕ N 16 отправить сообщение разработчикам
Тема: Ранг матрицы
Ранг матрицы равен двум, если …
|
минор второго порядка не равен нулю |
|||
|
|
значения и равны нулю |
||
|
|
все миноры первого порядка равны нулю |
||
|
|
определитель матрицы равен двум |
Решение:
Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.
ЗАДАНИЕ N 17 отправить сообщение разработчикам
Тема: Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений имеет единственное решение, если не равно …
|
10 |
|||
|
|
– 10 |
||
|
|
2,5 |
||
|
|
– 2,5 |
Решение:
Система линейных уравнений имеет единственное решение, если определитель матрицы системы не равен нулю. Вычислим Тогда
ЗАДАНИЕ N 18 отправить сообщение разработчикам
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы и . Тогда матрица имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 19 отправить сообщение разработчикам
Тема: Определение вероятности
В партии из 10 деталей имеется 3 бракованные. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что все отобранные детали будут бракованными, равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
1 |
Решение:
Для вычисления события (все отобранные детали будут бракованными) воспользуемся формулой , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 10 имеющих, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три бракованные детали из трех имеющихся, то есть . Следовательно,
ЗАДАНИЕ N 20 отправить сообщение разработчикам
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:
Тогда ее математическое ожидание равно …
|
1,5 |
|||
|
|
|
||
|
|
2,0 |
||
|
|
2,5 |
Решение:
Эта случайная величина распределена равномерно в интервале . Тогда ее математическое ожидание можно вычислить по формуле
То есть
ЗАДАНИЕ N 21 отправить сообщение разработчикам
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
В первой урне 2 белых и 8 черных шаров. Во второй урне 3 черных и 7 белых шаров. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар. Тогда вероятность того, что этот шар черный, равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 22 отправить сообщение разработчикам
Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей
Из урны, в которой лежат 4 белых и 6 черных шаров, наудачу по одному извлекают два шара без возвращения. Тогда вероятность того, что оба шара будут белыми, равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Введем обозначения событий: – k-ый вынутый шар будет белым, A – оба извлеченных шара будут белыми. Тогда , и так как по условию задачи события и зависимы, то
ЗАДАНИЕ N 23 отправить сообщение разработчикам
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Тогда значение a равно …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Так как сумма вероятностей возможных значений равна 1, то .
ЗАДАНИЕ N 24 отправить сообщение разработчикам
Тема: Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:
Тогда вероятность равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Воспользуемся формулой . Тогда
ЗАДАНИЕ N 25 отправить сообщение разработчикам
Тема: Область определения функции
Область определения функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Данная функция определена, если . То есть
, или .
ЗАДАНИЕ N 26 отправить сообщение разработчикам
Тема: Предел функции
Предел равен …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Разделим почленно числитель и знаменатель на , где – степень многочлена в знаменателе. То есть разделим на .
.
ЗАДАНИЕ N 27 отправить сообщение разработчикам
Тема: Производные высших порядков
Производная второго порядка функции равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Вычислим производную первого порядка:
Тогда производная второго порядка вычисляется как производная от производной первого порядка, то есть
ЗАДАНИЕ N 28 отправить сообщение разработчикам
Тема: Основные методы интегрирования
Множество первообразных функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда
Произведем замену , , :
ЗАДАНИЕ N 29 отправить сообщение разработчикам
Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, изображенной на рисунке
равна …
|
|
|||
|
|
24 |
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле , где , , а . Тогда
ЗАДАНИЕ N 30 отправить сообщение разработчикам
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Частная производная функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
При вычислении частной производной по переменной , переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда
ЗАДАНИЕ N 31 отправить сообщение разработчикам
Тема: Числовые последовательности
Общий член числовой последовательности имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Числители данной последовательности представляют собой арифметическую прогрессию с первым членом, равным 1 и разностью, равной 2. Тогда получаем выражение вида .
Знаменатели представляют собой последовательность кубов натуральных чисел, то есть , , и т.д. получаем выражение вида . Следовательно, формула общего члена числовой последовательности примет вид: .
ЗАДАНИЕ N 32 отправить сообщение разработчикам
Тема: Область сходимости степенного ряда
Интервал сходимости степенного ряда имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Вычислим предел
Интервал сходимости данного ряда определяется как , где . То есть .
ЗАДАНИЕ N 33 отправить сообщение разработчикам
Тема: Ряд Тейлора (Маклорена)
Ряд Маклорена для функции имеет вид …
|
, |
|||
|
|
, |
||
|
|
, |
||
|
|
, |
ЗАДАНИЕ N 34 отправить сообщение разработчикам
Тема: Сходимость числовых рядов
Даны числовые ряды:
А) ,
В) .
Тогда …
|
ряд А) сходится, ряд В) расходится |
|||
|
|
ряд А) расходится, ряд В) расходится |
||
|
|
ряд А) сходится, ряд В) сходится |
||
|
|
ряд А) расходится, ряд В) сходится |
Решение:
Для исследования сходимости знакочередующегося ряда применим признак сходимости Лейбница:
1) Вычислим предел .
2) Для любого натурального справедливо , то есть последовательность монотонно убывает.
Следовательно, ряд сходится.
Ряд расходится, так как
Преподаватель: Мукимов В.Р.
Специальность: 040100.62 - Социальная работа
Группа: 13
Дисциплина: Математика
Идентификатор студента: Сафкина Эльвина Ильдаровна
Логин: 01ps1006122
Начало тестирования: 2013-04-07 20:53:08
Завершение тестирования: 2013-04-07 21:01:11
Продолжительность тестирования: 8 мин.
Заданий в тесте: 34
Кол-во правильно выполненных заданий: 8
Процент правильно выполненных заданий: 23 %
ЗАДАНИЕ N 1 отправить сообщение разработчикам
Тема: Системы линейных уравнений
Решение системы может иметь вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 2 отправить сообщение разработчикам
Тема: Ранг матрицы
Ранг матрицы равен двум, если значение не равно …
|
– 21 |
|||
|
|
– 1 |
||
|
|
21 |
||
|
|
1 |
Решение:
Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. Так как существуют ненулевые миноры первого порядка, например: , то ранг матрицы будет равен двум, если минор второго порядка не равен нулю. Вычислим
следовательно, .
ЗАДАНИЕ N 3 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные операции над матрицами
Матрицы и имеют одинаковую размерность. Если – единичная матрица того же размера, что и матрицы и , и матрица , то верно равенство …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Если выразить матрицу , то получим равенство:
ЗАДАНИЕ N 4 отправить сообщение разработчикам
Тема: Вычисление определителей
Корень уравнения равен …
|
|
|||
|
|
3 |
||
|
|
– |
||
|
|
–1 |
Решение:
Определитель второго порядка вычисляется по формуле: . Тогда По условию задачи определитель должен равняться 0, то есть Следовательно,
ЗАДАНИЕ N 5 отправить сообщение разработчикам
Тема: Умножение матриц
Произведение матрицы размерностью 1×3 на матрицу существует, если размерность матрицы равна …
|
31 |
|||
|
|
43 |
||
|
|
23 |
||
|
|
12 |
Решение:
Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , элемент которой равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы и j-го столбца матрицы . Тогда, для того чтобы произведение матриц существовало, число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй.
ЗАДАНИЕ N 6 отправить сообщение разработчикам
Тема: Обратная матрица
Обратная матрица существует для матрицы …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Всякая невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу, то есть матрица имеет обратную, если определитель матрицы не равен нулю. Тогда
1) , то есть обратная матрица не существует.
2) , то есть обратная матрица не существует.
3) , то есть обратная матрица не существует.
4) , следовательно, обратная матрица существует.
ЗАДАНИЕ N 7 отправить сообщение разработчикам
Тема: Предел функции
Предел равен …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Данный предел можно вычислить с использованием второго замечательного предела и его следствий вида . Тогда
ЗАДАНИЕ N 8 отправить сообщение разработчикам
Тема: Область определения функции
Область определения функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Область определения данной функции определяется как решение системы неравенств:
то есть .
ЗАДАНИЕ N 9 отправить сообщение разработчикам
Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, изображенной на рисунке
равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле , где , , а . Тогда
.
ЗАДАНИЕ N 10 отправить сообщение разработчикам
Тема: Основные методы интегрирования
Множество первообразных функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда
Произведем замену , , :
ЗАДАНИЕ N 11 отправить сообщение разработчикам
Тема: Производные высших порядков
Производная второго порядка функции равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Вычислим производную первого порядка:
Тогда производная второго порядка вычисляется как производная от производной первого порядка, то есть
ЗАДАНИЕ N 12 отправить сообщение разработчикам
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Частная производная второго порядка функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
При вычислении частной производной функции по одной из переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда
и
ЗАДАНИЕ N 13 отправить сообщение разработчикам
Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
Даны точки , , и . Тогда линии, заданной уравнением , принадлежит точка …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 14 отправить сообщение разработчикам
Тема: Полярные координаты на плоскости
В полярной системе координат даны точки и . Тогда полярные координаты середины отрезка равны …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Точки и лежат на одной прямой, перпендикулярной полярной оси, и отстоят от полюса на расстояния 5 и 1 соответственно. Тогда середина отрезка находится на расстоянии 2 от полюса, полярный угол составляет .
ЗАДАНИЕ N 15 отправить сообщение разработчикам
Тема: Прямая и плоскость в пространстве
Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеют вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку с направляющим вектором , имеют вид
Тогда или
ЗАДАНИЕ N 16 отправить сообщение разработчикам
Тема: Поверхности второго порядка
Уравнение сферы с центром в точке и радиусом имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Уравнение сферы с центром в точке и радиусом имеет вид То есть
ЗАДАНИЕ N 17 отправить сообщение разработчикам
Тема: Кривые второго порядка
Мнимая полуось гиперболы равна …
|
2 |
|||
|
|
9 |
||
|
|
4 |
||
|
|
3 |
Решение:
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – действительная полуось, - мнимая полуось. Тогда .
ЗАДАНИЕ N 18 отправить сообщение разработчикам
Тема: Прямая на плоскости
Прямая проходит через точки и . Тогда общее уравнение этой прямой имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Уравнение прямой, проходящей через две точки и имеет вид . То есть , , или .
ЗАДАНИЕ N 19 отправить сообщение разработчикам
Тема: Ряд Тейлора (Маклорена)
Если , то коэффициент разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням равен …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 20 отправить сообщение разработчикам
Тема: Сходимость числовых рядов
Даны числовые ряды:
А) ,
В) .
Тогда …
|
ряд А) расходится, ряд В) сходится |
|||
|
|
ряд А) расходится, ряд В) расходится |
||
|
|
ряд А) сходится, ряд В) сходится |
||
|
|
ряд А) сходится, ряд В) расходится |
Решение:
Ряд расходится, так как для него не выполняется необходимое условие сходимости. Действительно, .
Для исследования сходимости ряда применим признак сходимости Даламбера. Тогда , то есть ряд сходится.
ЗАДАНИЕ N 21 отправить сообщение разработчикам
Тема: Числовые последовательности
Общий член числовой последовательности имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Числители данной последовательности представляют собой арифметическую прогрессию с первым членом, равным 1 и разностью, равной 2. Тогда получаем выражение вида .
Знаменатели представляют собой последовательность кубов натуральных чисел, то есть , , и т.д. получаем выражение вида . Следовательно, формула общего члена числовой последовательности примет вид: .
ЗАДАНИЕ N 22 отправить сообщение разработчикам
Тема: Область сходимости степенного ряда
Радиус сходимости степенного ряда равен …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 23 отправить сообщение разработчикам
Тема: Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин
Дан график плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины :
Тогда график ее функции распределения вероятностей имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины вычисляется по формуле .
Тогда:
если , то , следовательно ;
если , то ;
если , то
Тогда график будет иметь вид:
ЗАДАНИЕ N 24 отправить сообщение разработчикам
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Собирается партия исправных изделий с двух предприятий. Первое предприятие поставляет 30% всех изделий, а второе – 70%. Вероятность исправной работы изделия первого предприятия равна 0,8, второго – 0,7. Тогда вероятность того, что случайно взятое изделие будет неисправным, равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 25 отправить сообщение разработчикам
Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей
Из урны, в которой лежат 7 белых и 3 черных шара, наудачу по одному извлекают два шара без возвращения. Тогда вероятность того, что хотя бы один шар будет белым, равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Введем обозначения событий: – -ый вынутый шар будет белым, A – хотя бы один шар будет белым. Тогда , где – -ый вынутый шар не будет белым. Так как по условию задачи события и зависимы, то
ЗАДАНИЕ N 26 отправить сообщение разработчикам
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Тогда вероятность равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
.
ЗАДАНИЕ N 27 отправить сообщение разработчикам
Тема: Определение вероятности
Из урны, в которой находятся 6 черных, 4 белых и 10 зеленых шаров, вынимают случайным образом один шар. Тогда вероятность того, этот шар будет белым, равна …
|
0,2 |
|||
|
|
0,4 |
||
|
|
0,25 |
||
|
|
0,3 |
Решение:
Для вычисления события (вынутый случайным образом шар будет белым) воспользуемся формулой , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A. В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно количеству имеющихся в урне шаров, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно количеству белых шаров, имеющихся в урне, то есть .
Следовательно, .
ЗАДАНИЕ N 28 отправить сообщение разработчикам
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:
Тогда ее математическое ожидание равно …
|
|
|||
|
|
2 |
||
|
|
8 |
||
|
|
|
Решение:
Воспользуемся формулой . Тогда
ЗАДАНИЕ N 29 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …
|
, |
|||
|
|
, |
||
|
|
, |
||
|
|
, |
Решение:
Уравнение перепишем в виде .
Введем замену , . Получим: или . Пусть . Тогда .
Подставим найденное значение в уравнение . Получим: . Тогда и , где постоянная интегрирования . Окончательное решение имеет вид , .
ЗАДАНИЕ N 30 отправить сообщение разработчикам
Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Частное решение дифференциального уравнения может иметь вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 31 отправить сообщение разработчикам
Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение является …
|
уравнением с разделяющимися переменными |
|||
|
|
линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка |
||
|
|
однородным относительно и дифференциальным уравнением первого порядка |
||
|
|
уравнением Бернулли |
ЗАДАНИЕ N 32 отправить сообщение разработчикам
Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Функция является общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Тогда для начального условия частное решение этого уравнения имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Подставив в общее решение начальное условие , то есть , получим значение .
Следовательно, искомое частное решение имеет вид .
ЗАДАНИЕ N 33 отправить сообщение разработчикам
Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …
|
, |
|||
|
|
, |
||
|
|
, |
||
|
|
, |
Решение:
Разделим переменные в исходном уравнении и проинтегрируем обе части последнего равенства: . Вычисляя интегралы, получаем , или , где постоянная интегрирования .
ЗАДАНИЕ N 34 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Преподаватель: Мукимов В.Р.
Специальность: 050400.62 - Психолого-педагогическое образование
Группа: ПиСП-11
Дисциплина: Математика
Идентификатор студента: Гареева Гульнара Валерьевна
Логин: 01ps1056690
Начало тестирования: 2013-05-16 20:54:43
Завершение тестирования: 2013-05-16 21:09:34
Продолжительность тестирования: 14 мин.
Заданий в тесте: 57
Кол-во правильно выполненных заданий: 19
Процент правильно выполненных заданий: 33 %
ЗАДАНИЕ N 1 отправить сообщение разработчикам
Тема: Вычисление определителей
Корень уравнения равен …
|
|
|||
|
|
3 |
||
|
|
– |
||
|
|
–1 |
Решение:
Определитель второго порядка вычисляется по формуле: . Тогда По условию задачи определитель должен равняться 0, то есть Следовательно,
ЗАДАНИЕ N 2 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные операции над матрицами
Дана матрица Если то матрица равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на данное число. При сложении или вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются друг из друга. В данном случае:
ЗАДАНИЕ N 3 отправить сообщение разработчикам
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы и Тогда матрица имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , элемент которой равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы и j-го столбца матрицы . Тогда
ЗАДАНИЕ N 4 отправить сообщение разработчикам
Тема: Ранг матрицы
Ранг матрицы равен …
|
наибольшему из порядков ее миноров, не равных нулю |
|||
|
|
наибольшему из ее миноров, не равных нулю |
||
|
|
числу ненулевых элементов главной диагонали |
||
|
|
сумме чисел ненулевых элементов главной диагонали |
ЗАДАНИЕ N 5 отправить сообщение разработчикам
Тема: Обратная матрица
Для матрицы не существует обратной, если значение равно …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
2 |
||
|
|
– 2 |
Решение:
Матрица не имеет обратной, если определитель матрицы равен нулю, то есть Тогда обратной матрицы не существует при
ЗАДАНИЕ N 6 отправить сообщение разработчикам
Тема: Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений имеет единственное решение, если не равно …
|
10 |
|||
|
|
– 10 |
||
|
|
2,5 |
||
|
|
– 2,5 |
Решение:
Система линейных уравнений имеет единственное решение, если определитель матрицы системы не равен нулю. Вычислим Тогда
ЗАДАНИЕ N 7 отправить сообщение разработчикам
Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
Расстояние между точками и равно …
|
5 |
|||
|
|
25 |
||
|
|
17 |
||
|
|
1 |
Решение:
Расстояние между двумя точками и находится по формуле . Тогда расстояние между точками и можно найти как .
ЗАДАНИЕ N 8 отправить сообщение разработчикам
Тема: Полярные координаты на плоскости
В полярной системе координат кривая определяет …
|
окружность |
|||
|
|
параболу |
||
|
|
гиперболу |
||
|
|
прямую |
Решение:
Перейдем в уравнении кривой к декартовым координатам. Используя формулы взаимосвязи между полярными и декартовыми системами координат , получим: тогда или . Выделим в этом уравнении полный квадрат относительно : Тогда А это уравнение окружности с центром в точке и радиусом .
ЗАДАНИЕ N 9 отправить сообщение разработчикам
Тема: Прямая на плоскости
Общее уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Так как прямые параллельны, то уравнение искомой прямой задается как . Подставляя в это уравнение координаты точки , найдем значение : . Отсюда . Тогда уравнение искомой прямой имеет вид .
ЗАДАНИЕ N 10 отправить сообщение разработчикам
Тема: Кривые второго порядка
Фокусы эллипса лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, а длины полуосей равны соответственно 7 и 2. Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Каноническое уравнение эллипса имеет вид . Так как фокусы эллипса лежат на оси абсцисс, то большая полуось , а меньшая полуось . Таким образом, получим уравнение .
ЗАДАНИЕ N 11 отправить сообщение разработчикам
Тема: Прямая и плоскость в пространстве
Даны точки и . Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид . В качестве вектора возьмем вектор . Тогда уравнение плоскости примет вид или .
ЗАДАНИЕ N 12 отправить сообщение разработчикам
Тема: Поверхности второго порядка
Уравнение сферы с центром в точке и радиусом имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Уравнение сферы с центром в точке и радиусом имеет вид То есть
ЗАДАНИЕ N 13 отправить сообщение разработчикам
Тема: Область определения функции
Область определения функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 14 отправить сообщение разработчикам
Тема: Предел функции
Предел равен …
|
|
|||
|
|
3 |
||
|
|
0 |
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 15 отправить сообщение разработчикам
Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Точка разрыва функции равна …
|
2 |
|||
|
|
– 2 |
||
|
|
0 |
||
|
|
1 |
ЗАДАНИЕ N 16 отправить сообщение разработчикам
Тема: Производные первого порядка
Производная функции равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
ЗАДАНИЕ N 17 отправить сообщение разработчикам
Тема: Производные высших порядков
Производная второго порядка функции равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 18 отправить сообщение разработчикам
Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП
Материальная точка движется прямолинейно по закону Тогда скорость точки в момент времени равна …
|
2 |
|||
|
|
3 |
||
|
|
6 |
||
|
|
4 |
ЗАДАНИЕ N 19 отправить сообщение разработчикам
Тема: Асимптоты графика функции
Горизонтальная асимптота графика функции задается уравнением вида …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при если существует
Вычислив предел
получаем уравнение горизонтальной асимптоты или
ЗАДАНИЕ N 20 отправить сообщение разработчикам
Тема: Частные производные первого порядка
Частная производная функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 21 отправить сообщение разработчикам
Тема: Частные производные высших порядков
Частная производная второго порядка функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
При вычислении частной производной функции по одной из переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда
и
ЗАДАНИЕ N 22 отправить сообщение разработчикам
Тема: Полный дифференциал ФНП
Полный дифференциал функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Полный дифференциал функции нескольких переменных равен сумме произведений частных производных этой функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных, то есть
Тогда
ЗАДАНИЕ N 23 отправить сообщение разработчикам
Тема: Непосредственное интегрирование
Множество первообразных функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 24 отправить сообщение разработчикам
Тема: Замена переменной в неопределенном интеграле
Множество первообразных функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 25 отправить сообщение разработчикам
Тема: Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
Множество первообразных функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции методом интегрирования по частям по формуле Тогда
ЗАДАНИЕ N 26 отправить сообщение разработчикам
Тема: Интегрирование рациональных функций
Множество первообразных функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции.
Тогда
ЗАДАНИЕ N 27 отправить сообщение разработчикам
Тема: Интегрирование иррациональных выражений
Множество первообразных функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда
Произведем замену
ЗАДАНИЕ N 28 отправить сообщение разработчикам
Тема: Интегрирование тригонометрических функций
Множество первообразных функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда
Произведем замену
ЗАДАНИЕ N 29 отправить сообщение разработчикам
Тема: Свойства определенного интеграла
Среднее значение функции на отрезке равно …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Среднее значение функции , непрерывной на отрезке , вычисляется по формуле где . Тогда
ЗАДАНИЕ N 30 отправить сообщение разработчикам
Тема: Методы вычисления определенного интеграла
Определенный интеграл равен …
|
2 |
|||
|
|
1 |
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Для вычисления определенного интеграла применим формулу Ньютона-Лейбница: где – первообразная функции
Тогда
ЗАДАНИЕ N 31 отправить сообщение разработчикам
Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, изображенной на рисунке
равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле где , , а . Тогда
ЗАДАНИЕ N 32 отправить сообщение разработчикам
Тема: Двойные интегралы
Повторный интеграл равен …
|
16 |
|||
|
|
20 |
||
|
|
8 |
||
|
|
4 |
Решение:
Вычисление повторного интеграла вида сводится к последовательному вычислению определенных интегралов с учетом того, что при вычислении интеграла вида переменная х считается постоянной.
Тогда
ЗАДАНИЕ N 33 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные операции над векторами
Даны точки , и . Тогда вектор имеет координаты …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 34 отправить сообщение разработчикам
Тема: Норма вектора в евклидовом пространстве
Норма вектора в евклидовом пространстве со стандартным скалярным произведением равна …
|
6 |
|||
|
|
– 2 |
||
|
|
36 |
||
|
|
10 |
Решение:
Так как , то
ЗАДАНИЕ N 35 отправить сообщение разработчикам
Тема: Скалярное произведение векторов
Даны точки и . Тогда скалярное произведение радиус-векторов этих точек равно …
|
5 |
|||
|
|
– 5 |
||
|
|
19 |
||
|
|
7 |
Решение:
Для того чтобы найти скалярное произведение радиус-векторов точек и , надо найти скалярное произведение векторов и . В нашем случае , и .
ЗАДАНИЕ N 36 отправить сообщение разработчикам
Тема: Векторное произведение векторов
Даны два вектора: и , где , , угол между векторами и равен . Тогда модуль векторного произведения векторов и будет равен …
|
3 |
|||
|
|
|
||
|
|
12 |
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 37 отправить сообщение разработчикам
Тема: Смешанное произведение векторов
Даны точки , , и . Тогда смешанное произведение векторов равно …
|
24 |
|||
|
|
4 |
||
|
|
12 |
||
|
|
8 |
ЗАДАНИЕ N 38 отправить сообщение разработчикам
Тема: Градиент скалярного поля
Направление наибыстрейшего возрастания функции определяется вектором …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 39 отправить сообщение разработчикам
Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение является …
|
линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами |
|||
|
|
линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами |
||
|
|
уравнением Бернулли |
||
|
|
дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными |
Решение:
Уравнение можно представить в виде где и – числа. Поэтому данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
ЗАДАНИЕ N 40 отправить сообщение разработчикам
Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …
|
, |
|||
|
|
, |
||
|
|
, |
||
|
|
, |
Решение:
Разделим переменные в исходном уравнении и проинтегрируем обе части последнего равенства: . Тогда , где постоянная интегрирования . Откуда , .
ЗАДАНИЕ N 41 отправить сообщение разработчикам
Тема: Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение заменой приводится к уравнению с разделенными переменными, которое имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Если то и
Тогда уравнение запишется в виде или
Тогда Разделив переменные, получим
ЗАДАНИЕ N 42 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Уравнение перепишем в виде Введем замену , и получим: или Пусть Тогда . Подставим найденное значение в уравнение Получим: Тогда и где постоянная интегрирования . Окончательное решение имеет вид
ЗАДАНИЕ N 43 отправить сообщение разработчикам
Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Функция является общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Тогда для начального условия частное решение этого уравнения имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Подставив в общее решение начальное условие то есть , получим значение
Следовательно, искомое частное решение имеет вид .
ЗАДАНИЕ N 44 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Составим характеристическое уравнение и решим его: Тогда общее решение исходного уравнения примет вид
ЗАДАНИЕ N 45 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общий вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка будет выглядеть как …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 46 отправить сообщение разработчикам
Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
После понижения порядка дифференциальное уравнение приводится к виду …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 47 отправить сообщение разработчикам
Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет нечетное число очков, равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
0 |
Решение:
Для вычисления события (на верхней грани выпадет нечетное число очков) воспользуемся формулой , где – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события
Преподаватель: Мукимов В.Р.
Специальность: 020201.65 - Биология
Группа: 23 биоэкологи
Дисциплина: Математика
Идентификатор студента: Джумабаева
Логин: 01ps1058092
Начало тестирования: 2013-05-17 18:06:40
Завершение тестирования: 2013-05-17 18:15:44
Продолжительность тестирования: 9 мин.
Заданий в тесте: 34
Кол-во правильно выполненных заданий: 2
Процент правильно выполненных заданий: 5 %
ЗАДАНИЕ N 1 отправить сообщение разработчикам
Тема: Поверхности второго порядка
Координаты центра эллипсоида равны …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Координаты центра эллипсоида равны То есть это точка
ЗАДАНИЕ N 2 отправить сообщение разработчикам
Тема: Прямая и плоскость в пространстве
Прямая проходит через точку параллельно прямой . Тогда уравнение этой прямой имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором имеет вид . В качестве вектора возьмем направляющий вектор прямой , а именно . Тогда получим или .
ЗАДАНИЕ N 3 отправить сообщение разработчикам
Тема: Прямая на плоскости
Дано уравнение прямой . Тогда уравнение этой прямой «в отрезках» имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Уравнение прямой «в отрезках» имеет вид , где и – величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях и соответственно, считая от начала координат. Приведем уравнение к указанному виду: или .
ЗАДАНИЕ N 4 отправить сообщение разработчикам
Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
Даны точки , , и . Тогда линии, заданной уравнением , принадлежит точка …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Если точка принадлежит линии, то при подстановке её координат в уравнение линии должно получиться тождество. Уравнению удовлетворяют координаты точки : .
ЗАДАНИЕ N 5 отправить сообщение разработчикам
Тема: Элементы гармонического анализа
Ортогональной к функции на [-;], не является функция …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Функции и называются ортогональными на [a, b], если . Из предложенных ответов этому условию не удовлетворяет функция , так как . Для остальных функций , так как произведение будет нечетной функцией, а интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу равен нулю.
ЗАДАНИЕ N 6 отправить сообщение разработчикам
Тема: Гармонические колебания
Точка совершает гармонические колебания вдоль оси по закону: . Тогда угловая частота колебаний равна …
|
|
|||
|
|
3 |
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Уравнение гармонического колебания в общем виде задается формулой: , где – начальная фаза, – угловая частота, – амплитуда колебаний.
Тогда угловая частота колебаний для равна .
ЗАДАНИЕ N 7 отправить сообщение разработчикам
Тема: Периодические функции
Период функции равен …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Период функции равен .
Тогда функция будет иметь период .
ЗАДАНИЕ N 8 отправить сообщение разработчикам
Тема: Ряд Фурье. Теорема Дирихле
Коэффициент в разложении в ряд Фурье функции на интервале равен …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Воспользуемся формулой .
Тогда , как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку.
ЗАДАНИЕ N 9 отправить сообщение разработчикам
Тема: Области на комплексной плоскости
Все точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке,
удовлетворяют условию …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Множество , изображенное на рисунке, представляет собой «внешнюю» часть круга с центром в точке и радиусом . Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид: . Следовательно, все точки, принадлежащие множеству , удовлетворяют неравенству или .
Модуль комплексного числа равен . Следовательно, точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , удовлетворяют условию.
ЗАДАНИЕ N 10 отправить сообщение разработчикам
Тема: Определение функции комплексного переменного
Дана функция . Тогда равно …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
.
ЗАДАНИЕ N 11 отправить сообщение разработчикам
Тема: Операции над комплексными числами
Сумма комплексных чисел и равна …
|
|
|||
|
|
13 |
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Чтобы сложить два комплексных числа и , надо сложить их вещественные и мнимые части, то есть .
В нашем случае получим .
ЗАДАНИЕ N 12 отправить сообщение разработчикам
Тема: Формы записи комплексного числа
Мнимая часть комплексного числа равна 2, а действительная часть равна 3. Тогда комплексное число имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Если комплексное число записано в форме , то его действительная часть равна , а мнимая часть равна . В нашем случае , а . Тогда комплексное число z запишется в виде .
ЗАДАНИЕ N 13 отправить сообщение разработчикам
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:
Тогда ее математическое ожидание равно …
|
1,5 |
|||
|
|
|
||
|
|
2,0 |
||
|
|
2,5 |
Решение:
Эта случайная величина распределена равномерно в интервале . Тогда ее математическое ожидание можно вычислить по формуле
То есть
ЗАДАНИЕ N 14 отправить сообщение разработчикам
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Собирается партия исправных изделий с двух предприятий. Первое предприятие поставляет 30% всех изделий, а второе – 70%. Вероятность исправной работы изделия первого предприятия равна 0,8, второго – 0,7. Тогда вероятность того, что случайно взятое изделие будет неисправным, равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Для вычисления вероятности события A (случайно взятое изделие будет неисправным) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что изделие изготовлено первым предприятием; – вероятность того, что изделие изготовлено вторым предприятием; – условная вероятность того, что случайно взятое изделие будет неисправным, если оно изготовлено на первом предприятии; – условная вероятность того, что случайно взятое изделие будет неисправным, если оно изготовлено на втором предприятии.
Тогда
ЗАДАНИЕ N 15 отправить сообщение разработчикам
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Тогда значение a равно …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Так как сумма вероятностей возможных значений равна 1, то .
ЗАДАНИЕ N 16 отправить сообщение разработчикам
Тема: Определение вероятности
После бури на участке между 50-ым и 70-ым километрами высоковольтной линии электропередач произошел обрыв проводов. Тогда вероятность того, что авария произошла между 60-ым и 63-им километрами, равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Для вычисления вероятности искомого события применим геометрическое определение вероятности и воспользуемся формулой , где , а . Тогда
ЗАДАНИЕ N 17 отправить сообщение разработчикам
Тема: Статистическое распределение выборки
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , полигон частот которой имеет вид:
Тогда значение параметра равно …
|
47 |
|||
|
|
53 |
||
|
|
57 |
||
|
|
23,5 |
Решение:
Объем выборки вычисляется по формуле , где – частота варианты . Тогда , то есть
ЗАДАНИЕ N 18 отправить сообщение разработчикам
Тема: Проверка статистических гипотез
Левосторонняя критическая область может определяться из соотношения …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Левосторонней называют критическую область, определяемую соотношением , где – отрицательное число, а – уровень значимости. Таким соотношением является .
ЗАДАНИЕ N 19 отправить сообщение разработчикам
Тема: Точечные оценки параметров распределения
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :
Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Несмещенная оценка математического ожидания вычисляется по формуле . То есть
ЗАДАНИЕ N 20 отправить сообщение разработчикам
Тема: Интервальные оценки параметров распределения
Точечная оценка среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака равна . Тогда его интервальная оценка может иметь вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Интервальной оценкой среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака служит доверительный интервал при ,
или при , где находят по соответствующей таблице приложений.
Этому определению удовлетворяет интервал
ЗАДАНИЕ N 21 отправить сообщение разработчикам
Тема: Системы линейных уравнений
Решение системы может иметь вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
По методу Гаусса приведем матрицу системы с помощью элементарных преобразований строк к трапецеидальной или треугольной форме. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее: . Следовательно, система может быть записана в виде уравнения: , где – свободная переменная, а – базисная. Общее решение будет иметь вид: . Значит решением данной системы может быть (2С; С).
ЗАДАНИЕ N 22 отправить сообщение разработчикам
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы и Тогда матрица имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , элемент которой равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы и j-го столбца матрицы . Тогда
ЗАДАНИЕ N 23 отправить сообщение разработчикам
Тема: Обратная матрица
Дана матрица Тогда обратная матрица имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 24 отправить сообщение разработчикам
Тема: Вычисление определителей
Корень уравнения равен …
|
– 1 |
|||
|
|
1 |
||
|
|
4 |
||
|
|
– 4 |
Решение:
Определитель второго порядка вычисляется по формуле:
. Тогда По условию задачи определитель должен равняться 0, то есть Следовательно,
ЗАДАНИЕ N 25 отправить сообщение разработчикам
Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Проинтегрируем последовательно обе части уравнения три раза: , , .
То есть общее решение примет вид .
ЗАДАНИЕ N 26 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Составим характеристическое уравнение и решим его: . Тогда общее решение исходного уравнения примет вид: .
ЗАДАНИЕ N 27 отправить сообщение разработчикам
Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение является …
|
линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами |
|||
|
|
линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами |
||
|
|
уравнением Бернулли |
||
|
|
дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными |
Решение:
Уравнение можно представить в виде , где и – числа. Поэтому данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
ЗАДАНИЕ N 28 отправить сообщение разработчикам
Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию , имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 29 отправить сообщение разработчикам
Тема: Производные первого порядка
Производная функции равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
.
ЗАДАНИЕ N 30 отправить сообщение разработчикам
Тема: Область определения функции
Область определения функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Данная функция определена, если подкоренное выражение в числителе неотрицательно, а знаменатель не равен нулю. Тогда
Следовательно, получаем, что .
ЗАДАНИЕ N 31 отправить сообщение разработчикам
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Полный дифференциал функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Полный дифференциал функции нескольких переменных равен сумме произведений частных производных этой функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных, то есть
.
Тогда
ЗАДАНИЕ N 32 отправить сообщение разработчикам
Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, изображенной на рисунке
равна …
|
|
|||
|
|
24 |
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле , где , , а . Тогда
ЗАДАНИЕ N 33 отправить сообщение разработчикам
Тема: Основные методы интегрирования
Множество первообразных функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда
Произведем замену , , :
ЗАДАНИЕ N 34 отправить сообщение разработчикам
Тема: Предел функции
Предел равен …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Данный предел можно вычислить с использованием второго замечательного предела и его следствий вида . Тогда
Преподаватель: Мукимов В.Р.
Специальность: 050400.62 - Психолого-педагогическое образование
Группа: ПиСП-11
Дисциплина: Математика
Идентификатор студента: Мелконян Аревик Хачатуровна
Логин: 01ps1056674
Начало тестирования: 2013-05-17 21:28:49
Завершение тестирования: 2013-05-17 21:39:56
Продолжительность тестирования: 11 мин.
Заданий в тесте: 57
Кол-во правильно выполненных заданий: 18
Процент правильно выполненных заданий: 31 %
ЗАДАНИЕ N 1 отправить сообщение разработчикам
Тема: Вычисление определителей
Определитель равен …
|
– 11 |
|||
|
|
– 1 |
||
|
|
11 |
||
|
|
1 |
Решение:
Определитель второго порядка вычисляется по формуле: . Тогда
ЗАДАНИЕ N 2 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные операции над матрицами
Даны матрицы и Тогда решением уравнения является матрица равная …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
При сложении или вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются друг из друга. Из матричного уравнения Тогда
Следовательно,
ЗАДАНИЕ N 3 отправить сообщение разработчикам
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы и . Тогда матрица имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 4 отправить сообщение разработчикам
Тема: Ранг матрицы
Ранг матрицы равен …
|
1 |
|||
|
|
2 |
||
|
|
3 |
||
|
|
0 |
Решение:
Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. Существуют ненулевые миноры первого порядка, например: , а минор второго порядка равен нулю: .
Следовательно, ранг равен одному.
ЗАДАНИЕ N 5 отправить сообщение разработчикам
Тема: Обратная матрица
Дана матрица Тогда обратная матрица имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Обратная матрица имеет вид Вычислим
Тогда
ЗАДАНИЕ N 6 отправить сообщение разработчикам
Тема: Системы линейных уравнений
Если и являются решением системы линейных уравнений , то их разность равна …
|
1 |
|||
|
|
– 1 |
||
|
|
2 |
||
|
|
– 2 |
Решение:
Если определитель матрицы системы не равен нулю, то решение системы линейных уравнений по правилу Крамера находится в виде: , ,
где , и .
Тогда
и
Следовательно, разность равна
ЗАДАНИЕ N 7 отправить сообщение разработчикам
Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
Даны точки , , и . Тогда линии, заданной уравнением , принадлежит точка …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Если точка принадлежит линии, то при подстановке её координат в уравнение линии должно получиться тождество. Уравнению удовлетворяют координаты точки : .
ЗАДАНИЕ N 8 отправить сообщение разработчикам
Тема: Полярные координаты на плоскости
В полярной системе координат даны точки и . Тогда полярные координаты середины отрезка равны …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 9 отправить сообщение разработчикам
Тема: Прямая на плоскости
Дано уравнение прямой . Тогда уравнение этой прямой «в отрезках» имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Уравнение прямой «в отрезках» имеет вид , где и – величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях и соответственно, считая от начала координат. Приведем уравнение к указанному виду: или .
ЗАДАНИЕ N 10 отправить сообщение разработчикам
Тема: Кривые второго порядка
Мнимая полуось гиперболы равна …
|
2 |
|||
|
|
9 |
||
|
|
4 |
||
|
|
3 |
Решение:
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – действительная полуось, - мнимая полуось. Тогда .
ЗАДАНИЕ N 11 отправить сообщение разработчикам
Тема: Прямая и плоскость в пространстве
Дано общее уравнение плоскости . Тогда уравнение этой плоскости «в отрезках» имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Уравнение плоскости «в отрезках» имеет вид , где , и – длины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях , и соответственно, считая от начала координат. Перенесём свободный член уравнения плоскости в правую часть и разделим обе части уравнения на 6. Тогда .
ЗАДАНИЕ N 12 отправить сообщение разработчикам
Тема: Поверхности второго порядка
Даны уравнения поверхностей второго порядка:
А)
B)
C)
D)
Тогда однополостный гиперболоид задается уравнением …
|
D |
|||
|
|
A |
||
|
|
C |
||
|
|
B |
ЗАДАНИЕ N 13 отправить сообщение разработчикам
Тема: Область определения функции
Область определения функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Данная функция определена, если подкоренное выражение в знаменателе положительно, то есть Для решения этого неравенства найдем предварительно корни уравнения а именно и Тогда методом интервалов можем получить, что
ЗАДАНИЕ N 14 отправить сообщение разработчикам
Тема: Предел функции
Предел равен …
|
|
|||
|
|
1 |
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 15 отправить сообщение разработчикам
Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Количество точек разрыва функции равно …
|
2 |
|||
|
|
4 |
||
|
|
3 |
||
|
|
1 |
Решение:
Точку называют точкой разрыва функции , если она не является непрерывной в этой точке. В частности, точками разрыва данной функции являются точки, в которых знаменатель равен нулю. Так как а при , , то получаем две точки разрыва.
ЗАДАНИЕ N 16 отправить сообщение разработчикам
Тема: Производные первого порядка
Производная функции равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 17 отправить сообщение разработчикам
Тема: Производные высших порядков
Производная второго порядка функции равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 18 отправить сообщение разработчикам
Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП
Минимум функции равен …
|
– 1 |
|||
|
|
1 |
||
|
|
|
||
|
|
– 3 |
Решение:
Определим критические точки функции, для чего вычислим производную первого порядка и решим уравнение , а именно . Тогда
Определим производную второго порядка и вычислим ее значения в критических точках:
Так как то будет точкой минимума. Следовательно,
ЗАДАНИЕ N 19 отправить сообщение разработчикам
Тема: Асимптоты графика функции
Горизонтальная асимптота графика функции задается уравнением вида …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 20 отправить сообщение разработчикам
Тема: Частные производные первого порядка
Частная производная функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
При вычислении частной производной по переменной переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда
ЗАДАНИЕ N 21 отправить сообщение разработчикам
Тема: Частные производные высших порядков
Частная производная второго порядка функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 22 отправить сообщение разработчикам
Тема: Полный дифференциал ФНП
Полный дифференциал функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 23 отправить сообщение разработчикам
Тема: Непосредственное интегрирование
Множество первообразных функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 24 отправить сообщение разработчикам
Тема: Замена переменной в неопределенном интеграле
Множество первообразных функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда
Произведем замену
ЗАДАНИЕ N 25 отправить сообщение разработчикам
Тема: Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
Множество первообразных функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции методом интегрирования по частям по формуле Тогда
ЗАДАНИЕ N 26 отправить сообщение разработчикам
Тема: Интегрирование рациональных функций
Множество первообразных функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 27 отправить сообщение разработчикам
Тема: Интегрирование иррациональных выражений
Множество первообразных функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда
ЗАДАНИЕ N 28 отправить сообщение разработчикам
Тема: Интегрирование тригонометрических функций
Множество первообразных функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда
Произведем замену
ЗАДАНИЕ N 29 отправить сообщение разработчикам
Тема: Свойства определенного интеграла
Значение определенного интеграла принадлежит промежутку …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Если функция интегрируема на , и , то
Так как наибольшее значение функции на отрезке равно , а наименьшее – , то
или
ЗАДАНИЕ N 30 отправить сообщение разработчикам
Тема: Методы вычисления определенного интеграла
Определенный интеграл равен …
|
2 |
|||
|
|
1 |
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Для вычисления определенного интеграла применим формулу Ньютона-Лейбница: где – первообразная функции
Тогда
ЗАДАНИЕ N 31 отправить сообщение разработчикам
Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, изображенной на рисунке
равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле где , . Тогда
ЗАДАНИЕ N 32 отправить сообщение разработчикам
Тема: Двойные интегралы
Повторный интеграл равен …
|
12 |
|||
|
|
20 |
||
|
|
6 |
||
|
|
24 |
Решение:
Вычисление повторного интеграла вида сводится к последовательному вычислению определенных интегралов с учетом того, что при вычислении интеграла вида переменная х считается постоянной.
Тогда
ЗАДАНИЕ N 33 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные операции над векторами
Даны два вектора: и . Если , то вектор равен …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Для того чтобы сложить или вычесть векторы, надо сложить или вычесть их соответствующие координаты. Так как , то .
ЗАДАНИЕ N 34 отправить сообщение разработчикам
Тема: Норма вектора в евклидовом пространстве
Дан вектор . Тогда норма вектора в евклидовом пространстве со стандартным скалярным произведением равна …
|
6 |
|||
|
|
2 |
||
|
|
36 |
||
|
|
10 |
Решение:
Так как , то
ЗАДАНИЕ N 35 отправить сообщение разработчикам
Тема: Скалярное произведение векторов
Даны точки , и . Тогда скалярное произведение векторов и будет равно …
|
22 |
|||
|
|
– 2 |
||
|
|
13 |
||
|
|
– 22 |
Решение:
Скалярное произведение векторов и , заданных своими координатами, равно: .
В нашем случае , и .
ЗАДАНИЕ N 36 отправить сообщение разработчикам
Тема: Векторное произведение векторов
Даны два вектора: и . Тогда вектор будет перпендикулярен и вектору , и вектору , при равном …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Вектор , перпендикулярный и вектору , и вектору , можно найти как результат векторного произведения векторов и , заданных своими координатами:
.
В нашем случае
Вектора и должны быть коллинеарны. То есть и, следовательно .
ЗАДАНИЕ N 37 отправить сообщение разработчикам
Тема: Смешанное произведение векторов
Даны точки , , и . Тогда смешанное произведение векторов равно …
|
24 |
|||
|
|
4 |
||
|
|
12 |
||
|
|
8 |
Решение:
Смешанное произведение векторов , и , заданных своими координатами, находится по формуле: .
В нашем случае , , ,
и .
ЗАДАНИЕ N 38 отправить сообщение разработчикам
Тема: Градиент скалярного поля
Градиент скалярного поля равен …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Градиент скалярного поля находится по формуле: . Так как , то .
ЗАДАНИЕ N 39 отправить сообщение разработчикам
Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение является …
|
линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами |
|||
|
|
линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами |
||
|
|
уравнением Бернулли |
||
|
|
дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными |
Решение:
Уравнение можно представить в виде , где и – числа. Поэтому данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
ЗАДАНИЕ N 40 отправить сообщение разработчикам
Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Разделим переменные в исходном уравнении и проинтегрируем обе части последнего равенства: Тогда где постоянная интегрирования Откуда
ЗАДАНИЕ N 41 отправить сообщение разработчикам
Тема: Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение заменой приводится к уравнению с разделенными переменными, которое имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Если то и
Тогда уравнение запишется в виде или
Тогда Разделив переменные, получим
ЗАДАНИЕ N 42 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …
|
, |
|||
|
|
, |
||
|
|
, |
||
|
|
, |
ЗАДАНИЕ N 43 отправить сообщение разработчикам
Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Функция является общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Тогда для начального условия частное решение этого уравнения имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Подставив в общее решение начальное условие то есть получим значение
Следовательно, искомое частное решение имеет вид .
ЗАДАНИЕ N 44 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Составим характеристическое уравнение и решим его: Тогда общее решение исходного уравнения примет вид
ЗАДАНИЕ N 45 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общий вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка будет выглядеть как …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 46 отправить сообщение разработчикам
Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Частное решение дифференциального уравнения может иметь вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 47 отправить сообщение разработчикам
Тема: Определение вероятности
После бури на участке между 50-ым и 70-ым километрами высоковольтной линии электропередач произошел обрыв проводов. Тогда вероятность того, что авария произошла между 60-ым и 63-им километрами, равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Для вычисления вероятности искомого события применим геометрическое определение вероятности и воспользуемся формулой , где , а . Тогда
ЗАДАНИЕ N 48 отправить сообщение разработчикам
Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей
В электрическую цепь параллельно включены два элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов элементов равны соответственно 0,05 и 0,20. Тогда вероятность того, что тока в цепи не будет, равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 49 отправить сообщение разработчикам
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Собирается партия исправных изделий с двух предприятий. Первое предприятие поставляет 30% всех изделий, а второе – 70%. Вероятность исправной работы изделия первого предприятия равна 0,8, второго – 0,7. Тогда вероятность того, что случайно взятое изделие будет неисправным, равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 50 отправить сообщение разработчикам
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 51 отправить сообщение разработчикам
Тема: Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:
Тогда вероятность равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 52 отправить сообщение разработчикам
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:
Тогда ее математическое ожидание равно …
|
2,1 |
|||
|
|
0,9 |
||
|
|
3,3 |
||
|
|
2,2 |
Решение:
Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле . Тогда
ЗАДАНИЕ N 53 отправить сообщение разработчикам
Кейс-задания: Кейс 1 подзадача 1
Для уборки снега на улицах города используются снегоуборочные машины. Они работают в течение суток с постоянной скоростью уборки снега 300
Изменение объема снега, выпадающего на улицы города в городе в течение суток, можно описать уравнением где – объем снега (в ), выпавшего за время t (в часах),
В момент времени на улицах города лежит 1600 снега.
Если – объем снега, лежащего на улицах города в момент времени t, то математическая модель для нахождения может иметь вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Скорость изменения объема снега лежащего на улицах города, равна Учитывая, что в момент времени на улицах города лежит 1600 снега, для получим
ЗАДАНИЕ N 54 отправить сообщение разработчикам
Кейс-задания: Кейс 1 подзадача 2
Для уборки снега на улицах города используются снегоуборочные машины. Они работают в течение суток с постоянной скоростью уборки снега 300
Изменение объема снега, выпадающего на улицы города в городе в течение суток, можно описать уравнением где – объем снега (в ), выпавшего за время t (в часах),
В момент времени на улицах города лежит 1600 снега.
Установите соответствие между временем t и объемом снега, лежащего на улицах города
1. часа
2. часов
|
1 |
2224 |
||
|
2 |
2896 |
||
|
|
1956 |
||
|
|
2556 |
||
|
|
2796 |
Решение:
Так как то и
ЗАДАНИЕ N 55 отправить сообщение разработчикам
Кейс-задания: Кейс 1 подзадача 3
Для уборки снега на улицах города используются снегоуборочные машины. Они работают в течение суток с постоянной скоростью уборки снега 300
Изменение объема снега, выпадающего на улицы города в городе в течение суток, можно описать уравнением где – объем снега (в ), выпавшего за время t (в часах),
В момент времени на улицах города лежит 1600 снега.
Если снегоуборочные машины прекратили свою работу в момент времени и до конца суток не работали, то объем снега, лежащего на улицах города, в конце дня ( ч) будет равен ___
|
3964 | |
Решение:
Так как то в момент выключения машин снега на улицах города было
С 19 до 24 часов снега выпало
Тогда общее количество снега равно 2854 + 1110 = 3964
ЗАДАНИЕ N 56 отправить сообщение разработчикам
Кейс-задания: Кейс 2 подзадача 1
В городском парке установлены две осветительные установки A и B, расположенные на расстоянии d = 140 метров друг от друга.
Устройство этих установок таково, что наилучшая освещенность на поверхности парка достигается в точках, отстоящих в раза дальше от установки A, чем от установки B. Через все такие точки проложили пешеходную дорожку.
Если ввести систему координат так, чтобы начало координат совпадало с расположением установки A, а ось ОХ была направлена в сторону установки B (см. рисунок), то уравнение линии, на которой расположены все такие точки, может быть записано в виде …
|
|
|||
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Точка А имеет координаты (0;0), точка B – (140;0).
Пусть М(х,у) – точка, удовлетворяющая условию задачи (с наилучшей освещенностью). По условию
Тогда
(разделим на 7);
(выделяем полный квадрат);
– уравнение окружности.
Все точки с наилучшей освещенностью лежат на окружности.
ЗАДАНИЕ N 57 отправить сообщение разработчикам
Кейс-задания: Кейс 2 подзадача 2
В городском парке установлены две осветительные установки A и B, расположенные на расстоянии d = 140 метров друг от друга.
Устройство этих установок таково, что наилучшая освещенность на поверхности парка достигается в точках, отстоящих в раза дальше от установки A, чем от установки B. Через все такие точки проложили пешеходную дорожку.
Пусть L – длина пешеходной дорожки, которую проложили через все такие точки. Тогда значение выражения равно …
|
160 | |
Решение:
Длина пешеходной дорожки равна длине окружности радиус которой равен
Тогда Значение выражения равно
Преподаватель: Мукимов В.Р.
Специальность: 050400.62 - Психолого-педагогическое образование
Группа: ПиСП-11
Дисциплина: Математика
Идентификатор студента: Нурисламова Татьяна Робертовна
Логин: 01ps1056677
Начало тестирования: 2013-05-16 19:45:36
Завершение тестирования: 2013-05-17 18:03:05
Продолжительность тестирования: 1337 мин.
Заданий в тесте: 57
Кол-во правильно выполненных заданий: 15
Процент правильно выполненных заданий: 26 %
ЗАДАНИЕ N 1 отправить сообщение разработчикам
Тема: Вычисление определителей
Корень уравнения равен …
|
|
|||
|
|
3 |
||
|
|
– |
||
|
|
–1 |
Решение:
Определитель второго порядка вычисляется по формуле: . Тогда По условию задачи определитель должен равняться 0, то есть Следовательно,
ЗАДАНИЕ N 2 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные операции над матрицами
Даны матрицы и Тогда решением уравнения является матрица равная …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 3 отправить сообщение разработчикам
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы и Тогда матрица имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , элемент которой равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы и j-го столбца матрицы . Тогда .
ЗАДАНИЕ N 4 отправить сообщение разработчикам
Тема: Ранг матрицы
Ранг матрицы равен двум, если значение не равно …
|
– 21 |
|||
|
|
– 1 |
||
|
|
21 |
||
|
|
1 |
Решение:
Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. Так как существуют ненулевые миноры первого порядка, например: , то ранг матрицы будет равен двум, если минор второго порядка не равен нулю. Вычислим
следовательно, .
ЗАДАНИЕ N 5 отправить сообщение разработчикам
Тема: Обратная матрица
Дана матрицы . Тогда матрица равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Транспонируем данную матрицу Обратная матрица имеет вид Вычислим
Тогда
ЗАДАНИЕ N 6 отправить сообщение разработчикам
Тема: Системы линейных уравнений
Если и являются решением системы линейных уравнений , то их разность равна …
|
1 |
|||
|
|
– 1 |
||
|
|
2 |
||
|
|
– 2 |
Решение:
Если определитель матрицы системы не равен нулю, то решение системы линейных уравнений по правилу Крамера находится в виде: , ,
где , и .
Тогда
и
Следовательно, разность равна
ЗАДАНИЕ N 7 отправить сообщение разработчикам
Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
Расстояние между точками и равно …
|
5 |
|||
|
|
25 |
||
|
|
17 |
||
|
|
1 |
Решение:
Расстояние между двумя точками и находится по формуле . Тогда расстояние между точками и можно найти как .
ЗАДАНИЕ N 8 отправить сообщение разработчикам
Тема: Полярные координаты на плоскости
Точка задана в полярной системе координат. Тогда ее прямоугольные координаты равны …
|
, |
|||
|
|
, |
||
|
|
, |
||
|
|
, |
Решение:
Прямоугольные координаты точки определяются формулами: , то есть .
ЗАДАНИЕ N 9 отправить сообщение разработчикам
Тема: Прямая на плоскости
Расстояние от точки до прямой равно …
|
6 |
|||
|
|
30 |
||
|
|
12 |
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 10 отправить сообщение разработчикам
Тема: Кривые второго порядка
Уравнение окружности с центром в точке и радиусом имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Окружность радиуса с центром в точке задается на плоскости уравнением вида Поэтому искомое уравнение окружности есть .
ЗАДАНИЕ N 11 отправить сообщение разработчикам
Тема: Прямая и плоскость в пространстве
Даны точки и . Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид . В качестве вектора возьмем вектор . Тогда уравнение плоскости примет вид или .
ЗАДАНИЕ N 12 отправить сообщение разработчикам
Тема: Поверхности второго порядка
Координаты центра эллипсоида равны …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Координаты центра эллипсоида равны То есть это точка
ЗАДАНИЕ N 13 отправить сообщение разработчикам
Тема: Область определения функции
Область определения функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Данная функция определена, если подкоренное выражение в знаменателе положительно, то есть Для решения этого неравенства найдем предварительно корни уравнения а именно и Тогда методом интервалов можем получить, что
ЗАДАНИЕ N 14 отправить сообщение разработчикам
Тема: Предел функции
Предел равен …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
0 |
||
|
|
1 |
ЗАДАНИЕ N 15 отправить сообщение разработчикам
Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Точка разрыва функции равна …
|
2 |
|||
|
|
1 |
||
|
|
– 2 |
||
|
|
3 |
Решение:
Данная функция определена и непрерывна на каждом из интервалов и меняет свое аналитическое выражение в точках и Поэтому функция может иметь разрыв только в этих точках. Исследуем их на непрерывность.
Для точки вычислим односторонние пределы и значение функции в этой точке:
и
Так как то точка является точкой непрерывности данной функции.
Для точки вычислим односторонние пределы и значение функции в этой точке:
и
Так как то точка является точкой разрыва первого рода.
ЗАДАНИЕ N 16 отправить сообщение разработчикам
Тема: Производные первого порядка
Производная функции равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
ЗАДАНИЕ N 17 отправить сообщение разработчикам
Тема: Производные высших порядков
Производная второго порядка функции равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Вычислим производную первого порядка:
Тогда производная второго порядка вычисляется как производная от производной первого порядка, то есть
ЗАДАНИЕ N 18 отправить сообщение разработчикам
Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП
Материальная точка движется прямолинейно по закону Тогда скорость точки в момент времени равна …
|
2 |
|||
|
|
3 |
||
|
|
6 |
||
|
|
4 |
ЗАДАНИЕ N 19 отправить сообщение разработчикам
Тема: Асимптоты графика функции
Наклонная асимптота графика функции задается уравнением вида …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Прямая является наклонной асимптотой графика функции при если существуют конечные пределы:
или соответственно
Вычислим эти пределы:
Следовательно, прямая является наклонной асимптотой графика данной функции как при так и при
ЗАДАНИЕ N 20 отправить сообщение разработчикам
Тема: Частные производные первого порядка
Частная производная функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
При вычислении частной производной по переменной переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда
ЗАДАНИЕ N 21 отправить сообщение разработчикам
Тема: Частные производные высших порядков
Частная производная второго порядка функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
При вычислении частной производной функции по одной из переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда
и
ЗАДАНИЕ N 22 отправить сообщение разработчикам
Тема: Полный дифференциал ФНП
Полный дифференциал функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Полный дифференциал функции нескольких переменных равен сумме произведений частных производных этой функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных, то есть
Тогда
ЗАДАНИЕ N 23 отправить сообщение разработчикам
Тема: Непосредственное интегрирование
Множество первообразных функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 24 отправить сообщение разработчикам
Тема: Замена переменной в неопределенном интеграле
Множество первообразных функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 25 отправить сообщение разработчикам
Тема: Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
Неопределенный интеграл можно представить как …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Воспользуемся методом интегрирования по частям Тогда
ЗАДАНИЕ N 26 отправить сообщение разработчикам
Тема: Интегрирование рациональных функций
Множество первообразных функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции.
Тогда
Произведем замену
ЗАДАНИЕ N 27 отправить сообщение разработчикам
Тема: Интегрирование иррациональных выражений
Множество первообразных функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 28 отправить сообщение разработчикам
Тема: Интегрирование тригонометрических функций
Множество первообразных функции имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда
Произведем замену
ЗАДАНИЕ N 29 отправить сообщение разработчикам
Тема: Свойства определенного интеграла
Если функция непрерывна на отрезке то интеграл можно представить в виде …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 30 отправить сообщение разработчикам
Тема: Методы вычисления определенного интеграла
Определенный интеграл равен …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Для вычисления данного определенного интеграла произведем замену переменных: , , и перейдем к новым пределам интегрирования: , .
Тогда
ЗАДАНИЕ N 31 отправить сообщение разработчикам
Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, изображенной на рисунке
равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле где , . Тогда
ЗАДАНИЕ N 32 отправить сообщение разработчикам
Тема: Двойные интегралы
Повторный интеграл равен …
|
12 |
|||
|
|
20 |
||
|
|
6 |
||
|
|
24 |
ЗАДАНИЕ N 33 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные операции над векторами
Даны два вектора: и . Тогда вектор имеет координаты …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 34 отправить сообщение разработчикам
Тема: Норма вектора в евклидовом пространстве
Даны два вектора и . Тогда норма вектора в евклидовом пространстве со стандартным скалярным произведением равна …
|
5 |
|||
|
|
6 |
||
|
|
25 |
||
|
|
7 |
Решение:
Так как , то
ЗАДАНИЕ N 35 отправить сообщение разработчикам
Тема: Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение векторов и равно …
|
– 3 |
|||
|
|
3 |
||
|
|
0 |
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 36 отправить сообщение разработчикам
Тема: Векторное произведение векторов
Векторное произведение векторов и равно . Тогда вектор будет иметь координаты …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
По свойствам векторного произведения векторов . В нашем случае .
ЗАДАНИЕ N 37 отправить сообщение разработчикам
Тема: Смешанное произведение векторов
Смешанное произведение векторов . Тогда смешанное произведение векторов равно …
|
60 |
|||
|
|
– 60 |
||
|
|
17 |
||
|
|
– 30 |
ЗАДАНИЕ N 38 отправить сообщение разработчикам
Тема: Градиент скалярного поля
Градиент скалярного поля равен …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 39 отправить сообщение разработчикам
Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение является …
|
уравнением с разделяющимися переменными |
|||
|
|
линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка |
||
|
|
однородным относительно x и y дифференциальным уравнением первого порядка |
||
|
|
уравнением Бернулли |
Решение:
Данное уравнение можно представить в виде
Откуда
Следовательно, это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.
ЗАДАНИЕ N 40 отправить сообщение разработчикам
Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …
|
, |
|||
|
|
, |
||
|
|
, |
||
|
|
, |
Решение:
Разделим переменные в исходном уравнении и проинтегрируем обе части последнего равенства: . Тогда , где постоянная интегрирования . Откуда , .
ЗАДАНИЕ N 41 отправить сообщение разработчикам
Тема: Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение будет однородным дифференциальным уравнением первого порядка при равном …
|
3 |
|||
|
|
2 |
||
|
|
4 |
||
|
|
1 |
Решение:
Запишем уравнение в виде Это уравнение будет однородным, если функция будет однородной относительно и нулевого порядка, то есть А это возможно в случае, если то есть при
ЗАДАНИЕ N 42 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …
|
, |
|||
|
|
, |
||
|
|
, |
||
|
|
, |
Решение:
Введем замену , . Тогда уравнение примет вид , или .
Пусть . Тогда . Подставим найденное значение в уравнение . Получим: , то есть и , где постоянная интегрирования . Окончательное решение имеет вид , .
ЗАДАНИЕ N 43 отправить сообщение разработчикам
Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее условию имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Проинтегрируем обе части уравнения: Подставив условие получим и
ЗАДАНИЕ N 44 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Составим характеристическое уравнение и решим его: Тогда общее решение исходного уравнения примет вид
ЗАДАНИЕ N 45 отправить сообщение разработчикам
Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общий вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка будет выглядеть как …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Общее решение этого уравнения можно записать в виде где функция – общее решение однородного уравнения а функция – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.
Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение и найдем его корни: Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид
Поскольку правая часть исходного уравнения то имеем уравнение со специальной правой частью.
Так как является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
ЗАДАНИЕ N 46 отправить сообщение разработчикам
Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
После понижения порядка дифференциальное уравнение приводится к виду …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Так как уравнение не содержит в явном виде аргумент , то применима замена . Тогда и данное дифференциальное уравнение примет вид: Это уравнение первого порядка относительно функции с разделяющимися переменными.
ЗАДАНИЕ N 47 отправить сообщение разработчикам
Тема: Определение вероятности
В партии из 10 деталей имеется 3 бракованные. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что все отобранные детали будут бракованными, равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
1 |
Решение:
Для вычисления события (все отобранные детали будут бракованными) воспользуемся формулой , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 10 имеющих, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три бракованные детали из трех имеющихся, то есть . Следовательно,
ЗАДАНИЕ N 48 отправить сообщение разработчикам
Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей
Из урны, в которой лежат 7 белых и 3 черных шара, наудачу по одному извлекают два шара без возвращения. Тогда вероятность того, что хотя бы один шар будет белым, равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Введем обозначения событий: – -ый вынутый шар будет белым, A – хотя бы один шар будет белым. Тогда , где – -ый вынутый шар не будет белым. Так как по условию задачи события и зависимы, то
ЗАДАНИЕ N 49 отправить сообщение разработчикам
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Собирается партия исправных изделий с двух предприятий. Первое предприятие поставляет 60% всех изделий, а второе – 40%. Вероятность исправной работы изделия первого предприятия равна 0,9, второго – 0,8. Тогда вероятность того, что случайно взятое изделие будет работать исправно, равна …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Для вычисления вероятности события A (случайно взятое изделие будет работать исправно) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что изделие изготовлено первым предприятием; – вероятность того, что изделие изготовлено вторым предприятием; – условная вероятность того, что случайно взятое изделие будет работать исправно, если оно изготовлено на первом предприятии; – условная вероятность того, что случайно взятое изделие будет работать исправно, если оно изготовлено на втором предприятии.
Тогда
ЗАДАНИЕ N 50 отправить сообщение разработчикам
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Тогда значение a равно …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 51 отправить сообщение разработчикам
Тема: Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин
Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей:
Тогда ее плотность распределения вероятностей имеет вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 52 отправить сообщение разработчикам
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей Тогда математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины равны …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины имеет вид , где , . Поэтому
ЗАДАНИЕ N 53 отправить сообщение разработчикам
Кейс-задания: Кейс 1 подзадача 1
Во время весеннего паводка изменение объема поступающей в озеро воды в течение суток можно описать уравнением где – объем поступившей в озеро воды (в ) за время t (в часах),
Для того чтобы уровень воды в озере не превысил предельного уровня, оборудован сток воды из озера с постоянной скоростью 72
В момент времени объем воды в озере составил 48000
Если – объем воды в озере в момент времени t, то математическая модель для нахождения может иметь вид …
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Скорость изменения объема воды в озере равна Учитывая, что в момент времени объем воды в озере составлял 48000 для получим
ЗАДАНИЕ N 54 отправить сообщение разработчикам
Кейс-задания: Кейс 1 подзадача 2
Во время весеннего паводка изменение объема поступающей в озеро воды в течение суток можно описать уравнением где – объем поступившей в озеро воды (в ) за время t (в часах),
Для того чтобы уровень воды в озере не превысил предельного уровня, оборудован сток воды из озера с постоянной скоростью 72
В момент времени объем воды в озере составил 48000
Установите соответствие между временем t и объемом воды в озере
1. часов
2. часов
|
1 |
47784 |
||
|
2 |
47944 |
||
|
|
47744 |
||
|
|
47864 |
||
|
|
47974 |
Решение:
Так как то и
ЗАДАНИЕ N 55 отправить сообщение разработчикам
Кейс-задания: Кейс 1 подзадача 3
Во время весеннего паводка изменение объема поступающей в озеро воды в течение суток можно описать уравнением где – объем поступившей в озеро воды (в ) за время t (в часах),
Для того чтобы уровень воды в озере не превысил предельного уровня, оборудован сток воды из озера с постоянной скоростью 72
В момент времени объем воды в озере составил 48000
Если в момент времени сток воды из озера был перекрыт и до конца суток вода из озера не вытекала, то объем воды в озере в конце дня будет равен ___
|
49152 | |
Решение:
Так как то в момент перекрытия стока объем воды в озере составит С 20 до 24 часов воды прибыло Тогда общее количество воды равно 48400 + 752 = 49152
ЗАДАНИЕ N 56 отправить сообщение разработчикам
Кейс-задания: Кейс 2 подзадача 1
В городском парке установлены две осветительные установки A и B, расположенные на расстоянии d = 150 метров друг от друга.
Устройство этих установок таково, что наилучшая освещенность на поверхности парка достигается в таких точках М, для которых выполняется условие: Через все такие точки проложили пешеходную дорожку.
Если ввести систему координат так, чтобы начало координат совпадало с расположением установки A, а ось ОХ была направлена в сторону установки B (см. рисунок), то уравнение линии, на которой расположены все такие точки, может быть записано в виде …
|
|
|||
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
Решение:
Точка А имеет координаты (0;0), точка B – (150;0).
Пусть М(х,у) – точка, удовлетворяющая условию задачи (с наилучшей освещенностью). По условию .
.
Тогда
;
(разделим на 5);
;
(выделяем полный квадрат);
– уравнение окружности.
Все точки с наилучшей освещенностью лежат на окружности.
ЗАДАНИЕ N 57 отправить сообщение разработчикам
Кейс-задания: Кейс 2 подзадача 2
В городском парке установлены две осветительные установки A и B, расположенные на расстоянии d = 150 метров друг от друга.
Устройство этих установок таково, что наилучшая освещенность на поверхности парка достигается в таких точках М, для которых выполняется условие: Через все такие точки проложили пешеходную дорожку.
Пусть L – длина пешеходной дорожки, которую проложили через все такие точки. Тогда значение выражения равно …
|
360 | |
Решение:
Длина пешеходной дорожки равна длине окружности , радиус которой равен .
Тогда . Значение выражения равно .