Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
8
PAGE 7
Министерство образования и науки Украины
Севастопольский национальный технический университет
Методические указания
Стационарные случайные процессы.
построение модели фена
к проведению практических занятий
по дисциплине «Стохастический анализ» для студентов
дневной формы обучения
направления подготовки 0914 «Компьютеризированные
системы, автоматика и управление»
Севастополь
2011
УДК 62-52.001.24
Методические указания к проведению практических занятий «Стационарные случайные процессы. Построение модели фена» по дисциплине «Стохастический анализ» / Сост. Б.А. Скороход – Севастополь, 2011. – 8с.
Цель методических указаний – помочь студентам в изучении раздела курса случайные процессы.
Методические указания предназначены для студентов дневной формы обучения по направлению подготовки 0914 – «Компьютеризированные системы, автоматика и управление».
Методические указания рассмотрены и утверждены на заседании кафедры технической кибернетики
(протокол № от 2011 г.)
Рецензент: д.т.н., профессор Дубовик С.А.
СОДЕРЖАНИЕ
1. Краткие теоретические сведения 4
2. Описание объекта 6
3. Постановка задачи 7
4. Порядок выполнения и задание на работу 7
5. Содержание отчёта по работе 8 6. Контрольные вопросы 8
Библиографический список 8
Цель работы: Построение оценок характеристик стационарных случайных процессов по экспериментальным данным.
Известно, что исчерпывающей характеристикой случайной величины является ее закон распределения, который может быть описан с помощью функции распределения. Для задания случайного процесса (с.п.) используются многомерные функции распределения
,
которые должны быть определены для любых значений из области изменения . Теоретически можно неограниченно увеличивать число сечений, получая все более полное описание с.п. Однако оперировать с многомерными функциями сложно, а для их получения необходимы большие объемы экспериментальных данных, которые к тому же растут с увеличением количества сечений. Поэтому, в большинстве случаев, ограничиваются использованием основных характеристик с.п.: математического ожидания, корреляционной функции и дисперсии. Для непрерывного с.п. они определяются, соответственно, выражениями
,
,
,
где , - одномерная и двумерная плотности распределения с.п.
Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия постоянны, а корреляционная функция зависит от разности аргументов, т.е., . Для стационарного с.п. вводится понятие спектральной плотности, которая связана с корреляционной функцией соотношением
.
По спектральной плотности, может быть найдена корреляционная функция
.
Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если любая его вероятностная характеристика, полученная усреднением по множеству возможных реализаций, с вероятностью сколь угодно близкой к единице равна соответствующей характеристике, полученной путем усреднения по времени на основании анализа любой реализации этого с.п. Для эргодического с.п. математическое ожидание и корреляционная функция определяются, соответственно, выражениями
,
,
где − реализация с.п. .
Стационарным белым шумом называют стационарный с.п. спектральная плотность, которого постоянна − . Можно показать, что корреляционная функция белого шума определяется выражением , где - дельта-функция
.
Таким образом, корреляционная функция стационарного белого шума пропорциональна дельта-функции; коэффициент пропорциональности называют интенсивностью белого шума.
Дельта-функция равна нулю при всех значениях , поэтому и корреляционная функция также равна нулю при этих же значениях. Равенство же нулю корреляционной функции белого шума означает некоррелированность любых двух его сечений. Благодаря этой особенности белый шум находит широкое применение в теории с.п. и ее приложениях. Однако эта же особенность указывает на то, что осуществить белый шум невозможно, так как в действительности при очень близких значениях соответствующие сечения коррелированны. Таким образом, стационарный белый шум - математическая абстракция, полезная для теории с.п. и ее приложений. В частности, белый шум используют для моделирования случайных процессов, которые имеют постоянную спектральную плотность в определенном диапазоне частот, причем поведение спектральной плотности вне его исследователя не интересует.
Пусть обозначают входные и выходные сигналы некоторой системы, соответственно, в момент времени . Мы будем рассматривать значения этих сигналов только в дискретные моменты, распределенные равномерно на временном интервале с тактом дискретности . Предположим, что мы хотим описать, каким образом сигналы связаны между собой. Один из наиболее распространенных подходов состоит в использовании разностного уравнения
,
которое называется моделью авторегрессии и скользящего среднего (АRХ), а величины ее параметрами. Требуется по экспериментальным данным оценить порядок модели – величины и ее параметры . Решение этой задачи может быть сведено к выбору параметров из условия минимумы критерия
при каждом фиксированном наборе , где ,
.
Рассмотрим фен для сушки волос, показанный на рис.1. Воздух нагнетается в трубку и у впускного отверстия подвергается нагреву. Температура воздуха измеряется с помощью термопары, установленной у выпускного отверстия. Входным сигналом является напряжение, подаваемое на прибор, который представляет собой обычную резисторную спиральную сетку. Выходной сигнал - температура воздуха у выходного отверстия.
Рис.1. Тренажер обратной связи
На стадии планирования эксперимента определялись постоянная времени и полоса пропускания системы по реакции на единичный скачок и гармонические воздействия, показанные на рис. 2 и 3. Видно, что постоянная времени равна примерно 0.6 с, а полоса пропускания лежит в пределах от 0 до 1 Гц. В соответствии с этим, в эксперименте такт дискретности полагался равным 0,08 с. В качестве входного сигнала использовался бинарный случайный сигнал типа белого шума со значениями 35 и 65 Вт. Вероятность изменения значения сигнала при очередном выборочном замере полагалась равной 0.2. Была записана реализация из 1000 измерений.
Рис.2. Реакция на единичный скачок
Рис.3. Амплитудная характеристика
Требуется по имеющимся экспериментальным данным построить адекватную математическую модель фена и исследовать ее статистические характеристики. При проверке адекватности использовать среднеквадратическую ошибку, найденную с помощью тестирующего множества
,
где оценка векторного параметра .
Рекомендуется при построении модели воспользоваться первыми 300 точками (обучающее множество), а для ее тестирования оставшимися, начиная с 301 точки (тестирующее множество), содержащихся в dryer2. Порядок модели (величины ) должен быть минимальным. При выборе порядка модели использовать ошибку между выходом фена и прогнозом соответствующей модели − .
и выходного процессов. Построить их графики
5. Сравнить оценки спектральных плотностей температуры, построенные по экспериментальным и модельным данным, используя доверительные интервалы.
6. Построить в одних координатных осях графики температур, полученных в экспери-
менте и по модели (отдельно для обучающей и тестирующей выборок).
Задание рассчитано на два занятия. На первом занятии выполняются задания 1-3, на втором 4-6.
Рекомендации. При написании программы использовать операторы
load dryer2, iddata, xcov, stem, psd (с spectrum.welch и частотой пропускания 2 Гц), dtrend, mean, arxstruc, selstruc, arx, sett, idsim.
5 СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА ПО РАБОТЕ И ПОРЯДОК
ЗАЩИТЫ РАБОТЫ
На основе проведенных исследований необходимо подготовить отчет, который должен содержать следующие пункты:
1. Постановку задачи.
2. Решение, предложенных задач.
3. Выводы относительно полученных результатов.
При защите лабораторной работы требуется представить отчет, соответствующий приведенным требованиям, продемонстрировать на компьютере расчеты в пакете Matlab и ответить на вопросы преподавателя.
6 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дать определения стационарного и эргодического случайных процессов.
2. Какие характеристики используются при описании стационарных случайных процессов.
3. Что такое спектральная плотность и белый шум.
4. Дать определение АRХ модели.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК