Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Практическое занятие 5. Преобразование структурных схем. Передаточные функции замкнутых систем
Вспомним основные правила, которым подчиняется работа со структурными схемами систем.
Получение передаточных функций для участков с типовым соединением звеньев
1. Последовательное соединение:
.
2. Параллельное соединение (рисунок а):
.
Отметим, что в общем случае при параллельном соединении сумма передаточных функций является алгебраической. Так для цепи на рисунке б имеет место:
.
3. Отрицательная обратная связь (рисунок а):
.
4. Положительная обратная связь (рисунок б):
.
Рассмотренные типовые варианты не исчерпывают всего многообразия вариантов соединения звеньев на структурных схемах систем. Поэтому для решения практических задач часто требуется преобразование структурных схем, например, перенос сумматора через звено, перенос точки разветвления сигналов и др.
Рассмотрим фрагмент структурной схемы, показанный на следующем рисунке. К нему невозможно прямо применить ни одно из рассмотренных правил.
Для того, чтобы привести данную структуру к сочетанию участков типового соединения звеньев, необходимо ее преобразовать, например, поменять местами точку разветвления А и звено с передаточной функцией W2. Такие преобразования возможны, если будут обеспечена эквивалентность выходных сигналов исходного и преобразованного участка схемы.
В исходной схеме сигнал x2 поступает из точки А в точку В без изменений. После переноса точки разветвления через звено, он будет подвергаться преобразованию, описанному передаточной функцией W2. Следовательно, необходимо дополнить структурную схему звеном, выполняющим обратное преобразование. Приведенным рассуждениям соответствует равенство, подтверждающее требуемую эквивалентность: .
Передаточные функции систем управления
В системах управления могут присутствовать несколько входных сигналов: одно или несколько задающих воздействий g, одно или несколько возмущающих воздействий f, причем разные входные сигналы могут поступать в различные точки системы.
В системе могут рассматриваться один или несколько выходных сигналов, также измеряемых в различных точках системы.
Даже если выходной сигнал y единственный, с целью анализа точности системы, наравне с ним рассматривается сигнал ошибки: .
Таким образом, при описании замкнутой системы всегда приходится рассматривать несколько передаточных функций.
Сформулированное выше для динамических звеньев определение передаточной функции распространяется и на систему управления в целом, но в замкнутой системе существуют определённые правила выделения передаточных функций.
Виды передаточных функций, рассматриваемых для замкнутой системы, перечислим на основе структуры, представленной на рисунке.
Для задающего воздействия рассматривается следующий набор передаточных функций.
Передаточная функция разомкнутой системы – отношение изображений выходного сигнала и задающего воздействия без учета главной обратной связи:
.
Для примера на рисунке получим: .
Любая передаточная функция в общем случае представляет собой отношение полиномов от аргумента s. Для передаточной функции разомкнутой системы используются условные обозначения этих полиномов:
.
Основная передаточная функция замкнутой системы – отношение изображений выходного сигнала и задающего воздействия для системы в целом:
.
Передаточная функция замкнутой системы по ошибке – отношение изображений сигнала ошибки и задающего воздействия:
.
Отметим, что соотношение
получено только на основе определений передаточных функций и сигнала ошибки и справедливо для систем любой структуры.
Для системы с единичной отрицательной обратной связью получение передаточных функций значительно упрощается.
При для основной передаточной функции получаем
или через полиномы
.
Для передаточной функции по ошибке:
или через полиномы
.
Для возмущающего воздействия рассматривается аналогичный набор передаточных функций.
Передаточная функция разомкнутой системы по возмущению – отношение изображений выходного сигнала и возмущающего воздействия без учета главной обратной связи:
.
На практике эта передаточная функция определяется как передаточная функция участка прямой цепи системы от точки приложения возмущающего воздействия до выхода системы.
Для рассматриваемого примера получим: .
Передаточная функция замкнутой системы по возмущению – отношение изображений выходного сигнала и возмущающего воздействия для системы в целом. При ее определении необходимо учитывать, что участок прямой цепи от входа системы до точки приложения возмущающего воздействия войдет для него в состав обратной связи.
В результате получим:
.
При :
.
Передаточная функция замкнутой системы по ошибке от возмущающего воздействия – отношение изображений сигнала ошибки и возмущающего воздействия:
,
так как при определении передаточной функции по возмущению задающее воздействие должно быть принято равным нулю. Данное соотношение также является универсальным.
Пример 1. Получить основную передаточную функцию замкнутой системы и записать соответствующее уравнение.
Основная передаточная функция: .
Для ее получения учтем следующие особенности примера:
1. Главная обратная связь – единичная отрицательная. Следовательно, можно использовать соотношение .
2. Входным сигналом для является задающее воздействие. При ее определении возмущение f следует исключить.
Теперь рассматриваем участки структурной схемы, соответствующие вариантам типового соединения звеньев, и укрупняем их.
Передаточная функция W1 соответствует участку с положительной обратной связью:
.
Передаточная функция W2 соответствует участку с отрицательной обратной связью:
.
Передаточная функция W3 соответствует участку с параллельным соединением звеньев:
.
Укрупним последний участок (отрицательная обратная связь):
.
Теперь получим передаточную функцию разомкнутой системы:
.
Искомая основная передаточная функция:
.
Для сокращения записи введем обозначения:
,
,
,
,
,
,
и запишем дифференциальное уравнение, связывающее соответствующие этой передаточной функции входной g(t) и выходной y(t) сигналы:
.
Пример 2. Для рассмотренной в предыдущем примере структурно-динамической схемы получить передаточную функцию замкнутой системы по ошибке и записать соответствующее уравнение.
С учетом единичной отрицательной обратной связи передаточная функция по ошибке может быть найдена через полученные выше полиномы:
.
Используя полученные выше обозначения для коэффициентов знаменателя и введя новые для коэффициентов числителя:
,
,
,
и запишем дифференциальное уравнение, связывающее соответствующие этой передаточной функции сигналы:
.
Пример 3. Для рассмотренной в предыдущих примерах структурно-динамической схемы получить передаточную функцию замкнутой системы по возмущению и записать соответствующее уравнение.
С учетом полученных выше результатов можно рассматривать следующую структурную схему:
или
где
,
,
.
В дополнение к использованным выше введем обозначения:
,
,
и запишем дифференциальное уравнение, связывающее соответствующие этой передаточной функции входной f(t) и выходной y(t) сигналы:
.
Пример 4. Для рассмотренной в предыдущих примерах структурно-динамической схемы получить передаточную функцию замкнутой системы по ошибке от возмущающего воздействия и записать соответствующее уравнение.
С учетом связи передаточной функции по ошибке от возмущающего воздействия и передаточной функции по возмущению
результаты решения этого примера отличаются от предыдущего только знаком:
,
.