Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости,
проходящей через данную точку и имеющей данный
нормальный вектор
В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.
Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется её нормальным вектором. Уравнение
А(х xо) + В(у yо) + С(z zz0) = 0 (1)
определяет плоскость, проходящую через точку М0(х0; у0; z0) и имеющую нормальный вектор п = {А; В; С}.
Раскрывая в уравнении (1) скобки и обозначая число Ах0 Ву0,Сz0 буквой D представим его в виде:
Ах + By + Cz + D = 0.
Это уравнение называется общим уравнением плоскости.
913. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2; 1; 1) и имеет нормальный вектор n ={1, 2; 3}.
914. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор п = {5; 0; 3}.
915. Точка Р (2; 1; 1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.
916. Даны две точки М1(3; 1; 2) и М2(4; 2; 1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно к вектору .
917. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(3; 4; 5) параллельно двум векторам a1 = {3; 1; 1} и a2 = {1; 2; 1}.
918. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0;у0;z0) параллельно двум векторам
a1 = {l1; m1; п1;} и a2 = {l2; m2; п2;}
может быть представлено в следующем виде:
= 0
919. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(2; 1; 3) и М2(3; 1; 2) параллельно вектору а = {3; 1; 4}.
920. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2) параллельно вектору
а = {1; т;},
может быть представлено в следующем виде:
= 0
921. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: М1 (3; 1; 2), М2 (4; 1; 1) и М3 (2; 0; 2).
922. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через три точки:
М1(х1;у1;z1) М2(х2;у2;z2) М3(х3;у3;z3)
может быть представлено в следующем виде:
= 0
923. Определить координаты какого-нибудь нормального вектора каждой из следующих плоскостей. В каждом случае написать общее выражение координат произвольного нормального вектора:
1) 2ху 2z + 5 = 0; 2) х + 5у z = 0;
3) 3х 2у 7 = 0; 4) 5у 3z = 0; 5)х + 2 = 0;
6) у 3 = 0.
924. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:
1) 2х 3у + 5z 7 = 0, 2х 3у + 5z + 3 = 0;
2) 4х+2у 4z + 5 = 0, 2х + у + 2z1=0;
3) х3z +2 = 0, 2х 6z 7 = 0.
925. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:
1) 3ху 2z 5 = 0, х + 9у 32 + 2 = 0;
2) 2х + 3у 2 3 = 0, х у z + 5 = 0;
3) 2х 5у + z = 0, х + 22 3 = 0.
926. Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости:
1) 2х + lу + 3z 5 = 0, mх 6у 6z + 2 = 0;
2) 3х у + lz 9 = 0, 2х + mу + 2z 3 = 0;
3) mx + 3у 2z 1=0, 2х 5у lz = 0.
927. Определить, при каком значении l следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:
1) 3х 5у+ lz 3 = 0, х + 3у + 2z + 5 = 0;
2) 5х + у 32 2 = 0, 2х + lу 3z + 1 = 0;
3) 7х 2у 2 = 0, lх + у 3z 1 = 0.
928. Определить двугранные углы, образованные пересечением следующих пар плоскостей:
1) х у + z 1 = 0, х + уz + 3 = 0;
2) 3у z = 0, 2у + z = 0;
3) 6х + 3у 2z = 0, х + 2у + 6z 12 = 0;
4) х + 2у + 2z 3 = 0, 16х+12у 15z 1 = 0.
929. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости 5х 3у + 2z 3 = 0.
930. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(3; 2; 7) параллельно плоскости 2х 3z + 5 = 0.
931. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям:
2х у + 3z 1=0, х + 2у + z = 0.
932. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2; 1; 1) перпендикулярно к двум плоскостям:
2х z + 1 = 0, у = 0.
933. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0; у0; z0) перпендикулярно к плоскостям
А1х + В1у + С1z + D1 = 0, A2x + В2у + С2z + D2 = 0,
может быть представлено в следующем виде:
934. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки М1(1; 1; 2) и M2(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости х 2у + 3z 5 = 0.
935. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через две точки М1(х1; y1; z1 ) и M2(x2; у2; z2) перпендикулярно к плоскости
Ax + By + C2 + D = 0,
может быть представлено в следующем виде:
=0.
936. Установить, что три плоскости х 2у + z 7 = 0, 2х + у z + 2 = 0, х3y+2z11 = 0 имеют одну общую точку, и вычислить еe координаты.
937. Доказать, что три плоскости 7х + 4y + 7z + 1 = 0, 2х у 2 + 2 = 0, х + 2у + 32 1 = 0 проходят через одну прямую.
938. Доказать, что три плоскости 2х у + 3z 5 = 0, 3х + у + 2z 1 = 0, 4х + 3у + z + 2 = 0 пересекаются по трём различным параллельным прямым.
939. Определить, при каких значениях а и b плоскости 2х у + 3z 1 = 0, х + 2у z + b = 0, х + ау 6z + 10 = 0:
1) имеют одну общую точку;
2) проходят через одну прямую;
3) пересекаются по трём различным параллельным прямым.