Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
35. Определение случайной функции. Законы распределения. Числовые характеристики.
Случайный процесс (случайная функция) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим рольвремени или координаты.
Другое определение:
Случайным называется процесс u(t), мгновенные значения которого являются случайными величинами.
Определение:
Пусть дано вероятностное пространство . Параметризованное семейство случайных величин
,
где T произвольное множество, называется случайной функцией.
Если , то параметр может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция {Xt} называется случайным процессом. Если множество T дискретно, например , то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.
Если , где , то параметр может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.
Данная классификация нестрогая. В частности, термин "случайный процесс" часто используется как безусловный синоним термина "случайная функция".
Законы распределения:
Числовые характеристики:
Математическое ожидание — это число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины.
Если x — дискретная случайная величина с распределением то ее математическим ожиданием (обозначается Mx) называется величина, вычисленная по формуле
, если число значений случайной величины конечно, и по формуле
,если число значений случайной величины счетно. При этом, если ряд в правой части последнего равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей px (x) вычисляется по формуле
.
При этом, если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.
Если случайная величина h является функцией случайной величины x, h = f(x ), то
.
Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины:
, .
При вычислении математического ожидания случайной величины полезны следующие его свойства:
Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.
Если случайная величина x имеет математическое ожидание Mx, то дисперсией случайной величины x называется величина .
Легко показать, что
.
Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина Mx2 вычисляется по формулам ,
для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно.
Еще одним параметром для определения меры разброса значений случайной величины является среднеквадратичное отклонение s x , связанное с дисперсией соотношением .
Перечислим основные свойства дисперсии:
Моменты:
В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются начальные и центральные моменты.
Начальным моментом k-го порядка случайной величины x называется математическое ожидание k-й степени случайной величины x , т.е. .
Центральным моментом k-го порядка случайной величины x называется величина , определяемая формулой .
Заметим, что математическое ожидание случайной величины — начальный момент первого порядка,
, а дисперсия — центральный момент второго порядка, .
Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты. Одна из таких формул приведена выше: .
В дальнейшем будет использована формула
.
Нетрудно понять, что если плотность распределения вероятностей случайной величины симметрична относительно прямой x = Mx , то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.