Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Множество – некоторый набор (совокупность) объектов.
Объекты, входящие в множество – его элементы.
(здесь – множество натуральных чисел).
Множество A, все элементы которого принадлежат множеству X, называется подмножеством множества X:
Если нужно написать, что элемент входит в множество , то пишут:
.
Не принадлежит:
;
.
Пустое множество обозначается следующим образом: ∅.
Пусть заданы множества A и B. Тогда суммой или объединением этих множеств будет:
– множество, состоящее из элементов, входящих или в A или в B или в оба.
Пересечением (произведением) множеств A и B называется множество , состоящее из элементов, входящих как в A, так и в B одновременно.
A
B
Разностью называется множество, состоящее из элементов, входящих в A, но не входящих в B:
A
B
A\B
Пусть . Тогда дополнением X в E называется множество X', состоящее из элементов, входящих в E, но не входящих в X:
.
Очевидно: X'' = X.
X
Справедливы следующие равенства:
;
.
Доказательство:
Пусть
. Тогда и .
A
B
E
x
Пусть заданы два множества: и .
Предположим, что каждому элементу из множества E по некоторому закону в соответствие ставится один и только один элемент из множества G.
Тогда называется функцией (отображением, оператором), определенной на множестве E со значениями в множестве G.
или
или
.
Например: , где:
E – действительные числа, G – действительные числа (неотрицательные числа).
.
Или обычная запись равенством: .
Если , то называется образом при отображении , а – прообразом при отображении .
Пусть . Тогда обозначим через множество , таких что :
Тогда:
– образ множества (оно состоит из образов элементов ).
A – прообраз множества B при отображении f.
E
G
A
B
y=f(x)
Можно показать, что выполняются следующие равенство и включение:
;
.
E
A
B
G
f(A) (A)
F(B)
Отображение (функция) называется инъективной, если прообраз каждого элемента из (для которого прообраз существует) состоит из одного элемента (разные точки из имеют разные образы в ).
Например, – не инъективна.
Множество множество значений функции.
Если , то отображение называется сюръективным.
Если отображение инъективно и сюръективно, то оно называется биективным.
В этом случае устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами и .
Если – биективное отображение, то для функции можно построить (легко видеть как) функцию , которая называется обратной функцией к функции .
E
G
x
y
f
f-1
Тогда получаем, что определена на множестве ; её значения лежат в множестве и выполняются следующие равенства:
;
.
Сравнивая бесконечные множества, заметим, что существуют биекции этих множеств на их некоторую часть (на подмножество).
x
y
Оказывается, что справедлива следующая теорема Берштейна:
Пусть и – произвольное множество. Тогда:
Заметка: Если является инъекцией , то в множестве точек «больше», чем в множестве .
Следствие:
Для заданных множеств и имеются только три возможности:
Тогда говорят, что имеет мощность строго большую мощности (мощность строго меньше мщности ).
Тогда говорят, что множество имеет мощность строго большую, чем мощность множества (мощность строго меньше мощности ).
Класс всех множеств, равномощных данному множеству, называется мощностью этого множества или его кардинальным числом.
Счетное множество – множество, имеющее мощность множества целых натуральных чисел, т. е. множество является счетным, если можно установить взаимно однозначное соответствие <биекцию> между его элементами и элементами множества натуральных чисел.
Континуальные множества – множества, имеющие мощность множества действительных чисел.
Множество называется частично упорядоченным, если для некоторых пар и элементов множества введено некоторое соответствие , удовлетворяющее следующим условиям:
Пример 1:
Пространство матриц.
Введем в него соотношение порядка следующим образом:
Матрица , если матрицы и имеют одинаковые размеры, и все элементы матрицы меньше или равны соответствующих элементов матрицы .
Пример 2 (естественный):
Рассмотрим некоторое множество и обозначим через множество всех подмножеств множества .
Превратим множество в частично упорядоченное множество, считая, что для двух элементов и (некоторых подмножеств множества ) выполняется , если , т. е. все точки множества принадлежат множеству .
Множество – линейно упорядоченное, если любые два его элемента сравнимы. Например, действительные числа (натуральные...).
Подмножество множества называется ограниченным сверху, если в множестве существует такой элемент , что для всех выполняется неравенство . Элемент при этом называется мажорантой множества .
Элемент множества называется максимальным элементом, если для всех элементов , сравнимых с , выполняется неравенство:
.
Лемма Цорна
Если в частично упорядоченном множестве всякое линейно упорядоченное множество имеет мажоранту, то в множестве существует максимальный элемент.
«Аргумент слаб - повысить голос»
У.Черчилль.
Определение
Пусть задано некоторое множество . Предположим, что в этом множестве:
При этом выполняются следующие аксиомы:
Тогда называется линейным (векторным) пространством, а его элементы – векторами линейного пространства.
Примеры:
Операции сложения и умножения на число вводятся естественным образом.
– матрица, состоящая из всех нулевых элементов.
Противоположным элементом в этом пространстве для каждой матрицы будет матрица, элементы которой совпадают по величине с исходной матрицей, но противоположны по знаку.
[?] Будет ли линейным пространством множество квадратных трехчленов?
↓
Ясно, что это множество не будет линейным пространством:
Определение
Векторы линейного пространства называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна :
(– некоторые числа)
только в одном случае – если:
<здесь – нулевой элемент (но не вектор), а 0 – число>
Векторы – линейно зависимы, если существует такой набор чисел, не все из которых равны нулю, что выполняется равенство:
.
– линейно зависимы
Если – это значит, что диагональ параллелограмма равна нулю, значит стороны равны нулю:
,
.
Но и не равны , т.к. векторы неколлинеарны.
Отсюда следует, что .
Любые три вектора на плоскости линейно зависимы.
Доказать (!)
В пространстве линейно независимыми могут быть не более трех векторов (три некомпланарных вектора линейно независимы).
Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.
Максимальное число линейно независимых векторов, «помещающихся» в пространстве, – размерность пространства.
Определение
линейно независимых векторов в -мерном пространстве называется базисом этого пространства.
Однако, бывают пространства, не имеющие конечной размерности. Примером такого пространства может служить пространство непрерывных функций . Покажем это. Рассмотрим пространство непрерывных функций на отрезке .
Чтобы показать, что это пространство не является конечномерным, нужно построить бесконечную систему векторов этого пространства, такую, что любое конечное подмножество этой системы векторов было бы линейно независимой системой векторов.
0
1
0
1
0
1
Любое конечное число построенных функций будет линейно независимо. Например:
,
,
. (1)
Равенство верно в любой точке t (!!!)
Равенство верно только когда все .
Тождество (1) выполняется при всех t.
Возьмем точку. В точке:
! Уже равенство (=), а не тождество () !
Также, подставляя точку, получим, что и т.д.
Т.е. в пространстве (а значит и в ) существует любое количество линейно независимых векторов, поэтому такие пространства называются бесконечномерными.
Отметим, что функциональный анализ изучает бесконечномерные пространства и функции в этих пространствах.