Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Приборостроительный факультет
Кафедра экспериментальной и теоретической физики
ИЗУЧЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ
Методическое указание к лабораторной работе №1
по дисциплине «Общая физика»
раздел «Механика. Молекулярная физика»
Минск 2011 г.
Введение
Физические законы устанавливаются и проверяются путем накопления и количественного сопоставления изменений экспериментальных данных, характеризующих изучаемое физическое явление. Таким образом, физика - это количественная наука, устанавливающая физические закономерности, которые выражаются в виде математических формул, связывающих между собой числовые значения физических параметров. Практически такая же методика измерений используется и в инженерных исследованиях и испытаниях. Поэтому целью физического практикума является выработка навыков правильного проведения измерений числовых значений различных физических параметров и умения оценивать погрешности и сопоставлять полученные данные с математическими формулами.
I Физические измерения и погрешности
Прежде всего, поясним, что вообще понимается под измерением. Измерением называется сравнение интересующей нас физической величины с соответствующим эталоном или измерительным прибором, проградуированным по эталону. По характеру проведения измерений их делят на прямые и косвенные. Под прямыми измерениями понимают такие измерения, при котором в ходе опыта непосредственно измеряется интересующая нас величина. Однако далеко не все величины можно определить путем прямого измерения. Например, плотность тела, определить непосредственным измерением весьма затруднительно. Но известно, что известно, что плотность определяется по формуле
(1)
где m и - v масса и объем, v=а.b.c, определяемый, например, геометрическими размерами образца. Измерение массы тела и его объема уже не представляет существенных трудностей, поэтому, измерив на опыте величины m и а,b,c, мы можем подставить их в (1) и рассчитать интересующее нас значение ρ. Такие измерения, при которых интересующая нас величина не измеряется непосредственно, а рассчитывается по некоторой формуле, на основе результатов прямых измерений, называются косвенными измерениями.
2 Погрешности измерений
Опыты показывают, что истинное значение любой физической величины определить невозможно, т.к. операции измерений производятся приборами, обладающими определенной предельной точностью, а сами измерения сопровождаются целым рядом объективных и субъективных ошибок или погрешностей. По характеру проявления погрешности можно условно разделить на следующие классы: приборные, систематические, случайные.
Приборные погрешности. Если измерительный прибор исправен и отрегулирован, то на нем можно провести измерения с ограниченной точностью, определяемой типом прибора. Принято приборную погрешность стрелочного прибора считать равной половине наименьшего деления его шкалы. В приборах с цифровым отсчетом приборную ошибку приравнивают к величине одного наименьшего разряда шкалы прибора.
Систематические погрешности - это ошибки, величина и знак которых постоянны для всей серии измерений, проведенных одним и тем же методом и с помощью одних и тех же измерительных приборов.
При проведении измерений важен не только учет систематических ошибок, но необходимо также добиваться их исключения.
Систематические погрешности условно разделяются на четыре группы:
Случайные погрешности - это ошибки, которые изменяются случайным образом по знаку и величине при идентичных условиях повторных измерений одного и того же параметра.
2.1 Истинное значение измеряемой величины
Приведенные выше данные показывают, что, строго говоря, измерения истинного значения любой величины невозможно в принципе. Поэтому более корректный способ представления результата любого измерения состоит в том, что экспериментатор указывает свою наилучшую оценку измеряемой величины, а также интервал, в котором, как он уверен, она лежит. Таким образом, задача экспериментатора состоит в том, чтобы уменьшить влияние погрешностей за счет правильной техники измерений, сделать правильную наилучшую оценку результата измерения и величины погрешности этого результата.
Рассмотрим случай, когда систематические ошибки отсутствуют, а имеют место лишь случайные погрешности. Предположим, что нами произведено n измерений некоторой величины х, при этом получены n значений этой величины х1 х2 хi….хn. Округлим эти величины с учетом приборной ошибки и расположим в порядке возрастания. Определим в полученном множестве значений количество повторов (выпадений) отдельных результатов - ∆ni и вычислим вероятности их выпадения по формуле:
(2)
Полученные результаты также внесем в таблицу и построим на их основе график (рис.1) зависимости вероятности повторов отдельных результатов измерения от их величины - хi, т.е. функцию .
Pmax
хi
хв .
Рис. 1.
Из полученного рис.1 видно, что наиболее вероятным является некоторый результат хi= хв, которому соответствует максимальное значение вероятности выпадения Pmax.
Если этот результат (хв) принять за истинный (Хв = Хи), то абсолютную ошибку каждого измерения ∆хi, можно найти из выражения: ∆хi= хi,- хв и более того истинный результат измерения, очевидно, должен удовлетворять условию:
∆хi= хi,- хв=0 (3)
В этом можно убедиться, рассчитав абсолютные ошибки всех измерений, числа повторов каждой ошибки ∆n0 и вероятности выпадения ошибок
Кроме того, как следует из работ немецкого математика Г. Гаусса, все обсуждаемые выше закономерности наблюдаются на рис 2.
-∆x 0 +∆xi
Рис. 2.
Для повышения точности и снижения трудоемкости Гаусс предложил для нахождения истинного значения измеряемой величины использовать квадратичную функциональную зависимость вероятности ошибок в виде (4) изображенную на рис.3.
(4)
y
0 (∆хj)2
Рис.3.
Известно, что для нахождения экстремума функции необходимо приравнять нулю ее производную. Используем для этого новую функцию (4):
Возьмем производную от этой функции и приравняем её нулю.
(5)
После несложных преобразований получаем:
(6)
Таким образом, наиболее вероятным значением измеряемой величины является среднее арифметическое , получаемое от нескольких идентичных измерений. И этот же результат соответствует истинному значению многих измерений, представленных на Рис. 1.
2.2 Обработка результатов прямого измерения
Учитывая вышеизложенное, можно рекомендовать следующий алгоритм обработки результатов прямых измерений.
(7)
3. Вычислить случайную абсолютную ошибку каждого измерения по уравнению (3):
= Хi - Хи
а затем среднюю абсолютную погрешность:
(8)
Окончательный результат можно представить в виде: Это означает, что истинное значение лежит в интервале . ???
Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность проведенных измерений. Например, абсолютная ошибка в 1 мм при измерении отрезков длиной 5 м и 5 мм в относительных единицах будет существенно разной. Поэтому кроме абсолютной ошибки используют и относительную погрешность
, (9)
В этом виде ε это безразмерная величина. Часто её выражают в процентах. Тогда вместо (9) запишем
(10)
В приведенном примере относительные ошибки составят 0,1% и 20%. Это, безусловно, большое различие, хотя абсолютная ошибка одинакова. Относительная ошибка дает больше информации о точности и позволяет сравнивать погрешности измерений разных величин.
2.3 Отработка результатов косвенных измерений
2.3.1 Метод частных производных
Пусть интересующая нас величина y является некоторой функцией других величин xl, x2, x3 и т.д., так что
у = ƒ(xl, x2, x3...) (11)
причем величины xl, x2, x3... мы можем измерять путем прямых измерений. В этом случае мы для определения величин и ∆ сначала измеряем все величины, от которых зависит у (xl, x2, x3...) по методике, изложенной в предыдущем параграфе. В результате чего определяем , а также полные погрешности, в определении этих величин, которые обозначим как Наилучшее (среднее) значение косвенно определяемой величины у находится при подстановке в (6) наилучших (средних) значений
(12)
Для определения полной абсолютной погрешности величины у необходимо выяснить, как изменяется эта величина при относительно небольших изменениях всех величин, от которых зависит величина у. Это можно сделать с помощью полного дифференциала. Интересующее нас изменение величины
(13)
где - обозначают частные производные от функции f по соответствующим переменным. Эти частные производные вычисляются при наилучших (средних) значениях и т.д.
От бесконечно малых изменений величин у, xl, x2, x3... в (13) перейдем к конечным значениям их изменений
(14)
где ∆y- искомая полная погрешность величины - значения соответствующих частных производных, вычисленных при наилучших (средних) значениях входящих в них величин.
- полные погрешности определения величин.
Под частной производной функции ƒ(x, y, z) по переменной X понимают величину:
(15)
т.е. это производная, которая вычисляется в предположении, что все переменные, кроме той, по которой берется производная, являются постоянными величинами. Например: пусть . Тогда
После вычисления абсолютной ошибки ∆у по формуле (14) находят относительную ошибку как
(16)
Этот способ удобен в том случае, когда представляет собой алгебраическую сумму.
2.3.2 Метод логарифмирования и дифференцирования
Если в явном виде функция содержит произведения и (или) частное от деления предпочтителен другой способ. Он основан на том факте, что дифференциал от натурального логарифма дает относительную ошибку измерений:
(17)
3 Общая схема обработки измерений
Схему обработки измерений проиллюстрируем на конкретном примере. Предположим, что нам нужно определить ускорение тела, движущегося равноускоренно, без начальной скорости. Выразим ускорение тела из формулы пути для равноускоренного движения:
; . (18)
Здесь S и t - прямо измеряемые величины, а - косвенно измеряемая величина. Обработку результатов проводим в следующей последовательности:
3.1 Проводим n опытов и получаем n значений S и t. Находим средние значения и
; (19)
и подставив их в (18), находим среднее значение ускорения
(20)
3.2 Определяем полную ошибку прямо измеренных величин. Для этого:
3.2.1 Явно сомнительные результаты отбросить как промахи или повторить измерения.
3.2.2 Определить приборные ошибки и как половину цены наименьшего деления шкалы или полного наименьшего разряда цифрового прибора.
3.2.3 Рассчитать среднюю случайную ошибку и как среднее значения разностей и
; (21)
Расчет значений и проводить до того знака после запятой, который фигурирует в соответствующих приборных ошибках и.
3.2.4 Сравнить средние случайные ошибки измерений пути и времени с их
приборными ошибками. В качестве полных ошибок ∆S и ∆t взять большие значения и ; и
3.3 Расчет погрешностей косвенно измеренной величины производится следующим образом:
3.3.1 Продифференцировать расчетную формулу (20) поочередно по
переменным S и t:
(22)
3.3.2 Так как da≈∆a, ds≈∆s и dt≈∆t, равенство (22) можно записать:
(23)
3.3.3 Слагаемые со знаком минус по модулю, т.к. ошибки прямо измеренных величин складываются. Вместо ∆S и ∆t подставить их полные ошибки ∆s и ∆t.
Тогда формула для расчета абсолютной ошибки прямо измеренной величины а записывается:
, (24)
3.3.4 Рассчитать относительную ошибку измерения ускорения по формуле
(25)
Примечание. В данном случае связь между a и S и t выражается в виде частного. Поэтому в этом случае проще проводить вычисления вторым способом с предварительным логарифмированием по следующей схеме:
3.4 Прологарифмировать расчетную формулу
lna=ln2+lnS-2lnt (26)
3.5. Продифференцировать (26) по переменным S и t:
(27)
3.6 Поменять знак у второго слагаемого и записать (27) в виде
(28)
3.7 Рассчитать относительную ошибку по формуле (28), а абсолютную, как
(29)
Отметим, что оба способа приводят к одинаковому результату. Например, получим формулу для расчета относительной ошибки , используя формулу (23):
(30)
Формула (30) аналогичная формуле (27), полученной вторым способом. Однако расчет вторым способом в данном случае проще.
4 Графическое изображение результатов измерений
Перед построением графика нужно определить, какая из двух величин является независимой переменной, т.е. величиной, значение которой задает сам экспериментатор, и ту величину, которая некоторым образом зависит от первой, независимую переменную откладывают по горизонтальной оси X, а ту величину, которую экспериментатор сам определяет - по вертикальной оси у. Другими словами, по горизонтали откладывается причина, а по вертикали - следствие.
Графики строятся на миллиметровой бумаге. Начинать построение нужно с выбора масштаба. При этом нужно исходить из следующих соображений:
не правильно правильно
|
Рис.1а. |
Рис.1б. |
Чтобы избежать слияния точек, нужно увеличить цену деления масштаба, при этом за начало координат необязательно принимать нулевые значения измеренных величин.
После нанесения масштаба можно приступать к построению графика, пользуясь следующими указаниями:
4.5 Экспериментальные точки следует отмечать жирными, хорошо заметными точками.
4.6 Не нужно на осях отмечать цифры, соответствующие координатам наносимых точек.
4.7 не следует соединять экспериментальные точки ломаной линией, как изображено на рис.2а, скорее всего зависимость изображается некоторой плавной кривой, как на рис.2б, которая проводится как бы по усредненным значениям экспериментальных данных.
|
Рис. 2а |
Рис. 2б |
5 Проведение приближенных вычислений
При обработке результатов опыта мы, как уже было показано, имеем дело с приближенными величинами, т.е. величинами, значение которых определено с точность до некоторого десятичного знака. Эта точность может быть обусловлена ограниченной точностью прибора или метода измерений, физическими особенностями измеряемого объекта или достаточным необходимым уровнем точности (например, никому не нужно знать вес автомобиля с точностью до грамма, или высоту шкафа с точностью до миллиметра). Поэтому при проведении обработки результатов прямых измерений и при вычислении на их основе косвенно определяемых величин вычисления следует проводить не точнее, чем это необходимо в данном конкретном случае. Следует иметь в виду, что при проведении арифметических действий над приближенными числами нет смысла оставлять в результате вычисления больше значащих цифр, чем их было в исходных значениях, над которыми выполнялись действия. Существует общее правило, согласно которому все промежуточные вычисления проводятся с сохранением такого числа значащих цифр, которое на единицы превосходит наименьшее число значащих цифр в исходных значениях. При этом последняя значащая цифра является не вполне точной и при записи окончательного результата значение округляется до того наименьшего числа значащих цифр, которое было в исходных значениях. Например:
1,234+ 1,3 ~ 2,5.
При округлении руководствуются следующими правилами:
Если за последней сохраняемой цифрой следует цифра 0, 1, 2, 3, или 4, то никаких изменений в приближенное значение числа, представленного последовательностью предшествующих цифр, не вносится.
Если за последней сохраняемой цифрой следует 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Например:
3,462≈3,5
3,441≈3,4.
6 Форма записи окончательного результата измерения
При записи окончательных результатов измерений для большей наглядности и удобства работы с полученными результатами рекомендуется придерживаться следующих правил:
6.1 Абсолютную погрешность всегда указывают вместе с найденным значением измеряемой величины, причем приводят также относительную погрешность.
Пример: v=(2,75±0,02) м/с; 0,5%
6.2. Абсолютную погрешность всегда выражают в тех же единицах, что и саму измеряемую величину.
Пример: l = (1,815 ±0,005) м
6.3 Число, выражающее результат измерения, и его абсолютная погрешность всегда записывается так, чтобы их последние цифры принадлежали одному и тому же десятичному разряду.
Пример: (17,8±0,2) м,
но нельзя писать так (17.85 ±0,2) м
Следует отметить, что нуль является значащей цифрой и его надо также писать.
Пример: (17,70 ±0,04) м;
запись неправильна: (15,7 ± 0,04)м.
Пример: t = 3,67 с; ∆t = 0,28 с
окончательный результат (3,7 ± 0,3) с.
Лабораторная работа №1
Изучение погрешностей измерений
Цель работы: Оценка погрешностей измерения физических величин.
Оценка погрешности измерений ускорения свободного падения.
1) Измерить период колебаний математического маятника Т1 для данной его длины l1. Измерение периода провести 5 раз. Измерить периоды колебаний Т2, Тз, Т4 для различных длин маятника l2, l3, l4.
Результаты измерений занести в табл.1.
2) Из формулы математического маятника
3) Рассчитать погрешность измерений ускорения свободного падения. Сравнить относительные погрешности, связанные с измерениями l и Т. Оценить погрешность, вносимую в результат приближенным значением числа π. Сделать вывод.
4) Построить график зависимости Т (1).
|
№ |
l1=20 см |
l2=40 см |
l3=60 см |
l4=80 см |
||||
|
Т1 |
∆Тсл |
Т1 |
∆Тсл |
Т1 |
∆Тсл |
Т1 |
∆Тсл |
|
|
1 |
||||||||
|
2 |
||||||||
|
3 |
||||||||
|
4 |
||||||||
|
5 |
||||||||
|
Ср. зн. |
|
l, см |
, м/с2 |
εg, % |
∆g, м/с2 |
∆Тпр,с |
∆l, м |
|
|
20 |
||||||
|
40 |
||||||
|
60 |
||||||
|
80 |
Литература